Apostila de Dinâmica

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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
 
 
 
 
 
CCAADDEERRNNOO UUNNIIVVEERRSSIITTÁÁRRIIOO 
 
DDIINNÂÂMMIICCAA 
 
 
 
Prof. Moacyr Marranghello 
Prof. Renato de Ávila Consul 
2 
 
ÍÍNNDDIICCEE 
1. Introdução: ................................................................................................................. 4 
2. Cinemática do ponto .................................................................................................. 5 
2.1. Sistemas de Referência ................................................................................................ 5 
2.1.1. Sistema Cartesiano: .......................................................................................... 5 
2.1.2. Sistema Polar: ................................................................................................... 5 
2.1.3. Sistema Cilíndrico: ............................................................................................ 5 
2.1.4. Sistema Esférico: .............................................................................................. 6 
3. Equações Paramétricas ............................................................................................. 7 
3.1. Representação Vetorial Paramétrica ............................................................................ 7 
3.1.1. Curvas Estudadas ............................................................................................. 7 
3.1.1.1. Equação da Elipse (Curva plana) .......................................................................... 7 
3.1.1.2. Equação da circunferência (Curva Plana) ............................................................. 8 
3.1.1.3. Equação da Hélice Cilíndrica Circular (Curva Reversa) ........................................ 9 
3.2. Exercícios sobre Equações Paramétricas ................................................................... 10 
4. Movimento Curvilíneo Geral – Coordenadas Cartesianas ....................................... 12 
4.1. Exercício sobre Coordenadas cartesianas .................................................................. 15 
5. Cinemática da rotação ............................................................................................. 18 
5.1. Exercícios sobre Cinemática da Rotação ................................................................... 21 
6. Dinâmica Rotacional ................................................................................................ 26 
6.1. Torque 
 
 .................................................................................................................. 26 
6.2. Momento angular 
 L
 .................................................................................................. 26 
6.3. Momento de Inércia (I) ................................................................................................ 27 
6.4. Exercícios sobre Momento de Inércia ......................................................................... 28 
6.5. Energia cinética de rotação, trabalho e potência ........................................................ 30 
6.6. Teorema dos eixos paralelos (STEINER) ................................................................... 31 
6.7. Raio de Giração (K) .................................................................................................... 31 
6.8. Coordenadas Normal e Tangencial (n – t) .................................................................. 31 
6.9. Velocidade e Aceleração ............................................................................................ 32 
6.9.1. Vetores unitários: ............................................................................................ 32 
6.9.2. Aceleração Tangencial: ................................................................................... 33 
6.10. Exercícios sobre dinâmica da rotação ........................................................................ 34 
7. Movimento sob força resistiva.................................................................................. 38 
7.1. Exemplos de Atrito Viscoso (Discussões Qualitativas): .............................................. 38 
7.1.1. Gota da chuva (caso linear): ........................................................................... 38 
7.1.2. Pára-quedista (caso quadrático): .................................................................... 39 
7.1.3. Discussão Quantitativa (caso linear) ............................................................... 39 
3 
 
7.1.4. Gráfico da velocidade de descida em função do tempo (v = f(t)) ..................... 40 
7.2. Exercícios sobre coeficiente de arrasto ...................................................................... 41 
8. Sistemas de massa variável .................................................................................... 45 
8.1. Movimento de um foguete .......................................................................................... 45 
8.2. Exercícios sobre Movimento de Foguetes .................................................................. 46 
9. Momento Angular 
 0H
 ............................................................................................. 48 
9.1. Exercícios sobre Momento Angular ............................................................................ 49 
10. Centro instantâneo de velocidade nula .................................................................... 51 
10.1. Exercícios sobre Centro Instantâneo de velocidade nula: ........................................... 53 
11. Bibliografia: .............................................................................................................. 57 
4 
 
DDIINNÂÂMMIICCAA 
 
1. Introdução: 
O propósito deste trabalho é iniciá-lo no caminho para tornar-se um bom 
engenheiro. Apesar dos fundamentos da física e da matemática serem importantes 
nessa missão, enfatizamos as aplicações dos princípios da física e da matemática na 
engenharia. Enquanto os físicos estão interessados primariamente na compreensão 
dos preceitos que governam o mundo natural e os matemáticos concentram-se no 
desenvolvimento de modelos matemáticos que descrevem os fenômenos naturais, os 
engenheiros procuram criar o que não existe na natureza e melhorar a vida das 
pessoas resolvendo os problemas enfrentados pela sociedade moderna. Na realidade, 
o engenheiro é um solucionador de problemas. Para tornar-se um engenheiro eficiente 
você deve adquirir uma profunda compreensão dos princípios da física e da matemática 
e de sua aplicação do mundo à nossa volta. 
5 
 
2. Cinemática do ponto 
2.1. Sistemas de Referência 
2.1.1. Sistema Cartesiano: 
 
a) no Plano b) no Espaço 
 
 y y 
 
 P (x ; y) P (x ; y ; z) 
 
 
 
 x 
 
 x 
 
 z 
 
2.1.2. Sistema Polar: 
Dizemos que o sistema polar é uma representação no plano. 
 
 y 
 
 
 P ( ; ) 
 
  
 
  
 
 
Relação entre o sistema polar e o sistema cartesiano: 
 
x =  . cos  ; y =  . sen  ; x2 + y2 = 2 
 
2.1.3. Sistema Cilíndrico: 
 z 
x =  . cos  
y =  . sen  
z = z 
 P ( ;  ; z) 
 y 
  
  
 P’ 
 x 
6 
 
2.1.4. Sistema Esférico: 
 z 
 
 x = r . sen  . cos P y = r . sen  . sen  
 Z = r . cos  
  r 
 y 
 
 
  
 x P’ 
 
Obs.: 
- r = raio da circunferência; 
- variando  e  e mantendo r constante, descreve-se a área da esfera; 
- variando ,  e r, descreve-se o volume da esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
3. Equações Paramétricas 
3.1. Representação Vetorial Paramétrica 
 
Dado o sistema cartesiano de referência uma curva c do espaço pode 
ser representada através de: 
k)t(zj)t(yi)t(x)t(r


 
Representação vetorial paramétrica 
 Z 
 Pn 
 
 
r
 (tn) 
 c é uma curva qualquer. 
 
r
 (t1) P1 
 
 P0 
 
r
 (t0) c 
 Y t 

[ t0 ; tn ] 
 
 t = Parâmetro da representação 
 X 
 
Nota: Cartesianamente uma curva pode ser representada no espaço por uma função 
de três variáveis, parametricamente são três funções com uma variável. 
 
k)t(zj)t(yi)t(x)t(r:C


 
 
3.1.1. Curvas Estudadas 
 
3.1.1.1. Equação da Elipse (Curva plana) 
 
 Y 
 
 b
j

 
 
 
jsentbitcosa)t(r


 
 
 X t 

 [0 ; 2) ou t 

 (0 ; 
2] 
 – a 
i
 a
i
 
 mais corretamente 
será: 
 
 – b 
j

 
 t 

 [0 ; 2] 
 
t = 0  a 
i
 ; t = 
2

  b 
j
 ; t =   – a 
i
 ; t = 
2
3
  – b 
j
 ; t = 2  a 
i
 
 
Desenvolvimento da Equação Cartesiana da Elipse 
8 
 
 
j)t(yi)t(x)t(r


 
 
X = a.cos t  cos t =
a
x
 
 Sistema: cos² t + sen² t = 22
b
y
a
x












, 
Y = b.sen t  sen t = 
b
y
 1 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2

 
 
 
3.1.1.2. Equação da circunferência (Curva Plana) 
 
jsentbitcosa)t(r


 t 

 [0 ; 2] 
 
 y 
 
 a = b 
 b 
 
 x 
 a 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento da Equação Cartesiana da Circunferência 
 
j)t(yi)t(x)t(r


 
 
 x² + y² = (a cos t)² + (a sen t)² 
X = a cos t 
 x² + y² = a² cos² t + a² sen² t 
Y = a sen t 
 x² + y² = a² (cos² t + sen² t) 
 
 1 
 
 
x² + y² = a² 
 
A expressão acima representa a equação da 
circunferência no centro com raio igual a “a”. 
 
9 
 
3.1.1.3. Equação da Hélice Cilíndrica Circular (Curva Reversa) 
 
ktcjsentbitcosa)t(r


 
 
 Z 
t  ângulo formado pela projeção do ponto P 
com a origem e o eixo z 
 
 P Obs.: O sinal de c indica o sentido de rolamento 
da curva. 
 
 
Condições: c  0 
 
 0 
 Q Y 
 
 t 
t 

 ( –  ; +  ) 
 
 X 
 
Nota: 
a) Se c > 0 a hélice apresenta parafuso com rosca voltada para direita 
b) Se c < 0 a hélice apresenta parafuso com rosca voltada para esquerda 
 
Obs.: Quando t experimenta um acréscimo igual a 2, x e y reassumem os mesmos 
valores, enquanto que z recebe um acréscimo igual ao passo da hélice. 
 
Cálculo do passo da hélice: 
P = V . T 
 
Onde: 
dt
dx
Vx 
 ; 
dt
dy
VY 
 ; 
dt
dz
Vz 
 
 
e 
 



2
T
 ; 
dt
d

 
 
Onde: T = período [s] 
  = velocidade angular [rad/s] 
  = deslocamento angular [rad] 
 V = velocidade linear [m/s] 
 
 
10 
 
3.2. Exercícios sobre Equações Paramétricas 
 
1. Para o movimento definido pela expressão: 
jt2sen3it2cos3)t(r


, no SI. 
Determine: 
a) A equação da curva; 
b) A trajetória do movimento. 
 
2. Uma partícula descreve um movimento definido pela expressão: 
kt2sen2jt2cos2it3)t(r


, no SI, determine: 
a) A trajetória; 
b) O valor do passo. 
 
3. Um ponto material descreve uma curva definida por: 
jsent6itcos4)t(r


, 
determine: 
a) A trajetória do ponto material; 
b) A equação da curva. 
 
