4. Potencial Elétrico Apostila

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4. POTENCIAL ELÉTRICO 
 
 
4.1. Energia potencial elétrica 
 
 A força eletrostática é uma força conservativa, como a força gravitacional. Portanto, ela 
tem todas as características desse tipo de força. 
 
 Pode-se atribuir uma energia potencial elétrica a um sistema de partículas, onde forças 
eletrostáticas atuam entre as partículas carregadas deste sistema. 
 
 Caso um sistema de partículas mude sua configuração de um estado inicial para um 
estado final, as forças eletrostáticas realizam trabalho sobre as partículas deste sistema, 
resultando em uma variação da energia potencial elétrica do mesmo. 
 
 
 WUUU
if
−=−=∆ 
 
U∆ � variação da energia potencial elétrica do sistema de partículas 
 
i
U � energia potencial elétrica inicial do sistema de partículas 
 fU � energia potencial elétrica final do sistema de partículas 
W � trabalho realizado pelas forças eletrostáticas sobre as partículas do sistema, 
durante a mudança de configuração do sistema 
 
 O trabalho realizado pela força eletrostática não depende da trajetória do movimento 
considerado, só depende da posição inicial e da posição final. 
 
 Normalmente se adota como configuração de referência de um sistema, aquela na qual as 
partículas do sistema estão infinitamente distantes umas das outras. Para esta configuração de 
referência, é atribuída uma energia potencial elétrica de referência, que é igual a zero. 
 
 
 
∞
−= WU 
 
U � energia potencial elétrica do sistema de partículas 
∞
W � trabalho realizado pelas forças eletrostáticas sobre as partículas do sistema, 
durante o deslocamento do infinito até as posições próximas 
 
 A energia potencial elétrica de um sistema, com uma certa configuração, pode ser 
determinada com base no trabalho que as forças eletrostáticas realizam sobre as partículas deste 
sistema, ao se modificar a sua configuração, partindo da configuração de referência até a 
configuração de interesse. 
 
 A energia potencial elétrica é um tipo de energia mecânica. Logo, a lei de conservação de 
energia mecânica se aplica à energia potencial elétrica. 
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4.2. Potencial elétrico 
 
 potencial elétrico � energia potencial elétrica por unidade de carga 
 
 
 
q
U
V = 
 
V � potencial elétrico em um ponto do campo elétrico 
U � energia potencial elétrica de uma partícula em um ponto do campo elétrico 
q � carga elétrica da partícula considerada 
 
 O potencial elétrico não depende da carga da partícula considerada, ele depende apenas 
do campo elétrico analisado. 
 
 
 
q
W
q
U
q
U
q
U
VVV i
f
if
−
==−=−=
∆
∆ (diferença de potencial) 
 
 
 adotando a posição inicial no infinito: 
 0=
i
U � 0=
i
V 
 
 
q
W
V ∞
−
= (potencial elétrico) 
 
V∆ � diferença de potencial entre as posições inicial e final dentro do campo 
elétrico 
i
V � potencial elétrico na posição inicial dentro do campo elétrico 
fV � potencial elétrico na posição final dentro do campo elétrico 
i
U � energia potencial elétrica de uma partícula na posição inicial dentro do 
campo elétrico 
fU � energia potencial elétrica de uma partícula na posição final dentro do 
campo elétrico 
q � carga elétrica da partícula considerada 
U∆ � variação da energia potencial elétrica da partícula considerada 
W � trabalho realizado pelas forças eletrostáticas sobre a partícula considerada, 
durante o deslocamento da posição inicial até a posição final 
V � potencial elétrico na posição final dentro do campo elétrico em relação ao 
potencial nulo na posição inicial 
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∞
W � trabalho realizado pelas forças eletrostáticas sobre a partícula considerada, 
durante o deslocamento do infinito (posição inicial) até a posição final 
 
� Unidade do potencial elétrico no SI: V (volt) 
 1 V = 1 J/C 
 
� Outra unidade de campo elétrico: V/m 
 1 V/m = 1 N/C 
 
� Outra unidade de energia: eV (elétron-volt) 
 1 eV = 1,60 × 10−19 J 
 
 “Um elétron-volt é a energia igual ao trabalho necessário para deslocar uma carga 
elementar (próton ou elétron), através de uma diferença de potencial de um volt.” 
 
 Deve ser percebido que o potencial elétrico e a energia potencial elétrica são grandezas 
completamente diferentes. 
 
 “O potencial elétrico é uma propriedade de um campo elétrico, que independe da 
presença de um objeto carregado nesse campo.” 
 
 “A energia potencial elétrica é uma energia de um objeto carregado situado em um 
campo elétrico externo.” 
 
