LISTA I

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
1a Lista de Exerc´ıcios
Disciplina: Matema´tica Aplicada
Curso: Engenharia Civil
Prof. Dr. Juscelino Silva
Nome: Matricula:
1. Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) ty˙+ 2y = t2 − t+ 1, y(1) = 1/2;
(b) ty˙+ 2y = sen t, y(pi/2) = 1;
(c) ty˙+ (t+ 1)y = t, y(ln 2) = 1;
(d) t3y˙+ 4t2y = e−t, y(−1) = 0;
(e) y˙+ (2/t)y = t−2cos t, y(pi) = 0;
(f) y˙+ 2y = te−2t,y(1) = 0.
2. Seja Γ = {y : R → R; y˙(t) = a(t)y(t)}. Mostre que Γ e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial das
func¸o˜es reais.
3. Mostre que se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
y˙(t) = a(t)y(t) + b(t)
enta˜o y = y1 − y2 e´ soluc¸a˜o do problema homogeˆneo (b(t) ≡ 0).
4. Encontre o valor de y0 para o qual a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y˙− y = 1 + 3 sen t, y(0) = y0
permanece finita quando t→∞.
5. Mostre que, se a e λ sa˜o constante positivas e se b e´ qualquer nu´mero real, enta˜o toda soluc¸a˜o da
equac¸a˜o
y˙+ ay = be−λt
tem a propriedade que y→ 0 quando t→∞.
6. Seja φ uma soluc¸a˜o do problema linear homogeˆneo
y˙(t) = a(t)y(t.)
Mostre que se y = ψ · φ e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
y˙(t) = a(t)y(t) + b(t)
enta˜o ψ satisfaz a equac¸a˜o
ψ˙(t) = b(t)e−
∫
a(t)dt.
Este e´ conhecido como o me´todo da variac¸a˜o do paraˆmetros. Use tal me´todo para encontrar a soluc¸a˜o
da equac¸a˜o
y˙− 2y = t2e2t.
7. Um objeto aquecido a 100oC e´ colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 20oC; um
minuto apo´s a temperatura do objeto passa a 90oC. Admitindo a Lei do resfriamento de Newton
que a temperatura T = T(t) do objeto esteja variando a uma taxa proporcional a` diferenc¸a entre a
emperatura do objeto e a do quarto, isto e´,
T˙ = κ · (20 − T), κ > 0,
Determine a temperatura do objeto no instante t. Suponha t em minutos.
8. Um capital C = C(t) esta´ crescendo a uma taxa proporcional a C. Sabe-se que o valor do capital
inicial era R$ 20.000,00 e um ano apo´s, R$ 60.000,00. Determine o valor do capital no instante t.
Suponha t em anos.
9. O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao gra´fico de y = f(x), e´ proporcional
ao cubo da ordenada no ponto de tangeˆncia. Sabendo-se que f(0) = 1 e f(1) = 1/
√
2, determine f.
10. Um corpo de massa 10 kg e´ abandonado a uma certa altura. sabe-se que as u´nicas forc¸as atuando
sobre ele sa˜o o seu peso e uma forc¸a de resisteˆncia proporcional a` velocidade. Admitindo-se que um
segundo apo´s ter sido abandonado a sua velocidade e´ de 8 m/s, determine a velocidade no instante t.
Determine ainda o tempo em que o corpo toca o cha˜o.
11. Considere um corpo de massa m em movimento vertical (lanc¸ado para cima ou em queda livre)
onde atuam sobre o mesmo a forc¸a gravitacional e uma forc¸a de resisteˆncia (contra´ria ao movimento)
proporcional a` velocidade (com constante de proporcionalidade κ). Mostre que tal corpo possue uma
velocidade limite
v∞ = | lim
t→∞ v(t)| = mgκ .
E sendo y = y(t) a func¸a˜o altura de tal corpo mostre que
y(t) = y0 +
m
κ
(v0 + v∞)(1 − e− κmt) − v∞t.