4. A rosca de um parafuso tem por equação: 
kt8jsent5itcos5)t(r


. Pede-
se: 
a) O passo da rosca; 
b) Indicar o tipo de giro da rosca. 
 
5. Para um ponto material que tem por equação: 
jt2sen3it2cos3)t(r


, no SI, 
determinar: 
a) A equação da curva; 
b) A equação do deslocamento angular; 
c) A velocidade angular. 
 
6. Um parafuso sem-fim tem por equação: 
kt25jt2sen8it2cos8)t(r


. Com 
as dimensões em mm e o tempo em segundo. Pede-se: 
a) Indicar o sentido de giro da rosca do sem-fim; 
b) O tamanho do passo da rosca; 
c) A equação do deslocamento angular. 
 
7. Para o movimento definido pela expressão: 
jt4sen3it4cos3)t(r


, no SI, 
determine: 
a) Tipo de trajetória; 
b) Distância percorrida nos 5s iniciais; 
c) Vetores v e a. 
 
8. Uma partícula descreve um movimento definido pela expressão: 
kt2sen2jt2cos2it4)t(r


, no SI. Determine: 
a) Tipo de trajetória; 
b) Vetores V e a, para 
4
t


 s. 
 
9. O movimento de uma caixa transportada por uma esteira helicoidal é definido pelo 
vetor posição: 
kt2,0jt2cos5,0it2sen5,0)t(r


, onde t é dado em segundos 
11 
 
e os argumentos das funções trigonométricas, em radiano. Determine a posição 
da caixa quando t = 0,75 s. Calcule também os módulos da velocidade e da 
aceleração da caixa neste instante. 
 
10. A posição de um ponto material é definida por: 
 jt2sen4it2cos5)t(r


 m, 
onde t é dado em segundos e os argumentos das funções trigonométricas em 
radianos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto material 
quando t = 1 s. Prove que a trajetória é elíptica. 
 
11. Uma figura tridimensional é gerada por uma partícula com trajetória definida pelas 
equações: x = 9.cos(3t – 5) ; y = 6.cos(4t + 6) ; z = 3.cos(8t – 2). Expresse a 
velocidade escalar da partícula em termos de t. 
 
12. As equações do movimento de uma partícula que se move no plano XY são: 
x = 3.cos 5t e y = 4.sen 5t, 
onde x e y são expressos em polegadas (inch – in ou “) e t em segundos. 
a) Mostre que a trajetória é uma elipse cujos raios principais são 4 polegadas e 3 
polegadas; 
b) Determine o tempo t no qual a partícula percorre a elipse uma vez. 
 
13. Uma partícula descreve um movimento definido pela expressão: 
kt2sen7jt2cos7it9)t(r


, no SI. Determine: 
a) O tipo de trajetória; 
b) Os vetores velocidade e aceleração para 
4
t


 s. 
 
14. As equações do movimento de uma partícula que se move no plano xy são: 
x = r.cos wt e y = r sem wt, onde r e w são constantes positivas e t representa o 
tempo. Com essas informações: 
a) Mostre que a trajetória é um círculo de raio r; 
b) Determine o tempo t no qual a partícula percorre o círculo uma vez; 
c) Mostre que a partícula percorre a uma velocidade constante. 
 
15. As equações do movimento de uma partícula são: 
x = r.cos wt ; y = r.sen wt ; z = k.t, onde r, w e k são constantes positivas. 
a) Mostre que a trajetória é uma hélice (uma curva semelhante a uma rosca de 
parafuso) em torno de um cilindro de raio r; 
b) Determine o passo da hélice (a distância que a partícula avança, paralela ao 
eixo do cilindro, em uma volta em torno do cilindro). 
c) Determine o tempo t no qual a partícula percorre uma volta em torno do 
cilindro; 
d) Mostre que a partícula se move com velocidade escalar constante. 
 
16. As equaçõesdo movimento de uma partícula que se move no plano xy são: 
x = 3.cos 5t e y = 4.sen 5t, onde x e y estão expressos em in e t em segundos. 
a) Mostre que a trajetória é uma elipse cujos raios principais são 3” e 4”; 
b) Determine o tempo t no qual a partícula percorre a elipse uma vez. 
 
 
12 
 
4. Movimento Curvilíneo Geral – Coordenadas Cartesianas 
 
Denomina-se movimento curvilíneo todo movimento de um ponto 
material cuja trajetória é uma curva. Uma vez que a trajetória é freqüentemente descrita 
em TRE s dimensões, utiliza-se análise vetorial para definir a posição, a velocidade e a 
aceleração do ponto. 
Será introduzido o sistema de coordenadas cartesianas para a análise 
do movimento curvilíneo. 
 
Componentes Cartesianas 
Muitas vezes o movimento de um ponto material pode ser 
convenientemente descrito utilizando-se um sistema de referência fixo x, y, z. 
 
Posição: 
Se em um dado instante o ponto material P está no plano (x, y, z) da 
trajetória curvilínea s, sua localização é então definida pelo vetor posição 
kzjyixr


. 
Por causa do movimento do ponto material e da forma da trajetória, os 
componentes x, y, z de r são, em geral, funções de tempo, isto é: x = x(t) ; y = y(t) ; z = 
z(t), de modo que r = r(t). 
 
 z Módulo do vetor posição 
r
 
 
 
222 zyxr 
 
 
 s P 
 
 Vetor unitário do vetor posição 
 r

 
 
 
k
 
kzjyixr


 
r
r
r 



 
 
i
 
j

 z y 
 
 x 
 
 y 
 
 x 
 
 
Velocidade: 
A primeira derivada temporal de s fornece a velocidade instantânea do 
ponto material, logo: 
13 
 
     kz
dt
d
jy
dt
d
ix
dt
d
dt
rd
v


 
dt
kd
zk
dt
dz
dt
jd
yj
dt
dy
dt
id
xi
dt
dx
v







 
Como, o sistema de referência é fixo, as derivadas dos vetores unitários são nulos, 
porque os mesmos são constantes. Assim tem-se: 
kvjvivv zyx


 
Ou, em termos de derivadas temporais, tem-se: 
kzjyixv








 
 
Gráfico v = f (t) 
Módulo do vetor velocidade: 
 
 P 
2
z
2
y
2
x vvvv 
 
 
v
 
Vetor unitário da velocidade 
 v

 
 
 
v
v
v 



 
 
 
Aceleração: 
A segunda derivada temporal de s fornece a aceleração instantânea do 
ponto material, ou a primeira derivada da velocidade v também fornece a aceleração, 
logo: 
dt
vd
a



  
 kvjviv
dt
d
a zyx


 

 
kajaiaa zyx


 
Em função da derivada temporal, tem-se: 
kzjyixa








 ou 
kvjviva zyx








 
Módulo do vetor aceleração: 
2
z
2
y
2
x aaaa 
 
Vetor unitário da aceleração (
a

): 
a
a
a 



 
 
Nota: 
1. O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória; 
2. O vetor aceleração, em geral, é tangente à trajetória, mas é sempre tangente ao 
hodógrafo. 
14 
 
Hodógrafo: Essa curva, quando construída, é um lugar geométrico das extremidades 
do vetor velocidade, assim como a trajetória é o lugar geométrico das 
extremidades do vetor posição. 
hodógrafo 
 
 
a
 
v
 
 
 O’ 
 
 
Equações utilizadas 
 
dt
vd
a



 ; 
dtavd 
 ; 
 vdv

 ; 
  dtav

 
 
dt
rd
v



 ; 
dtvrd 
 ; 
 rdr

 ; 
  dtvr

 
 
Equação principal: 
Demonstração  
dt
dv
a
  pela regra da cadeia, tem-se: 
dt
dx
dx
dv
a 
 , como 
v
dt
dx

 , fica 
v
dt
dx
a 
 o que fornece 
dvvdxa 
 
 
15 
 
4.1. Exercício sobre Coordenadas cartesianas 
 
1. Um móvel tem por equações paramétricas da posição: 
x(t) = t3 + 2t2 + t; y(t) = sen t ; z(t) = et2. Pede-se: 
a) Onde estará o móvel na data t = 2s; 
b) Qual à distância mo móvel à origem; 
c) Qual o vetor velocidade na data t = 2s; 
d) Qual a aceleração na data t = 2s. 
 
2. A aceleração de um ponto material é definida por: a = -2 m/s2. Sabendo que v = 8 
m/s e x = 0 quando t = 0, determinar a velocidade, a posição e a distância 
percorrida quando t = 6s. 
 
3. Um ponto material oscilante apresenta aceleração a= - k.x. Ache o valor de k tal 
que v = 10 m/s quando x = 0 e x = 2m quando v = 0. 
 
4. A aceleração de um ponto material é dada por: a = 21 – 12 x2, no SI. A partícula 
tem velocidade zero para x = 0. Determinar: 
a) A velocidade quando x = 1,5; 
b) A posição diferente de zero, quando a velocidade é novamente zero; 
c) A posição onde a velocidade é máxima. 
 
5. O pistão de um determinado mecanismo de amortecimento em óleo desacelera 
segundo a expressão: a = - kv. Se x = 0, v ≠ 0 para t = 0. Determine: 
a) A velocidade do pistão em função do tempo (v = f (t)); 
b) A posição em função do tempo. (x = f (t)); 
c) A velocidade em função da posição. (v = f (x)). 
 
6. Uma particular desacelera segundo a expressão: a = – 10v, no SI. Sabendo que 
em t = 0, v = 30 m/s e x = 0, determine: 
a) À distância percorrida até o repouso; 
b) O tempo gasto para alcançar o repouso; 
c) O tempo gasto para a velocidade ficar reduzida a 5% da velocidade inicial. 
 
7. A trajetória de vôo de um helicóptero é definida pelas equações paramétricas: 
x = 2t2 e y = 0,04t3, no SI. Determinar para t = 10 s. 
a) A distância do helicóptero ao ponto A; 
b) O módulo da velocidade; 
c) O módulo da aceleração. 
 
