Aula 002_SimetriaExterna_Elementos de Simetria

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112593 – Fundamentos de Mineralogia 
 
 
Simetria Externa 
Elementos de Simetria 
 
 
Profa. Sylvia M. Araujo 
Instituto de Geociências 
Universidade de Brasília 
Introdução 
Referências: 
Bloss, F.D. (1994) – Cap. 1 – pgs 1-25 
 
Klein & Dutrow (2008) - Cap. 06 - pgs 109-128 
 
 
 
 
1. Conceito de Cristalografia: 
 
Estudo da forma externa e arranjo atômico interno de sólidos cristalinos. 
Princípios que governam o crescimento, a forma externa e a estrutura interna 
dos sólidos cristalinos. 
 
Todo mineral é um sólido cristalino. 
 
2. Conceito de Simetria: 
 
Repetição sistemática de feições idênticas (motivo) de um objeto. 
A figura ao lado é 
simétrica? 
 
Que elementos descrevem 
e quantificam a simetria 
desta figura? 
 
2. Conceito de Simetria: 
 
Repetição sistemática de feições idênticas de 
um objeto. 
Quartzo 
120o
120o
120o 120o 120o
120o
120o
Conceito importante na descrição da 
forma externa e estrutura interna dos 
minerais. 
 
2. Conceito de Simetria: 
 
Repetição sistemática de feições idênticas de 
um objeto. 
Diopsídio plano (001) - azul = Si roxo = M1 (Mg) amarelo = M2 (Ca) 
Diopsídio: CaMg [Si2O6] 
Conceito importante na descrição da 
forma externa e estrutura interna dos 
minerais. 
3. Simetria 
Motivo: A parte fundamental de uma figura simétrica que, quando 
repetida, gera o padrão completo. 
 
Elemento de Simetria: tipos principais de simetria. 
 - Eixo (simetria em relação a um eixo). 
 - Plano (simetria em relação a um plano). 
 - Ponto (simetria em relação a um ponto). 
 
Operação de Simetria: Ato (movimento espacial) necessário para 
reproduzir o motivo simetricamente equivalente. 
 - rotação (simetria em relação a um eixo). 
 - reflexão (simetria em relação a um plano). 
 - inversão (simetria em relação a um ponto). 
 
 
 
3.1 Simetria com relação à um eixo (rotação) 
Repetição de um motivo através da rotação 
de um dado eixo. 
 
 Rotação: 
 
Ângulo de rotação�������= 360o/X 
 
X = números de elementos repetidos. 
3.1 Simetria com relação à um eixo 
Repetição de um motivo 
através de uma rotação de 
um dado eixo. 
 
1. Rotação 
a. Rotação do binário 
(180°) 
 
= 360o/2 rotação 
para reproduzir um 
motivo em um 
padrão 
6 
6 
Rotação: 
a. Rotação do binário 
(180°) 
 
= 360o/2 rotação 
para reproduzir um 
motivo em um 
padrão 
 
= símbolo do binário 
Motif 
Element 
6 
6 
3.1 Simetria com relação à um eixo (rotação) 
6 
6 
first 
operation 
step 
second 
operation 
step 
Rotação 
 
a. Rotação do binário (180°) 
 
= 360o/2 rotação 
para reproduzir um 
motivo em um 
padrão 
 
 
= 2 = símbolo para uma rotação 
de 180° (repetição dupla 
de um elemento). 
3.1 Simetria com relação à um eixo (rotação) 
Rotação: 
b. Rotação do 
ternário(120°) 
 
= 360o/3 para 
reproduzir um motivo 
em um padrão 
 
 
3.1 Simetria com relação à um eixo (rotação) 
step 1 
step 2 
step 3 
Rotação: 
Rotação do ternário (120°) 
 
= 360o/3 para 
reproduzir um motivo 
em um padrão 
 
3.1 Simetria com relação à um eixo (rotação) 
6 
6 
6 6 6 
6 
6 
6 
1-fold 2-fold 3-fold 4-fold 6-fold 
3.1 Simetria com relação à um eixo (rotação) 
Por razões geométricas nas estruturas cristalinas, as quais serão discutidas mais 
adiante, os valores possíveis de repetição por rotação em estruturas cristalinas são: 
1, 2, 3 , 4 e 6. 
Rotações 5 e >6 são portanto excluídas. 
Simetria 
Motivo: A parte fundamental de uma figura simétrica que, quando 
repetida, gera o padrão completo. 
 
