Avaliação I - Individual (Cálculo Diferencial e Integral III - Uniasselvi)

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GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:1024163)
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Prova 97598244
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
O Teorema de Fubini é uma ferramenta essencial no cálculo de integrais duplas, permitindo que a integração sobre uma região bidimensional seja transformada em integrações iteradas unidimensionais. Para aplicar 
o Teorema de Fubini, a função deve ser contínua sobre o domínio de integração, que pode ser um retângulo ou uma região mais complexa, em que o teorema garante que a ordem de integração possa ser trocada.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a função é contínua em um domínio retangular.
II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em toda a região de integração.
III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de integração não é garantida em domínios mais complexos.
IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica.
É correto o que se afirma em:
A II e III, apenas.
B III e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I, II e IV, apenas.
E I e IV, apenas.
A mudança de variáveis para coordenadas polares é uma técnica eficaz para simplificar a integração sobre domínios com simetria circular ou radial. Nesse sistema de coordenadas, um ponto no plano é representado 
por (r, θ), em que r é a distância do ponto à origem e θ é o ângulo medido a partir do eixo x. O diferencial de área em coordenadas polares é dado por dA = rdrdθ, e essa transformação é particularmente útil para 
integrais sobre regiões que são circulares ou possuem bordas curvas que se alinham com as coordenadas polares.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 1. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Vejamos no gráfico a seguir, a representação de uma região R a ser utilizada em uma integral dupla para uma certa função f:
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. A região R possui em uma das limitações uma circunferência de equação x² + y² = 3, limitada no semiplano superior.
II. Realizando a mudança de variável sobre a região R, teremos o raio variando em 1 ≤ r ≤ 3 e o ângulo 0 ≤ θ ≤ π.
III. O Jacobiano para a mudança de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (θ, r) é r.
IV. A circunferência de equação x² + y² = 1 delimita uma das fronteiras da região R, que está restrita ao semiplano superior.
É correto o que se afirma em:
A I e III, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I, II e IV, apenas.
D III e IV, apenas.
E II e IV, apenas.
Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superfície. A função densidade descreve essa variação, e a massa total 
da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superfície. Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY. Esse método 
permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa.
Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0, 0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto P é dada 
por δ(x, y) = 2x²y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa:
A 184 g.
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B 198 g.
C 144 g.
D 167 g.
E 123 g.
Quando a função f(x, y) é igual a 1 em toda a região D no plano, o cálculo da integral dupla sobre essa região se resume a encontrar a área de D. Isso ocorre porque, com f(x, y) = 1, a função não adiciona nenhuma 
variação à medida que percorremos a região, o que significa que estamos simplesmente somando as pequenas áreas que compõem D. Por exemplo, se a região D for um retângulo, o resultado do cálculo será a área 
desse retângulo, que pode ser obtida multiplicando a largura pela altura. De maneira geral, quando a função é constante e igual a 1, o processo de integração sobre uma região plana equivale a determinar a área 
dessa região.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em 6.
PORQUE
II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla 
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são falsas.
B As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
O Teorema de Fubini é um resultado fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma integral dupla em uma região R³ seja calculada como uma integral iterada. Em um domínio retangular, a função 
deve ser contínua para que a troca da ordem de integração seja válida. O teorema é especialmente útil em aplicações práticas, como o cálculo de volumes, áreas e outros problemas em engenharia e física, em que a 
troca da ordem de integração pode simplificar significativamente a solução do problema.
Fonte: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte. 11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2019.
Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo o domínio.
II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.
III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de ordem superior.
IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.
É correto o que se afirma em:
A II e IV, apenas.
B I, II e III, apenas.
C I e IV, apenas.
D II e III, apenas.
E III e IV, apenas.
Além de calcular integrais duplas em regiões retangulares, é possível aplicar integrais duplas em regiões não retangulares, que podem exigir uma abordagem mais detalhada. Essas regiões podem ser divididas em 
dois tipos principais para facilitar a integração:
• Tipo I: quando a região é delimitada por duas funções de y, com x variando dentro de um intervalo fixo. Nesse caso, y varia entre duas funções específicas, enquanto x permanece constante dentro de um intervalo 
definido.
