Fundamentos de Ciências Exatas

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Curso de Química - Unidade de Naviraí -2010 
Disciplina de Química Geral - Prof. Dr. Alberto A. Cavalheiro 
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Fundamentos de Ciências Exatas 
 
1. Algarismos significativos 
 
1.1. Definição e Arredondamento Numérico 
Tudo o que medidos é tem algum erro embutido. Em outras palavras, toda medida 
de qualquer propriedade contém uma certa incerteza numérica. Esta incerteza tem o 
nome de erro, desvio ou imprecisão da medida. Por isso, os resultados das medidas 
devem ser expressos e manipulados de modo tal que se possa controlar a precisão ou 
confiabilidade com que elas foram obtidas ou calculadas. Assim, o número que 
representa a medida de uma propriedade não pode ter uma quantidade qualquer de 
algarismos, mas apenas aqueles que representem realmente a precisão com que a 
medida foi feita. Logo, todos os algarismos de um número devem ter um significado, por 
isso o termo Algarismos Significativos. 
Vamos para a calculadora. Todos vocês devem ter uma boa calculadora científica 
em mãos. Mas, o que vem a ser uma boa calculadora científica? Bom! Em primeiro lugar, 
uma calculadora científica é aquela que tem as funções superiores, como logaritmo, 
exponencial, notação científica, raízes superiores, etc. Ou seja: é aquela calculadora que 
tem muito mais do que as operações básicas de soma, subtração, multiplicação e divisão. 
Aquelas calculadoras de mercadinho. Mas e daí? Como saber qual é a melhor? Com toda 
certeza, a melhor calculadora é aquela resistente e que você saiba manipular por 
completo. Aliás, este é o principal ponto: saber mexer na sua calculadora. Se ela for 
baratinha, não tem problema, quando ela quebrar, você compra outra. Afinal ela é 
baratinha mesmo. 
Mas, vamos entrar em exemplos. No início, vocês precisam de bastantes 
comparações. Quando escrevemos 6,40 g, significa que a certeza máxima da medida de 
massa está no último algarismo "0". É errado escrever 6,4 g, pois significaria dizer que a 
balança só é capaz de pesar 1 casa depois da vírgula. Significa também que não se 
conhece a segunda casa depois da vírgula, o que é mentira, pois sabemos que ela é 
zero. Não podemos confundir a necessidade de tal algarismo para uma operação 
matemática com o significado do algarismo para medidas e cálculos científicos. 
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No entanto, há um porém quando aparecem zeros no início ou no fim do número. 
Os zeros que aparecem no início não são significativos, pois indicam simplesmente a 
posição da vírgula. Assim, 0,00370 e 3,70 têm o mesmo número de algarismos 
significativos (três, ao todo): 3, 7 e 0. Às vezes (não é sempre), os zeros que aparecem 
como últimos algarismos à direita indicam apenas a ordem de grandeza. Por exemplo, o 
número 250 poderia ter apenas dois algarismos significativos (o 2 e o 5) e o zero indicaria 
a centena, ou de fato, são todos os três algarismos significativos, ou seja: 2, 5 e 0. Vamos 
para um exemplo prático. Há algumas notações para representar a incerteza de um 
algarismo presente em uma medida. No caso acima, poderíamos escrever 250, com o 
zero grifado para indicar incerteza. Isto significa que não podemos afirmar se é 254 ou 
247, ou qualquer ou número entre 246 e 254, que arredondando para dois algarismos 
significativos daria o número 250. Outra notação é 25(0), entre parênteses. É óbvio que o 
zero não pode ser jogado fora, pois o 250 (duzentos e cinqüenta) viraria 25 (vinte e 
cinco). Um absurdo, não é?! Pense se fosse dinheiro! É como se tivéssemos somente 
notas de dez reais no bolso. Ou daríamos 250 ou 240 ou 260. Não teria como dar 253 ou 
247 reais, pois não teríamos moedas de um real. Mas, felizmente existem estas moedas 
e poderíamos fazer o troco, correto?! Inclusive, temos até moedas de centavos, ou seja, a 
precisão do dinheiro é na segunda casa decimal. 
Mas, vamos seguir nesta analogia do dinheiro. Se um produto custar R$ 1,27, 
significa que custa um real e vinte e sete centavos (centésimos) de real. Uma moeda de 1 
real, mais uma moeda de 25 centavos e mais duas moedas de um centavo, por exemplo, 
já que há outras combinações exatas que resultam nesta quantia. Assim, com estas 
moedinhas teremos, justo e preciso: R$ 1,27. Mas, se você gastar a metade disso, ficará 
com quanto? Faria esta conta na calculadora ou mesmo na mão e chegaria ao valor 
exato de R$ 0,635. Mas, sua conta estaria errada, pois não há moedinha de 5 “milavos” 
(milésimos) ou R$ 0,005, mas somente R$ 0,01, que é um centavo de real. A precisão 
termina no centavo para o nosso dinheiro, ou seja, na segunda casa depois da vírgula. 
