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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´ CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 3ra PROVA Prof. Dr. Ivan Gonzales 4 de dezembro de 2015 ALUNO : PERGUNTAS: OBS: Fazem uma u´nica pergunta entre (5) e (6). A pergunta (8) e´ opcional. 1.) [2 ptos] Calcule : a. 1−ai1+ia . b. As ra´ızes sextas da unidade. 2.) [2 ptos] Expresse 1 3 + i + 2− i i + 31+i na forma a + bi. 3.) [1,5 ptos] Use a se´rie Binomial para encontrar a se´rie de Maclaurin de f(x) = √ 1 + x2 e use isto para calcular f (9)(0). 4.) [1 pto] Calcule a soma 50∑ n=1 in. 5.)* [1,5 ptos] [Esponja de Menger] Considere o cubo inicial de aresta 1 (fig 1), divida o cubo em 9 cubos e retire os cubos centrais de cada face junto com o cubo central tal como na fi- gura 2. Repita o processo em cada cubo que ficou na figura 2, obtendo assim a figura 3 e seguidamente a figura 4. Fazendo o procedi- mento repetidamente (infinito) o resultado e´ a chamada Esponja de Menger. a. Calcule a a´rea da Esponja de Menger. (Rpta: ∞) b. Calcule o volume da Esponja de Menger. (Rpta: 0). 6.)* [15, ptos] [Julia´s set] Considere a aplicac¸a˜o f(z) = z2. Dado um ponto z0 tente cal- cular o limite limn→∞ fn(z), onde fn(z) = f(fn−1(z)). Colorea de preto os pontos sobre o plano complexo tais que o limite acima existe e colorea de vermelho os pontos tais que o limite acima e´ ∞. O conjunto coloreado de preto e´ chamado o conjunto de Julia da func¸a˜o z2. De- senhe no plano complexo teus resultados.! Que figura formam os pontos coloridos de preto?. 7.) [2 ptos] Calcule o raio de convergeˆncia de f(x) = ∞∑ n=0 (−1)nx2n (2n)! e mostre que e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o dife- rencial f ′′(x) + f(x) = 0. 8.) [1 pto] Calcule (1− i)20. 1
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