• Tipo II: quando a região é delimitada por duas funções de x, com y variando dentro de um intervalo fixo. Aqui, x varia entre duas funções específicas, enquanto y permanece constante dentro de um intervalo 
definido.
Essas categorias ajudam a adaptar a técnica de integração à forma da região de interesse, tornando o processo de cálculo mais eficiente em contextos variados.
Considere a região D delimitada pelo eixo das abscissas e pelas retas y = x e x + 2y = 3. Dessa forma, sobre essa região D e a função f(x, y) = 2xy² e as relações entre a área de D e o sólido gerado sobre a região D e 
abaixo da superfície definido em f, analise as afirmativas a seguir:
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I. A região D possui área iguala 5/2.
II. A área da região D pode ser determinado pela integral dupla com 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 3 – 2y e aplicando f(x, y) = 1.
III. Para determinar o volume do sólido gerado pelo tipo I nas integrais duplas, há a necessidade de separar a integral em duas partes.
IV. O volume do sólido gerado sobre a região D e abaixo da superfície definido em f é igual a 3/5.
É correto o que se afirma em:
A I, II e III, apenas.
B I e IV, apenas.
C II e III, apenas.
D II, III e IV, apenas.
E III e IV, apenas.
Considere uma região D do plano cartesiano, na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto (x, y) é descrita pela função δ(x, y). Essa função, contínua e integrável no intervalo considerado, representa a 
quantidade de carga por unidade de área naquele ponto específico. A carga elementar correspondente a uma pequena área dxdy em torno do ponto (x, y) é dada por δ(x,y) dxdy. A carga total distribuída na região D 
pode ser obtida através da integração dupla sobre toda a área, conforme a expressão:
Fonte: SILVA, M. C. Cálculo Avançado e Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2015.
Sendo assim, dada uma região D correspondente a um retângulo, conforme ilustração a seguir:
A distribuição de carga elétrica nessa área é descrita pela função densidade δ(x, y) = 9x²y², expressa em Coulombs por metro quadrado (C/m²). Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a carga total 
acumulada na região:
A 494 Coulombs.
B 421 Coulombs.
C 385 Coulombs.
D 342 Coulombs.
E 519 Coulombs.
A região D, associada à integral tripla, descreve um sólido tridimensional cuja análise depende da definição precisa dos limites de integração. Esses limites delimitam a extensão das variáveis dentro da região e são 
essenciais para representar corretamente a forma do sólido. Sólidos comuns, como prismas, cilindros e esferas, frequentemente aparecem em tais regiões. A correta especificação dos limites permite a representação 
exata da geometria desses sólidos, assegurando uma modelagem adequada e a interpretação precisa das integrais triplas e, em muitos momentos, permite a possibilidade de realizar a mudança de variável, facilitando 
o cálculo da integral.
Considere uma integral tripla em que D é uma região tridimensional no primeiro octante delimitada pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e pela superfície x² + y² + z² = 4. Nesse sentido, avalie as asserções a seguir e a 
relação proposta entre elas:
I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D.
PORQUE
II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B As asserções I e II são falsas.
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C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis, permitindo o cálculo de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da 
matemática e da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial.
Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1} e a função f(x, y) = y²x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3.
PORQUE
II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D As asserções I e II são falsas.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de coordenadas adequado é essencial para a simplificação do cálculo. Quando a região de integração possui simetria 
axial, como cilindros e cones, o uso de coordenadas cilíndricas pode facilitar significativamente a resolução das integrais triplas.
Fonte: BORGES, E. M.; RUGGIERO, M. A. Cálculo Volume 2. São Paulo: Editora Pearson, 2010.
Podemos entender que, ao realizar a conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas, surgem novos parâmetros específicos. Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:
A As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.
B As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e comprimento radial.
C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada vertical.
D As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.
E Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a altura.
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