Assim, ou o vendedor cobraria a menos ou a mais e você teria R$ 0,64 ou R$ 0,63 no 
bolso. O engraçado que a resposta correta é R$ 0,64, ou seja, você saiu ganhando. E 
sabe porquê? Porque a pergunta é quanto você teria no bolso após gastar metade do 
valor e a resposta se refere ao que você tem no bolso. Arredondando, seguindo a regra 
de arredondamento, R$ 0,635 vai para R$ 0,64. Se a pergunta fosse quanto você gastou, 
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então sairia perdendo, porque o arredondamento é no dinheiro gasto e subiria o gasto, 
lhe sobrando R$ 0,63, que era o troco. Vimos que é possível fazer qualquer operação 
matemática na calculadora e chegar a um resultado, mas na vida real, este resultado 
pode não ser válido. 
É este o espírito científico. Os números que usamos para fazer cálculos foram 
medidos em aparelhos. E estes, têm certas limitações para fazer medidas. Uma régua, 
por exemplo, mede até o milímetro, ou seja, você pode medir coisas com comprimentos 
de 2,5 cm ou 3 mm, mas não há como medir comprimentos de 2,58cm ou 3,4 mm. Logo, 
se fizer cálculos com estes dados, nunca poderá usar, na sua resposta, a segunda casa 
na unidade de centímetro ou a casa decimal do milímetro, pois este dado não terá sentido 
real. Um exemplo: Um elástico de 5,3 cm de comprimento (medido com uma régua 
comum) pode ser esticado até duas vezes e meia o seu tamanho antes de arrebentar. 
Qual o comprimento máximo que ele atinge antes que se arrebente? Fazemos a conta 
5,3 cm x 2,5 = 13,25 cm ou 53 mm x 2.5 = 132,5 mm. Agora eu pergunto: Como você 
pode comprovar isso na prática se a régua comum não mede comprimentos menores que 
1 milímetro? Resposta: Não pode! Você terá que fazer um arredondamento após o 
cálculo e chegará a um comprimento de 13 cm ou 130 mm. Mas, porque 130 mm e não 
133 mm? Por que foram descartados dois algarismos do resultado? Como proceder para 
saber quantos algarismos deve ter uma resposta e poder descartar os números 
excedentes? 
Em primeiro lugar, você deve saber quantos algarismos significativos determinado 
resultado numérico deve ter e, para isso, devemos conhecer a precisão das medidas e 
considerar as operações matemáticas feitas a partir deles. Uma balança analítica pesa 
com até 5 casas depois da vírgula (você verá uma dessas no laboratório), mas sua 
capacidade máxima é de 160 g, o que perfaz 7 algarismos significativos, no máximo, por 
exemplo: 112,4529 g. Uma balança semi-analítica mede apenas 2 casas depois da 
virgula, mas pode pesar até 2000 g, o que permite obter 6 algarismos significativos 
(1345,37 g, por exemplo). Para acertar os algarismos significativos de um resultado, 
devemos proceder com um arredondamento do número, mas há regras para fazer isso. 
Quando for necessário descartar algarismos não significativos, tanto antes da operação 
matemática, como no final, deve-se obedecer as seguintes regras: 
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Regra baixa Se o algarismo a ser cortado for menor que 5 (0, 1, 2, 3 ou 4), o algarismo 
anterior mantém-se inalterado. 
Ex: 3,21 � 3,2 e 0,274 � 0,27. 
Regra alta: Se o algarismo a ser cortado for maior ou igual a 5 (5, 6, 7, 8, ou 9), soma-se 
1 ao algarismo anterior, que passará a ser o último algarismo significativo. 
Ex: 3,27 � 3,3 e 0,75 � 0,8. 
 
Mas, lembre-se: somente o algarismo vizinho à direita ao que vai permanecer no 
número é o que importa. O resto dos algarismos não influencia o arredondamento do 
número. Por exemplo: o número 4,149 deve ser arredondado para 4,1 e não para 4,2, 
pois o número vizinho à direita do último que ficou é o 4, que segue a regra baixa, não 
importando que o outro era um número grande, o 9. O 9 somente teria importância se o 
arredondamento fosse para duas casas depois da virgula, aí ficaria 4,15. Veja a seguir, 
outros exemplos de arredondamento: 
2,3908654 ���� 2,390865: O 4 foi cortado e o 5 ficou inalterado: Regra baixa. 
2,390865 ���� 2,39087: O 5 foi cortado e o 3 subiu para 4: Regra alta. 
2,39087 ���� 2,3909: O 7 foi cortado e o 8 subiu para 9: Regra alta. 
2,3909 ���� 2,391: O 9 foi cortado e o 0 subiu para 1: Regra alta. 
