Questão Agente Administrativo

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R
A
C
IO
C
ÍN
IO
 L
Ó
G
IC
O
197
A
O ponto desenhado acima no encontro entre as 
duas semirretas é denominado “Vértice do ângulo”. 
Um ângulo é medido de acordo com a sua abertura. 
Dizemos que uma abertura completa mede 360 graus 
(360º). Veja:
A
Como 360o representam uma volta completa, 180º 
representam meia-volta, como você pode ver abaixo:
180°
Por sua vez, 90o representa metade de meia-volta, 
isto é, ¼ de volta. Este ângulo é conhecido como ângu-
lo reto, e tem uma representação bem característica:
90°
Os ângulos podem ser classificados quanto ao 
valor do ângulo em relação a 90°:
 z Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 
90°. Ex.: 30o, 42o, 63o.
 z Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 
90o. Ex.: 100o, 125o, 155o.
Observação: os ângulos de 0 e 180º são denomina-
dos de ângulos rasos.
Outra classificação de ângulos é em relação a 
medida:
 z Ângulos congruentes: são congruentes (iguais) 
quando possuem a mesma medida.
 z Ângulos complementares: são complementares 
quando a soma entre os ângulos é 90o. Ex.: 60° + 
30° = 90°. Os ângulos 30° e 60° são complementares 
um do outro.
 z Ângulos suplementares: são suplementares quan-
do a soma entre os ângulos é 180o. Ex.: 110° + 70° 
= 180°. Os ângulos 70° e 110° são suplementares 
entre si.
A semirretas que divide um ângulo em duas partes 
iguais é denominada Bissetriz. Veja:
A/2
A/2
Agora observe esse cruzamento de retas. Vamos 
tirar algumas conclusões interessantes.
C
D
A
B
Os ângulos formados pelo cruzamento das retas 
são denominados ângulos opostos pelo vértice e tem 
o mesmo valor. Ou seja, A = C e B = D. 
Os ângulos A e B são suplementares, pois a soma 
entre eles é de 180o, assim como a soma dos ângulos B 
e C, C e D, e D e A.
Dica
Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma 
medida.
Uma outra unidade de medida de ângulos é cha-
mada de “radianos”. Dizemos que 180o correspondem 
a π (“pi”) radianos. Vamos usar uma regra de três sim-
ples para convertermos qualquer ângulo em radia-
nos. Veja, vamos converter 60o para radianos:
180° ---------------------------------- π radianos
60° ------------------------------------ x radianos
180x = 60 π
x = 
180
60r = 3
r radianos.
Polígonos 
Polígono qualquer figura geométrica fechada for-
mada por uma série de segmentos de reta. Observe:
Os elementos de qualquer polígono são:
 z Lados: são os segmentos de reta que formam o 
polígono (a figura abaixo, um pentágono, possui 5 
segmentos de reta, isto é, 5 lados).
 z Vértices: são os pontos de junção de dois segmen-
tos de reta consecutivos. Estão marcados com 
letras maiúsculas na figura abaixo.
198
 z Diagonais: são os segmentos de reta que unem dois 
vértices não consecutivos. São as retas vermelha 
traçadas no polígono abaixo.
A
EB
C D
Para calcular o número de diagonais de um polígo-
no, vamos precisar levar em consideração os vértices 
(lados). Chegamos na seguinte fórmula:
D = 
2
n (n 3)# -
Veja que o pentágono (n = 5) possui 5 diagonais.
 z a soma do ângulo interno e do ângulo externo de 
um mesmo vértice é igual a 180º;
 z a soma dos ângulos internos de um polígono de n 
lados é:
S = (n – 2) × 180°
Dica
A soma dos ângulos internos de um triângulo (n = 
3) é 180º e nos quadriláteros (polígonos de 4 lados) 
esta soma é 360º.
Os polígonos que possuem todos os lados iguais 
e todos os ângulos internos iguais (congruentes) são 
chamados de polígonos regulares. Conheça algumas 
nomenclaturas dos principais polígonos regulares e 
os seus números de lados.
Nº DE 
LADOS
NOME Nº DE 
LADOS
NOME
3 Triângulo 9 Eneágono
4 Quadrilátero 10 Decágono
5 Pentágono 11 Undecágono
6 Hexágono 12 Dodecágono
7 Heptágono ... ...
8 Octógono 20 Icoságono
 EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (IDECAN – 2013) No triângulo a seguir, o lado KL é 
paralelo ao segmento DE. 
J
D
K L
E
x
a 55°
115°
A soma dos valores dos ângulos “x” e “a” é
a) 170°.
b) 180°.
c) 185°.
d) 190°.
e) 195°.
J
D
K L
E
x
a 55°
115°
55°a
Veja que podemos colocar o ângulo “a” como suple-
mentar de 115°, pois os segmentos KL e DE são 
paralelos. Assim como o ângulo 55° é suplementar 
do ângulo “x”. Assim, 
a + 115 = 180
a = 65º
------------------
x + 55 = 180
x = 125º
Logo, x + a = 190º. Resposta: Letra D.
2. (CONSULPLAN – 2018) A soma dos ângulos internos 
de um polígono regular que tem 20 diagonais é
a) 495
b) 720
c) 990
d) 1080
Vamos aplicar a fórmula das diagonais de um polí-
gono para descobrir o número de lados:
 D = 
2
n (n 3)# -
20 = 
2
n 3n
2
-
40 = n2 - 3n
n2 – 3n - 40 = 0
Vamos achar as raízes da equação do 2° grau:
n =
 