8. Se a velocidade de uma partícula é definida por: V = {(0,6t + 0,3) i + 0,9 j} [m/s], e 
seu vetor posição a t = 1s é r(t) = 1,2 i + 0,9 j [m], determine a trajetória da 
partícula em termos de suas coordenadas x e y. 
 
9. Uma partícula move-se na direção anti-horária, numa trajetória circular de 120 m 
de raio. Ela inicia de uma posição a qual está horizontalmente à direita do centro 
da trajetória e move-se de forma que s = 3t2 + 6t, onde s é a distância do arco em 
metros e t em segundos. Calcule as componentes horizontais e verticais da 
aceleração no final de 3 s. 
 
16 
 
10. O movimento de uma partícula é definido por: r(t) = (2t3 – 4t2 + 5t + 20 )i, no SI. 
Determine para o instante t = 3s. 
a) Posição; 
b) Velocidade escalar; 
c) Aceleração escalar. 
 
11. Um móvel desloca-se segundo a expressão: r(t) = 4tj – 3t2k, no SI. Determinar: 
a) Deslocamento (módulo) no intervalo de tempo que vai de 1s a 3s; 
b) Velocidade escalar em t = 2s; 
c) Aceleração escalar em t = 2s. 
 
12. O movimento de uma partícula no plano xy é definido por: x = 3sen(2t -5 ); y = 
2sen(4t + 1), sendo x e y em metros e o tempo t em segundos. Pede-se: 
a) Determine as componentes (x,y) da velocidade e da aceleração para t = 1s; 
b) Determine a velocidade escalar da partícula para t = 1s. 
 
13. Uma figura de Lissajous tridimensional é gerada por uma partícula com trajetória 
definida pelas expressões: x = 9cos(3t – 5); y = 6cos(4t + 6); z = 3cos(8t – 2). 
Expresse a velocidade escalar da partícula em termos de t. 
 
14. A coordenada da posição de uma partícula que está confinada a se mover ao 
longo de uma linha reta á dada por: r(t) = 2t3 – 24t + 6, no SI. Determine: 
a) A aceleração da partícula quando v = 30 m/s; 
b) O deslocamento da partícula no intervalo de tempo desde t = 1s até t = 4s. 
 
15. Um menino opera um modelode avião controlado por rádio. O vetor de posição do 
avião é dado por: r (t) = (1,5t2 + 3t)i + (1,5t – t2)j + 1,2t2k, no SI. O menino está 
posicionado na origem do sistema coordenado, com o eixo z direcionado 
verticalmente para cima. 
a) Determine as projeções (x,y,z) da velocidade e da aceleração em t = 2s; 
b) Determine a velocidade escalar do avião em t = 2s; 
c) Determine os cossenos de direção da tangente à trajetória do avião em t = 2s. 
 
16. O vetor posição r de uma partícula é dado pela equação r (t) = (c1 – c2t
3)i + t2j – 
4sent2k, onde r em pés e t em segundos. Expresse os vetores velocidade e 
aceleração em termos de c1, c2 e t. 
 
17. Uma partícula , move-se no plano xy. Suas coordenadas (x,y) são dadas pelas 
relações: x = t3 – 3t2 + 6 e y = t2 + 3, tudo no SI, determine: 
a) Os vetores posição, velocidade e aceleração da partícula no instante t = 1s; 
b) Determine a velocidade e aceleração média no intervalo de tempo de t = 0 a t 
= 1s; 
c) Determine o vetor deslocamento da partícula no instante t = 2s em relação a 
sua posição em t = 0; 
d) Determine a velocidade escalar em t = 2s. 
 
18. Um móvel tem por equação da posição: x = t3 + 2t2 + t; y = sent; z = et2, no SI. 
Pede-se: 
a) Onde estará o móvel na data t = 2s; 
b) Qual a distância do móvel à origem; 
c) Qual o vetor velocidade na data t = 2s; 
d) Qual a velocidade escalar na data t = 2s; 
17 
 
e) Qual o valor aceleração para a data t = 2s. 
f) Qual o ângulo entre a(2) e v(2). 
 
19. Se a velocidade de uma partícula é definida por v = (0,6t + 0,3)i + 0,9j, e seu vetor 
posição quando t = 1s é: r = 1,2 i + 0,9 j, determine a trajetória da partícula em 
termos de suas coordenadas x e y. 
 
20. O movimento de uma caixa B transportada por 
uma esteira helicoidal é definida pelo vetor de 
posição r = [0,5sen(2t)i + 0,5 cos(2t)j – 
0,2tk]m, onde t é dado em segundos e os 
argumentos das funções trigonométricas, em 
radianos. Determine a posição da caixa 
quando t = 0,75s. Calcule também os módulos 
da velocidade e da aceleração da caixa nesse 
mesmo instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
5. Cinemática da rotação 
Rotação Pura: 
Dizemos que uma rotação é pura quando todas as partículas que 
constituem o corpo vão transcrever trajetórias circulares cujo centro se encontra sobre 
uma mesma reta e, essa reta é o seu centro ou eixo de rotação. 
 + 
 
r
s

 onde: s  arco [m] 
 
r
  arco r  raio [m] 
 
 0 x   posição angular [rad] 
 
 
 
Obs.: O ângulo  é uma grandeza adimensional. 
 
Velocidade angular média (

): 
 p’ no instante t2 
t


 
  = 2 - 1 
  
 
2r

 t = t2 – t1 
 p’ no instante t1 
 2 
1r

 
 1 
 0 x unidade de medida: 







s
rad
 
Obs.: 

 não é um vetor. 
 
Velocidade angular instantânea (

 ) 
 
dt
d
tlim0t







 
 
Obs.: Note que 

 é uma grandeza vetorial 
 Direção: perpendicular ao plano que está sendo descrito a trajetória; 
 Sentido: regra da mão direita e, é dado pelo polegar. 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Aceleração angular média (

) 
 
t


  unidade: 







2s
rad
 
 
 
Aceleração angular instantânea (

 ) 
 
dt
d
tlim0t






 
 
 
Equações utilizadas 
 
dt
d


 ; 
dt
d



 ; 
2
2
dt
d 

 
 
Equações para aceleração angular constante: 
t0 
 
2
00 t
2
1
t 
 
 2
2
0
2
 
  t
2
1
0 
 
2t
2
1
t 
 
 
Relação entre velocidade e aceleração lineares com velocidade e aceleração 
angulares: 
 
 
 P + 
 
 
r
 s 
  
 
 0 x 
 
r
s

  
 rs
   
dt
rd
dt
ds 

  
dt
d
r
dt
dr
dt
ds 

 
Como: 
v
dt
ds

 e 


dt
d
, tem-se: 
rv 
 
20 
 
v = velocidade linear [
s
m
] 
 = velocidade angular [
s
rad
] 
r = raio [m] 
 
 
Aceleração linear (a): 
 
rv 
  
 
dt
rd
dt
dv 

  
dt
dr
r
dt
d
dt
dv



 
Como: 
a
dt
dv

 e 


dt
d
, tem-se: 
ra 
 
a = aceleração linear 






2s
m
 
 = aceleração angular 






2s
rad
 
r = raio [m] 
 
Aceleração tangencial e aceleração centrípeta ou radial (
Ta

 e 
a
 ): 
 
 
 
a
 
Ta

 
NT aaa


  
2
N
2
T aaa 
 
 
 P 
 
r
 
Na

 
 
 
 0 x 
 
Equações complementares 
r
r
v
a 2
2
N 
 e 
va
dt
dv
a TT 
 
numero de voltas (n) 



2
n
 
 
 
21 
 
5.1. Exercícios sobre Cinemática da Rotação 
 
1. Uma roda gira com uma aceleração angular constante de 3,5 rad/s2. Se a 
velocidade angular da roda é de 2 rad/s em t = 0, (a) Qual é o ângulo percorrido 
pela roda entre t = 0 e t = 2s; (b) Qual é a velocidade angular da roda em t = 2s. 
 
2. Um volante gira a 240 rot/min. Determinar: 
a) A freqüência em hertz; 
b) O período; 
c) A velocidade angular; 
d) A aceleração centrípeta de um ponto situado a 10 cm do eixo; 
e) Se a partir do instante em que foram aplicados os freios o volante pára em 5s, 
determine a aceleração angular durante a freada e o número de voltas 
efetuadas durante os 5 segundos. 
 
3. Um disco tem aceleração angular constante. Com seis rotações completas sua 
velocidade angular varia de 2 rad/s para 6 rad/s. Quanto tempo demora para 
completar essas rotações. 
 
4. Um disco de raio 0,8 m gira em torno de seu eixo com aceleração angular de 3 
rad/s2 em certo instante sua velocidade angular é de 2 rad/s, pede-se: 
a) O módulo da aceleração linear, resultante de um ponto a 0,5 m do eixo; 
b) O módulo da velocidade angular 2,5 s após esse instante. 
 
5. Durante o intervalo de tempo t um disco gira um ângulo θ dado por: θ = 10π - 2πt2 
+ 5πt3 , onde θ em rad e t em s. Determinar: 
a) O valor da aceleração angular para t = 1s; 
b) A velocidade angular média entre 2 e 5s. 
 
6. Um volante parte do repouso e com aceleração angular constante atinge 1200 
rot/min em 6 s. Determinar: 
a) Qual o valor da aceleração angular; 
b) Quantas voltas ele efetuou durante os 6 s; 
c) Quanto tempo ele levou para dar as primeiras 30 voltas. 
 
7. Um toca-discos encontra-se girando na freqüência de 331/3 rot/min quando é 
desligado, parando após 2,5 s. 
a) Qual o valor da aceleração angular; 
b) Quantas voltas ele executa até parar. 
 
8. Se você está tentando soltar um parafuso preso a um bloco de madeira com uma 
chave de fenda e não consegue, você deve procurar uma chave de fenda cujo 
cabo é (a) mais longo; b) mais grosso; Por quê? 
 
9. Tanto o torque quanto o trabalho são produtos de força e distância. De que forma 
eles são diferentes? 
 
10. Duas esferas, uma oca e uma cheia estão girando com a mesma velocidade 
angular ao redor de seus centros. As duas esferas têm a mesma massa e o 
mesmo raio. Qual delas temenergia cinética rotacional maior? 
 