2,391 ���� 2,39: O 1 foi cortado e o 9 ficou inalterado: Regra baixa. 
2,39 ���� 2,4: O 9 foi cortado e o 3 subiu para 4: Regra alta. 
2,4 ���� 2: O 4 foi cortado e o 2 ficou inalterado: Regra baixa. 
 
Agora, preste bem atenção às passagens 0,54847 ���� 0,5495 ���� 0,548. Os números 
NÃO podem ser arredondados subseqüentemente. Qualquer número arredondando têm 
que ter por base de corte o número original, no caso o 0,54847. Caso contrário, se 
viéssemos arredondando um a um, poderíamos chegar no número 0,6, por exemplo, e 
não em 0,5, como é o correto, pois, se nossa necessidade é deixar apenas uma casa 
depois da vírgula ou apenas um algarismo significativo, então devemos olhar diretamente 
para o número à direita dele, que é o 4, portanto, regra baixa. 
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1.2. Preservando o significado dos números nas operações 
Para fazer operações matemáticas considerando os algarismos significativos, 
devemos seguir duas regras distintas, dependendo da operação a ser feita: 
Subtração e adição: A posição onde se encontra o último algarismo significativo é 
determinada pela presença deles em todos os valores da operação, por exemplo: 
246,7 + 57,774 = 304,5 � 246,7 + 57,8 = 304,5: Antes de fazer a soma, foi 
arredondado o número 57,774 para 57,8 através da regra alta, para que os dois números 
da operação a ser feita ficassem com mesmo número de casas decimais, ou seja, apenas 
uma casa depois da virgula. 
Outro exemplo: 1,004 - 0,0032 = 1,001 � 1,004 - 0,003 = 1,001, utilizando a regra baixa. 
Obs: esta regra é baseada no fato de não podermos somar ou subtrair algo 
desconhecido de um número. No caso da soma acima, montaríamos a conta como 
abaixo, vírgula sobre vírgula. 
 
Devemos somar da direita para esquerda, acrescentando o algarismo da dezena 
na soma à esquerda, caso haja. Mas, qual é o algarismo que deverá se somar ao quatro? 
Não há este algarismo. E nem o próximo à esquerda dele. Logo, não poderemos fazer a 
conta desta maneira. Não podemos somar ao 4 do número 57,704 algo que não 
existe, ou seja, a segunda e terceira casas depois da virgula no número 246,7. 
 
O mais comum de acontecer é supor que sejam zeros os algarismos ausentes. 
Isso pode ser aceito pela calculadora, mas tem significado prático. Vamos trabalhar um 
exemplo para entender isso. Imagine que você saiba exatamente quanto de dinheiro 
tenha no bolso: 12 reais e 25 centavos, ou seja, R$ 12,25. Mas, não saiba exatamente 
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quanto eu tenho, só sei que são 10 reais e lembro que tenho algumas moedinhas de 5 
centavos no bolso (não mais que 3 ou 4, de forma que não passa de 20 centavos). O fato 
é que tenho 10 reais com certeza, mas não sei ao certo quantos centavos. Sem 
pegarmos o dinheiro para contar, quanto seria a soma de nosso dinheiro? Que quantia 
nós dois teríamos, com certeza? A soma correta é R$ 22, com certeza. 
Não poderíamos falar de centavos, pois eu não sei quanto eu tenho. Talvez nem 
tenha. Vai que o bolso está furado e eu tenha perdido as moedas. Entendeu? É uma 
incógnita os meus centavos. Só poderemos fazer contas com os números inteiros, não 
considerando as casas decimais. Mas, você pode dizer: Mas eu sei que tenho 25 
centavos, então a soma será R$ 22,25. Errado!!! E seu eu tiver de fato 15 centavos, 
então a conta seria R$ 22,35. Mas eu não vou contar meu dinheiro. Deveremos saber a 
soma sem por a mão no bolso. O fato é que não poderemos nunca usar meus centavos 
na conta. E como fazer então? Você esquece seus centavos também. Você terá então 12 
reais, com certeza e eu 10 reais, com certeza, resultando em 22 reais, com certeza. 
Assim, no exemplo acima, arredondamos o número 57,774 para 57,8 (regra alta). 
 
Nota: nas operações de soma e subtração, não importa a quantidade total de algarismos 
significativos, mais somente a posição da grandeza numérica, ou seja, quantas casas decimais 
tem o número menos preciso. Todos os números com mais casas devem ser arredondados antes. 
Multiplicação e divisão: vale a menor quantidade de algarismos significativos. 
1,234 x 12,2672 = 15,14 ou 1,234 / 12,2672 = 0,1006. Apenas 4 algarismos significativos, 
como o numero 1,234, que é o número (medida) que tem o menor número de algarismos 
significativos entre os dois números da operação efetuada, ou: 
0,096 X 24,412 = 2,3 ou ou 0,096 / 24,412 = 0,0039. Apenas 2 algarismos significativos, 
como o numero 0,096. 
