cap1 - Microeconomia Aplicada (Maurinho)

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composta de um único capítulo que trata de jogos estáticos e dinâmicos com informação completa. CAPÍTULO 1 Essas partes em que livro foi estruturado (exceto a primeira) representam os grandes temas da teoria microeconômica que são usualmente abordados, de maneira formalizada e aprofundada, em cursos de pós-graduação em economia distribuídos pelo mundo. Tem-se, Otimização estática em economia portanto, como público principal deste livro os estudantes e professores de cursos de pós-graduação em economia do País. Capítulos específicos Wilson da Cruz Vieira¹ do livro podem ser usados também em cursos de graduação em economia, desde que os estudantes tenham o preparo necessário para Neste capítulo apresentam-se alguns conceitos matemáticos básicos e técnicas de otimização estática que serão utilizados ao longo deste livro. Inicia-se com conceitos como os de conjunto e de função. O Viçosa (MG) conceito de função é fundamental em análise econômica, pois praticamente Os Editores todas as relações econômicas são expressas na forma de funções ou equações. Em situações gerais que envolvem simultaneamente várias funções ou equações, necessita-se de conceitos relacionados a Estreitamente ligados ao conceito de função estão os de limite, continuidade e derivada. Com base no conceito de derivada, derivam-se as condições de primeira e segunda ordens para encontrar extremos relativos de funções ou utilizar o conceito para realizar, por exemplo, análises de estática comparativa. Um extremo relativo é um ponto que maximiza ou minimiza uma função; na análise econômica, esse ponto pode representar, por exemplo, o lucro máximo de uma firma. 1.1. Conjuntos e funções 1.1.1. Conjuntos Um conjunto é qualquer coleção de objetos distintos. Estes objetos podem ser físicos (cesta de bens, por exemplo) ou abstratos (conjuntos numéricos, por exemplo). Um conjunto pode ser descrito mediante a enumeração de seus elementos ou através de uma regra. Como exemplo, considere o seguinte conjunto: A = {a, b, c}. Note-se Professor do Departamento de Economia Rural da Universidade Federal de Viçosa. e-mail: wvieira@ufv.br.12 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 13 que, para descrevê-lo, enumerou-se (em conjuntos, a ordem dos elementos conjunto A "contém" o conjunto vazio. Para dois conjuntos quaisquer não é importante) seus elementos, ou seja, "a", "b"e"c". não-vazios, e D, diz-se que é um subconjunto de D se b D para Usualmente, conjuntos são representados por letras maiúsculas todo b E B. Dois conjuntos, A e B, são iguais se e somente se A é um e seus elementos dispostos entre colchetes. Podem-se estabelecer as subconjunto de B e Bé um subconjunto de A. Quando dois conjuntos seguintes relações entre um conjunto e seus elementos: b [lê-se: "b não-vazios não possuem elementos em comum, eles são chamados de pertence a A", "bé um elemento de A" ou "bé um membro de A"] ou disjuntos. A (no caso, "d não é um elemento de A"). Para dois conjuntos quaisquer, A e B, podem-se realizar as Quando não é possível enumerar todos os elementos de um seguintes operações: conjunto, uma forma alternativa para descrevê-lo é através de uma regra. a) União de conjuntos: por exemplo, seguinte conjunto formado pelos números naturais: b) Interseção de conjuntos: B}. Note-se que N Embora não seja possível colocar todos os seus a interseção de dois conjuntos disjuntos é o conjunto vazio. elementos entre ele é enumerável; na verdade, ele é um conjunto c) complemento de A em Bé o conjunto: B\A = A}, infinito (tem infinitos elementos) enumerável. Note-se também da e o complemento de em Aé o conjunto: A\B = B}. forma como os elementos estão dispostos, não há dúvida sobre que O complemento de A em U (conjunto universo) é o conjunto U\A {x elementos compõem esse conjunto. Por outro lado; o conjunto formado A}, ou seja, todos os elementos pertencentes a U e que pelos números reais¹ compreendidos entre 1 e 5, ou seja, [1, 5]. ou, de não pertencem a A. Quando não está claramente definido, o conjunto forma alternativa, não pode ser descrito por enumeração de universo é o conjunto formado por todos os elementos no contexto da seus Sabe-se que, entre seus elementos, 1 e 5 são o menor e análise que está sendo realizada. maior valor, respectivamente, mas, qual é o elemento (número) que vem d) Produto cartesiano: Seja X, y Y e (x, y) um par ordenado. depois de Nesse caso, a melhor forma para descrever esse conjunto Então (x, y) E e conjunto X Y, formado por todos os pares é através de uma regra. Assim, pode-se descrever esse conjunto da seguinte ordenados (x, y), é chamado de produto cartesiano. Note-se que, forma: D R 1 ou seja, Dé o conjunto formado por diferentemente dos conjuntos, a ordem dos componentes de um par todos os elementos "x" pertencentes aos reais tal que (o símbolo significa ordenado é importante, ou seja, (x, y) # (y, a não ser "tal que") "x" está compreendido entre 1 e 5. Note-se que esse é um As operações com conjuntos de (a) a (c) podem ser ilustradas conjunto infinito não-enumerável. utilizando-se seguintes diagramas de Venn (Figura 1.1): Definido que é um conjunto e como descrevê-lo, podem-se estabelecer operações ou relações entre eles. Antes de prosseguir, con- B vém definir um conjunto especial, o conjunto vazio, denotado por Ø, A como conjunto que não possui nenhum elemento. Pode-se definir a seguinte relação entre o conjunto vazio e qualquer outro conjunto não- vazio: C A ou Essas relações são equivalentes e informam que AUB B\A conjunto vazio é um "subconjunto" (está contido) do conjunto A ou o Figura 1.1 Diagramas de Venn conjuntos entre os quais os reais, são definidos mais adiante nesta seção.14 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 15 Se a A, B e C são conjuntos arbitrários quaisquer, derivam-se as procurada é 92. seguintes leis relacionadas com uniões e interseções: Seja o seguinte exemplo, retirado de Chiang (1982), para o leitor a) Lei comutativa: responder. O modelo de mercado de um produto Qé representado pelos b) Lei associativa: conjuntos D {(P,Q) e em que D e S definem conjuntos de pontos contidos nas curvas de demanda e Lei distributiva: oferta, respectivamente. Encontrar o conjunto interseção A (B em que representam, respectivamente, o preço e a quantidade de equilíbrio de mercado. [Nota: No cômputo do equilíbrio, considerar