Elemento de Simetria: tipos principais de simetria. 
 - simetria com relação a um eixo. 
 - simetria com relação a um plano. 
 - simetria com relação a um ponto. 
 
Operação de Simetria: Ato (movimento espacial) necessário para 
reproduzir o motivo simetricamente equivalente. 
 - rotação (simetria em relação a um eixo). 
 - reflexão (simetria em relação a um plano). 
 - inversão (simetria em relação a um ponto). 
 
 
 
3.2 Simetria com relação à um plano (reflexão) 
Repetição de um motivo através de sua repetição 
em um espelho (plano). 
Reflexão (m): 
 
 
 
= símbolo para um plano 
de simetria (m) 
 
3.3 Simetria com relação à um ponto (inversão) 
Repetição de um motivo através de sua repetição, 
equidistante de um ponto, em direção oposta 
(ponto). 
 
Inversão (i): 
 
 
 
= símbolo para um ponto 
de simetria (i) 
 
No plano (2D) a inversão é 
equivalente à um eixo 2 (mas não 
em 3D). 
 
6 
6 
3.3 Simetria com relação à um ponto (inversão) 
Repetição de um motivo através de sua repetição, 
equidistante de um ponto, em direção oposta 
(ponto). 
 
Inversão (i): 
 
 
Simetria 
Motivo: A parte fundamental de uma figura simétrica que, quando repetida, 
gera o padrão completo. 
 
Elemento de Simetria: tipos principais de simetria. 
 - simetria com relação a um plano. 
 - simetria com relação a um eixo. 
 - simetria com relação a um ponto. 
 
Operação de Simetria: Ato (movimento espacial) necessário para reproduzir o 
motivo simetricamente equivalente. 
 - reflexão (simetria em relação a um plano). 
 - rotação (simetria em relação a um eixo). 
 - inversão (simetria em relação a um ponto). 
 
 
 
Operações de Simetria 
Operações de Simetria 
A. Primeira ordem (o objeto repetido é idêntico ao original) 
B. Segunda ordem (o objeto repetido é uma imagem refletida ou invertida do original) 
3.4 Rotação com inversão : rotoinversão 
A combinação de uma operação de rotação com uma de inversão é conhecida 
Como rotoinversão. Representadas por: 
 
 1 = i 2 3 4 6 
3.4 Rotação com inversão 
 
 
b. 2-fold rotoinversion (2) 
 
Step 1: rotate 360/2 
 
Note: this is a temporary 
step, the intermediate motif 
element does not exist in the 
final pattern 
3.4 Rotação 2 com inversão: 2 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
b. 2-fold rotoinversion ( 2 ) 
 
Step 1: rotate 360/2 
 
Step 2: invert 
3.4 Rotação 2 com inversão: 2 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
b. 2-fold rotoinversion ( 2 ) 
 
The result: 
 
2 = m 
3.4 Rotação 2 com inversão: 2 
3.4 Rotação 2 com inversão: 
2 
New Symmetry 
Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry 
Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry 
Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
1: Rotate 360/4 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
1: Rotate 360/4 
 
2: Invert 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
1: Rotate 360/4 
 
2: Invert 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
3: Rotate 360/4 
 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
3: Rotate 360/4 
 
4: Invert 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
3: Rotate 360/4 
 
4: Invert 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
5: Rotate 360/4 
 
 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
5: Rotate 360/4 
 
6: Invert 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
New Symmetry Elements 
4. Rotoinversion 
 
d. 4-fold rotoinversion ( 4 ) 
 
This is also a unique operation 
3.4 Rotação 4 com inversão: 4 
3.4 Rotação 4 com inversão: 
4