- (-3) ± √(-3)2 -4 · 1 · (- 40)
2 · 1 
 R
A
C
IO
C
ÍN
IO
 L
Ó
G
IC
O
199
n =
 
3 ± √9 + 160
2 
n =
 
3 ± 13
2 
Como “n” é o número de diagonais, precisamos ape-
nas pegar o resultado positivo. Logo, 
n = 
3 + 13
2 
 
= 8 lados
Aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos 
de um polígono, temos:
S = (n – 2) × 180°
S = (8 – 2) × 180°
S = 1080°. Resposta: Letra D. 
3. (FEPESE – 2019) Na figura abaixo, as retas r e s são 
paralelas.
r
α
s
β
θ
Se o ângulo α mede 44°30’ e o ângulo θ mede 55°30’, 
então a medida do ângulo β é:
a) 100°.
b) 55°30’.
c) 60°.
d) 44°30”.
e) 80°.
r
α
s
β
θθ
α
β = α + θ
β = 44°30’ + 55°30’ = 99°60’ = 100°
Resposta: Letra A.
4. (ESAF – 2003) Os ângulos de um triângulo encontram-
-se na razão 2 : 3 : 4. O ângulo maior do triângulo, por-
tanto, é igual a:
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
Se os ângulos do triângulo se encontram na razão 
2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x e a soma 
dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre 
180º.
Assim, 2x + 3x + 4x = 180°
9x = 180°
x = 20°
O maior ângulo é 4x = 4 ∙ 20° = 80°
Resposta: Letra D. 
MÉTRICA. ÁREAS E VOLUMES. ESTIMATIVAS. 
APLICAÇÕES
Sistema de Unidades de Medidas
Quando estudamos o sistema de medidas nos 
atentamos ao fato de que ele serve para quantificar 
dimensões que podem ter uma variação gigantesca. 
Porém existem as conversões entre as unidades para 
uma melhor interpretação e leitura.
Medidas de Comprimento
A unidade principal tomada como referência é o 
metro. Além dele, temos outras seis unidades dife-
rentes que servem para medir dimensões maiores ou 
menores. A conversão de unidades de comprimento 
segue potências de 10. Veja o esquema abaixo:
Km
(quilômetro)
hm
(hectômetro)
dam
(decâmetro)
m
(metro)
dm
(decímetro)
cm
(centímetro)
mm
(mlímetro)
Km hm dam m dm cm mm
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
:10 :10 :10 :10 :10 :10
Exemplo: Converter 5,3 metros para centímetros.
Para sair do metro e chegar no centímetro deve-
mos multiplicar por 100 (10x10), pois “andamos” duas 
casas até chegar em centímetro. Logo, 
5,3m = 5,3 x 100 = 530 cm.
Medidas de Área (Superfície)
A unidade principal tomada como referência é o 
metro quadrado. Além dele, temos outras seis unidades 
diferentes que servem para medir dimensões maiores 
ou menores. A conversão de unidades de superfície 
segue potências de 100. Veja o esquema abaixo:
Km2
(quilômetro
quadrado)
hm2
(hectômetro
quadrado)
dam2
(decâmetro
quadrado)
m2
(metro
quadrado)
dm2
(decímetro
quadrado)
cm2
(centímetro
quadrado)
mm2
(mlímetro
quadrado)
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
×100 ×100 ×100 ×100 ×100 ×100
:100 :100 :100 :100 :100 :100
Exemplo: Converter 5,3 m2 para cm2.
Para sair do metro quadrado e chegar no cen-
tímetro quadrado devemos multiplicar por 10000 
(100x100), pois “andamos” duas casas até chegar em 
centímetro quadrado. Logo, 5,3m2 = 5,3 x 10000 = 
53000 cm2.
200
Medidas de Volume (Capacidade)
A unidade principal tomada como referência é o 
