TRELIÇA AULA ESTRUTURAS

Prévia do material em texto

ESTÁTICAAULA
• Análise de estruturas
Estática
A6 - 2
Índice
• CAPÍTULO 6
• Definição de uma treliça
• Treliças simples
• Análise de treliças pelo método dos nós
• Nós sujeitos a condições especiais de carregamento
• Análise de treliças pelo método das secções
• Treliças copmpostas por várias treliças simples
• CAPÍTULO 7
• Forças interiores em elementos
• Vigas: tipos de carregamentos e apoios
• Força de corte e momento flector numa viga
• Diagramas de esforço transverso e momento flector
Estática
A6 - 3
Estruturas
Estrutura – Sistema qualquer de elementos ligados, construído para suportar ou 
transferir forças e para resistir com segurança às cargas que nele actuam. Na análise das 
forças das estruturas, é necessário desmembrar a estrutura e analisar, separadamente, os 
diagramas de corpo livre dos elementos individuais ou da combinação dos elementos, 
de maneira a determinar as forças internas da estrutura.
Considere-se o guindastre:
Forças 
exteriores
Forças 
interiores
Em conformidade com a terceira lei de Newton que afirma que, as forças de acção e 
reacção entre corpos em contacto têm a mesma intensidade, a mesma linha de acção, e 
sentidos opostos.
Estática
A6 - 4
Treliças
Uma treliça é uma estrutura:
• Constituída por barras rectilíneas ligadas umas às outras por articulações (nós). 
Portanto, as forças actuantes nas extremidades de uma barra reduzem-se a uma única 
força sem binário.
• As barras de uma treliça ligam-se apenas através das suas extremidades; assim, 
nenhuma barra tem continuidade através de uma articulação.
• As únicas cargas aplicadas são forças concentradas e actuam sempre sobre os nós.
Tracção compressão
Estática
A6 - 5
Treliças
Uma treliça é uma estrutura:
• Constituída por barras rectilíneas ligadas umas às outras por articulações (nós). 
Portanto, as forças actuantes nas extremidades de uma barra reduzem-se a uma única 
força sem binário.
• As barras de uma treliça ligam-se apenas através das suas extremidades; assim, 
nenhuma barra tem continuidade através de uma articulação.
• As únicas cargas aplicadas são forças concentradas e actuam sempre sobre os nós.
• É suposto, que o peso da barra é pequeno quando comparado com a força que ele 
suporta. Em caso contrário se o efeito do peso tiver de ser levado em conta, o peso P, 
se a barra for uniforme, poderá ser suposto como duas forças, P/2, cada uma 
actuando nas extremidades da barra.
• Os únicos tipos de apoio possíveis são apoios fixos ou móveis, e estão sempre 
localizados nos nós.
Estática
A6 - 6
Treliças
Uma treliça poderá ser plana, quando todas as barras são complanares, ou espacial, 
no caso contrário.
Treliça Plana Treliça Espacial
Estática
A6 - 7
Treliças
Uma treliça poderá ser plana, quando todas as barras são complanares, ou espacial, 
no caso contrário.
Treliça Espacial
Estática
A6 - 8
Treliça Simples
• Uma treliça é considerada rígida
quando sujeita a determinado 
carregamento não perder a sua forma, 
ou seja não sofrer grandes deformações.
Estática
A6 - 9
Treliça Simples
Considerando:
m – nº de barras da treliça
n – nº de nós da treliça
Uma treliça simples verifica sempre a igualdade
2n = m + 3
• Treliça Simples – é toda a treliça que pode ser 
construída ligando três barras em três nós, 
formando um triângulo, e adicionando em seguida 
sucessivos grupos de duas barras, ligadas a dois 
nós já existentes e a novo nó.
Estática
A6 - 10
Análise de Treliças pelo Método dos Nós
• Decompor a treliça da figura e traçar o DCL para cada 
barra e articulação.
• Cada barra é submetida à acção de duas forças, uma em 
cada extremidade, essas forças têm a mesma intensidade 
a mesma linha de acção e sentidos opostos. 
• As forças exercidas por uma barra nas duas articulações 
a que esta se liga têm de estar dirigidas segundo o eixo 
da barra e ser iguais e opostas.