Antes de passar à discussão de funções, na próxima seção, apenas valores não-negativos para preços e quantidades]. [Resposta: convém descrever os conjuntos numéricos e as relações entre eles. a) Naturais: 1.1.2. Funções d) Irracionais: Uma relação de um conjunto A em um conjunto é um e) R é racional ou subconjunto de um produto cartesiano A B, em que para cada elemento e) Complexos: bi R, b R, em que "a" é a de A pode existir mais de um elemento correspondente em B. Se nessa parte real e "bi" é a parte imaginária. relação houver apenas um valor correspondente de para cada elemento Note-se que: Exceto quando dito A, ela é chamada de função. Nos dois exemplos de relações a seguir, explicitamente, conjunto universo relacionado a conceitos, exemplos e note-se que apenas o primeiro caso (R₁) é uma função. aplicações no restante deste capítulo e na maior parte deste livro é o conjunto dos números reais. Um generalização do produto cartesiano, a partir do conjunto dos reais, é dado por Uma função, na sua forma genérica, é representada usualmente n}, em que é a i-ésima coordenada de por: y f(x) [lê-se: "y é uma função de x"]. Nessa notação, "x" é chamado é uma n-upla ordenada. de argumento ou variável independente da função; e "y" é chamado de Considere-se o seguinte exemplo, retirado de Silva et al. (1999), valor da função ou variável dependente. O valor de y no qual o valor de X de aplicação da teoria dos conjuntos em economia. Uma firma colocou é aplicado é chamado de imagem daquele valor de X. O conjunto de no mercado um produto em duas embalagens diferentes: e E2. todos os valores que X pode assumir é chamado de domínio da função, Decorrido algum tempo, foi feita uma entrevista com 200 pessoas em um e o conjunto de todas as imagens é chamado de contradomínio da função. supermercado sobre a preferência pelas embalagens. Dos entrevistados, Uma função é também chamada de uma aplicação ou uma 120 declararam preferir o tipo E1, 142 o tipo E2 e 30 declararam transformação. Dessa forma, a notação funcional "f" pode ser interpretada desconhecero produto. Quantos, dos entrevistados, gostariam de encontrar como uma regra pela qual "x" é "aplicado" (ou "transformado") em "y". produto nas duas embalagens? Seja o conjunto dos que preferem Portanto, pode-se escrever: esse tipo de embalagem e E2 o conjunto dos que preferem outro tipo. Note-se que 120, E2 142 e E2 92. Logo, a resposta f:x y16 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 17 em que especifica uma regra de transformação e y" indica a Na função linear, tem-se um intercepto positivo e uma inclinação positiva (a,>0) (Figura 1.2). Esta função pode representar, por aplicação. exemplo, uma função de oferta. Na função quadrática, o intercepto é Dentre conjunto de funções, as mais usuais em economia são as positivo e a concavidade é para baixo (a,0) função cúbica, uma função de custo; a hipérbole regular, uma isoquanta ou uma a função logarítmica, uma função utilidade; a exponencial (base natural "e", um número irracional, ou seja, log, x In é é freqüentemente utilizada na composição de juros ou cálculo de valores crescente. Observe também que, em X = 1, y=0. Esta função tem como e as trigonométricas, especialmente funções seno e co-seno, domínio os reais positivos e, como contradomínio, os reais. aparecem com freqüência na análise dinâmica de trajetórias no tempo de Saber se uma função é côncava ou convexa é fundamental em variáveis econômicas. economia, especialmente quando se está trabalhando com otimização. Na Figura 1.2 representam-se, graficamente, algumas dessas Diz-se que uma função y f(x) é côncava em = a se, nas proximidades funções. do ponto (a, f(a)), o gráfico da função fica completamente abaixo de sua tangente nesse ponto. Por outro lado, uma função g(x) é convexa em y a se, nas proximidades do ponto (a, g(a)), o gráfico da função fica completamente acima de sua tangente nesse ponto. Formalmente, para dois pontos, X1 do domínio da função y f(x), X1 0 variáveis, ou seja, a variável dependente passa a ser a variável independente e vice-versa, tem-se o que se chama de função inversa, que é representada por = Em economia, a função de demanda, em hipérbole regular função logarítmica mais adiante, nesta seção, conceito de limite. Figura 1.2 Representação gráfica de funções Os conceitos de convexidade e concavidade podem ser generalizados facilmente para funções com mais de um argumento. Quando a desigualdade é do tipo "". diz-se que ela é "estrita". Daí conforme o caso, os conceitos de "estritamente côncava" ou "estritamente convexa".18 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 19 concorrência perfeita, é dada por Q f(P), em que Q representa ordenados estão contidos no produto cartesiano R R, em que R quantidade e preço. Curiosamente, a função de demanda é representa o conjunto dos números reais. Dessas relações, quais delas apresentada na sua forma inversa, ou seja, constituem funções? [Resposta: B e C]. (Em caso de dúvida, o leitor pode Muitas vezes, é possível encontrar uma situação em que uma construir gráficos representativos dessas relações para identificar mais variável é função de outra variável "y", que, por sua vez, é função de claramente quais delas são funções). uma terceira variável "x". Quando se expressa "Z" como uma função de Seja um segundo exemplo: O custo total por dia, CT, de uma está-se fazendo uma composição de funções, ou seja, "z" é uma firma é uma função de sua produção diária Y: CT = 100 + 5Y. A firma tem função composta de "x". De forma mais específica, se g(x), um limite de capacidade de 100 unidades de um dado produto por dia. então Qual é contradomínio da função custo total? Note que, para Y 100, Uma função é dita homogênea de grau "r" se, ao multiplicar cada CT 600. Logo, o conjunto contradomínio procurado é dado por um de seus argumentos por uma constante "k", o valor da função fica 100 ≤ CT 600}, desde que, quando CT 100. multiplicado por ou seja, se Por exemplo, se x/y, e caso se multiplique cada um de seus argumentos por k, Considere agora a seguinte função: 3x² 24x No obtém-se f(kx, ky) kx/ky y), ou seja, esta função é homogênea intervalo ela é estritamente côncava ou estritamente convexa? de grau zero. Neste caso em particular, o valor da função não foi afetado [Resposta: Estritamente convexa]. (O leitor pode construir um gráfico da pelas variações na mesma proporção nas variáveis independentes