Repare que agora o que importa são a quantidade de números significativos e não 
as casa decimais. Um número pode ter casas decimais e o outro não, não importa. Valerá 
o que tiver menos números significativos. Durante os cálculos, pode-se até trabalhar com 
algarismos a mais durante as operações na calculadora (e é aconselhável nas operações 
de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação), mas o resultado final deve 
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representar apenas o número correto de algarismos significativos. Mas, nas operações de 
soma e subtração, isso não pode ser feito de maneira nenhuma, devendo sempre 
arredondar antes operação os números com maior quantidade de algarismos 
significativos em função do número com menor número de algarismos significativos. 
Nota importante: Quando a operação for com um número inteiro ou fracionário, 
que indique razão ou proporção, mantêm-se todos os algarismos significativos da 
medida. Por exemplo, a metade de 2,248 é 1,124, pois o dois na divisão pela metade não 
é operação entre medidas, apenas proporção de uma medida alterada por um operador. 
Se fosse uma operação entre medidas, seria 2,248 / 2 = 1. Assim, um terço da massa de 
2,04 g é 0,667, metade da massa de 1,002 é 0,5010. Aumentou uma casa decimal mas 
não a quantidade de números significativos, pois é uma operação de divisão e as casas 
decimais não importam, somente o número de algarismos significativos. Qual o valor de x 
na expressão abaixo, considerando as regras de arredondamento e operações com 
númerossignificativos? 
x = ½(2,335 + 24,9) . 2,7906 + ¼ (0,458 – 10,4 . 0,00474) 
Resolveremos passo a passo este exercício. Primeiro, as operações dentro dos 
parênteses. Se não houver parêntese, faça primeiro as operações de maior ordem de 
grandeza, segundo a seqüência, logaritmo e potenciação, depois multiplicação e divisão 
e por último soma e subtração. Esta ordem só pode ser alterada se houver parênteses. 
Mas dentro dos parênteses, se houver mistura de operações a ordem ainda vale. 
x = ½(2,3 + 24,9) . 2,7906 + ¼ (0,458 – 10,4 . 0,00474). Arredondado o número 2,335 para 
conter somente uma casa decimal, que é o que tem o número 24,9. 
x = ½(27,2) . 2,7906 + ¼ (0,458 – 0,0493). Feitas duas operações dentro dos parênteses, 
respeitando a ordem da multiplicação antes da subtração no segundo parênteses. Resultou em 3 
algarismos significativos na multiplicação, pois ambos tinham 3. 
x = 13,6 . 2,7906 + ¼ (0,458 – 0,049). Feita a operação de proporção ½ (mantém o 3 
algarismos significativos) e arredondado o número 0,0493 para 0,049 no segundo parênteses, 
para conter somente 3 casas decimais, que é o que tem o número 0,458. 
x = 1,28 + ¼ (0,409). Feita a multiplicação e o resultado tem somente 3 algarismos 
significativos. Feita também a subtração dentro dos parênteses. 
x = 1,28 + 0,102. Feita a proporção de ¼, mantendo os 3 algarismos significativos. 
x = 1,28 + 0,10. Arredondado o número 0,102 para 0,10, para conter somente duas casas 
decimais, que é o que tem o número 1,28. 
x = 1,38. Feita a soma. 
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2. Notação Científica 
2.1. Definição e Usos 
Para facilitar a manipulação com números extremamente grandes ou pequenos, 
costuma-se usar potências de 10 ou notação científica: o número 0,00074 elevado ao 
cubo, por exemplo, é 0.00000000041, ou seja: (0,00074)3 = 0.00000000041. Se tivermos 
uma seqüência de operações com números muito pequenos, o cálculo ficará muito 
trabalhoso e aumentará ainda a chance de errarmos. Para números muito grandes há 
ainda um outro motivo para usar a notação científica, preservar na notação os algarismos 
significativos. O número 56.000.000.000, por exemplo, não sabemos ao certo quantos 
algarismos significativos há. Será que todos são significativos? Se somente 4 algarismos 
fossem significativos poderíamos ainda usar o grifado, como dito antes, ficando 
56.000.000.000. como você deve ter percebido, não é uma maneira prática de lidar com 
números significativos. Deste modo, usamos a notação científica para converter os 
números em potência de 10. A maioria das calculadoras faz isso com apenas uma tecla 
(tecla F-E, na maioria delas). No braço, convertemos um número muito grande ou muito 
pequeno para notação científica, contando as casas decimais ou a grandeza até que a 
vírgula se posicione entre o primeiro e o segundo algarismo significativo. Vejamos isso 
com exemplos. 