22 
 
11. Se você desliga o esmeril da sua oficina ao mesmo tempo em que sua furadeira 
elétrica, o esmeril leva muito mais tempo para parar de girar? Por quê? 
 
12. A posição angular de uma porta vaivém é descrita por: θ = 5 + 10t + 2t2 . 
Determine a posição angular, velocidade angular e a aceleração angular da porta. 
a) em t = 0; 
b) para t = 3s. 
 
13. O cilindro de uma máquina de lavar entra em rotação, partindo do repouso e 
ganhando velocidade angular uniformemente durante 8s, quando então está 
girando a 5 rev/s. Nesse ponto a pessoa lavando as roupas abre a tampa, e um 
botão de segurança desliga a máquina de lavar. O cilindro diminui sua rotação 
suavemente até parar em 12s. Quantas revoluções realizam enquanto está em 
movimento. 
 
14. Encontre a velocidade angular da rotação da Terra ao redor do seu eixo. 
Enquanto a Terra gira para leste, vemos o céu girando para oeste à mesma taxa. 
 
15. Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante até uma 
velocidade angular de 12 rad/s em 3s. Encontre: 
a) A aceleração angular da roda e 
b) O ângulo em radianos que ela gira durante esse tempo. 
 
16. Se você desliga o esmeril da sua oficina ao mesmo tempo em que sua furadeira 
elétrica, o esmeril leva muito mais tempo para parar de girar. Por quê. 
 
17. Quando um motorista de automóvel pisa no acelerador, o bico do carro sobe. 
Quando o motorista breca, o bico desce. Por que ocorre esse efeito. 
 
18. Um motor girando um esmeril a 100 rev/mim é desligado. Supondo aceleração 
angular negativa constante de 2 rad/s2; 
a) quanto tempo leva a roda para parar? 
b) quantos radianos ela gira enquanto está se tornando mais lenta? 
 
19. Um avião chega ao terminal, e seus motores são desligados. O rotor de um dos 
motores tem uma velocidade angular inicial no sentido horário de 2000 rad/s. A 
rotação do motor diminui com uma aceleração angular com módulo de 80 rad/s2. 
a) determine a velocidade angular após 10 s; 
b) Quanto tempo leva o rotor para parar. 
 
20. A broca de um dentista parte do repouso. Após 3,2 s com aceleração angular 
constante, a broca gira a uma taxa de 2,51 x 104 rev/min. 
a) Encontre a aceleração angular da broca. 
b) Determine o ângulo (em radianos) percorrido pela broca durante esse período. 
 
21. A posição angular de uma porta vaivém é descrita por θ = 5 + 10t + 2t2 rad. 
Determine a posição angular, velocidade angular e aceleração angular da porta: 
a) em t = 0; 
b) em t = 3s. 
 
23 
 
22. Uma roda girando necessita de 3 s para girar a 37 rev. Sua velocidade angular ao 
final de um intervalo de 3 s é de 98 rad/s. Qual é a aceleração angular constante 
da roda. 
 
23. Um disco com 8 cm de raio gira ao redor de seu eixo central a uma taxa constante 
de 1200 rev/min. Determine: 
a) sua velocidade angular, 
b) a velocidade tangencial em um ponto a 3 cm do centro; 
c) a aceleração radial de um ponto na borda; 
d) a distância total percorrida de um ponto sobre a borda em 2 s. 
 
24. Um carro acelera uniformemente a partir do repouso e alcança uma velocidade de 
22 m/s em 9 s. Se o diâmetro de um pneu é de 58 cm, encontre: 
a) o número de revoluções que o pneu realiza durante esse movimento, supondo 
que não ocorra deslizamento; 
b) Qual é a velocidade rotacional final de um pneu em revoluções por segundo. 
 
25. Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo 
θ = at + bt3 – ct4, onde a, b e c são constantes. Escreva expressões para: 
a) O vetor velocidade angular; 
b) A aceleração angular do volante. 
 
26. A posição angular de um ponto sobre a borda de uma roda em rotação é dada por 
θ = 4t – 3t2 +t3, onde θ está em radianos e t está em segundos. Quais as 
velocidades angulares em: 
a) Em t = 2s; 
b) Em t = 4s; 
c) Qual a aceleração angular média para o intervalo de tempo que começa em 
t = 2s e termina em t = 4s; 
d) Quais são as acelerações angulares instantâneas; 
e) No início; 
f) No final desse intervalo de tempo. 
 
27. Um volante com um diâmetro de 1,20 m está girando a uma velocidade angular de 
200 rpm: 
a) Qual a velocidade angular do volante em rad/s; 
b) Qual a velocidade linear de um ponto na borda do volante. 
 
28. Encontre uma expressão que forneça a velocidade escalar linear, de um ponto da 
superfície da Terra, referida apenas ao movimento de rotação, em função da 
latitude (L). A Terra, suposta esférica, tem raio R e seu período de rotação é T. 
 
29. A velocidade angular de um volante aumenta uniformemente de 15 rad/s para 60 
rad/s em 80 s. Se o diâmetro do volante é de 2 pés, determine os módulos dos 
componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto de sua periferia, 
quando t = 80 s. Determine também a distância percorrida pelo ponto durante 
esse tempo. 
 
30. Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em 
repouso, como indica a figura. Aplica-se uma força ao cabo, 
que então adquire uma aceleração a = (4t) m/s2, onde t é 
dado em segundos.Determine como função do tempo: a) a 
24 
 
velocidade angular do disco e b) a posição angular do segmento OP, em radianos. 
 
31. Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior 
do equipamento mostrada na figura. Se a polia A conectada ao 
motor inicia seu movimento a partir do repouso, com uma 
aceleração angular αA = 2 rad/s
2, determine os módulos da 
velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta 
ter completado uma revolução. Suponha que a correia de 
transmissão não escorregue na polia nem na roda. 
 
32. Uma roda tem velocidade angular inicial de 10 rad/s, no 
sentido horário, e aceleração angular de 3 rad/s2. Determine o 
número de revoluções que devem ocorrer para se atingir uma 
velocidade angular de 15 rad/s, no sentido horário. Qual é o 
tempo necessário para isso. 
 
 
33. A velocidade angular do disco é definida por ω = (5t2 + 2) rad/s, 
onde t é dado em segundos. Determine os módulos da velocidade 
e da aceleração do ponto A do disco, mostrado na figura ao lado, 
quando t = 0,5 s. 
 
 
34. Imediatamente após o ventilador ter sido ligado, o motor 
comunica às lâminas uma aceleração α =( 20 e-0,6t )rad/s2, onde 
t é dado em segundos. Determine a velocidade escalar da ponta 
P de uma das lâminas quando t = 3 s. Quantas revoluções são 
realizadas em 3 s. As lâminas estão em repouso em t = 0. 
 
 
35. Em virtude de um aumento de potência, o motor M 
gira o eixo A com aceleração angular α = ( 0,060θ2 ) 
rad/s2, onde θ é dado em radianos. Se o eixo 
estava girando inicialmente a uma velocidade 
angular ωo = 50 rad/s, determine a velocidade 
angular do eixo B após esse eixo ter sofrido um 
deslocamento angular Δθ = 10 rev. 
 
36. O gancho movimenta-se a partir do 
repouso com aceleração de 20 pés/s2. Se ele está preso a uma 
corda enrolada no tambor, determine a aceleração angular do 
tambor e sua velocidade angular após se completarem 10 rev. 
Quantas revoluções adicionais ocorrerão se o gancho continuar 
em movimento por mais 4 s. 
 
 
37. O disco movimentado pelo motor tem sua posição 
angular definida por θ = ( 20 t + 4 t2 ) rad, onde t é 
dado em segundos. Determine: 
a) o número de revoluções; 
b) a velocidade angular do disco quando t = 90 s; 
c) a aceleração angulares do disco quando t = 90 s. 
25 
 
 
 
38. O disco mostrado na figura ao lado está girando inicialmente com 
velocidade angular ωo = 8 rad/s. Se ele for submetido a uma 
aceleração constante α = 6 rad/s2, determine os módulos da 
velocidade e dos componentes n e t da aceleração do ponto A, 
no instante t = 0,5 s. 
 
39. Um disco gira inicialmente com velocidade angular ωo = 6 rad/s. 
Se ele for submetido a uma aceleração constante α = 6 rad/s2, 
determine os módulos da velocidade e doscomponentes n e t da 
aceleração do ponto B, imediatamente após o disco ter completado 
2 revoluções. 
 
40. Um motor comunica a um disco aceleração angular α = ( 0,6 t2 + 
0,75 ) rad/s2, onde t é dado em segundos. Se a velocidade angular 
do disco é ωo = 6 rad/s, como mostra a figura ao lado, determine os 
módulos da velocidade e da aceleração do bloco B quando t = 2 s. 
 
41. O disco ao lado está girando inicialmente com velocidade 
angular ωo = 8 rad/s. Considerando uma aceleração angular 
constante α = 6 rad/s2, determine os módulos da velocidade 
e dos componentes n e t da aceleração do ponto A, no 
instante t = 3 s. 
 
 
 
 
42. Considere as engrenagens A e B mostradas na 
figura. Se A parte do repouso e tem aceleração 
angular constante αA = 2 rad/s
2, determine o tempo 
necessário para B atingir uma velocidade angular 
ωB = 50 rad/s. 
 
 
 
43. Partindo do repouso quando s = 0, a polia A tem 
aceleração angular constante αC = 6 rad/s
2. 
Determine a velocidade do bloco B quando ele atinge 
a posição s = 6 m. A polia tem um cubo interno D que 
está fixo em C e gira com ela. 
 