� Trabalho realizado por uma força aplicada: 
 
 WWKKK aplif +=−=∆ (teorema trabalho-energia cinética) 
 
 se 0== if KK : 
 
 WWapl −= 
 
 aplif WUUU =−=∆ 
 
 
 aplWVq =∆ 
 
K∆ � variação da energia cinética de uma partícula 
i
K � energia cinética inicial da partícula 
fK � energia cinética final da partícula 
aplW � trabalho aplicado sobre a partícula considerada por um agente externo, 
durante a mudança de posição 
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W � trabalho realizado pelas forças eletrostáticas sobre a partícula considerada, 
durante a mudança de posição 
U∆ � variação da energia potencial elétrica da partícula considerada 
i
U � energia potencial elétrica da partícula na posição inicial dentro do campo 
elétrico 
fU � energia potencial elétrica da partícula na posição final dentro do campo 
elétrico 
q � carga elétrica da partícula considerada 
V∆ � diferença de potencial entre as posições inicial e final dentro do campo 
elétrico 
 
 
4.3. Superfícies eqüipotenciais 
 
superfície eqüipotencial � pontos adjacentes, dentro de um campo elétrico, que 
possuem o mesmo potencial elétrico 
 
� Exemplos de superfícies eqüipotenciais: 
 
 
 
 
 As superfícies eqüipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo elétrico e ao 
vetor campo elétrico. 
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� Trabalho realizado pela força eletrostática: 
 
 
 
 
 trabalho realizado ao longo das trajetórias: 
 
 (a) 0 0 =→=∆ WV 
 
 (b) 0 0 =→=∆ WV 
 
 (c) 0 0 ≠→≠∆ WV 
 
 (d) 0 0 ≠→≠∆ WV 
 
 O trabalho realizado pela força eletrostática, assim como a diferença de potencial, entre 
dois pontos não depende da trajetória que une estes pontos. 
 
 
4.4. Determinação do potencial a partir do campo 
 
 
 
 
 sdEqsdFdW
r
r
r
r
⋅=⋅=
0
 
 
 ∫ ⋅=
f
i
sdEqW
r
r
0
 
 
 ∫ ⋅−=−=
f
i
if sdEVVV
r
r
∆ 
 
 se 0=
i
V (no infinito): 
 
 ∫ ⋅−=
f
i
sdEV
r
r
 
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dW � trabalho infinitesimal realizado pela força eletrostática sobre a carga de 
teste, durante um deslocamento infinitesimal 
F
r
 � força eletrostática devido ao campo elétrico 
sd
r
 � deslocamento infinitesimal da carga de teste 
0
q � carga elétrica de teste 
E
r
 � campo elétrico que atua sobre a carga de teste 
W � trabalho realizado pela força eletrostática sobre a carga de teste, durante o 
deslocamento daposição inicial até a posição final 
V∆ � diferença de potencial entre as posições inicial e final dentro do campo 
elétrico 
i
V � potencial elétrico na posição inicial dentro do campo elétrico 
fV � potencial elétrico na posição final dentro do campo elétrico 
V � potencial elétrico na posição final dentro do campo elétrico em relação ao 
.potencial nulo na posição inicial 
 
� Potencial elétrico devido a uma carga pontual: 
 
 
 
r
q
V
0
4
1
piε
= (carga pontual) 
 
V � potencial elétrico em determinado ponto devido a uma carga pontual 
 
0
ε � constante de permissividade 
 q � carga elétrica da carga pontual 
 r � distância entre o ponto considerado e a carga pontual 
 
 Partículas carregadas positivamente produzem potenciais elétricos positivos. Já partículas 
carregadas negativamente produzem potenciais negativos. 
 
 A equação apresentada acima serve também para determinar o potencial elétrico do lado 
de fora ou sobre a superfície externa de uma distribuição de carga com simetria esférica. 
 
� Potencial elétrico devido a um grupo de cargas pontuais: 
 
 O princípio da superposição pode ser utilizado para determinar o potencial elétrico 
resultante em um determinado ponto, devido a um grupo de cargas pontuais. 
 
 
 ∑∑
==
==
n
i i
i
n
i
i
r
q
VV
101
4
1
piε
 (n cargas pontuais) 
 
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V � potencial elétrico em determinado ponto devido à um grupo de cargas 
pontuais 
i
V � potencial elétrico no ponto considerado devido à i-ésima carga pontual 
 
0
ε � constante de permissividade 
 
i
q � carga elétrica da i-ésima carga pontual 
 
i
r � distância entre o ponto considerado e a i-ésima carga pontual 
 
� Potencial elétrico devido a um dipolo elétrico: 
 
 
 
 
 
2
0
cos
4
1
r
p
V
θ
piε
= (dipolo elétrico) 
 