O número 0,00074 terá a seguinte notação científica: 7,4.10-4. O algarismo 7 é o 
primeiro algarismo significativo deste número e teremos que andar com a vírgula para 
direita, aumentando seu valor de 10 em 10 até que fique entre o 7 e o 4. Para isso 
andamos 4 casas. Assim, 7,4.10-4. O expoente negativo em uma potencia de 10 significa 
que aquele número (7,4, no caso) é dividido (sinal -) por 10.000 (104). 104 é o mesmo que 
10x10x10x10 = 10000. Um zero para cada 10, multiplicado por ele mesmo. A quantidade 
de zeros é o valor da potência. Quatro números 10 multiplicados entre si: 104. Para 
números pequenos (sempre menor que 1), como décimos, centésimos, milésimos e por 
aí vai, usa-se o sinal negativo. Assim, o número 0,000001 é escrito em notação científica 
como 1.10-6. É 10/10/10/10/10/10, ou seja, 10 dividido por ele mesmo seis vezes (10-6). O 
número 0,000045 é 4,5.10-5. Veja que preservamos os algarismos significativos (4 e 5). 
A operação mostrada no início do parágrafo, por exemplo, poderia ser escrita 
assim: (7,4 x 10-4)3 = 4,1 x 10-10, por exemplo. Podemos fazer esta operação no braço 
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sem grandes dificuldades, fazendo 7,43 . (10-4)3 separadamente. 7,4 x 7,4 x 7,4 = 405 e 
potência elevada à potência é a multiplicação das potências, ou seja, -4 x 3 = -12. Logo, o 
resultado seria 405.10-12. Mas isso ainda não é notação científica, pois a vírgula deve 
estar posicionada entre o primeiro e o segundo algarismo significativo. Logo, andamos 
com a vírgula (que está omitida após o 5) duas casas para a esquerda, reduzindo em 
duas casas decimais a grandeza do número 4,05. Arredondamos para 4,1, pois o 5 não é 
significativo, o que nos obriga a descartá-lo e elevar em uma unidade o que ficou por 
último, o 0 passa a ser 1. Para compensar a redução do 405 para 4,1, aumentamos a 
potência em duas unidades, somando 2, ou seja: -12 + 2 = -10. Assim: 4,1.10-10, que é o 
resultado que a calculadora nos fornece, sem arredondar. Somos nós que fazemos o 
arredondamento sempre, já que as calculadoras científicas comuns não o fazem. 
O uso da notação científica é indispensável quando tratamos com grandezas muito 
pequenas ou muito grandes, como o número de Avogadro (NA), utilizado para dar a 
grandeza de um mol: 6,022 x 1023. O NA é a quantidade de unidades contida e qualquer 
porção equivalente a 1 mol. Valendo seus múltiplos e submúltiplos. Como a dezena (10 
unidades), a dúzia (12 unidades), a centena (100 unidades) ou o milhar (1.000 unidades), 
o NA é 602.200.000.000.000.000.000.000 unidades e é extremamente necessário não 
somente em Química, mas em Física, Bioquímica, e outras ciências que buscam a 
quantificação da matéria e da energia, pois o tamanho do átomo é muito pequeno para 
que consigamos contá-los as dezenas, milhares, milhões ou mesmo trilhões. Se 
fossemos tentar dizer o mol desta maneira teríamos que dizer, por exemplo, que 12 g de 
grafite tem seiscentos e dois sextilhões e 200 quinquilhões de átomos de hidrogênio. 
Fótons e elétrons também se contam aos mols, por exemplo. 
A notação científica não permite a utilização de expoentes fracionados. Por 
exemplo: 1,2.102,3. A calculadora faz esta operação somente utilizando a tecla xy ou yx. 
Não é possível utilizar a tecla “EXP” de Exponencial (necessária para a utilização de 
notações científicas). Você escreve uma notação científica na calculadora digitando o 
número normalmente e teclando EXP em seguida, para entrar com o expoente, que será 
digitado em seguida. Expoentes negativos exigem que se tecla um sinal negativo. 
Atenção. O sinal da subtração é diferente do sinal negativo. Procure na sua calculadora o 
sinal negativo. O sinal de subtração fica próximo do sinal de soma e outras operações, 
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mas i sinal de negativo fica localizado em outra região da calculadora, ás vezes, entre 
parênteses (-) ou junto com o sinal positivo (+/-). 
 
2.2. Operações com Números em Notação Científica 
Quando for necessário fazer operações matemáticas com medidas representadas 
em notação cientifica, devemos observar algumas regras de potenciação. A primeira 
regra é que a multiplicação e a divisão de números representados por potências de 
mesma base, podem ser tratadas pela soma ou subtração de seus expoentes, mantendo 
a base intacta. Como a notação científica é sempre na base 10, esta regra então passa a 
ser crucial. Logo, para multiplicar 5,47.104 por 1,23.102, basta fazermos a multiplicação 
dos númerossem a potência, ou seja, 5,47 x 1,23 = 6,7281 e fazer em seguida o 
arredondamento para 6,728. A potência não carrega informação da precisão dos 
números para operações de multiplicação e divisão. 
