Apostila de álgebra linear Cap 2

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1 
CAPITULO 2 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
1 - Introdução 
 
A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador da álgebra linear. 
Muitos problemas de álgebra linear equivalem ao estudo de um sistema de equações 
lineares. 
 
Todas as nossas equações envolverão números que chamaremos de escalares (ou 
constantes) que admitiremos pertencer ao conjunto dos números reais R. As soluções das 
equações lineares também serão procuradas em R. 
 
2 - Equações Lineares 
 
Uma equação linear a n incógnitas é uma equação da forma 
bxaxaxa nn  2211
(1) 
Onde os escalares 
naaa ,,, 21 
 são os coeficientes das incógnitas 
nxxx ,,, 21 
 e o escalar b 
é o termo independente da equação. 
 
Encontrar uma solução para essa equação é encontra uma n-upla de números reais 
 nbb ,,1 
 que torne 
bxaxaxa nn  2211
 uma afirmação verdadeira. 
 
Exemplo 1: Na equação 
62 x
 temos: 
 
 A incógnita: x 
 O coeficiente de x: 
2a
 
 O termo independente: 
6b
 
 
Uma solução para essa equação é 
3x
, pois 
63.2 
. 
Observe que esta é a única solução. 
 
Exemplo 2: Para a equação 
032  zyx
 temos: 
 
 As incógnitas: x, y e z 
 Os coeficientes: 








3:z de
2:y de
1: xde
3
2
1
a
a
a
 
 O termo independente: 
0b
. 
 
A terna ordenada 
 0,1,2
 é uma solução desta equação, pois 
00220.31.22 
 
 
 2 
Também é solução a terna 
 1,2,1
, pois 
03411.32.21 
 
No entanto 
 3,0,1
 não é solução, pois 
0109013.30.21 
 
 
Equações Lineares com uma incógnita 
 
Considere a equação linear 
bax 
. Podemos mostrar que 
 Se 
0a
, então 
a
b
x 
 é solução única de 
bax 
. 
 Se 
0a
, mas 
0b
, 
bax 
 não tem solução 
 Se 
0a
 e 
0b
, qualquer escalar k é solução de 
bax 
. 
 
Exemplo 1: Resolva 
614  xx
 
 
solução unica a é 
3
7
7
3
73
164
614









x
b
a
x
xx
xx
 
 
Exemplo 2: Resolva 
352  xxx
 
 
solução temnão equaçãoA 
8
0
80
532








b
a
x
xxx
.
 
 
Exemplo 3: Resolva 
xxx  1234
 
 
solução ék escalar Qualquer 00
4312


x
xxx 
 
Equação Linear com duas incógnitas 
 
Considere a equação linear 
cbyax 
 onde 
Rcba  e ,
. Caso esta equação tenha solução 
esta será um par de reais 
 21,kku 
 que podem ser determinados atribuindo um valor 
arbitrário a x e resolvendo em relação a y, ou vice-versa. O conjunto de todas as soluções 
desta equação corresponde a uma reta no plano. Essa reta é o gráfico da equação. 
 
Exemplo: Seja a equação linear 
42  yx
. 
 
Fazendo 
2x
 temos: 
 3 
 
844
42.2


yy
y
 
Assim o ponto 
  282 R ,
 é solução. 
 
Fazendo 
0x
 temos: 
440
40.2


yy
y
 
Logo, o ponto 
  240 R,
 também é solução 
 
Usando estes dois pontos podemos esboçar o gráfico da equação. 
 