12. Para todo a > 0, o gra´fico de y = f(x) intercepta ortogonalmente a curva x2 + 2y2 = a. Determine f
sabendo-se que f(1) = 2.
13. Determine a curva que passa pelo ponto (0, 2) e que possui a seguinte propriedade: a reta tangente no
ponto (x,y) encontra o eixo x no ponto A, de abscissa positiva, de tal modo que a distaˆncia de (x,y)
a A seja sempre 2.
14. Determine a func¸a˜o y = f(x), x > 0, cujo gra´fico passa pelo ponto (1, 2) e que possui a propriedade:
a a´rea do triaˆngulo de vertices (0, 0), (x, 0) e (0,m), m > 0 e´ igual a 1, para todo (x,y) no gra´fico de
f, onde (0,m) e´ a intersecc¸a˜o da reta tangente em (x,y) com o eixo y.
15. De acordo com a Lei da gravitac¸a˜o de Newton, a interac¸a˜o gravitacional de um corpo de massa m e´
proporcional ao produto das massas do corpo e da terra e inversamente proporcional ao quadrado da
distaˆncia do corpo ao centro da terra.
(a) Use o fato de quando o corpo esta´ sobre a superf´ıcie a forc¸a gravitacional coincide com a forc¸a
peso mg, para mostrar que tal forc¸a F e´ dada por
F(x) =
mgR2
(x+ R)2
onde R e´ o raio da terra e x e´ a distaˆncia do corpo a` superf´ıcie da terra no tempo t.
(b) Use a segunda Lei de Newton para mostra que a equac¸a˜o que rege o movimento e´
v · dv
dx
= −
gR2
(x+ R)2
.
(c) Mostre que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o acima e´
v2 =
2gR2
x+ R
+ v20 − 2gR.
(d) Se hmax e´ a altura ma´xima atingida pelo corpo, mostre que
v0 =
√
2gRhmax
R+ hmax
.
(e) Por u´ltimo, calcule a velocidade de escape (ve) do corpo em questa˜o, isto e´, a menor velocidade
necessa´ria para o corpo entrar em o´rbita, a qual e´ determinada por
ve = lim
hmax→∞ v0.
16. Um tanque possui 1000 l de a´gua salgada com 15 kg de sal dissolvido. A a´gua pura entra no tanque a
uma taxa de 10 l/min. A soluc¸a˜o e´ mantida bem mistura e sai do tanque a uma mesma taxa. Quanto
de sal permanece no tanque
(a) Depois de t minutos?
(b) Depois de 20 minutos?
17. A equac¸a˜o de Von Bertalanffy
p˙ = αp
2
3 − βp
e´ um modelo usado para a variac¸a˜o do peso p = p(t) de uma espe´cie de peixe, onde α e β sa˜o constantes
positivas e dependem da espe´cie em estudo. Suponha que p(0) = 01. Resolva tal equac¸a˜o. Esboce o
gra´fico da soluc¸a˜o destacando o intervalo onde o peso esta´ variando a uma taxa crescente aquele em
que o peso esta´ variando a uma taxa decrescente. Interprete os resultados.
18. Um modelo para variac¸a˜o populacional e´ dado pela equac¸a˜o de Bernoulli
dp
dt
= λp− �pα, α > 1, e � =
λ
γα−1
onde se supo˜e que γ = lim
t→∞p(t) e´ o valor ma´ximo para a populac¸a˜o. Supondo p(0) = p0, resolva tal
equac¸a˜o.
19. Uma curva passa pelo ponto (2, 1) e tem por coeficiente angular −(x+y)/x em cada ponto. Determine
tal curva.
20. Uma curva passa pelo ponto (1/2, 0) e tem por coeficiente angular
(
y+ (x2 + y2)1/2
)
/x em cada ponto.
Determine tal curva.
21. Resolva a equac¸a˜o
dy
dx
=
−x+ 2y− 5
2x− y+ 4
.