Em seguida, para operar os expoentes da base 10. Se for uma multiplicação, 
então se somam os expoentes (preste atenção no sinal do expoente!). Assim, no número 
em questão, 4 + 2 = 6, logo, será 106. Unindo as duas partes, teremos 6,728.106, ou seja: 
5,47.104 x 1,23.102 = 6,728.106. O mesmo vale para divisão, só que a operação no 
expoente é a subtração. Utilizando os mesmos números, teríamos 5,47.104 / 1,23.102. 
Dividindo 5,47 por 1,23, teríamos, já arredondado, 4,45 e subtraindo os expoentes, 4-2=2, 
ficaria 102. A operação de modo direto fica: 5,47.104 / 1,23.102 = 4,45.102. Veja outras 
operações com base 10: 
10-5 x 103 = 10-2 ���� Mantém a base 10 e soma-se: -5 + 3 = -2 
103 / 106 = 10-3 ���� Mantém a base 10 e subtrai-se: 3 - 6 = -3 
10-2 x 10-4 = 10-6 ���� Mantém a base 10 e subtrai-se: -2 + (-4) = -2 - 4 = -6 
 
A parte mais difícil de se fazer operações com notação científica no braço está 
justamente na soma e subtração. Isso porque os números devem estar na mesma ordem 
de grandeza para a soma ou subtração ser considerável. Aproveitamos para introduzir o 
conceito de número desprezível. Um número só pode ser desprezível em operações de 
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soma e subtração, nunca em qualquer outra operação matemática. Por exemplo, qual o 
resultado da soma: 300 + 0,000048? Sim, é isso mesmo, o número 300 não se altera, 
pois 0,000048 é desprezível (muito pequeno para se fazer uma operação de soma ou 
subtração com o número 300). Assim, 300 + 0,000048 = 300. 
Façamos a mesma operação usando notação científica. 3,00.102 + 1,0.10-4. A 
regra de somar ou subtrair expoentes não pode ser usada, pois a operação entre os 
números não é uma multiplicação ou divisão. A regra é equiparar os expoentes da base, 
fazendo operações inversas com os números. Esse arranjo equivale a posicionar virgula 
sobre virgula numa conta habitual de soma ou subtração. Assim, devemos converter a 
menor potência na maior potência. Com bases e expoentes iguais, então se faz a 
operação normal com os números e copia-se a base mais o expoente, que foram 
igualados previamente, no resultado. Mas, lembre-se de fazer a operação inversa com o 
número significativo. 
Operemos o caso acima, transformando 10-4 em 102, para que o número 1,0.10-4 
seja representado com a base 102. Devemos somar 6 no expoente, pois -4 + 6 = 2. 
Somar 6 do expoente significa tornar o número 1,00.102 exatamente um milhão de vezes 
maior do que ele é, ou seja: x 1.000.000 (106),. Para que o número não seja alterado, 
fazemos o inverso com o número significativo, dividindo-o por este número, o que fica: 
0,0000010. Juntando o número 0,0000010 com a potência 102, fica: 0,0000010.102, que é 
equivalente a 1,0.10-4. Agora os dois estão com mesma base e expoente, assim temos: 
3,00.102 + 0,0000010.102 = (3,00 + 0,0000010).102 = (3,00 + 0,00).102 = 3,00.102. Faça 
esta operação na calculadora e arredonde em seguida para conferir o resultado. 
Existe uma regra para considerar um número desprezível. Se julgarmos que um 
número é desprezível em relação ao outro, nem fazemos a operação, simplesmente 
copiamos o número de maior grandeza diretamente. Assim, para a operação 300 + 
0,00040 ou 3,00.102 + 4,0.10-4, saberá de antemão que não deverá fazer a operação. É 
regra da diferença de 3 no expoente. Exemplos: 
3,00.102 + 4,0.10-4 ���� 4,0.10-4 é desprezível, pois 2 – (-4) = 6 
1,23.104 + 5,66.107 ���� 1,23.104 é desprezível, pois 4 – 7 = -3 
5,554.10-5 + 2,99886.10-9 ���� 2,99886.10-9 é desprezível, pois -5 – (-9) = 4 
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3. Unidades de Medida 
O conceito de prefixo de unidade de medida deve levar em conta a unidade do 
SISTEMA INTERNACIONAL e o PREFIXO associado a ela. O prefixo é um símbolo 
anexado a unidade que substitui a potência da notação científica. Por exemplo: kilo 
significa 103 e tanto faz, do ponto de vista da exatidão da medida, se escrevemos 
3,00.103 g ou 3,00 kg, pois k equivale a 103. Esta notação é mais comum do nosso dia a 
dia do que podemos imaginar. E é por pura necessidade e facilidade de manuseio dos 
números. Imagine se tivéssemos que tratar de distâncias entre cidades, por exemplo, em 
metros, que a unidade no S.I.?! Deveríamos usar um monte de zeros ou a notação 
científica, complicando a pronúncia. E a memória em Byte de um pen drive? 2 GB seria 
2.000.000.000 (dois bilhões) Bytes ou 2.109 Bytes (2 vezes 10 elevado a nona Bytes). 