dessa função para confirmar a resposta dada). Para finalizar esta seção, considere função. Note-se que esta constante "k" é usualmente positiva. seguinte exemplo retirado de Weber (1986): Achar e Até agora, consideraram-se, basicamente, funções com um único argumento, ou seja, funções com uma única variável independente. Esses para a seguinte expressão: [Resposta: são os casos mais simples. Entretanto, na maioria das vezes, tem-se que (Aqui basta fazer as substituições necessárias lançar mão de funções mais complexas, isto é, funções com mais de um e realizar um pouco de álgebra para encontrar a resposta dada). argumento. Por exemplo, uma função muito conhecida em economia é a Cobb-Douglas, que pode ser escrita como Q em què Q é 1.2. Álgebra linear quantidade por unidade de tempo, K é capital, Lé trabalho e a, αe ß são 1.2.1. Álgebra matricial⁵ Trata-se de uma função não-linear com dois argumentos. Para Uma matriz de dimensão m X n é um arranjo ordenado de mn se trabalhar com funções com mais de um argumento, uma forma elementos, em que "m" refere-se às linhas e "n" às colunas. Supondo-se conveniente é usar os conhecimentos de álgebra linear que serão tratados que a matriz A tem dimensão m X n, então pode-se descrevê-la da seguinte na próxima seção. forma: Considerem-se agora alguns exemplos de aplicações dos conceitos a₁₁ dados nesta seção. Para iniciar, sejam os seguintes conjuntos: a₂₁ A e aₘ₂ Esses conjuntos definem relações, cujos pares Esta seção baseia-se em Johnston (1984).20 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 21 em que é um elemento genérico, com "i" referindo-se à i-ésima linha e matrizes: "j". à j-ésima coluna da matriz em questão. Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar (constante) para 2 0 2 0 4 se obter uma nova matriz cujos elementos são obtidos pela multiplicação A B = e D de cada elemento da matriz original pelo escalar. Podem-se somar (subtrair) 2 3 3 1 9 3 1 Note que: matrizes da mesma ordem para obter uma nova matriz cujos elementos 5 2 são obtidos pela soma (diferença) dos elementos correspondentes das AB matrizes originais. A transposta de uma matriz B, denotada por B' (ou 7 3 é obtida pela troca entre linhas e colunas da matriz original, ou seja, a primeira linha de B torna-se a primeira coluna da transposta, a segunda A partir desses exemplos, pode-se perceber que DA e DB não linha de B torna-se a segunda coluna da transposta, e assim por diante. Se são definidos. Isso porque as dimensões dessas matrizes são incompatíveis Bé dada por: para multiplicação, ou seja, o número de colunas de D é diferente do número de linhas de A ou B. Por outro lado, AD e BD são definidos. Nos 1 0 3 2 exemplos dados, fez-se apenas a multiplicação AB = C. Para exemplificar B = B'= 3 5 então 5 9 como foram obtidos os elementos considere, em particular, o elemento 2 9 Ele foi obtido da seguinte forma: Se uma matriz A satisfaz a propriedade ela é chamada de (Note-se que n = 2). Fazendo as contas, obtém-se: + = 5. simétrica, isto é, para todo i #j, em que é um elemento de A. Procedimento semelhante foi utilizado para obter os demais elementos da Note-se que essa propriedade só pode acontecer com matrizes quadradas, matriz C. ou seja, quando o número de linhas é igual ao número de coluna, m n. A seguir apresentam-se duas matrizes quadradas importantes: Um exemplo de matriz simétrica é: 7 A 7 r₁ 0 0 1 0 0 0 r₂ 0 0 1 0 em que é fácil constatar que ela é idêntica à sua transposta. As matrizes R simétricas possuem papel importante na análise econômica, que será e ... explorado mais adiante neste capítulo e em outros contextos deste livro. 0 0 rₙ 0 0 1 Da mesma forma que se pode somar ou tomar a diferença entre matrizes, pode-se também multiplicá-las. O produto de duas matrizes, AB, é definido A matriz R é chamada de matriz diagonal. Sua característica é quando A tem dimensão "m X n" e tem dimensão "n X p". Se AB = C, que os elementos fora da diagonal principal são todos iguais a zero, então um típico elemento de Cé dado por: Para tornar enquanto, na diagonal principal, pelo menos um elemento é diferente de mais claro processo de multiplicação de matrizes, considere as seguintes zero. A matriz identidade I é um caso especial de uma matriz diagonal22 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 23 com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. A matriz identidade vetores são linearmente independentes (L.I.). Para ilustrar essas possui a seguinte propriedade IA = A para quaisquer matrizes A e I propriedades, considere os seguintes vetores: de dimensões n xn. Outra propriedade importante das matrizes quadradas 0 2 2 0 é traço, que é a soma dos elementos da diagonal principal. No caso da 3 Observe que: +2 -1 = 0 0 3 0 matriz quadrada R, traço é dado por Quando uma das dimensões de uma matriz é igual a 1, tem-se Note-se que, neste exemplo, = 3, -1. Logo, os vetores V₂ e V₃ são ditos linearmente dependentes (L.D.). que se chama de vetor. Dessa forma, pode-se ter, por exemplo, um vetor- coluna C de dimensão m X 1 ou um vetor-linha L de dimensão 1 X n Essa relação de dependência (ou independência) entre vetores é útil também para se definir uma outra propriedade relacionada a matrizes. conforme mostrado nos exemplos a seguir: Trata-se do rank ou posto de uma matriz. Seja a matriz A de dimensão m O posto desta matriz é dado pelo número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes de A. Se m24 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 25 assim como outros apresentados neste capítulo, são obtidos mediante se do conceito de co-fator para calcular seu determinante. Um co-fator, prova de teoremas. Por questão de espaço, optou-se apenas por denotado por de uma matriz A, de dimensão n n, é o determinante da apresentar resultados mais importantes e que são importantes do ponto matriz A, coma i-ésima linha e a j-ésima coluna eliminadas, e multiplicado de vista da análise econômica. pelo fator isto é, Note-se que se pode calcular o co-fator de cada elemento da matriz A e formar uma matriz de co-fatores. 