exercicios de algebra

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1)
Uma loja vende bicicletas de corrida e mountain bikes. O gerente tem as seguintes tabelas de dados disponíveis, a primeira dando o número de bicicletas vendidas de cada tipo para cada trimestre de 1998 e a segunda, para cada trimestre de 1999:
A operação com matriz que produz o resultado total de vendas nesses dois anos juntos por tipo de bicicleta e por trimestre é a _____________ e o resultado é a matriz ____________________.
Marque a alternativa que preenche os espaços.
a) Multiplicação por escalar e
b) Transposição e
​​​​​​​
c) Adição e
​​​​​​​
d) Adição e
​​​​​​​
e) Multiplicação por escalar e
2) Se A é uma matriz m x n, então m representa o número de ____________________ e n representa o número de ______________________ . Como requisito, para que se possa somar duas matrizes A e B é necessário que elas possuam ______________________________. Marque a alternativa que preenche os espaços acima.
a) linhas de A; colunas de A; o mesmo número de colunas.
b) linhas de A; colunas de A; o mesmo número de linhas.
c) linhas de A; colunas de A; a mesma ordem.
d) colunas de A; linhas de A; a mesma ordem.
e)colunas de A; linhas de A; o mesmo número de linhas.
Uma matriz A é igual a sua transposta quando:
a) A for simétrica.
b) A for quadrada.
c) A for uma matriz linha.
d) A for uma matriz coluna.
e)A for uma matriz nula
4) Encontre a matriz A, sabendo que:
Matrezes.
5) Sejam três matrizes: A, B e C de mesma ordem. Se A e B são matrizes diagonais e C é uma matriz simétrica não nula, marque a alternativa que NÃO contém matrizes diagonais.
a) A + B.
b) 2A.
c) A + 2B.
d) A + C.
e) A transposta.
1)
O sistema a seguir tem infinitas soluções. Marque a alternativa que contém uma de suas soluções. 
X1-2x2+3x3-3x4= 2
2x1 x2 + 3x3= 4
xi
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a)[0 -2 1 1]T
b) [-2 -2 -1 -1]T
c) [2 2 -1 -1]T
d) [0 -1 0 5]T
e) [-2 -2 1 1]T
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2) Transforme a matriz a seguir em sua forma escalonada reduzida.
3) A matriz completa associada ao sistema a seguir é:
4) Encontre a solução do sistema homogêneo associado à matriz a seguir.
​​​​​​​
a) [1 2 3]T
b) [-1 3 0]
c) [0 0 0]T
d) [1 8 3]T
e) [1 -1 1]
5) Suponha que um sistema homogêneo tenha quatro equações e seis incógnitas e que A seja sua matriz completa. Marque a alternativa correta.
a)Esse sistema tem solução única.
b) Esse sistema tem apenas uma variável independente.
c) Se a linha 1 e a linha 2 forem múltiplas, mas as demais não, o sistema terá três variáveis independentes.
d) A matriz completa desse sistema tem seis linhas e quatro colunas.
e) Se duas linhas se tornarem nulas no processo de escalonamento, esse sistema terá duas variáveis independentes.
1) Marque a alternativa que contém um conjunto de vetores linearmente independentes.
a)
​​​​​​​​​​​​​​
b)
​​​​​​​​​​​​​​
c)
​​​​​​​
7
d)
​​​​​​​​​​​​​​
e)