Sugesta˜o: Fac¸a as substituic¸o˜es x = u + α e y = v + β e escolha as constantes α e β de forma
conveniente.
22. Determine uma soluc¸a˜o que satisfac¸a a condic¸a˜o inicial dada
(a) y˙ = (x+ 2y)/(1 − 2x), y(1) = 1.
(b) y˙ = (3x2 − y)/(x− 3y2), y(1) = 0.
(c) y˙ = −(2x+ seny)/(x cosy), −pi/2 < y < pi/2, y(1) = pi/6.
23. Determine uma curva γ(t), t ∈ I, que passa pelo ponto dado e que, para todo t ∈ I, γ˙(t) seja ortogonal
a ~F(γ(t)), onde ~F(x,y) e´ o campo vetorial dado.
(a) (1, 1) e ~F(x,y) = y~i+ x~j.
(b) (1, 2) e ~F(x,y) = (2x− y)~i+ (2y− x)~j.
(c) (1, 2) e ~F(x,y) = y~i+ (x+ y2)~j.
24. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x de modo que o produto da velocidade pela diferenc¸a entre a
posic¸a˜o e o tempo e´ igual a` soma da posic¸a˜o com o tempo. Sabe-se que no instante t = 0 a part´ıcula
encontra-se na posic¸a˜o x = 1. Determine a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t > 0.
25. Determine uma func¸a˜o y = y(x) cujo gra´fico passa pelo ponto (2, 1) e tal que o produto da func¸a˜o
pela sua derivada seja igual a` metade da soma da func¸a˜o com sua derivada.
26. Uma trajeto´ria ortogonal de uma famı´lia de curvas e´ uma curva que intercepta ortogonamente cada
curva da famı´lia. Encontre trajeto´rias ortogonais para as famı´lias de curvas abaixo.
1O peixe quando nasce e´ ta˜o pequeno que seu peso e´ desprez´ıvel.
(a) x2 + 2y2 = κ;
(b) x2y− x2 = κ, x > 0;
(c) xy = κ;
(d) x2 + 2xy− y2 = κ;
(e) y = κx2;
(f) y = (x+ κ)−1;
(g) x2 − y2 = κ;
(h) y = κe−x;
(i) y = κxn.
27. Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) (2x− y)dx+ (2y− x)dy = 0, y(1) = 3; (b) (9x2 + y− 1)dx− (4y− x)dy = 0, y(1) = 0.
28. Encontre o valor de κ para qual a equac¸a˜o abaixo exata, e enta˜o, resolva-a usando tal valor de κ.
(a) (xy2 + κx2y)dx+ (x+ y)x2dy = 0; (b) (ye2xy + x)dx+ κxe2xydy = 0.29. Mostre que as equac¸o˜es abaixo na˜o sa˜o exatas, mas se tornam exatas ao serem multiplicadas por um
fator integrante. Depois resolva-as.
(a) x2y3 + x(1 + y2)y˙ = 0, µ(x,y) = 1/(xy3);
(b) (seny/y− 2e−xsen x)dx+ ((cosy+ 2e−xcos x)/y)dy = 0, µ(x,y) = yex;
(c) ydx+ (2x− yey)dy = 0, µ(x,y) = y;
(d) (x+ y)senydx+ xcosydy, µ(x,y) = xex.
30. Encontre um fator integrante e resolva cada equac¸a˜o abaixo
(a) (3x2y+ 2xy+ y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0;
(b) y˙ = e2x + y− 1;
(c) dx+ (x/y− seny)dy = 0;
(d) ydx+ (2xy− e−2y)dy = 0;
(e) exdx+ (ex cotg y+ 2y cosecy)dy = 0;
(f)
(
4x3/y2 + 3/y
)
dx+
(
3x/y2 + 4y
)
dy = 0.
Prof. Dr. Juscelino Silva
jsilva@ufpi.edu.br
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