Calculo I - Integrais Indefinidas + Lista 1

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SALA: ___ 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
2a Aula Introdução 
 
Integrais Indefinidas 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
Integral Indefinida 
 
Introdução 
 
Na matemática freqüentemente ocorre conhecer-se a derivada de uma função, e desejar-
se encontrar a função que a gerou. Por exemplo, conhecendo-se a velocidade dt
ds
v =
 
de uma partícula e deseja encontrar-se sua posição em determinado instante ""t , isto é, 
( )tfs = . Para resolver esse problema é necessário “desfazer” a derivação (ou 
diferenciação), isto é, tem-se de antiderivar a função. 
 
Definição: Uma função ( )xF é denominada uma antiderivada de ( )xf sobre um 
intervalo I se ( ) ( )xf
xd
xFd
= para todo x em I . 
Por exemplo, seja a função ( ) xxf = . Não é difícil descobrir uma anti derivada de 
( )xf caso se mantiver a regra da potência em mente. De fato se ( ) 2
2
1
xxF = , então 
( ) ( )xfx
xd
xFd
== . Mas, a função ( ) 22
1 2 += xxG também satisfaz ( ) x
xd
xGd
= . 
Conseqüentemente, ambas ( )xF e ( )xG são antiderivadas de ( )xf . Assim, qualquer 
função do tipo ( ) CxxH += 2
2
1
, onde C é uma constante, é uma antiderivada de ( )xf . 
 
Porém, a questão é: Afora esta família de antiderivas existem outras ? 
 
Lembrando que o Teorema do Valor Médio prova que se duas funções possuem 
derivadas idênticas, em um intervalo, então elas diferem apenas por uma constante. 
Assim, se ( )xF e ( )xG são duas antiderivadas quaisquer de ( )xf , então 
 
 
( ) ( ) ( )
xd
xGd
xf
xd
xFd
== 
logo ( ) ( ) ,CxGxF =− onde C é uma constante, ou seja, ( ) ( ) CxFxG += . Assim, 
pode escrever-se: 
 
Teorema: Se ( )xF for uma antiderivada de ( )xf em um intervalo I , então a 
antiderivada mais geral de ( )xf em I é 
 
 ( ) CxF + 
 
onde C é uma constante Arbitrária. 
 
Exemplo: Tomando a função 52 += xy , sua derivada é obtida, multiplicando-se a 
variável x pelo expoente 2 e em seguida subtraindo uma unidade do expoente de x , ou 
seja x
xd
yd 2= e a sua diferencial é dx
xd
yddy = , isto é, xdxdy 2= . Finalmente, a operação 
inversa é definida pela soma de uma unidade ao expoente da variável x , dividindo-a 
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 2 
por esse novo expoente e somando-se uma constante aleatória C à expressão obtida, 
que representa a constante 5 que desapareceu durante a derivação. Desta forma, a 
antiderivada (de x2 ) CxCx +=+






=
+
2
11
2
2 . Note-se que a função recuperada contém 
uma constante indeterminada, que se for derivada ( ) x
dx
Cxd 2
2
=
+
 será a mesma derivada 
da qual foi iniciada a antiderivada. 
 
 
Integral Indefinida de funções de uma variável 
 
Necessita-se de uma notação conveniente para as antiderivadas, que as torne fáceis de 
serem manipuladas. Assim, tradicionalmente adota-se para a antiderivada de 
antiderivada a denominação Integral Indefinida e cuja notação é ( )dxxf∫ . 
 
Integral Indefinida de funções de uma variável do tipo nx 
 
Se a derivada de uma função é nx
dx
dy
= , sua diferencial dy será dxxdy n= e sua integral 
(antiderivada) 
 
 ∫ ∫ +== Cdxxydy
n
, que resultará em 
 
 
( )







−=+
−≠+
+
=+
+
∫
1
1
1
1
nparaCxln
nparaC
n
x
Cdxx
n
n
 (01) 
 
Observação: Note-se que a primeira expressão não é válida para 1−=n , pois ter-se-ia 
∞===∫
−
0
1
0
0
1 xdxx , isto é, a integral não seria definida e real. Para resolver-se este 
problema foi necessário partir da função cuja derivada fosse igual a 
x
1
, isto é, 
( )[ ]
x
xn
xd
d 1
=l . 
 