Melhor dizer 2 GigaBytes ou “2 giga”, popularmente. B é o símbolo de Bytes e G é o 
prefixo de Giga (109). Para estes casos, utilizamos os símbolos e os prefixos. No caso da 
distância, utilizamos quilômetros e no caso da massa de um caminhão, por exemplo, 
utilizamos toneladas, que equivale ao prefixo mega também, seja, 10 toneladas é igual 10 
Mg ou 107 g. Veja na tabela da página seguinte a relação de prefixos, suas equivalências 
e exemplos de uso. 
Antes de finalizarmos, mostramos como operar números contendo prefixos. A 
regra é simples: Se for soma ou subtração, iguale os prefixos da mesma forma que faz 
com as potências diferentes. Antes de mexermos nos números em si, devemos mexer 
nas potências, retirando os prefixos ou convertendo os prefixo menores (expoente 
negativos) nos prefixos maiores (expoentes positivos), idênticos ao da unidade já 
presente na operação. Exemplos: 
3,00 km + 260 m = 3,00 km + 260.10-3 km = 3,00 km + 0,260 km = 3,26 km. 
4,68 Kg – 25,4 mg = 4,68 kg - 25,4.10-6 kg = 4,68 kg – 0,0000254 kg = 4,68 kg. 
Em multiplicação, devemos converter todas as unidades para o sistema S.I., ou 
seja, retirar os prefixos e multiplicarmos também as unidades. Exemplos: 
3,00 km x 260 m = 3,00.103 m x 2,60.102 m = 7,8.105 m2. 
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2,92 mA x 4,5 s = 2,92 10-3 A x 4,5 s = 0,013 A.s = 13 mC, pois 0,013 = 13.10-3, 
10-3 = m (mili) e corrente (A) vezes tempo (s) = carga (C). Em alguns casos, não é 
necessário convertemos as unidades para o sistema S.I., por conveniência prática, como 
cálculo de área em quilômetros, por exemplo: 10 km x 5,5 km = 55 km2. Entretanto, a 
situação mais comum dentro da pesquisa científica é convertermos todas as unidades 
para o S.I. fazer a operação, o que muito provavelmente resultará na conversão de 
algumas grandezas em outras , como A.s = C e, somente depois, caso seja conveniente, 
adequar o resultado para a grandeza mais adequada, como em mC, no exemplo acima. 
 
Tabela de prefixos usados, alguns usados somente na literatura cientifica. 
Prefixo Símbolo do Prefixo Fator de multiplicação Exemplo 
yocto y 10-24 yoctogramas (yg) 
zepto z 10-21 zeptometro (zm) 
ato a 10-18 atovolts (aV) 
femto f 10-15 femtometro (fm) 
pico * p 10-12 picolitro (pL) 
ângstron * Å 10-10 m Especifico para comprimento 
nano * n 10-9 nanômetro (nm) 
micro * µ 10-6 microlitro (µL) 
mili * m 10-3 milivolt (mV) 
centi * c 10-2 centímetro (cm) 
deci d 10-1 decibel (dB) 
Unidade SI 100 L, g, m, etc. 
deca da 101 decâmetro (Dm ou dam) 
hecto h 102 hectolitro (hL) 
kilo * k 103 kilômetro (km) 
mega * M 106 megawatt (MW) 
tonelada ton 106 g Especifico para massa 
giga * G 109 gigabyte (Gb) 
tera * T 1012 terabytes (Tb) 
peta P 1015 petâmetro (Pm) 
Exa E1018 exalitro (EL) 
zeta Z 1021 zetaohm (ZΩ) 
yota Y 1024 yotametro (Ym) 
Nós usaremos com freqüência os prefixos anotados com asteriscos. Construa uma 
tabela somente com estes prefixos para ter em mãos e memorizar. É obrigação 
dominar estes prefixos. 
 
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Muitas vezes, podemos representar números finais (após as operações) sem a 
notação cientifica, quando o expoente for -1 ou 1. Exemplos: pode-se representar 45 em 
vez de 4,5 101; 0,56478 em vez de 5,6478.10-1. Algumas vezes isso vale para -2 e 2, mas 
quase nunca para 3 e -3, pois entram em jogo os prefixo kilo e mili. Vocês saberão no 
decorrer do curso quando esse for o caso, mas adianto que é ou por praticidade ou por 
familiaridade dos números. Assim, 2,50.102 m será 250 m e 0,025 g será 25 mg. Não 
percamos a idéia por trás do uso da notação científica e dos prefixos: facilitar seu uso e a 
representação dos números. Assim, se a notação científica ou os prefixos complicarem 
os números sem estas representações, não devem ser usadas. 