1.2.2. Determinantes e sistemas de equações lineares A transposta da matriz de co-fatores de A é chamada de matriz adjunta A definição formal do determinante de uma matriz quadrada de A e é denotada por Adj.A. Se 0, a matriz Aé não-singular e sua de dimensão n denotado por |A|, é um tanto quanto complexa e inversa é calculada utilizando-se a seguinte expressão: depende de conceitos não tratados neste capítulo, como o de permutação. Em vez de apresentar o conceito de determinante de uma matriz quadrada formalmente, optou-se por mostrar como ele é calculado mediante exemplos. No caso de uma matriz quadrada o determinante é Considere o seguinte exemplo para ilustrar os cálculos de co- próprio elemento da matriz. No caso de matrizes fatores, da matriz adjunta e da matriz inversa: determinantes são calculados, respectivamente, da seguinte forma: 2 1 A 3 2 a₂₁ a₂₂ Determinante de A: Co-fatores: (- b₁₁ b₁₂ b₁₃ b₂₂ b₂₃ 2 -3 b₃₁ b₃₃ Matriz de co-fatores: 2 No caso da matriz 2x2, multiplicam-se os elementos da diagonal 2 -1 principal e resultado é subtraído dos elementos multiplicados da diagonal Matriz adjunta de A: Adj.A 2 secundária. O valor resultante é determinante da matriz A. Procedimento semelhante é utilizado no caso da matriz B, só que agora as diagonais principal e secundária não esgotam os elementos da Então, Matriz inversa de A: 2 3 -1 2 = -3 2 -1 2 procede-se como se as duas primeiras colunas da matriz B fossem adicionadas à sua direita, o que permite individualizar três diagonais Pode-se constatar facilmente que: I. principais e três diagonais secundárias. O cálculo do determinante, no Para uma matriz quadrada A, de dimensão n X n, seu determinante caso da matriz B, de dimensão 3x3, é como mostrado na expressão pode ser calculado por expansão de co-fatores de qualquer linha ou anterior. qualquer coluna, utilizando uma das seguintes expressões: Se a matriz quadrada possuir dimensão maior do que 3x3, precisa-26 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 27 A (expansão pela i-ésima linha). a₁₁ a₁₂ b₁ a₂₁ a₂₂ a₂ₙ b₂ A (expansão pela j-ésima coluna). A e b Para ilustrar cálculo do determinante usando expansão por co- aₘ₁ fatores, considere seguinte exemplo: Pode-se reescrever o sistema de equações lineares, usando notação matricial, da seguinte forma: I 0 0 A = 5 2 1 6 3 2 Pré-multiplicando ambos os lados dessa equação matricial por A⁻¹ Escolhendo a primeira linha para expansão, obtém-se seguinte (desde que a inversa exista), obtém-se: A⁻¹ Ax Ix ou valor para determinante: A 1. Note-se que seja, o que é uma forma bastante conveniente para resolver os dois últimos termos da expansão são iguais a zero, pois e sistemas de equações lineares em que o número de incógnitas é igual ao cálculo do determinante resume-se a calcular o co-fator pois número de equações, ou seja, basta calcular a inversa da matriz de =1.0 valor deste co-fator é 1. Usando o primeiro método apresentado coeficientes e multiplicá-la pelo vetor "b". Uma forma alternativa para para cálculo do determinante de uma matriz quadrada, de dimensão 3x3, obter a solução deste sistema de equações usando apenas cálculo de chega-se ao mesmo resultado. determinantes é a chamada regra de Cramer. Segundo essa regra, Os conhecimentos já adquiridos sobre cálculos de inversas de valores das incógnitas são dados por: matrizes e de determinantes podem ser utilizados para resolver sistemas de equações lineares. Para ver como isso pode ser feito, considere o seguinte sistema de equações lineares: A (para todo i = 1, 2, 3, n). em que é determinante da matriz resultante da substituição da iésima coluna da matriz A pelo vetor "b" de constantes. Assim, nos casos de e por exemplo, tem-se, respectivamente: Caso se definam as seguintes matriz e vetores:28 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 29 então ela é dita: b₁ a₁₂ a₁₁ a) Positiva definida, se e somente se x'Ax > 0, b₂ a₂₂ a₂₁ a₂₂ b₂ b) Negativa definida, se e somente se " ou "30 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 31 Observe que as submatrizes principais de ordens 1x1, 2x2 e 3x3 de A Ax ou, ainda, (A 0, em que (A rI) é chamada de são, respectivamente: matriz característica. Uma vez que, por suposição, X o determinante de (A deve se igualar a zero para satisfazer a equação matricial. Para 0 obter todas as raízes características, deve-se resolver a equação |A 0. Como ilustração, considere a seguinte matriz: e 0 3 0 2 3 4 A 1 Com base nesses novos conceitos, o sinal da forma quadrática associado à matriz simétrica A, de dimensão n n, é: cujas raízes características são obtidas da seguinte equação: a) Positiva definida, se e somente se > para todo k =1, 2, 1 n. 1 1-r b) Negativa definida, se e somente se 0 para todo k Para ilustrar uso desse novo método para definir o sinal de uma A qual, aplicando-se a regra de cálculo do determinante, gera a forma quadrática, considere aquele primeiro exemplo cuja forma quadrática seguinte equação quadrática: ou, ainda, r² 1 já foi identificada como positiva definida, ou seja, a matriz: = são duas raízes reais distintas e positivas: Note-se que, ao contrário de uma 2 2 1 matriz não-simétrica, cujos autovalores podem ser reais ou complexos, as A cujas submatrizes principais são: [2] e raízes características de uma matriz simétrica são todas reais. Quando se 1 1 substitui o valor de uma das raízes características na equação matricial (A rI)x 0, obtém-se, neste caso, um sistema de equações formado por Os determinantes dessas submatrizes principais são dados por: uma única equação (na verdade, há duas equações, só que elas são Logo, a forma quadrática associada a linearmente dependentes) e duas incógnitas (x, e ou seja, há infinitas esta matriz é positiva definida, como já visto anteriormente. soluções. Para forçar uma única solução para o autovetor, pode-se, Considere agora o caso de uma matriz quadrada A, de dimensão segundo Chiang (1982), normalizar, ou seja, fazer com que e Se for possível encontrar um vetor #0 e um escalar "r" tal que: satisfaçam à equação 1. As raízes características e formas quadráticas estão relacionadas da seguinte forma, ou seja, a forma quadrática x' Ax é: a) Positiva definida, se e somente se >0, para todo i então escalar "1" é chamado de raiz característica (ou autovalor) e o b) Negativa definida, se e somente se32 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 33 resultado dos dois outros procedimentos utilizados anteriormente. Esse conceito de raízes características será explorado na análise dinâmica em economia (capítulo 2), associado com a resolução de sistemas de equações f(b) f(b) diferenciais. Para encerrar esta seção, serão considerades alguns exemplos. ε L De início, considere a matriz A Pede-se: a) Para que valores de f(a) f(a) δ δ "a"e"b" a