 
 
 
 
44. Um motor gira uma engrenagem A com 
aceleração αA = ( 0,25 θ
3 + 0,5) rad/s2, onde θ é 
dado em radianos. Se A tem velocidade inicial 
(ωA)o = 20 rad/s, determine a velocidade angular 
da engrenagem B após A ter sofrido um 
deslocamento angular de 10 ver. 
26 
 
6. Dinâmica Rotacional 
6.1. Torque 
 
 
Torque é uma grandeza vetorial. O torque vai comunicar uma 
aceleração angular. 
Desenvolvimento 
 
Fr


, onde 
Fr


 é um produto vetorial. 
 z 
F
 
  Módulo do torque: 
 senFr

 
 
 
r
 A Direção: Perpendicular ao plano que contém 
 os vetores 
r
 e 
F
 . 
 x 
 Sentido: É dado pela regra da mão direita. 
 
 y 
 
Nota: O Torque é máximo quando  = 90º. 
 
Torque no Espaço: 
Seja o vetor de posição dado por 
krjrirr zyx


 e a força por 
kFjFiFF zyx


. O torque é calculado pelo determinante que segue: 
zyx
zyx
FFF
rrr
kji


 
6.2. Momento angular 
 L
 
O momento angular é uma grandeza vetorial. 
Desenvolvimento 
 
prL


, onde 
p

 é o vetor momento linear. 
 z 
p

 
  Módulo do momento angular: 
 senprL

 
 
 
r
 A ou 
 senvmrL

 
 
 x 
 Direção: Perpendicular ao plano que contém 
 os vetores 
r
 e 
p

. 
y 
 Sentido: É dado pela regra da mão direita. 
 
Relação entre momento de uma força e o momento angular 
27 
 
prL


   
dt
prd
dt
Ld



 
Após as operações matemáticas necessárias, tem-se: 
dt
Ld



 
Conservação do momento angular para uma partícula: 
dt
Ld



  se  = 0  
0
dt
Ld


  L = constante 
Quando o torque externo resultante sobre a partícula for nula há 
conservação do momento angular. 
 
6.3. Momento de Inércia (I) 
Desenvolvimento 
 
corpo extenso 
iii rmrprL 
 , como v =  . r, tem-se 
 
 



n
1i
2
ii rmL
 
 ri mi partícula 
 0 onde o termo 



n
1i
2
ii Irm
 
 eixo de giro 
 
 
O momento de inércia depende de: 
 
 distribuição da massa; 
 do eixo de rotação; 
 do formato do corpo extenso. 
 
Torque em função do momento de inércia e da aceleração angular: 


IL
   
dt
Id
dt
Ld 

 , após o devido tratamento matemático, tem-se 


I
 
Nota: A segunda lei de Newton para a rotação é: 


I
 
Obs.: O momento de inércia para uma massa contínua é dados por 
  dmrI
2
 
28 
 
6.4. Exercícios sobre Momento de Inércia 
 
1. Uma roda, girando em torno de um eixo fixo, tem energia cinética de 29 J quando 
sua velocidade angular é 13 rad/s. Qual é o momento de inércia da roda em 
relação ao eixo de rotação. 
 
2. Estime o momento de inércia de uma bola de tênis para rotação em torno de um 
diâmetro. A bola tem massa de 0,070 kg, raio exterior de 32 mm e espessura de 5 
mm. 
 
3. Com auxílio da tabela, determine o momento de inércia de uma esfera sólida, de 
densidade uniforme, massa M e raio ro, em relação a um eixo que passa à 
distância 1/2 ro do centro. Dê a resposta em termos de M e ro. 
 
4. Uma porta tem 2,1 m de altura, 1,1 m de largura, 42 mm de espessura e 
densidade de 0,88 x 103 kg/m3. Qual é o momento de inércia da porta em relação 
a um eixo ao longo das dobradiças. 
 
5. a) Determine a densidade de massa da Terra, supondo-a uniforme (mt = 5,97 x 
1024kg , Rt = 6,4 Mm); 
b) Estime o momento de inércias da Terra em relação a um eixo passando pelo 
seu centro, admitindo que a Terra tenha uma densidade de massa uniforme. 
 
6. Uma roda de 340 mm de raio rola em linha reta sem deslizar. No instante em que 
o centro da roda tem uma velocidade linear de 1,4 m/s, determine: a) a velocidade 
angular da roda em relação ao seu centro; b) a velocidade angular de uma 
partícula no topo da roda. 
 
7. Uma hélice de avião tem 3,2 m de ponta a ponta e massa de 35 kg. Qual é a 
energia cinética rotacional da hélice ao girar a 1000 rev/min. 
 
8. Estime o momento de inércia de um pneu de 5,8 kg, cujo raio externo é de 0,31m. 
 
9. Mostre que a energia cinética de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo 
pode ser escrita como: 

2L
2
1
k 
. 
 
10. Considere o momento de inércia I de um cubo uniforme de massa m e aresta L. a) 
Escreva uma expressão de I para a rotação em torno de um eixo paralelo a uma 
aresta do cubo e passando pelo centro; b) Escreva a expressão de I para uma 
rotação em torno de um eixo ao longo de uma aresta do cubo. 
 
11. Três pequenos corpos, que podem ser considerados como 
partículas, são unidos por barras rígidas leve, conforme 
figura. Qual é o momento de inércia deste sistema: a) Em 
relação a um eixo que passa por A e perpendicular ao plano 
da figura e b) em relação a um eixo que coincide com a barra 
BC. 
 
 
29 
 
12. Uma roda de bicicleta, com momento de inércia de 0,25 kg.m2 em torno do seu 
eixo e velocidade angular inicial 12 rad/s, reduz sua velocidade até parar, em 
razão do atrito nos mancais, em um intervalo de tempo de 320 s. Determine o 
módulo do torque devido ao atrito, supondo-o constante. 
 
13. Um helicóptero tem um rotor de três pás. Cada pá tem 5,5 m de comprimento e 
massa de 250 kg. Determine o módulo do momento angular do rotor quando sua 
velocidade angular é de 300 rev/min. 
 
14. Considere o momento de inércia I de um cubo uniforme de massa m e aresta L: 
a) Escreva uma expressão de I para a rotação em torno de um eixo paralelo a 
uma aresta do cubo e passando pelo centro; 
b) Escreva a expressão de I para uma rotação em torno de um eixo ao longo de 
uma aresta do cubo. 
 
15. Quatro esferas pequenas estão presas à 
extremidades de uma estrutura de massa 
desprezível no plano xy (conforme figura). 
a) Se a rotação do sistema ocorre ao redor do 
eixo y com velocidade angular ω, encontre o 
momento de inércia Iy ao redor do eixo y e a 
energia cinética rotacional desse eixo 
b) Suponha que o sistema gire no plano xy ao 
redor de um eixo passando por O (eixo z). 
Calcule o momento de inércia ao redor do 
eixo z e a energia rotacional desse eixo. 
 
16. Um cilindro cheio uniformemente tem um raio R, massa M, e 
comprimento L. Calcule seu momento de inércia ao redor de 
seu eixo central(eixo z mostrado na figura) 
 
30 
 
6.5. Energia cinética de rotação, trabalho e potência 
 
Energia Cinética (K) 
 
ivir


  
2vm
2
1
K 
 (para a translação) 
 
 
iv
 
22
ii rm
2
1
K 
, para uma partícula só. 
 
ir
 
 Para um sistema de partículas, tem-se: 
 



n
1i
22
ii rm
2
1
k
  
2I
2
1
K 
 K = [joules] = [J] 
 
Trabalho () 
 
 
sF
  F 
dscosFd 
 
  drds
 
 
 
 cosFFs
 
 ds 
 
ss dFd 
 
 d 
 
 drFd s
 
 
r
 
 0 
  d
  
  drFs
  
  d
 
 
Nota: O torque é exercido por Fs e não por F. 
 
Potência (P) 
 
P = Fs . v  P = Fs . r .   P =  .  
dt
d
P


 = [watt] = [W] 
 
Nota:  = K  







 



22
I
2
1
2
2
 
 
31 
 
6.6. Teorema dos eixos paralelos (STEINER) 
 
I = ICM + m . d
2 
 
 ICM = momento de inércia do centro de massa 
 
 R m = massa total 
 
 d = distância entre dois eixos paralelos 
 
 
 
6.7. Raio de Giração (K) 
 
 I = m . k2 
 
 k = raio de giração 
 k 
 
M
I
k 
 
 
 
 
 
 
6.8. Coordenadas Normal e Tangencial (n – t) 
 
 C t 
 n n 
 
 A n 
 t 
 B 
 t 
 
O sentido positivo de n em qualquer posição é sempre tomado para o 
centro de curvatura da trajetória. 
O sentido positivo de n muda de um lado para outro da curva se a 
curvatura mudar de sentido. 
 
 
 
32 
 
6.9. Velocidade e Aceleração 
6.9.1. Vetores unitários: 
Vamos definir 
te
 como sendo o vetor unitário na direção t e 
ne
 como 
sendo o vetor unitário na direção n. Assim, podemos escrever: 
 
 t’ 
 
'te
 
tev

 
 
 
 após algumas devidas ope- 
 V’ rações matemáticas, chega- 
 A’ se a: 
 
'ne
 
 
 n’ 
sd
 t 
tevte
v
a
2 





 
 C 
 n 
te
 


2
N
v
a
 
 
ne
 V 
 
 A 
svaT  
 
 
 trajetória 
 
2
T
2
N aaa 
 
Onde: an = aceleração normal 
 aT = aceleração tangencial 
 
Obs.: 
a) No ponto de inflexão sobre a curva, a aceleração normal, 

2v
, vai para zero, pois 
 tende para o infinito. (Se um ponto material se move ao largo de uma linha 
reta, então    e aN = 0, sendo assim, 
vaa T 
. 
 
b) Se o ponto material se move ao longo de uma curva, com velocidade escalar 
constante, então: 
0v0aT  
 e 


2
N
v
aa
. 
xd
dy
dx
dy
1
2
2
2
3
2
















, 
onde  é o raio de curvatura, quando a trajetória é expressa da forma y = f (x). 
 
c) O plano que contém os eixos, normal e tangencial, é denominado Plano 
Osculador, e no caso de movimento plano, coincide com o plano do movimento. 
 
33 
 
d) O eixo tangente t tem o sentido do movimento e o eixo normal n é sempre 
voltado para o centro de curvatura da trajetória. 
 