 
 
 
3 - Sistemas de Equações Lineares 
 
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de 
equações lineares do tipo: 
 










mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




2211
22222121
11212111
 
Onde os 
iij ba ,
 são números reais e 
mi 1
 e 
nj 1
. 
Se m = n chamamos o sistema de sistema linear de ordem n. 
Se 
021  mbbb 
 o sistema é dito homogêneo. 
Uma solução para esse sistema é uma n-upla 
 ncc ,,1 
 de números reais que satisfaça as 
m equações do sistema simultaneamente. 
O conjunto de todas as soluções é chamado de solução geral do sistema. 
 
x 
y 
4 
-2 
8 
 4 
Exemplo 1: Uma solução para o sistema 





03
102
:
yx
yx
S
 é a dupla 
 2,6 
. 
De fato  
 




06623.
1021226.2
 
 
 
Exemplo 2: O sistema 





1
622
yx
yx
 não admite solução. 
De fato, as retas que cada uma das equações representa são paralelas e, portanto, não se 
interceptam. 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: O sistema 





333
1
yx
yx tem infinitas soluções 
 
x 
y 
2 1 
2 
1 
x 
y 
6 
-2 
10 
Geometricamente, vemos que 
esta é a única solução, pois é o 
ponto de interseção das duas 
retas. 
absurdo! 62
6222
6)1(22
11




xx
xx
xyyx
 
 5 
 
 
 
Exemplo 4: O sistema 








3
1
0
x
yx
yx
 não tem solução. 
Substituindo 
3x
 nas duas equações anteriores 
 
213
303


yy
yy 
Logo, não existe uma dupla 
 y,3
 que satisfaça simultaneamente as duas equações. 
Geometricamente vemos que não existe um ponto comum às três retas. 
 
 
 
Um sistema pode não ter solução, ter uma única solução ou ter infinitas soluções, conforme 
vimos nos exemplos acima. 
Podemos então classificar os sistemas lineares pelo número de soluções. 
 
Definição: Se um sistema linear S não admite solução dizemos que S é impossível. 
 Se S admite uma única solução dizemos que S é possível determinado. 
 Se S admite infinitas soluções, S é dito possível indeterminado. 
 
 
Esquematicamente temos: 
x 
y 
2 
3 
-3 
x 
y 
1 
1 
 
y.qualquer e qualquer x 
para válidaigualdade33
3333
3133
1




xx
xx
xy
 
 6 
 
 
 
Exemplo 1: O sistema 








523
2000
1
:
yx
zyx
zyx
S
 é impossível, pois nenhuma terna de números 
reais satisfaz a segunda equação. 
 
Exemplo 2: O sistema 








0
0
1
:
zx
yx
x
S
 é possível determinado, pois sua solução é a terna 
 1,1,1 
. 
 
Exemplo 3: O sistema 





0
0
:
zx
yx
S
 é possível indeterminado, pois cada terna do tipo 
   ,,
 onde

 é solução deste sistema. 
 
4 - Sistemas e Matrizes 
 
Dado um sistema linear 










mnmxmm
nx
nx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S




211
2222121
1112111
: 
 
Podemos escrevê-lo na forma matricial 
Sistemas lineares 
Possível Impossível 
Nenhuma 
Solução 
Determinado Indeterminado 
Única 
Solução 
Infinitas 
Soluções 
 7 





































mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
21
22221
11211
 ou 
 
BXA .
 onde 
 











mnm
n
aa
aa
A



1
111
 é a matriz dos coeficientes. 
 











nx
x
X 
1
 é a matriz das incógnitas. 
 











mb
b
B 
1
 é a matriz dos termos independentes. 
 
Outra matriz associada ao sistema S é a sua matriz ampliada. 
 












mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa




21
222221
111211Exemplo 1: Para o sistema 





0714
132
:
zyx
zyx
S
 temos: 
 
 Forma matricial: 

























0
1
7141
132
z
y
x
 
 
 Matriz ampliada: 








07141
1132 
 8 
Exemplo 2: Dado o sistema 








523
4452
134
zyx
zyx
zyx
 temos: 
 
 












231
452
341
A
 











z
y
x
X
 











5
4
1
B
 
 
A matriz ampliada do sistema é 












5231
4452
1341
M
 
 
Exemplo 3: Se 












10032
21001
32100
M
 é a matriz ampliada de um sistema S então 








132
2
32
:
yx
tx
tz
S
 
 
Sistemas Equivalentes 
 
Dado um sistema de equações S, podemos efetuar algumas operações sobre a linha da 
matriz ampliada associada a S de modo que toda solução de S é solução do novo sistema 
obtido e vice-versa (caso exista). Isto é, de modo que o novo sistema seja equivalente a S. 
 