inversa A⁻¹ existe? [Resposta: Apenas se os valores de a e b forem diferentes de zero]; b) Encontre a inversa A⁻¹. [Resposta: Se b # a b a X₀ b (a) (b) a inversa é dada por 1/b 0 Figura 1.3 Ilustração do conceito de limite Considere agora o seguinte sistema de equações representativo de dois bens substitutos: Esse sistema possui uma única Caso seja feita uma aproximação de no domínio da função f(x), pela esquerda (a partir de "a") ou pela direita (a partir de "b") (ver as solução, infinitas soluções ou nenhuma solução? [Resposta: infinitas setas indicadas na Figura 1.3), o valor da função tenderá para L no caso soluções]. (Este resultado decorre do fato de existir dependência linear da Figura 1.3a, ou seja, o valor da função estará no intervalo L|34 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 35 Diz-se que uma função y f(x) é contínua em se e somente se três magnitudes de vão ficando cada vez menores. Pode-se considerar condições forem satisfeitas simultaneamente: (a) está definido; (b) uma situação no limite, quando -> 0. Neste caso, é fácil inferir que a lim e (c) lim Note-se que, comparando as inclinação do segmento de reta é dada pela tangente à curva no ponto A. Formalmente: Figuras 1.3b, apenas primeiro caso atende a estas condições de continuidade, ou seja, a função f(x) é contínua em No segundo caso lim lim (Figura 1.3b), a segunda condição é violada. Para a definição de derivada, considere a Figura 1.4. Nesta figura, marcaram-se dois pontos A e B, cujas coordenadas são e A inclinação de uma curva, em determinado ponto, ou seja, sua respectivamente. No eixo horizontal, a distância entre X, e é dada por tangente neste ponto, é chamada de derivada. Ela mede a taxa instantânea e a distância entre no eixo vertical, é dada por Ay y, de mudança de y com respeito a mudanças X e desempenha um papel A inclinação do segmento de reta que une os pontos A e B é dada fundamental na análise econômica. Por exemplo, em por: economia, está-se interessado no(s) efeito(s) da mudança em determinada y₂ variável sobre outra(s) ou em identificar seu ponto de máximo ou mínimo, situação em que o conceito de derivada é muito útil. Em um contexto geral, diz-se que uma função f(x) é diferenciável B se o limite lim existe para todos os valores de "x" no domínio da função. Para ser mais preciso, uma função f(x) é diferenciável em um Ду ponto se ela é contínua e a tangente à curva nesse ponto é única. O simples C fato de a função ser contínua não garante que ela seja diferenciável no ponto sob consideração. Por exemplo, se em determinado ponto do Дх domínio da função há uma mudança brusca no gráfico da função, a tangente à curva nesse ponto pode não ser única. Na verdade, para que a tangente seja única, as mudanças na curva definida pelo gráfico da função devem ser suaves. Figura 1.4 do conceito de derivada Os seguintes símbolos são utilizados para derivada: y' e [f(x)]. Para ilustrar o cálculo da derivada (em qualquer ponto de Considere, agora, o segmento de reta que une os pontos A e C. seu domínio), considere a função y = 2x + 1. Utilizando o conceito de Note que, neste caso, ao calcular a inclinação desse novo segmento. há uma diminuição da magnitude de Дх. Pode-se imaginar um novo ponto, derivada, tem-se: mais próximo de A, e também avaliar sua inclinação. Caso se prossiga com esse experimento, ou seja, buscando pontos mais próximos de as36 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 37 dy lim lim Outras regras de diferenciação úteis são: dx m) Regra da função inversa. Se X é uma função inversa, então sua derivada é dada por: Simplificando os termos do numerador, obtém-se: dx 1 dy dx) n) Regra da cadeia. Se e y, por sua vez, é função de y g(x), então a derivada da função composta f[g(x)] é dada por: Utilizar conceito de derivada sempre que for fazer seu cálculo é dx dy dx trabalhoso e pouco eficiente. Em razão disso, dependendo do tipo da função, há regras específicas para o cálculo de sua derivada. Segundo Roberts e Schulze (1973), considerando que y f(x) é uma função Para ilustrar a regra da cadeia, considere que e diferenciável, então, se: Note que e Logo, a) f(x) (uma constante), Lembrando que a derivada As regras de diferenciação apresentadas podem ser generalizadas em vários aspectos. No caso das regras da soma-diferença, do quociente e produto, podem-se considerar mais de duas funções. Com base na h) f(x) senx, regra da cadeia, pode-se também generalizar as regras das funções i) f(x) cosx, -senx. exponencial e logarítmica. No caso da função exponencial, suponha, por Suponha agora que f(x) e g(x) são duas funções diferenciáveis de exemplo, que y Fazendo e usando a regra da cadeia, Então, as seguintes regras se aplicam: tem-se: j) Regra da soma-diferença: dt dt dt du dt dt k) Regra do quociente: No caso da função logarítmica, suponha, por exemplo, que Usando 0 procedimento anterior, faz-se e aplica- Regra do produto: se a regra da cadeia, ou seja:Wilson da Otimização Estática em Economia 39 38 chama-se de diferenciação parcial. Seja a seguinte função y ou seja, uma função cujos argumentos são A derivada parcial de primeira ordem de y com respeito a denotada por ду / Outro tipo de generalização importante decorre do fato de que a mede a taxa instantânea de mudança de y com respeito a mudanças em própria derivada é também uma função e, por causa disso, pode também todos os demais argumentos mantidos constantes. ser derivada novamente. Nesse caso, pode-se ter a derivada-segunda, Como no caso de funções de um único argumento, pode-se ter, e assim por diante. Por exemplo, supondo que a função no caso de funções com mais de um argumento, derivadas parciais de y seja diferenciável sucessivamente, a derivada-segunda de "y" com segunda-ordem, de terceira-ordem, etc. Uma propriedade interessante respeito a "x", denotada por ou f'(x), é dada por: relacionada a derivadas parciais de segunda-ordem, conhecida como Teorema de Young, é a seguinte: se y é contínua e tem derivadas parciais de primeira e segunda ordens, então para todo i desde que o limite exista. ej, em que Em outras palavras, o que o teorema De modo geral, a n-ésima derivada de "y" respeito a "x", de Young diz é que as derivadas parciais cruzadas (derivadas de segunda ordem) de funções diferenciáveis com mais de um argumento são iguais. denotada por ou é fornecida por: Para ilustrar o teorema de Young, considere a seguinte função: z= 2y. As