Propriedade das integrais indefinidas: 
 
a) ( ) ( )∫ +=+′ cxfcdxxf 
 
b) ∫ +=+ cxcdx 
 
c) ( ) ( )∫ ∫= xdxfadxxaf sendo a uma constante. 
 
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 3 
d) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) xdxgbxdxfadxxbgxaf ∫∫ ∫ +=+ (distributiva). 
 
 
A expressão 01 é uma das mais usadas no cálculo integral, pois muitas integrais 
podem ser resolvidas por esta fórmula, pois n pode assumir qualquer valor 
positivo ou negativo, inteiro ou fracionário. 
 
 
Principais Fórmulas de Integrais 
 
1) 
( ) Cxn
x
dxdxx
nparaC
n
xdxx
n
n
+==
−≠+
+
=
∫∫
∫
−
+
l
1
1
1
1
 
2) ( ) ( ) Cxcosdxxsen +ω
ω
−=ω∫
1
 
3) ( ) ( ) Cxsendxxcos +ω
ω
=ω∫
1
 
4) Ce
a
dxe axax +=∫
1
 
5) ( ) ( ) Cxaxlnxdxaxln +−=∫ 
 
Exercícios: 
 
1) CxdxxI +== ∫ 6
6
5
 
 
2) Cx
mn
ndxxy n mnn m +
+
==
+
∫ 
 
3) Crrdrrs +== ∫ 55 6
5
 
 
4) Cttdt
tt
t
z +== ∫ 3
2
2
5
 
 
5) C
s
k
s
kdxI +−== ∫ 67 6 
 
6) Cxx
x
dxxy +== ∫
3 22
3
2
8
3
 
 
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 4 
7) Cedxe xx +=∫
22
2
1
 
 
8) Cedxe xx +=∫
33
3
77
 
 
9) ( ) ( ) Cxcosdxxsen +−=∫ 55
15
 
 
10) ( ) ( ) Cxsendxxcos +=∫ 66
16
 
 
11) ( ) ( ) Cxcosdxxsen +−=∫ 44
343
 
 
12) ( ) ( ) Cxsendxxcos +=∫ 3339 
 
 
 
Outros exercícios: 
 
13) ( ) ( ) Cxdxxx ++=+∫ 4232 2812 
 
Problemas deste tipo podem ser resolvidos por substituição de variáveis. Assim, em 
expressões do tipo ( )∫ + dxaxx sqp substitui-se axq + por uma variável u , isto é, 
axu q += , determina-se a diferencial dessa nova variável, dxqxdu q 1−= , para obter-se 
dx em função dessa, ou seja, 1−= qqx
dudx
 e substitui-se estas na integral, como segue: 
duxu
qxq
du
ux
qps
q
p 1
1
1
.
+−
− ∫∫ =⋅ ⇒ para que a variável x desapareça da expressão, 
p deve ser igual a q−1 , isto é, 1−= qp . Então, 01 =+− qp e a integral, resulta em 
( )
( )
( ) Csq
ax
sq
u
s
u
q
duu
q
duux
q
sqss
ss +
+⋅
+
=
+⋅
=
+
⋅==
+++
∫∫ 111
111
111
0
 
 
Note-se que o expoente “ s ” e a constante “ a ” são quaisquer. 
 
14) ( ) ( ) CKtdtKtt ++=+∫ 94843 361 
 
15) ( ) ( ) cxsendxxcosx +=∫ 3323 
 
16) ( ) ( ) cxcosdxxsenx ++−=+∫ 148114 22 
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1a LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Exercícios a serem entregues na 3a aula: em 20.02.2009, 
no momento em que entrar na sala de aula 
 
1o Exercício: Resolver a integral ( ) dxx
x
xxy ∫ 





+−=
53 2 
 
2o Exercício: Resolver a integral ( ) ∫ 





+++= dt
t
ttts 4123 3
2
 
 
3o Exercício: Resolver a integral ( ) ∫ += ds
s
s
sy
5
3
4
38