metro cúbico. Além dele, temos outras seis unidades 
diferentes que servem para medir dimensões maiores 
ou menores. A conversão de unidades de superfície 
segue potências de 1000. Veja o esquema abaixo:
Km3
(quilômetro
cúbico)
hm3
(hectômetro
cúbico)
dam3
(decâmetro
cúbico)
m3
(metro
cúbico)
dm3
(decímetro
cúbico)
cm3
(centímetro
cúbico)
mm3
(mlímetro
cúbico)
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
×1.000:1.000
×1.000 ×1.000 ×1.000 ×1.000 ×1.000
:1.000 :1.000 :1.000 :1.000 :1.000
Exemplo: Converter 5,3 m3 para cm3.
Para sair do metro cúbico e chegar no centímetro 
cúbico devemos multiplicar por 1000000 (1000x1000), 
pois “andamos” duas casas até chegar em centímetro 
cúbico. Logo, 
5,3m3 = 5,3 x 1000000 = 5300000 cm3.
Veja agora algumas relações interessantes e que 
você precisa ter em mente para resolver a diversas 
questões. 
UNIDADE RELAÇÃO DE UNIDADE
1 quilograma (kg) 1000 gramas (g)
1 tonelada (t) 1000 quilogramas (kg)
1 litro (l) 1 decímetro cúbico (dm3)
1 mililitro (ml) 1centímetro cúbico (cm3)
1 hectare (ha) 1 hectômetro quadrado (hm2)
1 hectare (ha) 10000 metros quadrados (m2)
Medidas de Tempo
Medindo intervalos de tempos temos (hora – minu-
to – segundo) que são os mais conhecidos. Veja como 
se faz a relação nessa unidade:
Para transformar de uma unidade maior para a 
unidade menor, multiplica-se por 60. Veja:
1 hora = 60 minutos
4 h = 4 x 60 = 240 minutos
Para transformar de uma unidade menor para a 
unidade maior, divide-se por 60. Veja:
20 minutos = 20 / 60 = 2/6 = 1/3 da hora ou 1/3h.
Para medir ângulos a unidade básica é o grau. 
Temos as seguintes relações:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Aqui vale fazer uma observação que os minutos e 
os segundos dos ângulos não são os mesmos do sistema 
(hora – minuto – segundo). Os nomes são semelhantes, 
mas os símbolos que os indicam são diferentes, veja:
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um ins-
tante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
PERÍMETRO E ÁREA
Retângulo
Chamamos de retângulo um paralelogramo (polí-
gono que tem 4 lados opostos paralelos) com todos os 
ângulos internos iguais a 90°. 
b
b
h h
Chamamos o lado “b” maior de base, e o lado 
menor “h” de altura.
Área do Retângulo 
Para calcularmos a área, vamos fazer a multipli-
cação de sua base (b) pela sua altura (h), conforme a 
fórmula:
A = b × h
Exemplo: um retângulo com 10 centímetros de 
lado e 5 centímetros de altura, a área será:
A = 10cm × 5cm = 50cm2
Quando trabalhamos o conceito e cálculo de áreas 
das figuras geométricas, usamos a unidade ao quadra-
do que no nosso exemplo tínhamos centímetros e pas-
samos para centímetros quadrados, que neste caso é a 
unidade de área.
Quadrado
Nada além de um retângulo no qual a base e a altu-
ra têm o mesmo comprimento, ou seja, todos os lados 
do quadrado têm o mesmo comprimento, que chama-
remos de L. Veja:
L
L
L L
A área também será dada pela multiplicação da 
base pela altura (b x h). Como ambas medem L, tere-
mos L x L, ou seja:
A = L2