i) Permutação da i-ésima linha com a j-ésima linha
 
ji LL 
 
 





















301
413
902
902
413
301
31 LL
 
 
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k 
 ii kLL 
 
 












32
105
5
32
21
1 iLL
 
 
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha 
 
jii kLLL 
 
 9 
 
























833
131
795
3
833
131
402
211 LLL
 
 
Definição – Sejam A e B matrizes 
nm
dizemos que A e B são linha - equivalentes se uma 
foi obtida da outra através de um número finito de operações elementares. 
Neste caso escrevemos A ~ B. 
 
Exemplo: A matriz









 

62
41
42
A
é linha – equivalente a matriz 











10
01
00
B
 
 
BLLLLLL
LLLLLLLLA





















 










 























 










 

10
01
00
12
10
01
120
4
10
41
120
2
1
20
41
120
2
62
41
120
2
62
41
42
311322
33233211
 
 
Definição 2 – Dois sistemas são ditos equivalentes se, e somente se toda solução de 
qualquer um dos sistemas também é solução do outro. 
 
Teorema: Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas linha – equivalentes são 
equivalentes. 
 
Segue deste teorema que se S1 ~ S, então toda solução de S é solução de S1 e vice-versa. 
Em particular, se S1 é impossível, o mesmo acontece com S. 
Logo, para encontrarmos as soluções de um sistema linear S, convém encontrar um sistema 
linear S1 equivalente a S e que seja “mais simples”. Tais sistemas são chamados de sistemas 
escalonados. 
 
Forma Escada de Uma Matriz 
 
Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se: 
i) Todas as linhas nulas se houver, estão na base da matriz 
ii) Cada elemento principal não-nulo esta à direita do elemento principal não-nulo da linha 
precedente. 
iii) Cada elemento principal não-nulo é 1. 
iv) Cada elemento principal não-nulo é o único elemento não-nulo em cada coluna. 
 
 10 
Observe que se A é uma matriz linha reduzida à forma escada então o número de zeros 
precedendo o primeiro elemento não-nulo de uma linha aumenta em cada linha, ate que 
sobrem somente linhas nulas, se houver. 
 
Exemplo 1: Estão na forma escada. 
 







10
01
A
 














000000
210000
301000
400310
B 
 











 

00000
00000
21000
10321
C 
  nmD  0
 
 
Exemplo 2: Não estão na forma escada 
 
 
)
21000
00000
10310
iA 









 

 
)
000
301
110
iiB 











 
 
 
 
)
))
0000000
2500000
0231100
6540232
iii
iveiii
C
















 
)
000
100
321 iv
D












 
 
Teorema: Toda matriz A é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma 
escada. 
 
Algoritmo para escalonamento de uma matriz 
 
(1) Determinar a primeira coluna com um elemento não-nulo. Digamos J1. 
(2) Permutar as linhas de modo que 
0
11
ja
 
(3) Multiplicar a primeira linha L1 por 
11
1 ja
. 
 1
11
ja
 
(4) Usar 
1
11
ja
 como pivô para zerar os demais elementos da coluna J1, aplicando a 
operação: 
11
LaLL ijii 
. 
(5) Repetir os passos 1, 2 e 3 com a submatriz formada por todas as linhas exceto a 
primeira. 
(6) Repita o passo 4 para todas as linhas da matriz original. 
(7) Continue o processo ate que a matriz esteja na forma escada. 
 11 
 
Exemplo 1: Vamos reduzir à forma escada a matriz 














3463
2242
0321
A
 
 
33233211
22133122
2
21000
21100
23021
5
3500
21100
23021
3
3500
21100
0321
41
3500
2400
0321
3
3463
2400
0321
2
3463
2242
0321
LLLLLLLL
LLLLLLLL
































 










 



























 
 
































1000
0100
0021
23
1000
0100
23021
21
1000
21100
23021
311322 LLLLLL
 
 
Exemplo 2: Se 








3463
2242
032
:
zyx
zyx
zyx
S
 então a matriz ampliada associada a S é: 














3463
2242
0321
A
 que é linha equivalente à matriz 











1000
0100
0021
B
 
Assim, S é equivalente ao sistema 








10
0
02
:1 z
yx
S
 que é impossível. 
Logo, S também é impossível. 
 