derivadas parciais de primeira e segunda ordens desde que o limite exista. relacionadas com essa função são as seguintes: dx" Na análise econômica, na maioria das vezes, especialmente na obtenção de ótimos de funções (máximo ou mínimo), as duas primeiras Para finalizar esta seção, considere as seguintes funções: Z f(x, derivadas são suficientes. Isso é especialmente válido se as funções são y) e y g(x). A derivada dy/dx é calculada da seguinte forma: estritamente côncavas ou convexas. Nesses casos, a primeira derivada é utilizada para identificar os pontos críticos (candidatos a ótimos) e a segunda, para identificar o tipo de curvatura da função (côncava ou convexa) no ponto crítico. Apenas em casos excepcionais, as duas dx dx primeiras derivadas não são suficientes para se chegar a resultados conclusivos. Na próxima seção deste capítulo, tratar-se-á desta questão Essa derivada é chamada de derivada total, sendo composta de de funções com uma variável. duas partes: (a) o efeito direto de uma mudança de X sobre z, medido Até agora, tratou-se de regras de diferenciação de funções com pela derivada parcial / дх ; e (b) o efeito indireto de X sobre que um único argumento. O procedimento para o cálculo da derivada de ocorre através da variável y e é medido mediante a expressão funções com mais de um argumento é semelhante. Nesse caso, o processo40 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 41 Esse exemplo pode ser generalizado para comportar as funções y f(x) e cujos gráficos estão mostrados na Figura situações mais genéricas do que a 1.5. O exemplo a seguir ilustra o conceito de continuidade de uma função e, no exemplo seguinte, faz-se uma aplicação do conceito de y y derivada na análise econômica (estática comparativa). Para iniciar, para B (+) g(x) (+) 1 (+) que valor de "x" a função é descontínua? [Resposta: Para \(-) (+) pois denominador é anulado e não é possível a divisão por zero]. Agora, considere o seguinte modelo simples de mercado: D a b c (demanda, com (oferta, com cujo (a) (b) preço de equilíbrio é dado por Quais sinais das derivadas Figura 1.5 Extremos relativos e ponto de inflexão parciais да e respectivamente? [Resposta: e (Observe, no primeiro caso, que o preço de equilíbrio aumenta com o aumento do intercepto coeteris paribus e, no segundo Na Figura 1.5 foram destacados três pontos: A e B, na Figura caso, há redução do preço de equilíbrio quando a curva de demanda 1.5a, e C, na Figura 1.5b. Note-se que nesses três pontos a derivada torna-se negativamente mais inclinada coeteris paribus). (primeira) é igual a zero, ou seja, é paralela ao eixo horizontal. Quando a primeira derivada é igual a zero, o ponto crítico [(a, f(a)); (b, f(b)) ou (c, 1.4. Otimização não-condicionada g(c))] é um extremo relativo (máximo ou mínimo) ou um ponto de inflexão. Com os conhecimentos adquiridos das seções anteriores, Para saber com certeza a natureza do ponto (mínimo, máximo ou de especialmente os relacionados a funções, derivadas e álgebra linear, pode- inflexão), precisa-se investigar na vizinhança do ponto em questão. Por se agora discutir técnicas efetivas para tratar de problemas econômicos. exemplo, na vizinhança do ponto A, a derivada à esquerda de "a" Uma dessas técnicas consiste em buscar máximos ou mínimos relativos é negativa e à sua direita a) é positiva; isso caracteriza um ponto de de funções ou, numa designação genérica, técnicas de otimização, o que mínimo relativo. Na vizinhança do ponto B ocorre o contrário, ou seja, significa "busca do ótimo". Esse critério de maximizar ou minimizar uma a derivada à esquerda de "b" é positiva e à sua direta (x>b) é função é comumente utilizado em economia. É o caso, por exemplo, de negativa; isso caracteriza um ponto de máximo relativo. Por fim, no acharo lucro máximo de uma firma ou minimizar seu custo de produção. caso do ponto C, o sinal da derivada não muda, ou seja, na vizinhança de Para ilustrar como o conceito de derivada pode ser útil nesse "c" a derivada é positiva tanto antes quanto depois desse ponto; isso processo de busca do ótimo (máximo ou mínimo de uma função), considere caracteriza um ponto de inflexão, ou seja, um ponto em que há mudança de concavidade da função. Jutra situação útil é considerar a derivada dy/dx como a razão de dois diferenciais, dy e dx. Dessa forma, quando Esse procedimento de análise do sinal da derivada na vizinhança A expressão = torna-se dy f'.dx. dy e dx são interpretados como mudanças infinitesimais respectivamente. do ponto crítico para saber se é um máximo relativo, mínimo relativo ou42 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 43 ponto de inflexão é trabalhoso e um pouco arbitrário, pois precisa-se por derivação sucessiva é a derivada n-ésima, então o ponto crítico escolher a magnitude dessa vizinhança para checar sinal da primeira é: derivada. Uma forma mais direta de fazer isso é calcular a segunda derivada no ponto crítico e checar seu sinal. Como a segunda derivada mede a taxa a) um máximo relativo, se n é par e de mudança na primeira derivada com respeito a mudanças no argumento b) um mínimo relativo, se n é par e 0; da função, pode-se utilizá-la para identificar o tipo de curvatura da função c) um ponto de inflexão, se n é ímpar. no(s) ponto(s) crítico(s) (por exemplo, se é côncava ou convexa). No Para ilustrar o teste da n-ésima derivada, considere a função y = caso do ponto A da Figura 1.5a, por exemplo, o valor da primeira derivada (5 As derivadas sucessivas dessa função são as seguintes: é crescente, ou seja, parte de valores negativos (pontos à esquerda de a. Ponto crítico: torna-se igual a zero no ponto crítico "a" e depois assume valores positivos (pontos à direita de a, > a); isso caracteriza uma função estritamente convexa na vizinhança do ponto (a, f(a)), e sua derivada- Note que: n 4, um número par. segunda, neste ponto, é estritamente positiva. Portanto, o fato de a derivada Portanto, pelo teste da n-ésima derivada, o ponto (5,0), na função segunda no ponto crítico ser estritamente positiva é condição suficiente y é um mínimo relativo, pois par e para garantir que o ponto crítico é um mínimo relativo. A derivada primeira Os testes recém-discutidos, para o caso de funções com um único igual a zero seria a condição necessária (de primeira ordem) na avaliação argumento, podem ser resumidos da seguinte forma, tomando-se como da natureza do ponto em questão. ponto crítico