 
6.9.2. Aceleração Tangencial: 
 
O componente tangencial da aceleração é o resultado da taxa temporal 
de variação do módulo da velocidade. Esse componente terá o sentido do vetor 
velocidade se o módulo de 
v
 estiver aumentando e terá o sentido oposto caso o 
módulo de 
v
 esteja decrescendo. 
Nota: 
a) 
v
av
aT 



 
b) 
v
av
aN 



 
c) 
av
v3



 
34 
 
6.10. Exercícios sobre dinâmica da rotação 
 
1. Quando o esquiador alcança o ponto A de sua trajetória 
parabólica, ele tem uma velocidade escalar de 6 m/s que 
está aumentando à taxa de 2 m/s2. Determine a sua 
velocidade e a aceleração no instante considerado. 
Despreze o tamanho do esquiador. 
 
2. Um carro de corrida parte do repouso e percorre uma pista 
circular horizontal de raio de 300 pés. Se 
sua velocidade escalar aumenta a uma 
taxa constante de 7 pés/s2, determine o 
tempo necessário para ele alcançar uma 
aceleração de 8 pés/s2. Qual é sua 
velocidade escalar nesse instante. 
 
3. Um carro faz uma curva circular de 50 m de raio, aumentando sua velocidade a 
uma taxa de 8 m/s2. Se num dado instante sua velocidade é de 16 m/s, determine 
o módulo da sua aceleração nesse instante. 
 
4. Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 pés de raio de modo que 
sua velocidade varia no tempo de acordo com v =3.(t + t2) pés/s no intervalo de 
tempo 0≤ t ≤ 4s. Determine o módulo de sua aceleração quando t = 3s. Que 
distância ela percorreu até esse instante. 
 
5. Num dado instante, um avião a jato tem uma 
velocidade de 400 pés/s e uma aceleração de 70 
pés/s2 orientada como mostra a figura. Determine a 
taxa de aumento da velocidade do avião e o raio de 
curvatura R de sua trajetória. 
 
6. Um bote desloca-se numa curva circular de 100 pés de 
raio. Sua velocidade no instante t = 0 é de 15 pés/s e está aumentando a uma 
taxa dada por ·v = (0,8t) pés/s2, onde t é expresso em segundos. Determine o 
módulo de sua aceleração no instante t =5s. 
 
7. Um bote está deslocando numa trajetória circular de 20 m de raio. Determine o 
módulo da aceleração do bote quando sua velocidade escalar é v = 5 m/s e está 
aumentando a uma taxa de ·v = 2 m/s2. 
 
8. O avião a jato desloca-se na trajetória parabólica 
mostrada na figura. Quando ele passa pelo ponto A, sua 
velocidade é de 200 m/s e está crescendo a uma taxa de 
0,8 m/s2. Determine o módulo da aceleração do jato no 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
35 
 
9. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória circular R = 50 m a uma 
velocidade escalar v = (0,2t2) m/s, onde t é dado em 
segundos. Determine os módulos da velocidade e da 
aceleração do bote no instante t = 3s. 
 
10. Partindo do repouso, um bote segue uma trajetória 
circular, R = 50 m, a uma velocidade de módulo v = (0,8 t) 
m/s, onde t é dado em segundos. Determine os módulos 
da velocidade e da aceleração do bote no instante em que 
ele completa um percurso de 20 m. 
 
11. Um carro se move ao longo de uma pista circular de 250 pés de raio, a uma 
velocidade dada por v = 3.(t + t2) pés/s, no intervalo de tempo 0≤ t ≤ 2s. Determine 
o módulo da sua aceleração quando t = 2s. Que distância ele percorreu até esse 
instante. 
 
12. Num dado instante, a locomotiva em E tem uma velocidade 
de 20 m/s e uma aceleração de 14 m/s2 orientada como 
indicado na figura. Determine a taxa de aumento da 
velocidade do trem nesse instante e o raio de curvatura da 
trajetória. 
 
13. Um trenó desliza ao longo de uma curva que pode ser 
aproximada pela parábola y = 0,01x2. Determine o 
módulo de sua aceleração quando ele atinge o ponto 
A, onde a sua velocidade é de 10 m/s e está 
aumentando a uma taxa de 3 m/s2. 
 
14. A velocidade de um automóvel, inicialmente em 
repouso em s = 0, varia de acordo com v= (0,05t2) 
pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine os 
módulos da velocidade e da aceleração do carro 
quando t = 18 s. 
 
15. A velocidade de um automóvel, inicialmente em 
repouso em s = 0, varia de acordo com ·v = (0,05t2) 
pés/s2, onde t é dado em segundos. Determine os 
módulos da velocidade e da aceleração do carro em 
s = 550 pés. 
 
16. Um caminhão desloca-se numa trajetória circular 
de 50 m de raio a uma velocidade de 4 m/s. Num 
pequeno trecho a partir de s = 0, sua velocidade 
aumenta à taxa ·v = (0,05s) m/s2, onde s é medido 
em metros. Determine os módulos da velocidade 
e da aceleração do caminhão quando s = 10 m. 
 
17. Um avião a jato desloca-se com velocidade de 
módulo constante igual a 110 m/s, ao longo da 
trajetória mostrada na figura. Determine o módulo da 
sua aceleração quando ele atinge o ponto A (y = 0). 
 
36 
 
 
18. Um trem está viajando a uma velocidade escalar 
constante de 14 m/s. Determine o módulo da 
aceleração da frente do trem no instante em que ele 
atinge o ponto A (y = 0). (5,02 ms/2) 
 
19. Uma motocicleta inicia a partir do repouso em A 
um movimento circular ao longo da pista vertical. 
Sua velocidade aumenta à taxa ·v = (0,3t) pés/s2, 
onde t é dado em segundos. Determine os 
módulos da velocidade e da aceleração da moto 
quando ela passa por B. 
 
20. O movimento de um ponto material é definido 
pelas equações: x = (2t + t2) m e y = (t2) m, onde t 
é dado em segundos. Determine os componentes 
normal e tangencial da velocidade e da aceleração do 
ponto quando t = 2 s. 
 
21. Os pontos materiais A e B partem da origem O e 
deslocam-se em sentidos opostos ao longo da trajetória 
circular, com velocidades de módulos vA = 0,7 m/s e vB = 
1,5 m/s, respectivamente. Determine o instante em que 
eles colidem e o módulo da aceleração de B, 
imediatamente antes da colisão. 
 
22. Um menino que brinca num carrossel localiza-se a uma distância r = 8 pés do eixo 
de rotação. O carrossel está inicialmente em repouso e então é posto para girar 
de tal modo que a velocidade do menino aumenta a uma taxa de 2 pés/s2. 
Determine o tempo necessário para que a aceleração da criança se torne igual a 4 
pés/s2. 
 
23. A caixa de dimensões desprezíveis desliza ao longo 
da trajetória curva definida pela parábola y = 0,4x2. 
quando ela está em (xA = 2m , yA = 1,6 m), a 
velocidade é vA = 8 m/s e aumenta de acorda com 
dvA/dt = 4 m/s
2. Determine o módulo da aceleração 
da caixa nessa posição. 
 
24. Um ponto material P desloca-se numa hélice elíptica tal 
que seu vetor posição é definido por r = [2cos(0,1t)i + 
1,5 sen(0.1t)j + (2t)k] m, onde t é dado em segundos e 
os argumentos das funções trigonométricas, em 
radianos. Determine para t = 8 s os ângulos diretores 
coordenados α, β e γ, que o eixo binormal ao plano 
osculador forma com os eixos cartesianos. Resolva o 
problema para a velocidade VP e a aceleração aP do 
ponto material, em função dos seus componentes 
cartesianos. O eixo binormal é paralelo a VP x aP. 
 
 
 
37 
 
25. A trajetória de um ponto material é definida por: X = 2t2 e Y = 0,04t3. Determine: 
a) O módulo da velocidade para t = 10 s; 
b) O módulo da sua aceleração normal e tangencial para t = 10 s. 
 
26. O vetor posição de uma partícula é dado por: r(t) = 0,6t2i + 3tj + 0,1t3k, tudo no SI. 
Determine as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio principal 
de curvatura da trajetória da partícula quando t = 3s. 
 
27. A velocidade de uma partícula é definida por: vx = 30 – 0,3 t
3/2 e vy = 30 + 3 t – 0,6 
t2, tudo no SI. Determine o raio de curvatura no topo da trajetória. 
 
28. Usando os dados do problema anterior, determine o raio de curvatura da trajetória 
de uma partícula quando t = 12 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
7. Movimento sob força resistiva 
 
É o movimento estudado com forças que opõem resistência ao 
movimento. 
 “Atrito seco” ( =  . N   estático [e] 
 cinético [c] 
 A experiência mostra que e > c 
 
 “Atrito viscoso” (R = – b . vn) 
 
n é sempre positivo 
 n = 1  R = – b . v  caso linear; 
 n = 2  R = – c . v2  caso quadrático; 
 n = 3  R = – c . v3  caso cúbico; 
Forças resistivas n = fracionário  qpvcR  . 
 
b = coeficiente de forma e meio, depende de: 
- forma do corpo 
- do meio onde o corpo se move 
- das dimensões do corpo 
 
c = coeficiente de forma e meio, depende de: 
- forma do corpo 
- do meio onde o corpo se move 
- das dimensões do corpo 
- velocidade de queda do corpo 
 
 
7.1. Exemplos de Atrito Viscoso (Discussões Qualitativas): 
 
7.1.1. Gota da chuva (caso linear): 
 hmínimo da nuvem de chuva = 2 km 
 hmáximo da nuvem de chuva = 10 km 
 hprovável para nuvens de chuva normalmente = 1,5 km 
 2 m/s < v < 10 m/s, onde v é a velocidade terminal 
 
R = caso linear = – b . v 
 
 
R
 Obs.: Se “v” cresce, “R” também cresce 
 
 logo depois que a gota sai da nuvem ela entra em 
 
v
 velocidade terminal 
 
 
 M.R.U.  velocidade const. 
nuvem 
39 
 
dt
dv
mvbgm 
  
0vbgm T 
 
 de chegada 
 
b
gm
v T


  A velocidade terminal (vT) depende da massa. 
 
