Derivação Implícita

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Derivac¸a˜o Impl´ıcita Material Complementar Ca´lculo I
DERIVAC¸A˜O IMPLI´CITA
Para entender Derivac¸a˜o Impl´ıcita, precisamos, primeiramente, entender o que significa
dizer que uma func¸a˜o esta´ definida implicitamente por uma equac¸a˜o. Para tal, utilizaremos
o exemplo que segue.
A equac¸a˜o x2 + y2 = 1 representa o c´ırculo de centro (0,0) e raio 1:
Agora, vamos procurar a resposta para a seguinte pergunta:
“Quais sa˜o as func¸o˜es y = f(x) que esta˜o definidas implicitamente por essa equac¸a˜o?”,
que e´ equivalente a:
“Quais sa˜o as func¸o˜es y = f(x) que satisfazem essa equac¸a˜o?”.
Encontrar a resposta para essas perguntas e´ determinar todas as func¸o˜es y = f(x) que
esta˜o, digamos assim, “escondidas atra´s”da equac¸a˜o x2 + y2 = 1.
Vamos la´??? :)
Temos que:
x2 + y2 = 1 ⇒ y2 = 1− x2 ⇒ √y2 = √1− x2 ⇒ |y| = √1− x2.
Enta˜o, neste caso, existem apenas duas possibilidades para nossas func¸o˜es y = f(x):
y = f1(x) =
√
1− x2 e y = f2(x) = −
√
1− x2.
E´ claro que, em ambos os casos, x ficara´ restrito ao intervalo (−1, 1), como podemos
observar nas figuras seguintes:
Portanto, as func¸o˜es que esta˜o definidas implicitamente pela equac¸a˜o x2 + y2 = 1, ou,
analogamente, que satisfazem a equac¸a˜o x2 + y2 = 1, sa˜o as func¸o˜es:
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y = f1(x) =
√
1− x2 e y = f2(x) = −
√
1− x2.
Encontramos, assim, nossa resposta!!! \o/
Agora temos, finalmente, condic¸o˜es de entender Derivac¸a˜o Impl´ıcita. Assim, seguindo
nesta direc¸a˜o, nosso pro´ximo posso sera´ determinar a derivada dessas func¸o˜es e verificar que
a mesma independe da definic¸a˜o da func¸a˜o. Como assim?? Vejamos:
Para todo x ∈ (−1, 1), temos que:
y′ = f ′1(x) =
−x√
1− x2 e y
′ = f ′2(x) =
x√
1− x2 =
−x
−√1− x2 .
Em particular,
y′ = f ′1(x) =
−x
f1(x)
=
−x
y
e y′ = f ′2(x) =
−x
f2(x)
=
−x
y
.
Portanto, y′ =
dy
dx
=
−x
y
em ambos os casos, ou seja, a derivada independe da definic¸a˜o
da func¸a˜o que esta´ impl´ıcita na equac¸a˜o.
Quando dizemos “a derivada da func¸a˜o impl´ıcita na equac¸a˜o”, e na˜o sabemos sequer a
definic¸a˜o da func¸a˜o, e´ exatamente a esta independeˆncia que estamos nos referindo: na˜o im-
porta a definic¸a˜o y = f(x) da func¸a˜o impl´ıcita na equac¸a˜o, a derivada y′ =
dy
dx
simplesmente
na˜o muda. Para sermos ainda mais precisos neste sentido, suponhamos que na˜o soube´ssemos
obter explicitamente as definic¸o˜es das func¸o˜es y = f1(x) e y = f2(x) na equac¸a˜o x
2 + y2 = 1
acima. Suponhamos tambe´m, neste caso, que soube´ssemos apenas da existeˆncia de uma
func¸a˜o deriva´vel y = f(x) satisfazendo a equac¸a˜o x2 + y2 = 1. Ainda assim, poder´ıamos
determinar y′ =
dy
dx
. Com efeito, sabendo que y = f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel definida
Figura 1: y = f1(x) =
√
1− x2 Figura 2: y = f2(x) = −
√
1− x2
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implicitamente pela equac¸a˜o x2 + y2 = 1, temos que x2 + (f(x))2 = 1. Da´ı, derivando ambos
os lados dessa equac¸a˜o com relac¸a˜o a x (e na˜o esquecendo da Regra da Cadeia!), obtemos:
2x + 2f(x) f ′(x) = 0 ⇒ f ′(x) = −x
f(x)
.
Para na˜o trabalharmos com uma notac¸a˜o muito “carregada”, no lugar de f(x) escrevemos
y e, no lugar de f ′(x), escrevemos y′ =
dy
dx
e dizemos que y′ =
dy
dx
e´ a derivada impl´ıcita de
y = f(x). Assim, a derivac¸a˜o acima equivale a:
2x + 2y y′ = 0 ⇒ y′ = −x
y
, ou, analogamente, 2x + 2y
dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
=
−x
y
.
Neste caso, a derivada impl´ıcita de y = f(x) e´ y′ =
dy
dx
=
−x
y
.
CONCLUSA˜O: Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamnete por uma
dada equac¸a˜o na varia´veis x e y. Para determinarmos a derivada impl´ıcita de y = f(x), ou
seja, para determinarmos y′ =
dy
dx
, fazemos do seguinte modo:
(1) Derivamos, em relac¸a˜o a x, termo a termo, ambos os lados da equac¸a˜o dada, sem
esquecermos que y e´ uma func¸a˜o na var´ıavel x e, deste modo, ao derivarmos y, precismos
utilizar a Regra da Cadeia.
(2) Apo´s (1), teremos uma equac¸a˜o nas varia´veis x, y e y′ =
dy
dx
. Assim, para determi-
narmos y′ =
dy
dx
, basta “isolarmos” a varia´vel y′ =
dy
dx
nesta equac¸a˜o.
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