Exemplo 3: Resolva por escalonamento o sistema 








336
22
1
:
zyx
zyx
zyx
S
 
 
22133122 21
2250
1120
1111
3361
1120
1111
3361
2211
1111
LLLLLLLL 

































 
 12 










































































1
0
0
1100
0010
0001
2
1
1100
212110
0001
2
3
1100
212110
232301
9
2
292900
212110
232301
5
2250
212110
232301
2250
212110
1111
1
32231133
233211
z
y
x
S
LLLLLLLL
LLLLLL
:
 
Logo, a única solução deste sistema é 
 1,0,0
. 
Portanto S é possível determinado. 
Exemplo 4: Resolva por escalonamento o sistema 








157
0152
552
:
yx
zyx
zyx
S
 
 

































































































zy
zx
zy
zx
S
LLLLLL
LLLLLLLL
2
71
00
2
17
0000
2110
1701
5
10550
2110
1701
2
10550
2110
5521
5
1
10550
10550
5521
15071
10550
5521
2
15071
01512
5521
1
233211
22133122
:
 
Logo, toda terna do tipo 
 zzz ,2,71 
 é solução de S1, e conseqüentemente de S. 
 
    /,2,71:S 
 
 
 
 
 13 
Método de Gauss 
 
O método de Gauss para resolução de sistema é um dos mais adotados quando se faz uso do 
computador, devido ao menor número de operações que envolve. 
Ele consiste em reduzir a matriz ampliada do sistema por linha – equivalência a uma matriz 
que só é diferente da linha reduzida à forma escada na condição ii) que passa a ser: 
ii) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os 
elementos abaixo desta linha iguais a zero. 
As outras condições são idênticas. 
Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução do sistema é obtida por 
substituição. 
 
Exemplo: Resolva utilizando o método de Gauss o sistema 








677
3252
4
zyx
zyx
zyx
 
 



































































3
5
3
4
4
0000
353410
4111
6
10860
353410
4111
3
1
10860
5430
4111
6771
5430
4111
2
6771
3252
4111
233
22133122
zy
zyx
S
LLL
LLLLLLLL
:
 
Fazendo as devidas substituições temos: 
 
zx
zx
zzx
zy
3
7
3
17
3
5
4
3
7
4
3
4
3
5
3
4
3
5




 
 
Logo o sistema é possível indeterminado e sua solução é: 
 
 14 














  /,
3
4
3
5
,
3
7
3
17
:S
 
 
Posto e Nulidade de uma Matriz 
 
Definição: Sejam 
nmA 
uma matriz e 
nmB 
a matriz linha reduzida à forma escada 
equivalente a A. 
O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não-nulas de B. 
A nulidade de A é dada por n – p. 
 
Exemplo: Determine o posto e a nulidade da matriz 
















4350
1100
3140
2310
A 
BLLL
LLLLLLLL
LLLLLLLLL
LLLLLLLL



















































 












 












 















































































0000
1000
0100
0010
32
32000
1000
0100
0010
32000
1000
1100
0010
5
32000
1000
1100
5010
24
1
32000
24000
1100
5010
3
32000
24000
1100
2310
18
141800
24000
1100
2310
13
141800
111300
1100
2310
141800
1100
111300
2310
5
4350
1100
111300
2310
4
4350
1100
3140
2310
344
32231133
211244233
23144122
 
Temos então: 
Posto de A: p = 3 
Nulidade de A: N = 4 – 3 = 1 
 
 15 
Podemos relacionar o número de soluções de um sistema linear S com o posto e a nulidade 
da matriz ampliada associada a S através do seguinte teorema 
 
Teorema: Seja S um sistema com m equações e n incógnitas. 
i) S admite solução 

 o posto da matriz ampliada (PA) é igual ao posto da matriz dos 
coeficientes (PC) 
ii) Se as duas matrizes têm posto p e p = n, a solução será única. 
iii) Se as duas matrizes têm posto p e p < n, o sistema admite infinitas soluções. 
Neste caso, podemos escolher n – p incógnitas e escrever as outras p incógnitas em 
função destas. n – p é chamado de grau de liberdade do sistema. 
 