7.1.2. Páraquedista (caso quadrático): 
 
R = caso quadrático = – c . v2 
 
dt
dv
mvcgm 2 
  
c
gm
vT


 
 
O pára-quedas é projetado para ter uma velocidade terminal de 5 m/s. 
 
 
 
7.1.3. Discussão Quantitativa (caso linear) 
 
R = – b . v 
 
 
Equações 
 
a) Velocidade de subida (vs) 
k
g
e
K
g
vv tK0S 





 
 
b) Posição (y) 
  t
K
g
e1
K
K
g
v
y tK
0








  
c) Tempo de subida (ts) 
K
g
K
g
vn
K
1
t
0
S









 
d) Altura máxima (hmáx) 














K
g
K
g
v
n
K
g
K
v
h
0
2
0
máx  
e) Velocidade de descida (vD) 
K
g
e
K
g
vv tK0D 





 
  (t    vD = vterminal) 
40 
 
7.1.4. Gráfico da velocidade de descida em função do tempo (v = f(t)) 
 
 v 
 
onde: T é um parâmetro chamado 
constante de tempo 
 vT 
 
 0,632 vT 










T
t
T e1vv
 
 
 0 T t 
 
Obs.: A constante de tempo T representa o tempo necessário para o corpo alcançar 
63,2 % de sua velocidade terminal. 
 
 
 
41 
 
7.2. Exercícios sobre coeficiente de arrasto 
 
1. Um automóvel possui coeficiente de arraste de 0,38 e área frontal de 2,5m2. 
Calcule a potência dissipada pelo atrito do ar para o carro movendo-se a 40 m/s. 
 
2. Um pára-quedista com massa de 60kg solta com um pára-quedas cuja área frontal 
é de 15m2. sabendo que a densidade do ar é ρ = 1,2 kg/m3 e que o coeficiente de 
arrasto do pára-quedas é Cd = 1,4. calcule a velocidade terminal do pára-quedas. 
 
3. Um carro com área frontal de 2,1 m2 tem coeficiente de arraste Cd = 0,35. Qual a 
força de atrito do ar quando o carro viaja a 140 km/h. 
 
4. Um edifício de altura de 100m e frente com largura de 15 m, tem coeficiente de 
arraste 0,20. Qual é à força de um vento de 90 km/h faz sobre o edifício. 
 
5. Um carro baú tem coeficiente de arraste igual a 0,96 e área frontal de 6 m2. Qual a 
potência dissipada pelo atrito com o ar (ρ = 1,23 kg/m3) quando suavelocidade é 
de 120 km/h. 
 
6. Um avião cujo coeficiente de arraste é Cd = 0,20, possui área frontal de 18 m
2. 
Qual é a potência gasta para vencer o atrito do ar, quando o avião voa a 950 km/h 
à altitude de 900m onde a densidade do ar é ρ = 0,39 kg/m3. 
 
7. Um pingo de chuva com raio R = 1,5mm cai de uma nuvem a um altura de 1200m 
acima do solo. O Cd para a gota é de 0,60. Suponha que a gota seja esférica 
durante toda a queda. A massa especifica da água é ρw = 1000 kg/m
3, e a massa 
especifica do ar é ρ = 1,2 kg/m3. Qual a velocidade terminal dessa gota de chuva. 
 
8. Calcule a força de arrasto sobre um míssil de 53 cm de diâmetro se deslocando a 
uma velocidade de 250 km/h a baixa altitude, onde a massa esférica do ar é de 
1,2 kg/m3. Suponha que o Cd = 0,75 para esse míssil. 
 
9. Um pára-quedas será usado para descer uma caixa que não pode colidir com o 
solo com velocidade superior a 3m/s. Sendo 100 kg a massa da caixa e 1,4 o 
coeficiente de arraste do pára-quedas, qual deve ser o valor mínimo da área 
frontal deste? A densidade do ar é ρ =1,2 kg/m3. 
 
10. Calcule a velocidade terminal de queda de uma bola de futebol, com massa m = 
0,453 kg e diâmetro D = 0,226 m (área A = 0,040 m2 ) 
 
11. Uma pára-quedista com massa de 60 kg salta com um pára-quedas cuja área 
frontal é de 15 m2. Sabendo que a densidade do ar é 1,2 kg/m3 e que o coeficiente 
de arraste do pára-quedas é Cd = 1,4, calcule a velocidade terminal da pára-
quedista. 
 
12. Um ciclista corre em uma bicicleta com o dorso abaixado, para minimizar atrito. 
Sua área frontal é de 0,36 m2, seu coeficiente de arraste é de 0,88 e sua 
velocidade é de 40 km/h. Qual é a potência dissipada pelo atrito do ar. Com o 
dorso posicionado na posição vertical, a área frontal do ciclista e sua bicicleta é 
0,51 m2 e seu coeficiente de arraste é 1,1. Realizando o mesmo esforço anterior, 
qual é a velocidade do ciclista. 
42 
 
13. Um carro com área frontal de 1,85 m2 tem coeficiente de arraste Cd = 0,55. Qual é 
à força de atrito do ar quando o carro viaja a 80 km/h. 
 
14. Um edifício tem altura de 30 m e frente com largura de 10 m. Seu coeficiente de 
arraste é 2,0. (a) Qual é a força que um vento de 110 km/h faz sobre o edifício. (b) 
Supondo-se que a força do vento seja aplicada uniformemente ao longo da altura 
do prédio, qual é o torque da força em relação ao solo. 
 
15. Um caminhão baú tem coeficiente de arraste igual a 1,26 e área frontal de 5,34 
m2. Qual é a potência dissipada pelo atrito com o ar (densidade 1,20 kg/m3) 
quando sua velocidade é 95 km/h. 
 
16. Um avião, cujo coeficiente de arraste é Cd = 0,35, possui área frontal de 38 m
2. 
Qual é a potência gasta para vencer o atrito do ar, quando o avião voa a 875 km/h 
à altitude de 12000 m, onde a densidade do ar é 0,23 kg/m3. 
 
17. Uma bolinha de massa de 0,015kg e coeficiente de forma (b = 8 N.s/m). Encontre 
a velocidade terminal dessa bolinha. Considere g = 9,805 m/s2. 
 
18. Verifica-se que uma bolinha de massa m = 0,012 kg tem uma velocidade terminal 
de 0,072 m/s ao cair em óleo. Suponha a força resistiva de R = - bv e despreze a 
força de empuxo. Determine: 
a) A constante de forma; 
b) O módulo da força resultante sobre a bolinha quando sua velocidade for de 
0,050 m/s. 
 
19. A força resistiva sobre uma pedra de massa 0,081 kg caindo no óleo é dada por 
R = – (13 N.s/m)v. Qual a velocidade terminal da pedra. Despreze as forças de 
empuxo. 
 
20. O módulo da força exercida pelo ar sobre uma bola de beisebol ao cair é quase 
proporcional ao quadrado da velocidade. Sendo R = – cv2, onde a constante de 
proporcionalidade c = 0,0013 N.s2/m2. Determine a velocidade terminal de uma 
bola de beisebol no ar. Sendo a massa de uma bola oficial de beisebol igual a 
0,142 kg. 
 
21. Suponha que a força resistiva sobre um patinador de corrida seja dada por: 
R = – kmv2, em que k é uma constante e m é a massa do patinador. Ele cruza a 
linha de chegada de uma corrida em linha reta com velocidade escalar v0 e então 
se torna mais lento deslizando em seus patins. Mostre que a velocidade do 
patinador em qualquer tempo t após cruzar a linha de chegada é: 
 
22. Um corpo de massa 0,025 kg é solto do repouso dentro de um grande tanque que 
contém óleo. Sendo b = 6 N.s/m e g = 9,8 m/s2. Calcular a velocidade da bolinha 
após um tempo de queda muito grande. 
 
23. Um corpo de massa 10x10-3 kg é solto do repouso em um grande recipiente cheio 
de óleo. Sendo b = 8 N.s/m e g = 9,8 m/s2, calcular a sua velocidade após ter 
caído 5 ms. 
 
24. Deduza as equações para: 
a) A velocidade terminal para corpos de pequenas massas; 
43 
 
b) A velocidade num instante qualquer, a partir do repouso caindo em um meio 
viscoso. 
 
25. Uma pequena esfera de massa de 2 g é solta do repouso em um grande 
recipiente cheio com óleo. A esfera aproxima-se de uma velocidade terminal de 5 
cm/s. Determine: 
a) A constante de tempo τ; 
b) O tempo necessário para a esfera alcançar 90% de sua velocidade terminal. 
 
26. Solta-se uma pequena quantidade de espuma para embalagem a uma altura de 2 
m acima do solo. Até que ela atinja a velocidade terminal, o módulo da aceleração 
é dado por a = g – bv. Após cair por 0,5 m, a espuma alcança efetivamente a 
velocidade terminal, levando então outros 5s para alcançar o chão. 
a) Qual é o valor da constante b; 
b) Qual é a aceleração em t = 0; 
c) Qual é a aceleração quando a velocidade escalar é de 0,150 m/s. 
 
27. Solta-se uma pequena esfera de massa de 3 g do repouso em t =0 em um vidro 
de xampu. Observa-se que a velocidade terminal é de vT = 2 cm/s. Encontre: 
a) o valor da constante b na Equação: dv/dt = g – b v /m.; 
b) o tempo τ necessário para se alcançar 0,632 VT; 
c) O valor da força resistiva quando a esfera alcança a velocidade terminal. 
 
28. a) Estime a velocidade terminal de uma esfera de madeira (densidade de 0,830 
g/cm3) caindo no ar se seu raio for de 8 cm; 
b) De que altura um corpo em queda livre alcançaria essa velocidade na ausência 
da resistência do ar, sendo CD = 0,50. 
 
