7 Revisão Integrais Indefinidas Exercicios

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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
7a Aula Integrais indefinidas 
 
 Revisão para prova 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
Integral Indefinida (de funções de uma variável) 
 
Se a derivada de uma função é nx
dx
dy
= , sua diferencial dy será dxxdy n= e sua integral 
∫ ∫ +== Cdxxydy
n
, que resultará em 
 
1) 
( )







−=+
−≠+
+
=+
+
∫
1
1
1
1
nparaCxln
nparaC
n
x
Cdxx
n
n
 
2) ( ) ( ) Cxcosdxxsen +ω
ω
−=ω∫
1
 
3) ( ) ( ) Cxsendxxcos +ω
ω
=ω∫
1
 
4) Ce
a
dxe axax +=∫
1
 
5) ( ) ( ) Cxaxlnxdxaxln +−=∫ 
 
Exercícios: 
 
1. CxdxxI +== ∫ 6
6
5
 
 
2. Cx
mn
ndxxy n mnn m +
+
==
+
∫ 
 
3. Crrdrrs +== ∫ 55 6
5
 
 
4. Cttdt
tt
t
z +== ∫ 3
2
2
5
 
 
5. C
s
k
s
kdxI +−== ∫ 67 6 
 
6. Cxx
x
dxxy +== ∫
3 22
3
2
8
3
 
 
7. Cedxe xx +=∫
22
2
1
 
 
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revisão 
 2 
8. Cedxe xx +=∫
33
3
77
 
 
9. ( ) ( ) Cxcosdxxsen +−=∫ 55
15
 
 
10. ( ) ( ) Cxsendxxcos +=∫ 66
16
 
 
11. ( ) ( ) Cxcosdxxsen +−=∫ 44
343
 
 
12. ( ) ( ) Cxsendxxcos +=∫ 3339 
 
13. ( ) ( ) C
x
x
xdxx +
−
−=∫ 24
1
2
12arccos
2
2arccos
 
 
 
Integração por substituição de variáveis 
 
Regra geral para integrais do tipo ( )∫ + dxaxx sqp 
 
( )∫ + dxaxx sqp , faz 1q1qq qxdudxdxqxduaxu −− =⇒=⇒+= 
 
Substituindo na integral vem 
 
duxu
q
1
x.q
du
ux 1qps1q
p +−
− ∫∫ =⋅ ⇒ para que x desapareça, tem-se 
 
a seguinte situação: 
 
A condição é nq1qp =+− ( qx é obtido de axu q += ), onde K,2,1,0n = . Então, 
( ) 1q1np −+= que substituído na integral, resulta em 
 
 
( ) ( ) dxaxx sq1q1n∫ +−+ 
 
Note-se que o expoente “ s ” e a constante “ a ” são quaisquer. 
 
 
Exemplo: ( ) dxaxxdx
ax
x
2
1
23
2
3
∫∫
−
+=
+
 
 
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 3 
x2
dudxxdx2dueauxaxu 22 =⇒=−=⇒+= , 
 
substituindo tem-se: 
 
( ) duuau
2
1duux
2
1
x2
du
ux 2
1
2
122
13 −−−
∫∫∫ −== 
 
( ) ∫∫∫∫∫ −−−− −=−=− duu2
aduu
2
1duau
2
1duuu
2
1duuau
2
1 212/1212121
 
 




+−+=





−− ∫∫
− 2/122/32
2/12/3
2
12/1 )(2)(
3
2
2
1
2/12/32
1
22
1
axaax
auuduuaduu
 
 
Caxaaxaxaax ++−+=



+−+ 2/122/322/122/32 )()(
3
1)(2)(
3
2
2
1
 
 
 
Exercício resolvido : ∫ + 4x1
xdx
 
 
2
dt
xdxxdx2dtext
x1
xdx 2
4 =⇒==⇒+∫ , 
 
substituindo tem-se: 
 
( ) ( ) ( ) Cxarctan21tarctan21t1 dt21x1xdx 224 +==+=+ ∫∫ 
 
Exercícios: 
 