• Se a treliça contiver n articulações, haverá, portanto, 2n
equações disponíveis, que podem ser resolvidas em 
ordem a 2n incógnitas. Para uma treliça simples, temos 
2n = m + 3 equações que podem ser resolvidas para m
barras e três reacções nos apoios. 
• O facto de a treliça no seu conjunto ser um corpo rígido em equilíbrio pode ser usado para 
escrever três equações adicionais envolvendo somente as forças externas aplicadas e as 
reacções nos apoios, no entanto estas equações não são independentes das associadas as 
articulações.
Estática
A6 - 11
Problema
Utilizando o método dos nós, 
determine o esforço instalado em cada 
uma das barras da treliça representada.
SOLUÇÃO:
• Com base no DCL da treliça inteira, resolver 
as 3 equações de equilíbrio para assim 
determinar as reacções nos apoios em E e C.
• Escolher um nó onde existam somente duas 
forças desconhecidas, ex. nó B. Determinar 
estas forças a partir das equações de equilíbrio 
no nó. 
• De seguida determinar as forças desconhecidas 
a partir das equações de equilíbrio nos nós C, 
e D,.
• Todas as forças nas barras bem como as 
reacções nos apoios são agora conhecidas 
Uma verificação do equilíbrio pode ser 
efectuada para o nó A. 
8 m
Estática
A6 - 12
Problema
Bx
By Cy
0 1800 2 2400 3,6 1,5 0
3360
0 1800 0
1800
0 2400 0
2400 3360
960
y
y
x x
x
y y y
y
y
M C
C N
F B
B N
F B C
B
B N
= ⇔ ⋅ − ⋅ + ⋅ =
⇔ =
= ⇔ − =
⇔ =
= ⇔ − + =
⇔ = −
⇔ = −
∑
∑
∑
Estática
A6 - 13
Problema
By
FBA
FBC
α
2 53,130º
1,5
tgα α= ⇔ =
( )
( )
0 53,13 960 0
1200
0 1800 cos 53,13º 0
2520
y BA
BA
x BC BA
BC
F F sen
F N T
F F F
F N C
= ⇔ ⋅ − =
⇔ =
= ⇔ − + ⋅ =
⇔ =
∑
∑
Bx
FCD
FCA
= 3360N
FCB=2520 N
( )
( )
0 3360 0
3360 3360
0 2520 0 2520
y CA
CA CA
x CD CD
F F
F N F N C
F F F N C
= ⇔ + =
⇔ = − ⇔ =
= ⇔ − = ⇔ =
∑
∑
Estática
A6 - 14
Problema
FDA
FDC=2520 N
γ
2 43,6º
2,1
tg γ = =
( )
( )
0 43,6º 2400 0
3480
0 2520 0 2520
y DA
DA
x CD CD
F F sen
F N T
F F F N C
= ⇔ − =
⇔ =
= ⇔ − = ⇔ =
∑
∑
Estática
A6 - 15
Nós sujeitos a condições especiais de carregamento
• Forças em barras opostas têm de ser iguais .
• Nesta situação as forças nas duas barras 
opostas têm de ser iguais, e a força na 
terceira barra tem de ser igual a P. Se P=0 
então a força na barra AC é nula, e a barra 
AC diz-se um elemento sem esforço.
• A força em duas barras ligadas num nó é
igual se as barras forem colineares e zero 
caso contrário.
Elementos sem esforço.
Estática
A6 - 16
Nós sujeitos a condições especiais de carregamento
• A identificação prévia dos nós que estão sujeitos às condições especiais 
de carregamento anteriormente referidas tornará mais expedita a análise 
de uma treliça.
Elementos sem esforço.
Estática
A6 - 17
Análise de Treliças pelo Método das Secções
• O método dos nós é muito utilizado quando se 
pretende determinar as forças em todos os 
elementos de uma treliça. Se, no entanto, 
somente se desejar conhecer as forças em um 
ou uns elementos, o método das secções é
mais indicado.
• Para determinar a força nos elementos, podemos 
passar uma secção através de três elementos da 
treliça dividindo-a em duas partes completamente 
separadas, no entanto esta secção não pode cortar 
mais do que três elementos. Cada uma das duas 
partes da treliça obtidas depois de os elementos 
cortados terem sido removidos pode ser utilizada 
como um corpo rígido.