Procedimento semelhante pode ser utilizado para os outros pontos a) mínimo relativo (convexa em da Figura 1.5. No caso do ponto B, ocorre o contrário quando comparado b) máximo relativo (côncava em ponto A, ou seja, no ponto crítico (b, f(b)), a derivada-segunda é ponto de inflexão, se a curva definida estritamente negativa, o que é condição suficiente para garantir que se pelo gráfico da função muda de concavidade em caso contrário, trata de um máximo relativo. O ponto Cé um caso à parte. Como há deve-se realizar o teste da n-ésima derivada para definir sobre a natureza mudança de concavidade da função, ou seja, a função é côncava antes de do ponto crítico. e depois torna-se convexa, a derivada-segunda é igual a zero no ponto Esses resultados podem ser obtidos também de forma alternativa, problema é que nem sempre o fato de a derivada-segunda ser mediante a expansão de Taylor. Caso se aproximar o valor da zero no ponto crítico assegura que ele é um ponto de inflexão, ou seja, o função y f(x) na vizinhança do ponto crítico vizinhança esta teste da derivada-segunda quando esta é igual a zero no ponto crítico é denotada por + dx, pode-se usar a expansão de Taylor, que é dada inconclusivo para inferir a concavidade/convexidade de funções. Nesse por: caso, deve-se recorrer a um outro teste, chamado de "teste da n-ésima dx) + (1/ derivada para extremos relativos de uma função de uma variável". Este novo teste consiste no seguinte (CHIANG, 1982): seja uma função y = que pode ser derivada sucessivamente n vezes; se sua derivada primeira Essa expressão pode ser aproximada por: em e se a primeira derivada não-nula, em que se obtém44 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em 45 Os termos restantes foram considerados insignificantes. Observe que "dx" é um valor arbitrariamente pequeno e, quando elevado à potência, torna-se cada vez menor, ainda mais quando dividido por fatoriais de H ordem superior. Sabendo que, no ponto crítico, O, a expressão simplificada anterior torna-se: em que 2, são derivadas de segunda ordem da função com relação aos seus argumentos. Pelo A interpretação é simples: se em X o ponto for de teorema de Young, sabe-se que a matriz hessiana é simétrica. Os menores máximo, então + dx) o que é equivalente a principais que podem ser obtidos dessa matriz são os seguintes: pois os outros termos, (1/2!) e (dx)², são positivos, ou seja, a função y é estritamente côncava na vizinhança de Por outro lado, se em X ponto for de mínimo, então dx) o que é equivalente a >0, ou seja, a função y f(x) é estritamente convexa na vizinhança de Essa análise de otimização não-condicionada pode ser No caso de a função "Z" possuir apenas dois argumentos, ou seja, generalizada para considerar funções com mais de um argumento. Supondo y f(x, y), as condições de segunda ordem podem ser reescritas da seguinte que a função Z possui derivadas parciais de primeira e forma: segunda ordem, as regras para definir se o ponto crítico (se existir algum) Máximo relativo: é de máximo ou de mínimo estão resumidas na Tabela 1.1. Mínimo relativo: Essas condições de segunda ordem para uma função com dois Tabela 1.1 Condições para um extremo relativo de funções com mais argumentos são idênticas às definidas na Tabela 1.1, usando o conceito de um argumento (caso não-condicionado) de menor principal. Se uma função com dois argumentos não satisfizer as condições de primeira e segunda ordem definidas anteriormente, podem Condição Máximo Mínimo ocorrer as seguintes situações (DOWLING, 1980): Primeira ordem a) Se quando possuírem os mesmos sinais, Segunda ordem ...; o ponto crítico é um ponto de inflexão; quando e fyy possuírem sinais diferentes, o ponto crítico é um ponto-sela. b) Se o teste é inconclusivo. em n), na Tabela 1.1, refere-se à derivada parcial Para ilustrar as técnicas de otimização não-condicionada em um primeira da função com relação ao seu argumento e problema econômico, considere seguinte exemplo retirado de Chiang n), aos menores principais (determinantes) obtidos da (1982). Uma firma, em competição pura, produz dois produtos, e seguinte matriz hessiana: cujos respectivos preços são dados por e A função de receita46 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 47 dessa firma é dada por RT e a de custo, por CT uma situação em que agente econômico não estaria restrito ao tomar Com essas informações, pode-se construir a seguinte sua decisão. Seria o caso, de um consumidor que possuiria função de lucro dessa firma: uma renda ilimitada para ser usada no consumo (compra) de dois bens, ou seja, o consumidor poderia adquirir esses dois bens até atingir o máximo de utilidade que fosse possível. Entretanto, na maioria das situações não é O problema consiste em encontrar os níveis de Q₁ e que, o que ocorre, pois tanto o consumidor quanto uma firma possuem restrições combinados, maximizam o lucro (П) da firma. Dada a função de lucro, com relação aos seus respectivos orçamentos. Em razão disso, precisa- primeiro encontram-se as derivadas parciais de primeira ordem, que são se adaptar as regras para extremos relativos definidas anteriormente para considerar os casos em que os agentes econômicos estão restritos ao dadas por: tomarem suas decisões. Para ilustrar o caso de otimização condicionada, ou seja, a situação em que o agente econômico está sujeito a uma restrição, considere o seguinte exemplo: um consumidor possui a seguinte função (ordinal) de utilidade: que, igualadas a zero, geram as soluções: e em que e representam dois bens, cujos preços são 1 e 2, Supondo que e 18 (lembrar que em competição respectivamente. Supondo que o consumidor dispõe de $20 para gastar pura os preços são dados, ou seja, são exógenos ao modelo), tem-se que com dois bens, durante determinado período de tempo, pode-se formar a seguinte restrição orçamentária: que gera um lucro ótimo de П* 48 por unidade de tempo. Para ter certeza que se trata do lucro máximo, precisa-se testar a condição de segunda ordem, ou seja, obter o hessiano e checar os sinais dos menores principais respectivos, ou seja: Note que o consumidor, em princípio, para maximizar sua utilidade, 4 na ausência de uma restrição orçamentária, teria de consumir quantidades H em que e infinitas dos dois bens. Com a restrição orçamentária, a quantidade a -1 consumir dos dois bens está sujeita à disponibilidade de renda do consumidor. Como resolver esse novo problema? Por ser um problema