1. ( ) ( ) CKtdtKtt ++=+∫ 94843 361 
 
2. ( ) ( ) Cxdxxx +=∫ 332 sencos3 
 
3. ( ) ( ) Cxdxxx ++−=+∫ 14cos8
114sen 22
 
 
4. ( )∫ ++=+ Cxdxxx 322 1311 
 
5. ∫ ++=
+
Cx
x
xdx 32
2
1
32
2
2
 
 
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 4 
6. ( ) ( )∫ ++=+ Cxdx
x
x 3
2
2
3
22
 
 
 
7. ( )∫ ++=+ Cxdxx x 231341 
 
8. ( ) ( ) Cxdx
x
x
+=∫ sen2
cos
 
 
 
 
Regra geral da substituição de Variáveis: Se ( )xgu = for uma função diferenciável 
cuja variação ocorre em um intervalo I e f for contínua em I , então 
 
( )[ ] ( ) ( )∫∫ =′ duufdxxgxgf 
 
Note-se, que a troca de variável também pode ser usada em situações onde se 
tem uma função diferente de um binômio elevado a um expoente. Contanto, que a troca 
seja possível para toda a expressão. 
 
 
Exemplo: ( ) ( )∫ dxxx 2cossen 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
dudxdxxduxudxxx
sen
sen,coscossen 2
−
=∴−==⇒∫ 
( ) ( )
( )
c
xuduu
x
du
ux +−=−=−=− ∫∫ 3
cos
3sen
sen
33
22
, 
 
 
Exercício resolvido : ( )[ ]∫ dxxn 3l 
 
( )[ ] ( ) xdtdx
x
dxdtexntdxxn =⇒==⇒=∫ ll
3
, 
 
substituindo tem-se: 
 
( )[ ] ( )[ ] Cxntdttdxxn +=== ∫∫ 4
4
33
4
1
4
ll 
 
 
Exercícios: 
 
 
1. ( ) ( )dxxcosxsen∫ 
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 5 
( ) ( ) ( )x
dtdxdxxdtxt
cos
cossen =⇒=⇒= 
 
( )
( ) ( ) Cxt
tdtt
x
dtx
t +==== ∫∫
33
3
sen
3
2
3
2
2
3cos
cos
 
2. ( ) ( )
15
151515tan15sec dudxdxduxudxxx =⇒=∴=⇒∫ 
( ) ( ) ( ) ( ) Cxuduuu +==∫ 15sec15
1
sec
15
1
tansec
15
1
 
 
3. ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )dxxxduxux
dxxx
cotcsccsc1
csc1
cotcsc
4 −=∴+=⇒+∫
 
( ) ( ) ( ) ( )xx
dudxdxxxdu
cotcsc
cotcsc −=⇒−= 
C
x
uduuduu +
+−
=
−
−
=−=−
−
−−
∫∫ 3
3
44
)csc1(3
1
3
. 
 
4. ( )dxxduxxudxxxx 424)2)(4sen( 22 +=∴+=⇒++∫ 
( ) ( ) ( ) Cxxcuduu ++=+=∫ 4cos2
1
cos
2
1
sen
2
1 2
 
 
5. dxxduxudxxx 23322 155)5(csc =∴=⇒∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) Cxcuduu
x
du
ux +=+== ∫∫
32
2
22 5cot
15
1
cot
15
1
csc
15
1
15
csc 
 
 
 
 
Integração por Partes 
 
Sabendo-se que a diferencial do uv produto, onde ( )xuu = e ( )xvv = , é 
 
( ) vduudvuvd += 
 
então 
 
( ) vduuvdudv −= 
 
a qual integrando resulta na fórmula para integração por partes 
 
∫ ∫ +−= Cduvvudvu ... 
 