Observe que n – p é a nulidade da matriz dos coeficientes de S. 
 
Exemplo 1: Resolva o seguinte sistema 








12433
3322
542
tzyx
tzyx
tzyx
S :
 
 




































































00000
77100
910011
2
00000
77100
54211
2
1414200
77100
54211
3
12433
77100
54211
2
12433
31322
54211
211233
133122
LLLLLL
LLLLLLM
 
PC = PA = 2 e n = 4 

 o sistema possui infinitas soluções. 
n – p = 4 – 2 = 2 

 o grau de liberdade do sistema é 2, isto é, escrevemos duas incógnitas 
em função das outras duas. 
 





77
910
:~ 1
tz
tyx
SS
 
 
Fazendo 
y
 e 
t
 temos 















t
z
y
x
77
109
 
 
Logo, a solução geral do sistema é: 
 
    ,/,,, 77109S 
 
 16 
Exemplo 2: Resolva o seguinte sistema








5475
3332
432
:
tzyx
tzyx
tzyx
S
 
 







































15141420
57710
43211
5
51475
57710
43211
2
51475
31332
43211
133122 LLLLLL
 



































































10000
07710
010901
5
10000
57710
010901
9
10000
57710
910901
5
1
50000
57710
910901
2
15141420
57710
910901
322311
33233211
LLLLLL
LLLLLLLL
 
Logo, temos: 
PA = 3 e PC = 2 

 O sistema não tem solução. 
 
Exemplo 3: Resolva o sistema








523
452
32
:
zyx
zyxzyx
S
 
 









































































3100
10310
23701
28
1
842800
10310
23701
8
4480
10310
23701
2
4480
10310
3121
3
5123
10310
3121
2
5123
4152
3121
33233211
133122
LLLLLLLL
LLLLLL
 






















3100
1010
2001
3
3100
10310
2001
7 322311 LLLLLL
 
 
Logo temos: 
PA = PC = 3 e n = 3  O sistema possui solução única. 
 17 
  3,1,2
3
1
2
1 








 S
z
y
x
S
 
 
Exemplo 4: Determine os valores de k de modo que o sistema








23
332
1
zkyx
kzyx
zyx
S :
 tenha: 
a) Solução única 
b) Nenhuma solução 
c) Infinitas soluções 
 
Resolveremos este problema analisando o posto da matriz ampliada do sistema quando 
reduzida à sua forma escada. 
 
 
 
 
  































































 
kkk
k
k
LkLL
k
k
k
LLL
k
kLLL
k
kLLL
k
k
22)3(00
1210
0301
1
1410
1210
0301
1410
1210
1111
231
1210
1111
2
231
332
1111
233
211133122
 
Vamos analisar Os possíveis valores de k 
 Se 
2k
então, 
3L
 é nula e segue daí que 
2 CA pp
 e 
3n
o que nos dá infinitas 
soluções. 
 
 Se 
3k
então, 
3Ap
, 
3n
 e 
2Cp
, neste caso o sistema não tem solução 
 
 Se 
2k
 e 
3k
 então, 
3 AC pp
 e 
3n
daí o sistema só admite a solução trivial. 
 
5 – Sistemas Homogêneos de Equações Lineares 
 
Definição: Chamamos de sistema homogêneo com m equações e n incógnitas ao sistema 
cujos termos independentes, 
ib
, são todos nulos. 










0
0
0
211
222121
112111
nmxmm
nx
nx
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
S




: 
 
 18 
Os sistemas homogêneos sempre admitem a solução trivial 
 0000 ,,, 
. Qualquer outra 
solução, se existir, é chamada de não trivial. 
 