Pretende-se determinar as forças nas barras BD, BE 
e CE.
a a a
b
Estática
A6 - 18
Análise de Treliças pelo Método das secções
• O facto deo corpo rígido ABC estar em equilíbrio 
pode ser expresso escrevendo três equações que 
podem ser resolvidas para as três forças 
desconhecidas..
• Para a força FBD
( )
1 2
1 2
0 2 0
2
E BD
BD
M P a P a F b
P a P aF T
b
= ⇔ ⋅ + ⋅ − ⋅ =
⋅ + ⋅⇔ =
∑
• Para a força FCE
( )
10 0B CE
CE
M P a F b
P aF C
b
= ⇔ ⋅ + ⋅ =
⋅⇔ = −
∑
α
• Para a força FBE
( ) ( )
1 2
1 2
0 cos 0
cos
y BE
BE
F P P F
P P
F C
α
α
= ⇔ + + ⋅ =
+⇔ = −
∑
Estática
A6 - 19
Análise de Treliças pelo Método das secções
Uma treliça de telhado de estádio é carregada 
tal como mostra a figura. Determine a força nos 
elementos AE, FEe FJ.
AEF
FEF
FJF
• Para a força FFJ
( )
0 2.4 4 2.4 8 6 8 10.2 4 14.4 0
82
E FJ
FJ
M F
F kN C
= ⇔ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ =
⇔ =
∑
• Fazendo:
( )
( ) ( )
0 cos 41.633º 82 4 8 8 4 0
58 77.601
cos 41.633º
y AE
AE
F F
F kN T
= ⇔ − ⋅ + − − − − =
⇔ = =
∑
• Fazendo:
2.4 41.633º
2.7
tgα α= ⇔ =
• Fazendo:
( )
( )
0 77.601 41.633º 0
51.555
x FE
FE
F sen F
F kN C
= ⇔ − ⋅ + =
⇔ =
∑
α
Estática
A6 - 20
Análise de Treliças
Problema de Equilíbrio Bidimensional
m - número de incógnitas que são os esforços nas 
barras.
r - número de reacções ou ligações ao exterior
(do diagrama de corpo livre da treliça as 3 Eqs. de 
equilíbrio são utilizadas para 
calcular as reacções).
0; 0; 0;x yF F M= = =∑ ∑ ∑
n - número de nós
(do diagrama de corpo livre para cada nó temos 
2n equações = nº máximo de 
equações de equilíbrio independentes).
Nós
(Particulas)
0; 0x yF F= = ⇒∑ ∑
Estática
A6 - 21
Classificação de Treliças
Isostática ( m = 2n-3 ) Exemplo: Treliça simples
2 3
2 3
Treliça simples m n
Treliça simples m n
⇒ = −
⇐ = −
Hiperestática ( m > 2n-3 ) Treliça obtida é indeformável
30
2 3 1
16
m
m n
n
= ⇒ = − = →= 1 elemento redundante
Hipoestática ( m < 2n-3 ) Treliça obtida é deformável, 
barras insuficientes funcionamento de mecanismo
26
26 2 15 3 27
15
m
n
= ⇒ < ⋅ − ==
Análise Interior
(m,n)
Estática
A6 - 22
Classificação de Treliças
Análise Exterior
(r - ligações ao exterior)
Hiperestática exterior ( r > 3 )
Hipoestática exterior (r < 3)
(Ligações insuficientes)
Pode Mover-se
Ligações mal distribuídas
⇒
⇒
Não se Pode Mover
Isostática exterior (r = 3) ⇒
Estática
A6 - 23
nº máx. de 
equações 
independentes
Globalmente Isostática
Classificação de Treliças
0g > ⇒
0g = ⇒
Análise Global: 
(m,n,r)
Globalmente Hiperestática
Globalmente Hipoestática
( )2g n m r= − +
nº de graus 
de liberdade
nº total de 
incógnitas
0g < ⇒
( ) 2m r n+ < ⇒
Há menos incógnitas do que 
equações. Portanto algumas das 
incógnitas não podem ser 
satisfeitas a treliça é
parcialmente vinculada.
