Estruturas Algébricas_gabaritoIII

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se
a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O
conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G
contendo a. O elemento a diz-se um representante da
classe lateral aH (ou Ha). Considere H = { 0, 3,  5 }
subgrupo de (Z ,+). Determine o número de classes
laterais distintas que podemos encontrar de H.
15
1
2
3
5
10
A
B
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Veja que o grupo (Z ,+)  é abeliano. Usando o
Teorema de Lagrange encontramos 5 classes
laterais distintas.
15
|G : H| = = = 5
|G|
|H|
15
3
2 Marcar para revisão
O isomorfismo de grupos desempenha um papel
importante dentro da álgebra, pois através dele
podemos comparar duas estruturas e verificar se elas
são semelhantes. Ou seja, se elas possuem as mesmas
propriedades algébricas. O grupo  G = {e,a,b,c} é
isomorfo ao multiplicativo G = {1,i,-1,-i}. Marque a
alternativa que indica a tábua do grupo G . 
1
2
1
C
D
E
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Seja G = {e,a,b,c} e G = {1,i,-1,-i} dois grupos
isomorfos. Então os elementos desses grupos que
possuem características comuns. Vamos verificar
a bijeção entre os elementos desses grupos.
Podemos ter a seguinte bijeção, por exemplo:
e → 1
a → i
b → -1
c → -i
Construir a tábua de G = {1,i,-1,-i}
1 2
2
Agora podemos construir a tábua de G de acordo
com a bijeção apresentada e a tábua de G .
Note que na bijeção levamos o elemento neutro de
G no elemento neutro de G . Logo, ee = e. A
primeira linha e a primeira coluna permanecem
com os mesmo elementos da linha e coluna
fundamental. Os demais elementos da tábua
devem ser determinados do seguinte modo:
a·a=i·i  olhar a bijeção a→i. Substituir a por i.
Olhar na tábua de G  o resultado da operação de
i·i. 
i·i=-1 e -1 está associado a b → -1. Logo, na tábua
de G  teremos a operação a·a=b. 
Esse é o procedimento para encontrarmos todos
os compostos da tábua de G .
1
2
1 2
2
1
1
3 Marcar para revisão
Seja S = {1,2,3,⋯,n} um conjunto não vazio e
denotamos por S o conjunto de todas as funções
bijetoras, onde S = {f:S→S; f bijetiva}. Considerando
uma operação "o" chamada de composição de
funções dizemos que (S ,o) é um grupo chamado de
grupo das permutações dos n elementos do conjunto
S. Dado  em S , determine
α .
n
n
n
α = ( 1 2 3 4 5
3 4 5 2 1
) 5
-1
A
B
C
D
E
( 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
)
( 1 2 3 4 5
5 4 1 2 3
)
( 1 2 3 4 5
4 2 5 3 1
)
( 1 2 3 4 5
3 5 1 2 1
)
( 1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
)
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Cálculo de α .-1
4 Marcar para revisão
Seja S = {1, 2, 3, ..., n}  um conjunto não vazio e
denotamos por S o conjunto de todas as funções
bijetoras, onde S  = {f:S→S; f bijetiva}. Considerando
uma operação "o" chamada de composição de
funções dizemos que (S ,o) é um grupo chamado de
grupo das permutações dos n elementos do conjunto
n
n
n
Questão 5 de 10
Corretas (9)
Incorretas (1)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Grupos De… Sair
A
B
C
D
E
S. Considerando a tábua de operação de S , marque a
alternativa que indica o subgrupo de .
3
R 2π
3