V � potencial elétrico em determinado ponto P devido a um dipolo elétrico 
 
0
ε � constante de permissividade 
 p � momento de dipolo elétrico do dipolo 
θ � ângulo entre a linha que une o ponto P ao centro do dipolo elétrico (ponto 
C) e o eixo do dipolo (medido a partir da direção de p
r
) 
 r � distância entre o ponto P e o centro do dipolo elétrico (ponto C) 
 P � ponto considerado 
 C � centro do dipolo elétrico 
 +q e −q � cargas do dipolo elétrico 
 
� Potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga: 
 
 ∫= r
dq
V
0
4
1
piε
 
 
V � potencial elétrico em determinado ponto devido a uma distribuição contínua 
de carga 
 
0
ε � constante de permissividade 
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 dq � carga elétrica infinitesimal da distribuição de carga 
 r � distância entre o ponto considerado e a carga infinitesimal dq 
 
 � linha de carga: 
 
 
 
 
 







 ++
=
d
dLL
V
22
0
ln
4piε
λ
 (haste fina uniformemente carregada) 
 
V � potencial elétrico em determinado ponto P devido a uma haste fina 
uniformemente carregada 
 λ � densidade linear de carga da haste (uniforme) 
 
0
ε � constante de permissividade 
 L � comprimento da haste 
 d � distância entre o ponto P e a extremidade da haste 
 P � ponto considerado 
 
 � superfície de carga: 
 
 
 
 
( )zRzV −+= 22
0
2ε
σ
 (disco uniformemente carregado) 
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V � potencial elétrico em determinado ponto P devido a um disco com uma das 
faces uniformemente carregada 
 σ � densidade superficial de carga de uma das faces do disco (uniforme) 
 
0
ε � constante de permissividade 
 R � raio do disco 
z � distância entre o ponto P (ao longo do eixo central do disco) e a face 
carregada do disco 
 P � ponto considerado 
 
 
4.5. Determinação do campo a partir do potencial 
 
 
 
 
 
x
V
E
x
∂
∂
−= ; 
y
V
E
y
∂
∂
−= e 
z
V
E
z
∂
∂
−= 
 
E
r
 � campo elétrico no ponto P 
x
E , 
y
E e 
z
E � componentes de E
r
 sobre os eixos x, y e z, respectivamente 
xV ∂∂ , yV ∂∂ e zV ∂∂ � taxa de variação do potencial elétrico V com a 
distância nas direções dos eixos x, y e z, 
respectivamente, no ponto P 
 P � ponto considerado 
 
 “A componente do campo elétrico E
r
 em qualquer direção, em um dado ponto, é igual 
a menos a taxa de variação do potencial elétrico com a distância nessa direção.” 
 
 A componente do campo elétrico é nula em qualquer direção paralela às superfícies 
eqüipotenciais. 
 
 
 
 
 
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4.6. Energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais 
 
 “A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao 
trabalho que deve ser realizado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo cada 
carga de uma distância infinita.” 
 
 
 
 
 
 
r
qq
WU apl
21
0
4
1
piε
== 
 
U � energia potencial elétrica do par de cargas pontuais fixas (
1
q e 
2
q ) 
aplW � trabalho realizado pelo agente externo para trazer as cargas pontuais de 
uma distância infinita até uma distância r 
 
0
ε � constante de permissividade 
 
1
q e 
2
q � cargas elétricas das cargas pontuais do sistema 
 r � distância entre as cargas pontuais do sistema 
 
 Caso o sistema seja formado por mais de duas cargas pontuais, a energia potencial 
elétrica total do sistema é obtida somando a energia potencial associada a cada par de partículas 
do sistema. 
 
 
4.7. Potencial elétrico de um condutor carregado isolado 
 
 “Uma carga em excesso colocada sobre um condutor isolado se distribuirá sobre a 
superfície do condutor de modo que todos os seus pontos, tanto na superfície quanto no 
interior, atinjam o mesmo potencial elétrico.” 
 
 A afirmação acima é válida também para um condutor que possui uma cavidade interna, 
mesmo que esta cavidade contenha uma carga resultante. 
 
 No caso de condutores não-esféricos, não existe uma distribuição uniforme de carga 
sobre a superfície do condutor. A densidade superficial de carga em pontas agudas ou arestas 
pode atingir grandes valores. Por conseqüência, o campo elétrico externo próximo a essas 
regiões pode alcançar valores muito altos, ocasionando a ionização do ar próximo a elas. 
 
 
4.8. Bibliografia 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: 
Eletromagnetismo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 3 
 
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KELLER, Frederick J.; GETTYS, W. Edward; SKOVE, Malcolm J. Física. São Paulo: Makron 
Books, 1999. v. 2. 
 
MÁXIMO, Antônio; ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. 6. ed. São Paulo: Scipione, 2005. 
v. 3. 
 
TIPLER, Paul A. Física: Eletricidade e Magnetismo, Ótica. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 
2.