( ) 2m r n+ > ⇒
Há mais incógnitas do que 
equações. Portanto algumas das 
incógnitas não podem ser 
determinadas a treliça é
indeterminada.
( ) 2m r n+ = ⇒ Há tantas incógnitas como 
equações. Atenção !!!!
Estática
A6 - 24
Classificação de Treliças
Globalmente Isostática
( ) 2m r n+ = ⇒ Há tantas incógnitas como 
equações. Atenção !!!!
Isto no entanto não significa que todas as incógnitas podem ser 
determinadas e que todas as equações podem ser satisfeitas. Esta 
é portanto uma condição necessária mas não suficiente.
=Treliça GlobalmenteIsostática Treliça HipoestáticaInterior Treliça HiperestáticaExterior+
3r <0g = 2 3m n< −
Estática
A6 - 25
Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios
O guindaste analisado foi construído de tal modo que 
podia manter a mesma forma sem a ajuda dos apoios; 
considerou-se então o guindaste um corpo rígido.
Muitas estruturas, no entanto, colapsarão quando 
separadas de seus apoios; tais estruturas não podem ser 
consideradas rígidas.
0 0
0 2 0 1
0 4 2 2 0
1
x x x x
y y y
y
y
x A B B A
y A B A
A B
B
F R R R R
F R R R kN
M R
R kN
= ⇔ + = ⇔ = −
= ⇔ + − = ⇔ =
= ⇔ ⋅ − ⋅ =
⇔ =
∑
∑
∑A B
G D G
C E 
4 incógnitas para 
3 equações !!!!
xA
R
ryAR
r
yB
R
r
xB
R
r
1 2F kN=
r
Vemos pois que as reacções não podem ser 
completamente determinadas a partir do diagrama de 
corpo livre da estrutura inteira. Em consequência é
necessário desmembrar a estrutura e considerar o 
diagrama de corpo livre das suas partes componentes, 
mesmo quando estamos somente interessados em 
determinar as reacções externas. Isso ocorre porque as 
equações de equilíbrio obtidas para o corpo livre global
são condições necessárias para o equilíbrio de uma 
estrutura não-rígida mas não são condições suficientes. 
1m 1m 1m 1m
4m
Estática
A6 - 26
Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios
A B
G D G
C E 
xA
R
r
yA
R
r
yB
R
xB
R
DFF
r
DEF
r
1F
r
A B
G D G
C E 
xA
R
r
yA
R
r
yB
R
xB
R
1F
r
DFF
r
DEF
r
α
0 2 4 0
y xD A A
M R R= ⇔ − ⋅ + ⋅ =∑
0.5
xA
R kN⇔ =
logo da primeira equação
0.5
x xB A
R R kN= − = −
Estática
A6 - 27
Problema
Determine as componentes das forças 
actuantes em cada uma das barras da 
estrutura indicada.
Estática
A6 - 28
Problema
Considere o diagrama de corpo livre da estrutura 
completa :
:0=∑ EM
( )( ) ( ) 0m8.4m6.3N2400 =+− F N1800=F
:0=∑ yF
0N1800N2400 =++− yE NEy 600=
:0=∑ xF 0=xE
Estática
A6 - 29
Problema
Estática
A6 - 30
Problema
Considerando o membro BCD como um corpo livre:
:0=∑ BM( )( ) ( ) 0m4.2m6.3N2400 =+− yC N3600=yC
:0=∑ CM
( )( ) ( ) 0m4.2m2.1N2400 =+− yB N1200=yB
:0=∑ xF 0=+− xx CB
Considerando o membro ABE como um corpo livre:
:0=∑ AM ( ) 0m4.2 =xB 0=xB
∑ = :0xF 0=− xx AB 0=xA
∑ = :0yF 0N600 =++− yy BA N1800=yA
Do membro BCD,
:0=∑ xF 0=+− xx CB 0=xC
Estática
A6 - 31
Forças em Vigas
• Nos capítulos precedentes foram considerados dois problemas básicos envolvendo 
estruturas:
a) determinação das forças exteriores que actuam sobre a estrutura; 
b) Determinação das forças que mantêm unidos os vários elementos que formam 
a estrutura;
Agora será também considerado o problema da determinação das forças 
interiores (tracção/compressão, corte, flexão) que mantêm unidas as várias 
partes de um dado elemento.