Considerando a matriz M reduzida à forma escada de um sistema homogêneo, chegamos a 
seguinte conclusão: 
Se p é o posto de M então, há duas possibilidades para a solução geral: 
i) Se 
np 
, o sistema tem apenas a solução trivial; 
ii) Se 
np 
, o sistema tem infinitas soluções; 
 
Assim se o sistema tiver menos equações do que incógnitas então, na forma escada teremos 
automaticamente 
np 
, pois 
mp 
 por definição e 
nm 
 por hipótese e 
conseqüentemente o sistema terá infinitas soluções. 
 
Exemplo 1: Determine a solução geral do sistema 









0223
042
0
zyx
zyx
zyx
S
 
Podemos escalonar a matriz dos coeficientes do sistema, pois sendo um sistema homogêneo 
a última coluna da matriz ampliada é composta só por zeros. 
 































 










 

















































 














100
010
001
2
1
100
2110
001
2
3
100
2110
2301
11
2
21100
2110
2301
510
2110
2301
510
2110
111
2
1
510
120
111
3
223
120
111
2
223
142
111
322
31133233211
22133122
LLL
LLLLLLLLLLL
LLLLLLLLA
/
/
/
/
/
/
/
/
/
 
Como 
3 np
temos que o sistema admite somente a solução trivial. 
 
Exemplo 2: Determine a solução geral do sistema 









0532
023
032
wzyx
wzyx
wzyx
S
 
 
Observe que o sistema possui 3 equações e 4 incógnitas logo, possui solução não trivial. 
Vamos determinar essas soluções: 
 
 19 





































































































































8100
7010
11001
8100
1110
11001
8100
1110
3101
8100
1110
3101
5
3450
1110
3101
2
3450
1110
1321
3
1
3450
3330
1321
3330
3450
1321
2
5312
3450
1321
5312
2131
1321
322
31133233
2112232
133122
LLL
LLLLLLLL
LLLLLLL
LLLLLLA
 
 









08
07
011
wz
wy
wx
S
 . Assim, tomando 
w
 temos que 











8
7
11
z
y
x
. 
 
Portanto a solução geral do sistema é 














1
8
7
11
X . 
 
 
Sistemas Homogêneos X Sistemas Não Homogêneos 
 
Dado um sistema linear 
BAX 
, dizemos que 
0AX
 é o sistema linear homogêneo 
associado a ele. 
As soluções de 
0AX
 são úteis na determinação da solução geral do sistema 
BAX 
 
como mostra o teorema abaixo. 
 
Teorema: Dado o sistema linear não homogêneo 
BAX 
, temos que a sua solução geral é 
dada pela soma da solução geral do sistema homogêneo associado 
0AX
 com uma 
solução particular de 
BAX 
, isto é: 
WvX  0
 
 20 
Onde 
0v
 é uma solução particular de 
BAX 
 e W é a solução geral de 
0AX
. 
 
Exemplo: Determine a solução geral do sistema 









194532
188383
5423
tzyx
tzyx
tzyx
S
 
 
Escalonando a matriz ampliada associada a S temos: 
 











































































343
1487
00000
34310
148701
3
912930
34310
148701
3
912930
34310
54231
2
194532
34310
54231
3
194532
188383
54231
233211
133122
tzy
tzx
S
LLLLLL
LLLLLLM
 
Em forma matricial temos: 








































1
0
4
8
0
1
3
7
0
0
3
14
tzX . 
 
Observe que 
 00314 ,,,
 é uma solução particular de S, bastafazer 
0 tz
. 
É fácil ver que a matriz reduzida à forma escada do sistema homogêneo associado a S é 












0000
4310
8701
 
Assim temos que o sistema homogêneo é equivalente ao sistema 





043
087
tzy
tzx
 cuja 
solução geral é 



























1
0
4
8
0
1
3
7
tzX 
 
 21 
Logo temos que a solução geral de S é 
WvX  0
onde 













0
0
3
14
0v é uma solução particular 
de S e 



























1
0
4
8
0
1
3
7
tzW é a solução geral do sistema homogêneo associado a S.