 
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 6 
Exemplo: Integrar ∫ dxxx sen . Escolhe-se como dv a parte integrável, 
 
( ) ( )xvdxxdv cossen −=⇒= 
 
dxduxu =⇒= . Substituindo na fórmula de integração por partes vem: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cxxxxxdxxdxxxxdxxx +−=−=−−−= ∫∫∫ cossencoscoscoscossen 
 
 
Exercícios resolvidos: Integrar ( )∫ dxxx 23 cos por integração por partes 
 
xdxduxu 22 =⇒= e ( ) ( )∫=⇒= dxxxvdxxxdv 22 coscos . 
 
faz-se ( )
x
dt
txv
x
dtdxdtxdxtx ∫=⇒=∴=⇒= cos2
1
2
22 
( ) ( ) ( )2sen
2
1
sencos xvtvdttv =⇒=⇒= ∫ 
 
Assim, ( ) ( )22 sen
2
1
cos xvdxxxdv =⇒= . 
 
Substituindo na fórmula de integração: 
( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxxxxxdxxx 22
2
23 sen
2
2
sen
2
cos 
faz-se novamente ( )dtttdtxdxtx ∫∴=⇒= cos2
122 
( ) ( ) ( ) ( )22 cos
2
1
cos
2
1
sen
2
1
sen xt
x
dt
txdxxx === ∫∫ , substituindo 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ ++=−= cxxxxxxdxxx 22222
2
23 cossen
2
1
cos
2
1
sen
2
cos
 
 
Exercícios: 
 
 
1. ( ) ( ) ( ) Cxnxxdxxn +−−−−=−∫ 111 ll 
 
2. ( ) ( ) C
n
xn
n
xdxxnx
n
n +





+
−
+
=
+
∫ 1
1
1
1
ll 
 
3. ( ) ( ) ( ) Cxxxnxdxxn ++−+=+∫ arctan22112 ll 
 
 
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 7 
Integração de trinômios 
 
Supondo a integral ∫ ++
=
cbxax
dxy 2 , para integrá-la transforma-se o denominador 
somando e subtraindo quadrados, de forma a obter-se a soma ou a diferença de 
quadrados, isto é, 
 
 














−+





++=



++=++
22
222
222
2
a
b
a
c
a
b
x
a
b
xa
a
c
x
a
b
xacbxax 
 
 








±





+=














−+





+=++ 2
2
2
22
2
242
k
a
b
xa
a
b
a
c
a
b
xacbxax 
 
onde 
 
 2
2
2
a4
b
a
ck −±= . 
 
E a escolha do sinal mais ou menos será em função do da relação precedente ser 
positiva ou negativa, isto é, de acordo com se as raízes do trinômio são reais ou 
complexas. Assim, 
 
 ∫∫
±





−
=
++
=
2
22
2
1
k
a
b
x
dx
acbxax
dxy . 
 
então se 
 t
a
b
x =−
2
 e dtdx = 
 
 ∫∫ ±
=
++
= 222
1
kt
dx
acbxax
dxy , 
 
que será uma integral conhecida 
 
 c
a
x
aax
dx
+





=
+∫
arctan
1
22 ou 
22
22
22
22
2
1
2
1
axc
ax
ax
n
axa
dx
axc
ax
ax
n
aax
dx
<+
−
+
=
−
>+
+
−
=
−
∫
∫
l
l
 
 
Exemplo: Calcular a integral ∫ +−
=
423 2 xx
dxy 
 
Solução: Cxy +




 −
=
11
13
arctan
11
1
 
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 8 
 
Exercício: Calcular a integral ∫ ++
=
132 xx
dxy 
 
Solução: C
x
x
ny +






++
−+
=
532
532
5
1
l 
 
 
 
 
Integração pelo método das frações parciais 
 
a) Considere a integral ( ) ( )( )( )∫∫ −−
+
=
++
+
=
10
2 xxxx
dxmnx
cbxax
dxmnxy , 
 
 
Assim, 
 
 ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
cbxax
xBxAxBA
xxxx
xxBxxA
xx
B
xx
A
xxxx
mnx
++
−−+
=
−−
−+−
=
−
+
−
=
−−
+
2
01
10
01
1010
 
 
 
donde 
 
( )