Neste estudo duas importantes estruturas merecem a nossa especial atenção:
a) Vigas – são habitualmente elementos compridos, prismáticos e de eixo 
rectilíneo, projectadas para suportar cargas aplicadas em vários pontos 
ao longo do seu comprimento;
b) Cabos – são elementos flexíveis com resistência apenas à tracção, 
projectados para suportar cargas concentradas ou distribuídas.
Estática
A6 - 32
Forças interiores em elementos
Consideremos uma barra linear AB de eixo 
rectilíneo submetida à acção de duas forças F e –F. 
Sabemos que as forças F e –F aplicadas em A e B, 
devem ser dirigidas segundo AB, com sentidos 
opostos e a mesma intensidade. 
Estática
A6 - 33
Forças interiores em elementos
Consideremos uma barra linear AB de eixo 
rectilíneo submetida à acção de duas forças F e –F. 
Para que o equilíbriodos corpo livres AC e CB seja 
mantido é necessário aplicar ao corpo AC uma 
força –F, igual e oposta a F, e ao corpo CB uma 
força F, igual e oposta a -F.
Conclui-se que no caso de barras lineares de eixo rectilíneo submetidas à acção de 
duas forças, as forças interiores que duas partes do elemento exercem uma sob a 
outra são equivalentes a forças axiais.
A intensidade comum F dessas duas forças não depende da localização da secção 
C e é denominada esforço normal no elemento AB.
Estática
A6 - 34
Forças interiores em elementos
Torna-se claro que a acção das forças interiores no 
elemento AD não está limitada a produzir tracção nem 
compressão, as forças interiores produzem também corte 
e flexão.
A força F é uma força axial; a força V é denominada 
força de corte; e o momento M do binário é conhecido por 
momento flector.
Estática
A6 - 35
Forças interiores em elementos
• Num elemento linear de eixo não rectilíneo 
submetido à acção de duas forças, as forças 
interiores são também equivalentes a sistemas 
força-binário.
Estática
A6 - 36
Tipos de carregamento e de apoios
• Viga – elemento estrutural projectado para suportar 
cargas aplicadas em vários pontos ao longo do seu 
comprimento.
• O projecto de uma viga que se pretende suporte um 
dado carregamento é um processo com duas partes:
1) determinar as forças de corte e os momento 
flectores produzidos pelo carregamento; 
2) seleccionar a forma e as dimensões da secção 
transversal mais convenientes para resistir às 
forças de corte e aos momentos flectores 
determinados na primeira parte.
• Uma viga pode estar submetida à acção de forças 
concentradas P1, P2 ,…,ou de uma carga 
distribuída, ou à acção combinada de ambas.
Forças concentradas
Forças distribuídas
Estática
A6 - 37
Tipos de carregamento e de apoios
• As vigas classificam-se de acordo com o modo como são apoiadas.
Vigas estaticamente 
determinada 
ou isostática
Viga simplesmente 
apoiada
Viga simplesmente apoiada 
com extremidade em consola
Viga em consola
Viga contínua
Vigas estaticamente 
indeterminada 
ou hiperestática
Vão
• Note-se que as reacções serão estaticamente determinada se os apoios envolvem 
apenas três incógnitas. Se envolvem mais do que três incógnitas, as reacções são 
estaticamente indeterminadas.
Viga encastrada numa 
extremidade e simplesmente 
apoiada na outra
Viga biencastrada
Estática
A6 - 38
Força de corte e momento flector numa viga
• Pretende-se determinar a força de corte e 
o momento flector em qualquer ponto da 
viga. 
Primeiro há que determinar as reacções nos 
apoios escolhendo a viga inteira como um 
corpo rígido.
Forças internas
Cortar a viga em C e desenhar os diagramas 
de corpo livre para AC e CB. Assumir a 
convenção de sinais para o esforço 
transverso e momento flector.
A partir das equações de equilíbrio, 
determinar M e V ou M’ e V’.