 
1ª Lista de Exercícios 
1. Quantos algarismos significativos há nos números abaixo? 
a) 3,98 b) 0,0778 c) 234,0 d) 0,003 c) 9,1570 d) 1,06 e) 708,09 
2. Quais as regras para arredondamento de um número? Fale sobre o 
arredondamento subseqüente. 
3. Elimine um algarismo dos números abaixo, seguindo as regras de 
arredondamento. 
a) 0,9808 b) 0,00723 c) 234,5 d) 0,0505 c) 34,00 d) 2,012 e) 708 
4. Faça as operações se soma e subtração abaixo, arredondando previamente a 
quantidade de casas decimais. 
a) 0,9808 + 56,8 b) 8,9 - 0,0723 c) 67 + 234,5 d) 0,0505 + 34,00 
5. Faça as operações se multiplicação e divisão abaixo, arredondando o resultado 
com base no número de algarismos significativos do número menos preciso. 
a) 0,2808 . 6,80 b) 0,0009 / 0,0723 c) 607 / 34,508 d) 1,0008 . 4,00 
6. Faça as operações de proporção e razão abaixo, mantendo o número de 
algarismos significativos inalterados. 
a) a metade de 0,2007 b) dez vezes mais que 1,0723 c) um milésimo de 7900. 
7. Determine o valor de x nas expressões abaixo. 
a) x = ( - 0,335 + 4,05)2 . ½ 3,06 + (0,458 – 10,4)1/2 
b) x = ½(2,335 + 24,9) . 2,7906 + ¼ (0,458 – 10,4 . 0,00474) 
c) x = ½(2,335 + 24,9) . 2,7906 + ¼ (0,458 – 10,4 . 0,00474) 
Nota: a potenciação preserva os algarismos significativos, pois significa o número multiplicado por 
ele mesmo n vezes. Um número elevado a meio (½) significa a raiz quadrada deste número, da 
mesma forma que elevado a 1/3 significa raiz cúbica deste número e assim por diante. 
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8. Represente os seguintes valores em notação científica, mantendo todos os 
algarismos significativos. 
a) 60,002; b) 0,0093; c) 120000; d) 1 bilhão, duzentos e trinta mil e quatrocentos. 
9. Ajuste a notação científica dos valores abaixo, caso não estejam corretos. 
a) 95,2.10-3; b) 0,993.104; c) 192,0000.1012; d) 3401.107; e) 0,00023.1012; f) 100,3.10-22. 
10. Faça as operações com os expoentes das bases nos casos abaixo. 
a) 108 . 106 = b) 1012 / 104 = c) 105 . 10-3 = 
d) 10-4 . 102 = e) 10-6 . 10-3 = f) 106 / 10-2 = 
g) 10-2 / 107 = h) 10-4 / 10-12 = i) 10-9 / 10-2 = 
11. Ajuste os expoentes nas operações abaixo para torná-los de mesma base para 
operações de soma e subtração. Em seguida, faça a operação. 
a) 2,2105.102 + 9,5.10-2 = 
b) 1,044.10-5 - 9,2.10-6 = 
c) 4,31.105 - 1,2.103 = 
d) 9,92.104 + 8,28.10-2 = 
e) 3,39.103 - 3,4.10-3 = 
12. Represente a equação toda em notação científica e faça as operações 
multiplicação e divisão abaixo, mantendo os algarismos significativos e 
representando corretamente a resposta em notação cientifica. 
a) 2,2.102 / 255 = 
b) 1,044.10-4 / 9,2.10-3 = 
c) 192,0 . 4,2.10-3 = 
d) ½.0,00158 . 25 = 
e) 0,00023.1012; 95,2.10-3 = 
13. Represente as medidas abaixo utilizando prefixos para tornarem mais fáceis de 
representar. 
a) 2,2105.1011 m b) 1,044.10-5 A c) 4,31.105 V 
d) 8,28.10-2 J e) 3,39.10-9 C c) 4,31.105 g 
14. Converta as medidas abaixo para suas unidades básicas sem prefixo e 
represente os valores em notação científica. 
a) 342 km = b) 1,87 mg = c) 2,10 Å = 
d) 600 ton = e) 240 MB = f) 3,66 pL = 
15. Faça as operações abaixo representando o resultado o mais conveniente 
possível pela utilização de prefixos e comparando com a representação na unidade 
sem prefixo. 
a) 8,02 km + 400m = b) 5,7 g – 500 mg = c) 2,10 Å . 440 nm = 
d) 240 MJ / 100 J = e) 60 GB - 460 MB f) (3,66 mm)3 =