29. Um barco desliga seu motor quando sua velocidade escalar é de 10 m/s e navega 
até parar. A equação descrevendo o movimento do barco durante esse período é 
v = vi.e
-ct , em que v é a velocidade escalar no tempo t, vi é a velocidade escalar 
inicial, e c é uma constante. Em t = 20 s, a velocidade escalar é de 5 m/s. 
a) Encontre a constante c; 
b) Qual é a velocidade escalar em t = 40 s. 
c) Diferencie a expressão para v(t) e mostre, assim, que a aceleração do barco é 
proporcional à velocidade escalar em qualquer tempo. 
 
30. Deduza a equação da velocidade para um corpo com velocidade inicial diferente 
de zero. 
 
31. Um barco desloca-se sob a ação de uma força motora F, constante. A resistência 
ao avanço é proporcional a sua velocidade, admitindo: x0 = v0 = 0, determine: 
a) v = f (t); 
b) x = f (t) ; 
c) Vmáx do barco. 
 
32. O movimento de um corpo caindo do repouso em um meio resistivo é descrito 
pela equação: dv/dt = A – Bv, onde A e B são constantes. Em termos de A e B, 
achar: 
a) A aceleração inicial; 
b) A velocidade para a qual a aceleração torna-se zero; 
c) Mostrar que em qualquer instante a velocidade é dada por; 
44 
 
 
33. Quando se desliga o motor de uma lancha, ela sofre uma aceleração no sentido 
oposto ao da velocidade e diretamente proporcional ao quadrado dessa 
velocidade, isto é: dv/dt = -kv2, onde k é uma constante. 
a) Mostrar que a velocidade no instante t depois de desligar o motor, é dada por: 
b) Mostrar que velocidade, depois de percorrer uma distância x, é: 
c) Mostrar que a distância percorrida num tempo t é:45 
 
8. Sistemas de massa variável 
 
8.1. Movimento de um foguete 
 
O movimento de um foguete é diferente do de outros veículos, como 
automóveis ou trens. Quando um automóvel acelera, o pavimento exerce uma força de 
atrito horizontal sobre os pneus, e esta força externa é responsável pela aceleração do 
carro. Mas um foguete deve ser capaz de acelerar em um espaço vazio onde não há 
um agente externo sobre o qual possa apoiar-se. Um foguete se move ejetando parte 
de si mesmo na direção oposta à de sua projetada trajetória. Quando o motor de um 
foguete está queimando seu combustível, o material queimado (os gases de exaustão) 
e o resto do foguete exercem forças um sobre o outro. A força exercida pelos gases de 
exaustão sobre o resto do foguete é chamada empuxo do motor e, é esta força que 
impulsiona o resto do foguete. Uma característica de um foguete é que sua massa m 
Vaira significativamente (decrescendo) enquanto seu motor está funcionando. 
Abaixo fornecemos um exemplo de um motor de foguete. Duas 
características são importantes: 
a) A taxa de queima de combustível






dt
dm
 
b) A velocidade dos gases de exaustão (ve) 
 
Equações: 
m . dv = - ve . dm 
dt
dm
vF ee 
 ; 







f
i
eif
m
m
nvvv 
 ; 
g
m
F
a e 
 
 
a) b) 
 
 
jˆ
v
 
 
  jˆvv 
 
 M M – m 
 
 
 
jˆ

 m 
 
 
46 
 
 
8.2. Exercícios sobre Movimento de Foguetes 
 
1. A variação na velocidade de um foguete é diretamente proporcional à velocidade 
dos gases de exaustão e depende logaritmicamente da redução relativa da 
massa. Suponhamos que um foguete parta do repouso e realize a queima de 
modo que sua massa se reduza de um fator 2; suponhamos também que a 
velocidade de exaustão seja de 2,5 x 103 m/s. A velocidade do foguete após a 
queima será de: 
 
2. O motor de um foguete tem taxa de queima 3,8 kg/s e a velocidade dos gases de 
exaustão é de 2,3 x 103 m/s. Determine: 
a) O módulo do empuxo do motor; 
b) A massa máxima que o foguete pode ter ao decolar da superfície da Terra; 
c) Se a massa do foguete é de 900 kg no instante em que o motor atinge 
potência plena, quanto tempo levará até que o foguete comece a descolar. 
 
3. Mostre que o produto 
td
Md
Ve 
 tem a dimensão de uma força. 
 
4. Qual é o modulo da aceleração de um foguete de 5860 kg logo após a decolagem. 
O motor do foguete tem módulo de empuxo de 72,7 kN. 
 
5. Um foguete de 2000 kg está em repouso quando seu motor é ligado. O foguete 
está em uma região interplanetária do sistema solar onde ∑ Fext é desprezível. 
Qual a massa do foguete no instante em que a velocidade é igual a vê. 
 
6. Uma nave espacial de 10.000 kg está equipada com um pequeno motor de 
foguete para manobrar no espaço. O motor tem uma velocidade de exaustão de 2 
km/s e uma taxa de queima de 0,010 kg/s. 
a) Qual é o empuxo do motor; 
b) Estime o intervalo de tempo durante o qual o motor deve operar para aumentar 
a velocidade da espaçonave de 0 para 2 m/s; 
c) Quanta massa é ejetada durante esse intervalo de tempo. 
 
7. Um foguete está em uma região do espaço em que ∑ Fext é desprezível. O motor 
do foguete é utilizado para acelerá-lo segundo uma linha reta, da velocidade zero 
a 5 km/s. A velocidade de exaustão do foguete é 2,0 x 103 m/s. Que fração da 
massa do foguete é ejetada durante esse intervalo de tempo. 
 
8. Um foguete cuja massa inicial Mi é igual a 850 kg consome combustível a uma 
taxa 2,3 kg/s. A velocidade dos gases de exaustão em relação ao motor do 
foguete é igual a 2800 m/s. 
a) Qual o empuxo fornecido pelo motor do foguete; 
b) Qual a aceleração inicial do foguete; 
c) Suponha que o foguete seja lançado de uma nave espacial já no espaço 
sideral, onde podemos desprezar qualquer força gravitacional atuando sobre 
ele. A massa final do foguete quando seu combustível acaba é de 180 kg. Qual 
a sua velocidade relativa à nave neste instante? Suponha que a nave possua 
uma massa tão grande que o lançamento não altere a sua velocidade. 
47 
 
 
9. Uma sonda espacial de 6090 kg, viajando para Júpter com uma velocidade de 105 
m/s em relação ao sol, aciona o motor, ejetando 80 kg de gases com uma 
velocidade de 253 m/s em relação à sonda. Supondo que os gases são ejetados 
no sentido oposto ao movimento inicial da sonda, qual a sua velocidade final. 
 
10. Um foguete em repouso no espaço, em uma região que a força gravitacional é 
desprezível, tem uma massa de 2,55 x 105 kg, da qual 1,8 x 105 kg são 
combustível. O consumo de combustível do motor é de 480 kg/s e a velocidade de 
escapamento dos gases é de 3,27 km/s. O motor é acionado durante 250 s. 
a) Determine o empuxo do foguete; 
b) Qual é a massa do foguete depois do motor é desligado; 
c) Qual a velocidade final do foguete. 
 
11. Um foguete em movimento no espaço vazio tem velocidade escalar de 3 x 103 m/s 
em relação à Terra. Seus motores são ligados, e é ejetado combustível em uma 
direção oposta ao movimento do foguete com velocidade escalar de 5 x 103 m/s 
em relação ao foguete. 
a) Qual é a velocidade escalar do foguete em relação à Terra uma vez que sua 
massa é reduzida à metade de sua massa antes da ignição; 
b) Qual é a propulsão sobre o foguete se ele gasta combustível na taxa de 50 
kg/s. 
 
12. O primeiro estágio do veículo espacial Saturno V consome combustível na taxa de 
1,5 x 104 kg/s, com velocidade de escape de 2,60 x 103 m/s. 
a) Calcule a propulsão produzida por esses motores; 
b) Encontre a aceleração do veículo no momento em que deixa a plataforma de 
lançamento se a sua massa inicial é de 3 x 106 kg. 
 
13. Motores de foguete de modelos são classificados de acordo com o tamanho pela 
propulsão, duração de propulsão e impulso total, entre outras características. Um 
motor de foguete de modelo de tamanho C5 tem propulsão média de 5,26 N, 
massa de combustível de 12,7 g e massa inicial de 25,5 g. A duração da queima 
do seu combustível é de 1,90 s. 
a) Qual é a velocidade de escape média do motor; 
b) Se o motor for colocado em um corpo de foguete de massa de 53,5 g, qual é a 
velocidade final do foguete se ele for acionado no espaço exterior? Suponha 
que o combustível seja consumido a uma taxa constante. 
 
14. Um foguete para ser utilizado no espaço sideral tem de ter a capacidade de lançar 
uma carga total (carga útil mais estrutura do foguete e do motor) de 3 toneladas 
métricas à velocidade escalar de 10.000 m/s. 
a) Ele tem um motor e combustíveis projetados para produzir velocidade escalar 
de escape de 2000 m/s. Quanto combustível é necessário; 
b) Se um projeto diferente para o combustível e para o motor pudesse fornecer a 
velocidade escalar de escape de 5000 m/s, qual quantidade de combustível 
seria necessário para realizar a mesma tarefa. 
 
 
48 
 
9. Momento Angular 
 
0
H
 
O momento angular de um ponto material em relação a um ponto O, é 
definido como o “momento” da quantidade de movimento do ponto material em relação 
ao ponto O. O momento angular, H0, é reconhecido como o momento e a quantidade 
de movimento. 
 
 
Formulação escalar: 
 
 z 
 
 
 
0H
 
     vmdH
z0

 
 
 y 
 d 
 
 P m.v 
 
 
 x 
 
 
Formulação vetorial: 
 
zyx
zyx
vmvmvm
rrr
kˆjˆiˆ

 
 
 
49 
 
9.1. Exercícios sobre Momento Angular 
1. Determine o momento angular do ponto 
material A de 2 lb, em relação ao ponto O. 
Use uma solução vetorial cartesiana. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o momento angular Ho do 
ponto material, em relação a O.