2- Sabendo que quando um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) existe uma combinação linear não-trivial que seja igual a zero, marque a alternativa correta:
a)
​​​​​​​​​​​​​​
b)
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
c)
​​​​​​​
d)
​​​​​​​​​​​​​​
e)
3)
Sabendo que quando as colunas de uma matriz A de ordem nxn, vistas como vetores, são linearmente dependentes a matriz A não é inversível e quando as colunas são linearmente independentes a matriz A é inversível, marque a alternativa que contém uma matriz não inversível.
4) Sabendo que quando uma matriz A de ordem nxn tem determinante diferente de zero, as colunas desta matriz, vistas como vetores, geram o Rn, marque a alternativa correta.
a)
​​​​​​​​​​​b)
​​​​​​​​​​​​​​
c)
​​​​​​​
d)
​​​​​​​
e)
5)
Sabendo que quando uma matriz A de ordem nxn tem determinante diferente de zero, as colunas desta matriz, vistas como vetores, são independentes, marque a alternativa correta.
a)
É um conjunto linearmente independente.
b)
É um conjunto linearmente independente.
c)
É um conjunto linearmente independente.
d)
É um conjunto linearmente independente.
e)
É um conjunto linearmente independente.
1) Marque a alternativa que contém um vetor de R2, um de R3 e um de R4.
a) [2 2]T, [3 3]T e [4 4]T
b) [1 -2 3]T, [4 0 -1]T e [1 -5 4 4]T
c) [1 1 0 0]T, [1 2 2 -3]T e [1 -5 4 4]T
d) [1 0]T, [4 0 -1]T e [-1 1 0 1]T.
e) [1 -2 3]T, [4 0 -1]T e [1 1 1]T.
2) Marque a alternativa que contém um par de vetores iguais.
a) [10 2 7]T, [10 2 7 0]T.
b) [111]T, [11]T.
c) [111]T, [-1-1 -1]T.
d) [0 0 0]T, [0 0 0 0]T.
e) [1 -4 3 -2]T, [1 -4 3 -2]T.
3) Marque a alternativa que contém, respectivamente, o espaço anulado (anulA) e a imagem (imA) para a matriz
4) Determine se U = { [0 t 0]T| t ∈ R } é um subespaço de R3.
a) U não é subespaço de R3 porque o vetor [0 0 0]T ​​​​​∉ U
b) U não é subespaço de R3 porque para os vetores x1 = [0 t1 0]T e x2 = [0 t2 0]T o vetor soma X1 + X2 ∉ U​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
c) U é um subespaço de R3 porque considerando os vetores x1 = [0 t1 0] e x2 = [0 t2 0], t1 ∈ R, t2 ∈ R e r ∈ R:
1) O vetor [0 0 0]T ​​​​​∈ U​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 
2) O vetor X1 + X2 ∈ U​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
3) O vetor rX ∈ U para qualquer vetor X ∈ U
d) U não é subespaço porque não é fechado sob a adição.
e) U não é subespaço porque não é fechado sob a multiplicação por escalar.
5) O subespaço gerado por um subconjunto não vazio S de um espaço vetorial V (S ⊂ V ∧ S ≠ ∅) é o conjunto de todas as combinações lineares em S. Ou seja, se o conjunto S gera V, então qualquer vetor v ∈ V é combinação linear dos vetores de S. Marque a alternativa que contém um conjunto gerador para R3.
a) #{{1 3 −1 0]T,[−2 1 0 0]T,[0 2 1 −1]T,[3 6 −3 −2]T} ​​​​​​​
b) #{{1 2 3]T,[0 1 2]T,[0 0 1]T}​​​​​​​
c) #{{1 2]T,[0 1]T}​​​​​​​
d) #{{1 2 3]T,[0 0 2]T,[0 0 1]T}​​​​​​​
e){ }​​​
Identifique o valor de “ t ” para que o terno ordenado ( t, 2t ,t − 1) seja solução da equação 2x −y +3 z = 3.
 