simples, podem-se utilizar as regras de otimização não-condicionada que assegura que a solução obtida, de fato, maximiza o lucro da firma. discutidas na seção anterior. Para isso, basta isolar na equação da restrição orçamentária para obter Q₁ 20 e substituir esse resultado 1.5. Otimização condicionada na função de utilidade do consumidor para obter: Na seção anterior tratou-se de otimização não-condicionada48 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 49 1. Dessa forma, as condições de primeira-ordem são: Note que se tem agora uma função utilidade que não está sujeita a uma restrição orçamentária explícita e pode-se, portanto, aplicar diretamente as regras para problemas não-condicionados discutidas na seção anterior. Dessa forma, aplicando as condições de primeira ordem, tem-se: dU que, resolvendo, obtém-se: dQ₂ Substituindo esse valor de na equação da restrição orçamentária, obtém-se o valor para Observe que esses valores Note que a terceira equação assegura que a restrição é satisfeita satisfazem a restrição orçamentária e proporcionam a máxima utilidade no ponto ótimo. Isolando 2 na equação 1 e substituindo seu valor na que consumidor pode obter. segunda equação, obtém-se um sistema com duas equações e duas Essa técnica de isolar uma variável da equação de restrição e incógnitas, cuja solução pode ser obtida mediante a inversa da matriz de substituí-la na função objetivo (função a ser otimizada) funciona bem para coeficientes ou utilizando a regra de Cramer. Resolvendo o sistema de problemas mais simples. Entretanto, para problemas mais complexos sua equações por qualquer um desses métodos alternativos, obtém-se aplicação torna-se mais difícil. Precisa-se, portanto, de uma técnica mais 5,5, ou seja, os mesmos valores obtidos anteriormente. apropriada para tratar de problemas de otimização condicionada. Essa O método de Lagrange pode facilmente ser estendido para técnica consiste em reescrever a função objetivo de forma a incorporar considerar funções com mais de um argumento. Considere, por exemplo, explicitamente a restrição, formando uma nova função, chamada de função a função objetivo y sujeita à restrição de Lagrange. No caso do problema do consumidor discutido em que "c" é uma constante. A partir dessas informações, forma-se a anteriormente, a função de Lagrange toma a seguinte forma: seguinte função de Lagrange: As condições de primeira ordem são dadas por: Note-se que, ao escrever a função de Lagrange, surgiu uma nova variável, chamada de multiplicador de Lagrange. A interpretação dessa variável é a de um preço-sombra que mede efeitos sobre a função objetivo da flexibilização da restrição. A grande vantagem do uso da função de agrange é que ela transforma um problema de otimização condicionado em um não-condicionado, o que permite usar as regras discutidas na seção anterior. Agora, entretanto, ao derivar as condições de primeira ordem a partir da função de Lagrange, deve-se levar em conta também a variávelWilson da Cruz Otimização Estática em Economia 50 51 Tabela 1.2 Condições para um extremo relativo de funções com mais em que L, n) de um argumento (caso condicionado) A resolução do sistema de equações definido pelas condições de primeira ordem permite identificar um ponto crítico. Diferenciando Condição Máximo Mínimo novamente as condições de primeira ordem e avaliando as derivadas Primeira ordem parciais resultantes no ponto crítico, valores finais podem ser organizados de acordo com a seguinte matriz hessiana orlada: Segunda ordem > 0; V >52 Wilson da Cruz Vicira Otimização Estática em Economia 53 uma restrição bastante comum em economia, considere seguinte Maximizar Z problema: Sujeito a: Maximizar f(x) Sujeito a Note que são possíveis três situações, ilustradas na Figura 1.6. Procedendo como nos casos de otimização condicionada, forma- se a seguinte função de Lagrange: As condições de Kuhn-Tucker são dadas por: (a) (b) (c) Figura 1.6 Efeito de condições de não-negatividade Desde que exista solução viável, no ótimo, o problema deve satisfazer as condições de Kuhn-Tucker. No caso de minimização, as Note que na Figura 1.6a tem-se uma solução interior, ou seja, condições são as mesmas; apenas os sinais das desigualdades das O. Na Figura 1.6b, tem-se uma solução de canto, ou seja, condições marginais devem ser invertidos. Note que essas condições X =0. Nesses dois primeiros casos, as técnicas de otimização (necessárias) são também suficientes para ótimos globais, se a função discutidas anteriormente continuam válidas. Agora, na Figura 1.6c, tem- objetivo a ser maximizada (minimizada) for côncava (convexa) eo conjunto se uma solução de canto cuja análise requer as condições de Kuhn-Tucker. de soluções viáveis formado pelas restrições for convexo. Observe que no ponto ótimo (Figura 1.6c) tem-se54 Wilson da Cruz Otimização Estática em Economia 55 O próximo passo para resolver problema é formar a função de ROBERTS, B.; SCHULZE, D.L. Modern mathematics and economic Lagrange e derivar as condições de Kuhn-Tucker. As condições marginais analysis. Toronto: W.W. Norton, 1973. 550 p. são dadas por: SILVA, S.M.; SILVA, E.M.; SILVA, E.M. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 5.ed. São Paulo: Atlas, 1999. V. 1, 310 p. Note que valor de Q deve ser positivo ou nulo. Se Q=0, a segunda condição marginal é violada. Portanto, deve-se ter Q>0. Com WEBER, J.E. Matemática para economia e administração. São Paulo: Harbra, 1986. 674 p. isso, tem-se, pela condição de folga complementar, que o que transforma a primeira condição marginal numa equação com duas incógnitas (Q e Fazendo e resolvendo para Q, obtém-se Q = que, como pode ser constatado, não satisfaz à segunda condição marginal. Decorre, então, que e, pela condição de folga complementar, = Resolvendo esta equação, obtêm-se duas raízes: 1 e 11. Note que apenas a segunda raiz é consistente com Portanto, é o nível de produção que maximiza as vendas. Observe também que, neste exemplo, as condições de Kuhn- Tucker são necessárias e suficientes para o ótimo, a função objetivo (função de receita) é côncava e a restrição do problema é convexa. 1.7. Referências CHIANG, A.C. Matemática para economistas. São Paulo: McGraw- do Brasil/EDUSP, 1982. 684 p. DOWLING, E.T. Introduction do mathematical economics. 2.ed. New York: McGraw-Hill, 1980. 485 p. (Shaum's Outline Series). J. Econometric methods. 3.ed. New York: McGraw- Hill, 1984. 568 p.