[R ] = {Iid,R }2π
3
4π
3


[R ] = {Iid,R ,R }2π
3
2π
3
4π
3


[R ] = {Iid,R ,F2}2π
3
2π
3


[R ] = {F1,R ,R }2π
3
2π
3
4π
3


[R ] = {Iid,F1,F2,F3}2π
3
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
De acordo com a tábua o elemento neutro é
 (identidade). Vamos determinar as potências de 
 e devemos parar quando encontramos a
identidade.
Iid
R 2π
3
A
B
C
D
E
5 Marcar para revisão
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se
a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O
conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G
contendo a. O elemento a diz-se um representante da
classe lateral aH (ou Ha). Dada a tábua de operação
do grupo quociente (G/H,+), onde H = {0,4,8} é um
subgrupo de G=(Z ,+), determine o inverso de 1 + H.12
H
1 + H
2 + H
3 + H
4 + H
A
B
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D.
Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para encontrar o inverso de um elemento em um
grupo, precisamos encontrar outro elemento que,
quando operado com o primeiro, resulte no
elemento neutro do grupo. No caso do grupo
quociente G/H, o elemento neutro é H. Portanto,
estamos procurando um elemento que, quando
somado a 1 + H, resulte em H. Observando as
opções, vemos que (1 + H) + (3 + H) = H.
Portanto, o inverso aditivo de 1 + H é 3 + H, que
corresponde à alternativa D.
6 Marcar para revisão
Seja S={1,2,3,⋯,n} um conjunto não vazio e
denotamos por S_n o conjunto de todas as funções
bijetoras, onde S  = {f:S→S; f bijetiva}. Considerando
uma operação "o" chamada de composição de
funções dizemos que (S ,o ) é um grupo chamado de
grupo das permutações dos n elementos do conjunto
S. Dado 
 em
S , determine a ordem de β.
n
n
β = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 7 5 9 4 10 2 6 3 1
)
10
o(β) = 1
o(β) = 2
C
D
E
o(β) = 3
o(β) = 4
o(β) = 5
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A ordem da permutação dada é determinada
através do cálculo das potências. O critério de
parada é quando encontramos a identidade.
Portanto, a ordem da permutação é 4.
7 Marcar para revisão
O isomorfismo de grupos desempenha um papel
importante dentro da álgebra, pois através dele
podemos comparar duas estruturas e verificar se elas
são semelhantes. Ou seja, se elas possuem as mesmas
propriedades algébricas. Dada a tábua do grupo
multiplicativo H = {e, a, b, c, d, f} isomorfo ao grupo
aditivo Z , determine x ∈ G na equação bxc=a .6
-1
A
B
C
D
E
e
a
b
c
d
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Inicialmente devemos isolar x através das
propriedades de grupo.
bxc=a
b bxc=b a
exc=b a
xcc =b a c
xe=b a c
x=b a c
Agora devemos procurar na tábua o inverso de
-1
-1 -1 -1
-1 -1
-1 -1 -1 -1
-1 -1 -1
-1 -1 -1
A
B
C
D
E
cada elemento.
O inverso de b  é d, pois bd = db = e
O inverso de a  é f, pois af = fa = e
O inverso de c é c, pois cc = e
Temos: x= (df)c  
Na tabela df = c ⇒ x =cc
Na tabela cc = e ⇒x = e
-1
-1
-1
8 Marcar para revisão
Homomorfismo de grupos é um conceito importante e
presente, por exemplo, na álgebra linear no estudo das
transformações lineares. Sobre esse tema, Julgue as
afirmativas abaixo e marque a alternativa correta.
I - A função f:(Z,+)→(Z,+) definida por f(x)=8x+1 é um
homomorfismo.
II - A função g:(R,∙)→(R,∙) definida por g(x)=|x| é um
homomorfismo.
III - A funçãof:(R,+)→(R×R,+) definida por f(x)=
(2x,3x) não é um homomorfismo de grupo.
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
Apenas a afirmativa II está correta.
Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
Apenas a afirmativa III está correta.
As afirmativas I, II e III estão corretas.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Apenas a afirmativa II está correta.
I - Falsa, pois para quaisquer x,y em Z, temos:
f(x + y)= 8(x + y)+ 1 = 8x + 8y + 1 ≠ f(x)+ f(y).
Logo, f não é um homomorfismo de Z em Z.
II - Verdadeira, pois para quaisquer x,y em R,
temos: 
f(xy) = |xy| = |x||y| = f(x).f(y). Logo, f é um
homomorfismo de grupo.
III - Falsa, pois para quaisquer x,y em R, temos: 
f(x + y) = (2(x + y),3(x + y)) = (2x + 2y,3x + 3y) 
Analisandoo outro lado da igualdade, temos:
f(x) + f(y) = (2x,3x) + (2y,3y) = (2x + 2y,3x +
3y). 
Portanto, f(x + y) = f(x) + f(y).
Concluímos então que f é um homomorfismo.
9 Marcar para revisão
Seja H um subgrupo do grupo G. O conjunto aH diz-se
a classe lateral esquerda de H em G contendo a. O
conjunto Ha diz-se a classe lateral direita de H em G
contendo a. O elemento a diz-se um representante da
classe lateral aH (ou Ha). Sejam G=(Z ,+) e H =
{0,4,8} um subgrupo de G. A tábua do grupo
quociente (G/H,+) está logo abaixo, mas falta uma
operação. Marque a alternativa que indica o resultado
dessa operação.
12
A
B
C
D
E
H
1 + H
2 + H
3 + H
9 + H
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
De acordo com o enunciado (G/H,+) é um grupo
quociente, então todas as propriedades de grupos
são válidas. Na tábua de operação os elementos
do grupo configuram apenas uma vez na linha e
coluna da tabela. Portanto, o único elemento que
falta é a classe lateral 2 + H.
10 Marcar para revisão
Homomorfismo de grupos é um conceito importante e
presente, por exemplo, na álgebra linear no estudo das
A
B
C
D
E
transformações lineares. A função
 definida por
 é um homomorfismo de grupo.
Determine o núcleo da função .
f : Z × Z → Z × Z
f(x, y) = (x − y, 0)
f
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = 2y
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = −2y
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = y/2
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = y
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = −y
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa
correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O núcleo de uma função, no contexto de
homomorfismo de grupos, é o conjunto de todos
os elementos que são mapeados para o elemento
neutro do grupo. No caso do grupo , o
elemento neutro é (0,0). Portanto, o núcleo da
função , denotado por , é o conjunto de
todos os pares ordenados (x,y) tais que
.
A função é definida por .
Portanto, para que , é necessário
que , o que implica que .
Assim, o núcleo da função é o conjunto de
todos os pares ordenados (x,y) tais que , ou
Z × Z
f N(f)
f(x, y) = (0, 0)
f f(x, y) = (x − y, 0)
f(x, y) = (0, 0)
x − y = 0 x = y
f
x = y
seja, , que
corresponde à alternativa D.
N(f) = (x, y) ∈ Z × Z; x = y