Estática
A6 - 39
Força de corte e momento flector numa viga
O esforço transverso V e o momento flector M
num dado ponto de uma viga dizem-se positivos 
quando as forças e os binários interiores actuantes 
em cada uma das partes estão dirigidos como se 
representa em (a).
O esforço transverso em C é positivo quando as 
forças exteriores (forças aplicadas e reacções) que 
actuam na viga tenderem a cortar a viga em C.
Forças interiores na secção 
(esforço transverso e momento flector positivos) 
Efeito das forças exteriores
(esforço transverso positivo) 
Efeito das forças exteriores
(momento flector positivo) 
O momento flector em C é positivo quando as 
forças exteriores que actuam na viga tenderem a 
flectir a viga em C.
Estática
A6 - 40
Força de corte e momento flector numa viga
O esforço axial em C é positivo quando as forças 
exteriores (forças aplicadas e reacções) que 
actuam na viga tenderem a traccionar a viga em C.
Efeito das forças exteriores
(esforço axial positivo) 
Estática
A6 - 41
Diagramas de esforço transverso e de momento flector
• As variações do esforço transverso e do momento 
flector podem ser graficamente representadas
• Determinar as reacções nos apoios.
• Cortar a viga em C e considerar 
o troço AC,
22 PxMPV +=+=
• Cortar a viga em E e considerar 
o troço EB,
( ) 22 xLPMPV −+=−=
• Para uma viga sujeita apenas a cargas 
concentradas, o esforço transverso toma 
valores constantes entre cargas, e o 
momento flector varia linearmente entre 
estas.
Estática
A6 - 42
Problema
Trace os diagramas de esforço transverso 
e momento flector da viga representada.
SOLUÇÃO:
• Do diagrama de corpo livre da liga 
inteira obtêm-se as reacções em B e D.
46 14B DR kN R kN= ↑ = ↑
Estática
A6 - 43
Problema
• Esforço transverso e momento flector
5 5
6 6
14 kN 28 kN m
14 kN 0 kN m
V M
V M
= − = ⋅
= − = ⋅
Similarmente,
∑ = :0yF 120 kN 0V− − = ⇔ kN201 −=V
1 0 :M =∑ ( )( ) 120 kN 0 m 0M+ = ⇔ 01 =M
∑ = :0yF 220 0V− − = ⇔ 2 20 kNV = −
2 0 :M =∑ 220 2.5 0M⋅ + = ⇔ 2 50M kN= −
∑ = :0yF 320 46 0V− + − = ⇔ 3 26 kNV =
3 0 :M =∑ 320 2.5 46 0 0M⋅ − ⋅ + = ⇔ 3 50M kN= −
∑ = :0yF 420 46 0V− + − = ⇔ 4 26 kNV =
3 0 :M =∑ 420 5.5 46 3.0 0M⋅ − ⋅ + = ⇔ 3 28M kN=
Estática
A6 - 44
Problema
• Resultados gráficos.
O esforço transverso tem valor 
constante entre cargas concentradas, 
e o diagrama de momento flector 
varia linearmente.
	Índice
	Estruturas
	Treliças
	Treliças
	Treliças
	Treliças
	Treliça Simples
	Treliça Simples
	Análise de Treliças pelo Método dos Nós
	Problema
	Problema
	Problema
	Problema
	Nós sujeitos a condições especiais de carregamento
	Nós sujeitos a condições especiais de carregamento
	Análise de Treliças pelo Método das Secções
	Análise de Treliças pelo Método das secções
	Análise de Treliças pelo Método das secções
	Análise de Treliças
	Classificação de Treliças
	Classificação de Treliças
	Classificação de Treliças
	Classificação de Treliças
	Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios
	Estruturas que deixam de ser rígidas quando separadas dos apoios
	Problema
	Problema
	Problema
	Problema
	Forças em Vigas
	Forças interiores em elementos
	Forças interiores em elementos
	Forças interiores em elementos
	Forças interiores em elementos
	Tipos de carregamento e de apoios
	Tipos de carregamento e de apoios
	Força de corte e momento flector numa viga
	Força de corte e momento flector numa viga
	Força de corte e momento flector numa viga
	Diagramas de esforço transverso e de momento flector
	Problema
	Problema
	Problema