Apol 4 Algebra Linear Nota 8

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29/03/2016 AVA UNIVIRTUS
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APOL 4
PROTOCOLO: 20160320128495275C654DIEGO DANTAS ANDRADE - RU: 1284952 Nota: 80
Disciplina(s):
Álgebra Línear
Data de início: 20/03/2016 15:20
Prazo máximo entrega: - 
Data de entrega: 25/03/2016 04:00
Questão 1/10
Marque a alternativa correta quanto ao conjunto A = {(1,0,2);(0,1,1)}:
A A é linearmente independente.                    
B ger(A) = R³.
C A não é base de R³, mas é uma base de R². 
D A é base de R³, mas não é uma base de R².
Questão 2/10
Considere a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0). Analise as alternativas e responda a correta em relação à como é possível
classificá-la?
A Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se são verdadeiras as duas condições
dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém­se que é linear.
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Resolução:
Como A é linearmente independente e não gera R³ e, além disso, não faz sentido falar em base de R², são falsas as
alternativas b, c, d.

Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na
definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b,c) e v = (d,e,f), tem­se:

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B Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se são verdadeiras as duas condições dadas
na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0)  obtém­se que não é linear.
C Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se é verdadeira uma das duas condições
dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém­se que é linear.
D Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se é verdadeira uma das duas condições
dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém­se que não é linear.
Questão 3/10
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0,1,2),(2,5,7)} pode­se afirmar:
A não é uma base de R³.
B é uma base de R³.  
T(u + v) = T(a+d,b+e,c+f) = (a+d,0,0).
T(u)+ T(v) = T(a,b,c) + T(d,e,f) = (a,0,0) + (d,0,0) = (a+d,0,0).
 
Portanto, a primeira condição se verificar.
 
Verificação de k.T(u) = T(k.u):
Dados u = (a,b,c) e k real, tem­se:
k.T(u) = k.T(a,b,c) = k.(a,0,0) = (ka,0,0).
T(k.u) = T(ka,kb,kc) = (ka,0,0).
sendo assim, como a segunda condição também se verifica, T é uma transformação linear (neste caso, um operador
linear de R³).
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C é um conjunto linearmente dependente. 
D é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³.
Questão 4/10
Considere o conjunto S = {(1,2),(0,1)} que é uma base de R². Encontre as coordenadas de v = (23,18) em relação a esta base.
A (v)  = (23; 28)
B (v)  = (­23; 28)
C (v)  = (23; ­28)
D (v)  = (­23; ­28)
s
s
s

s
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Questão 5/10
Dada a expressão   c .u + c .v = w, em que u, v e w são vetores de R², avalie as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras
ou F para as falsas, depois assinale a aletrnativa correta:  
(   ) Se {u,v} for uma base de R², então a equação sempre terá solução única para qualquer w de R². 
(   ) Se houver algum w para o qual a equação não tenha solução, então {u,v} não gera R². 
(   ) Se a equação tiver solução para qualquer w de R², então {u,v} é uma base de R².
A V V F
B V F V
C F F V
D V V V
Questão 6/10
Verifique se o conjunto {(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da
classificação encontrada para este conjunto.
A conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SPI.         
1 2
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Resolução:
1. i) VERDADEIRO: se {u,v} for base de R², todo w de R² pode ser escrito de maneira única como combinação
linear de u e v.
2. ii) VERDADEIRO: pela definição de conjunto gerado, para {u,v} gerar todo R² a equação deve ter solução para
qualquer w de R².
iii) FALSO: neste caso, pode­se afirmar que {u,v} gera R², mas não que {u,v} é uma base de R², já que não se sabe
se {u,v} é linearmente independente (condição necessária para que o conjunto seja uma base de R²).

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B conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SI 
C conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPI. 
D conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPD
Questão 7/10
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x, y, x
+ 1) ?. 
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta:
A Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se são verdadeiras as duas condições dadas
na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém­se que é linear.
B Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se são verdadeiras as duas condições
dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém­se que não é linear.
C Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se é verdadeira uma das duas condições
dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém­se que é linear.
D Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se é verdadeira uma das duas condições
dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém­se que não é linear.
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Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve­se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na
definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b) e v = (c,d), tem­se:
T(u + v) = T(a+c,b+d) = (a+c,b+d,a+c+1)
T(u)+ T(v) = T(a,b) + T(c,d) = (a,b,a+1) + (c,d,c+1) = (a+c,b+d,a+c+2).
 
Como T(u + v) não é igual a T(u)+ T(v), T não é uma transformação linear.

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Questão 8/10
Seja T a transformação linear de matriz canônica igual a     . 
Então, está correta a alternativa:
A T é uma transformação de R³ em R².
B T é um operador linear de R³.
C T(3,4) = (3,10,13).  
D T(3,10,13) = (3,4).
Questão 9/10
Considerando a transformação linear T(x,y) = (x,–y), determine Nuc(T) e Im(T). 
A Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = {(1, ­3)}
B Nuc(T) = {(1, ­3)} e Im(T) = {(0, 0)}
C Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = R

2
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Resolução:
T é uma transformação linear de R² em R², portanto, é um operador linear de R².

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D Nuc(T) = {(1, 0)} e Im(T) = R³
Questão 10/10
Seja B = {(4,5),(2,1)} e v = (10,20), determine as coordenadas (a, b) de v em relação a B:
A a=­5 e b = 5
B a=5 e b=­5
C a=5 e b=5
D a=­5 e b=­5
O vetor (1,3) aplicado em T resulta no vetor (1,–3).
De fato, T(u) = (4,5) implica que se tenha u = (4,–5), já que T(u) = T(x,y) = (4,5) implica nas equações x = 4 e –y = 5
(ou ainda, y =–5).
Com isso: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e Im(T) =
R², pois todo vetor de R² é imagem por T.
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