 
 	t = −5 
 	 t = −2
 	 t = 0 
 	t = 5 
 	t = 2 
________________________________________
 2a Questão
A técnica de escalonar um sistema linear é muito utilizada, pois com essa técnica podemos encontrar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas, ou ainda sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três. O processo de escalonamento de um sistema linear ocorre por meio de operações elementares. Considere as afirmações.
I- Uma das operações elementares que podem ser efetuadas em sistemas para produzir sistemas equivalentes é trocar a ordem das equações.
II- Uma das condições para matriz estar na forma escalonada por linha é que todas as linhas nulas deverão estar abaixo de todas as linhas não nulas.
III- Toda matriz pode ser colocada na forma escalonada mediante uma sequência de operações elementares por linhas.
 
Sobre essas afirmativas, é correto afirmar que apenas:
 	I e II são verdadeiras
 	I e III são verdadeiras
 	I é verdadeira
 	I, II e III são verdadeiras
 	 III é verdadeira
________________________________________
 3a Questão
 
 	I e III são verdadeiras
 	 I, II e III são verdadeiras
 	 I e II são verdadeiras
 	 I é verdadeira
 	III é verdadeira
________________________________________
 4a Questão
 
 	 
 	 
 	 
 	 
 	 
________________________________________
 5a Questão
Um subespaço gerado por um conjunto de vetores u1, u2 . . . , um é o conjunto de todos os vetores w que são combinações lineares dos vetores u1, u2 . . . , um. Existem espaços que são finitamente gerados, ou seja, que admitem um conjunto finito de geradores, o mesmo se estende para todos os seus subespaços.
Determine um conjunto de geradores para o subespaço S do R3, dado por
 S = {(x, x , x+y) : x, y ∈ R}
 	 [(−1, 1, 0), (1, 0, 1)].
 
 	[(1, 0, 0), (0, 0, 1)].
 	[(1, 1, 1), (0, 0, 1)].
 	[(1, 2, 0), (0, −1, 1)].
 
 	[(1, 0, 1), (0, 0, 1)].
 
________________________________________
 6a Questão
Identifique entre os conjuntos abaixo o conjunto S que não é um subespaço do espaço V.
 	V= R3 ; S = {(x, y, z) ∈ R3 : y = z}.
 
 	V= R3 ; S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+y – 2x = 2}. 
 
 	V= R3 ; S = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + z = 0}.
 	V= R3 ; S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+y – 2z = 0}.
 
 	V= R3 ; S = {(x, y, z) ∈R3 : 2y – 2x = 0}.
 
________________________________________
 7a Questão
Considere um subespaço vetorial W de V, dizemos que u1, u2 . . . , um são geradores de W se todo vetor w de W pode se escrever como combinação linear dos vetores u1, u2 . . . , um.
Identifique um conjunto de geradores para o subespaço S do R3, dado por 
S = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y − z = 0}.
 	[(1, 1, 1), (0, 0, 1)].
 
 	[(−1, 1, 0), (1, 0, 1)].
 
 	[(0, 1, 1), (0, 0, 1)].
 
 	[(1, 0, 0), (0, 0, 1)].
 	[(1, 2, 0), (0, −1, 1)].
 
________________________________________
 8a Questão
Seja T : R2 → R3 uma transformação linear. Sabendo-se que T(1, 1) = (1, 2, 3) e T(1, 0) = (1, 2, 1). Qual das opções a seguir representa T(x, y).
 	T(x, y) = (x , 2x, 2y + x)
 	T(x, y) = (x , 2x, 3y)
 	T(x, y) = (1, 2, 2y + x)
 	T(x, y) = (1, 2, 2x + y)
 	T(x, y) = (x , 2x, 2x + y)
________________________________________
 9a Questão
Com base no estudo de transformações lineares elaborou-se as seguintes afirmações.
I – Uma aplicação linear T : V → W leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W
II – A aplicação T: IR2 → IR, tal que T(x, y) = x + y+1 não é uma transformação linear.
III – O Teorema do Núcleo e da Imagem garante que se T: V → W é uma transformação linear, então dim(V) = dim(N(T)) + dim(Im(T)).
 
Está correto o que se afirma em:
 	III.
 
 	I e III.
 
 	I, II e III 
 	I.
 
 	II e III.
 
________________________________________
 10a Questão
Com base no estudo de transformações lineares elaborou-se as seguintes afirmações..
I – Se a aplicação T: IR2 → IR é uma transformação linear então para u IR2 T(−u)= T(u).
II – Em uma aplicação linear T : V → W dada por T: IR3 → IR2 podemos afirmar que a dim( V ) = 2
III – Se uma transformação linear T: V → W é sobrejetora então pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos que dim(V) = dim(N(T)) + dim(W).
Está correto o que se afirma em:
 	I, II e III 
 	I e III.
 
 	II e III.
 
 	I.
 
 	III.
 Assuntos da prova final
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE MATRIZES
SISTEMAS LINEARES
O ESPAÇO VETORIAL RN: DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
ESPAÇO VETORIAL Rⁿ: SUBESPAÇOS E GERADORES
O ESPAÇO VETORIAL RN: BASE E DIMENSÃO
ESPAÇOS VETORIAIS:TRANSFORMAÇÕES LINEARES