−
+
=
−
+
−=
⇒




−
+
=
−=
⇒



=−−−
−=
⇒



=−−
=+
01
1
01
0
01
1
0101
xx
xnm
B
xx
nxm
A
xx
xnm
B
BnA
mxBxBn
BnA
mxBxA
nBA
 
Portanto, 
 
( ) ( ) ( )10
10
2 xxlnBxxlnAxx
Bdx
xx
Adx
cbxax
dxmnxy −+−=
−
+
−
=
++
+
= ∫∫∫ 
 
 
Exemplo: : integrar ( ) ( )( )( )∫∫ −+
+
=
−−
+
=
21
2
2
2
2 xx
dxx
xx
dxxy , 
 
Assim, 
 
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
2
21
12
2121
2
2
−−
−++
=
−+
++−
=
−
+
+
=
−+
+
xx
BAxBA
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
dxx
 
 
 
donde 
 
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 9 
( ) ( )( )
( )( )





−=
−
=
=
−
+
−=
⇒




−
+
=
−=
⇒



=−−
−=
⇒



=−
=+
3
1
3
3
1
112
21
112
1
212
1
22
1
1 B
A
B
BA
BB
BA
BxA
BA
 
 
Portanto, 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )2
132313
2
3
1
3
2
2
2 +
−
=+−−=
+
−
−
=
−−
+
= ∫∫∫ x
xlnxlnxln
x
dx
x
dx
xx
dxxy 
 
Exercício: integrar ( )( )dxxx
xy ∫
−−
−
=
21
12
 
 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )∫∫ ∫∫ −−
−+−
=
−
+
−
=
−−
−
= dx
xx
xbxA
x
Bdx
x
Adxdx
xx
xy
21
12
2121
12
 
 
( )( )
( ) ( )
( )( )∫∫ −−
+−+
=
−−
−
= dx
xx
BAxBAdx
xx
xy
21
2
21
12
 
 
donde 
 
( ) ( )
12
2
212
=+
=+
⇒+−+=−
BA
BA
BAxBAx 
 
121
12
11
1
2
12
11
1
2
2
−=−==⇒=⇒





=





D
BA
BA
 
 
( ) ( ) 341
1
1
12
211112
1
1
11
121
=−
−
==−=−
−
==
D
Be
D
A 
 
Assim, 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −+−−=−+−
−
=
−
+
−
=
2
3
12
3
1
1
21 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
Bdx
x
Adxy 
 
( ) ( ) ( ) ( )1232313 −−−=−+−−=+−= ∫ ∫ xnxnxnxnv
dv
u
duy llll 
 
( ) ( ) ( ) C
x
x
nxnxny +






−
−
=−−−=
1
212
3
3
lll 
 
 
 
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revisão 
 10 
Exercício: integrar ( ) ( )( )( )∫∫ −+ +=
−−
+
=
21
1
2
1 2
23
2
xxx
dxx
xxx
dxxy , 
 
Assim, 
 
( )
( )( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )21
1212
210210
2
−+
++−++−
=
−
+
+
+
−
=
−+−
+
xxx
xxCxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
dxx
 
 
( )
( )( )( )
( ) ( )
xxx
AxCBAxCBA
xxx
dxx
2
22
210
2
23
2
−−
−+−−+++
=
−+−
+
 
donde 
 





−=
=
=
⇒





−=
−=
=
⇒





=−
=+−−
=++
21
65
32
21
212
32
12
02
1
A
C
B
A
BC
B
A
CBA
CBA
 
 
Portanto, 
 ( ) ( ) ( ) ( )xlnxlnxln
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
dxxy
2
12
3
21
6
5
23
2
16
5
2
1
2
1
23
2
−++−=
+
+
−
+−=
−−
+
= ∫∫∫∫ 
 
Exercícios: 
 
1. ( )( )( )
( ) C
x
x
n
xx
dxxy +
−
−
=
−−
−
= ∫ 1
2
21
12 3
l 
 
 
2. ( )( )( )
( )
( ) ( ) Cxx
x
n
xxx
xdxy +






++
+
=
+++
= ∫ 15
3
8
1
531 5
6
l 
 
3. ( ) ( ) Cx
x
n
xxx
dxy +





−
−
+
−
=
−−
= ∫ 1
2
1
1
21 2
l