Gabarito Métodos Determinísticos I

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<p>EP2 – Gabarito – Métodos Determińısticos I</p><p>Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado na Aula 2 e nas páginas 144 e 145 da Aula 12, do Caderno</p><p>Didático.</p><p>Atenção!!! Não leia este gabarito sem antes ler o EP2 na</p><p>versão sem gabarito. Lá você encontrará uma revisão sobre</p><p>as operações com frações, expressões algébricas e equações</p><p>de primeiro grau.</p><p>Exerćıcio 1 Resolva as expressões numéricas abaixo. Lembre-se que as operações de multiplicação</p><p>e de divisão devem ser realizadas antes das operações de adição e subtração.</p><p>(a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5</p><p>(b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2)</p><p>(c) 12× 4÷ (−3)× 9</p><p>Solução:</p><p>(a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5 = 5 + 42− (−20) = 47 + 20 = 67</p><p>(b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2) = −4 + 6 = 2</p><p>(c) 12× 4÷ (−3)× 9 = 12× 4</p><p>−3</p><p>× 9 =</p><p>12× 4× 9</p><p>−3</p><p>= −12× 4× 3</p><p>1</p><p>= −144</p><p>Exerćıcio 2 Efetue as operações com frações, e obtenha o resultado na forma de uma fração irre-</p><p>dut́ıvel</p><p>(a)</p><p>4</p><p>3</p><p>− 2</p><p>7</p><p>(b)</p><p>2</p><p>5</p><p>÷ 1</p><p>40</p><p>(c)</p><p>−2</p><p>15</p><p>× 9</p><p>−11</p><p>(d) −7</p><p>3</p><p>− 4</p><p>−5</p><p>(e)</p><p>2</p><p>5</p><p>− 3</p><p>4</p><p>× 6</p><p>−5</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>4</p><p>3</p><p>− 2</p><p>7</p><p>=</p><p>28</p><p>21</p><p>− 6</p><p>21</p><p>=</p><p>22</p><p>21</p><p>.</p><p>(b)</p><p>2</p><p>5</p><p>÷ 1</p><p>40</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>× 40</p><p>1</p><p>=</p><p>2× 40</p><p>5× 1</p><p>=</p><p>2× 8</p><p>1× 1</p><p>= 16</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 2</p><p>(c)</p><p>−2</p><p>15</p><p>× 9</p><p>−11</p><p>=</p><p>(−2)× 9</p><p>3</p><p>15</p><p>5</p><p>× (−11)</p><p>=</p><p>(−2)× 3</p><p>5× (−11)</p><p>=</p><p>−6</p><p>−55</p><p>=</p><p>6</p><p>55</p><p>(d) −7</p><p>3</p><p>− 4</p><p>−5</p><p>= −7</p><p>3</p><p>−</p><p>(</p><p>−4</p><p>5</p><p>)</p><p>= −7</p><p>3</p><p>+</p><p>4</p><p>5</p><p>=</p><p>−35</p><p>15</p><p>+</p><p>12</p><p>15</p><p>=</p><p>−35 + 12</p><p>15</p><p>= −23</p><p>15</p><p>(e)</p><p>2</p><p>5</p><p>− 3</p><p>4</p><p>× 6</p><p>−5</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>− 3</p><p>4</p><p>×</p><p>(</p><p>−6</p><p>5</p><p>)</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>+</p><p>18</p><p>9</p><p>20</p><p>10</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>+</p><p>9</p><p>10</p><p>=</p><p>4</p><p>10</p><p>+</p><p>9</p><p>10</p><p>=</p><p>4 + 9</p><p>10</p><p>=</p><p>13</p><p>10</p><p>Exerćıcio 3 Compare as frações a seguir, completando a lacuna de cada item com >, < ou =.</p><p>a)</p><p>12</p><p>7</p><p>. . .</p><p>5</p><p>7</p><p>b)</p><p>6</p><p>4</p><p>. . .</p><p>6</p><p>8</p><p>c)</p><p>2</p><p>3</p><p>. . .</p><p>5</p><p>7</p><p>d)</p><p>8</p><p>9</p><p>. . .</p><p>9</p><p>8</p><p>e)</p><p>−3</p><p>4</p><p>. . .</p><p>−7</p><p>4</p><p>f)</p><p>6</p><p>−5</p><p>. . .</p><p>1</p><p>3</p><p>g)</p><p>−12</p><p>9</p><p>. . .</p><p>4</p><p>−3</p><p>Observação: Para comparar dois números racionais, você pode optar por igualar os denominadores</p><p>ou por utilizar a propriedade apresentada na página 31 do Caderno Didático. Na solução a seguir,</p><p>optamos por utilizar a propriedade citada.</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>12</p><p>7</p><p>></p><p>5</p><p>7</p><p>, pois 12× 7 > 5× 7.</p><p>(b)</p><p>6</p><p>4</p><p>></p><p>6</p><p>8</p><p>, pois 6× 8 > 6× 4.</p><p>(c)</p><p>2</p><p>3</p><p><</p><p>5</p><p>7</p><p>, pois 2× 7 < 5× 3.</p><p>(d)</p><p>8</p><p>9</p><p><</p><p>9</p><p>8</p><p>, pois 8× 8 < 9× 9.</p><p>(e)</p><p>−3</p><p>4</p><p>></p><p>−7</p><p>4</p><p>, pois −3× 4 > −7× 4.</p><p>(f)</p><p>6</p><p>−5</p><p><</p><p>1</p><p>3</p><p>equivale a</p><p>−6</p><p>5</p><p><</p><p>1</p><p>3</p><p>, pois</p><p>6</p><p>−5</p><p>=</p><p>−6</p><p>5</p><p>e −6× 3 < 1× 5.</p><p>(g)</p><p>−12</p><p>9</p><p>=</p><p>4</p><p>−3</p><p>equivale a</p><p>−12</p><p>9</p><p>=</p><p>−4</p><p>3</p><p>, pois</p><p>4</p><p>−3</p><p>=</p><p>−4</p><p>3</p><p>e −12× 3 = −4× 9.</p><p>Exerćıcio 4 Desenvolvendo as expressões numéricas de ambos os lados das desigualdades, decida</p><p>se as desigualdades abaixo são verdadeiras ou falsas.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 3</p><p>(a)</p><p>3</p><p>7</p><p>· −5</p><p>2</p><p><</p><p>−3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>(b)</p><p>−8</p><p>3</p><p>· −7</p><p>8</p><p>></p><p>4</p><p>5</p><p>− 6</p><p>8</p><p>(c) −</p><p>(−5</p><p>9</p><p>÷ −2</p><p>7</p><p>)</p><p>≤ 4</p><p>7</p><p>·</p><p>(</p><p>−3</p><p>5</p><p>)</p><p>(d)</p><p>−4</p><p>5</p><p>+</p><p>3</p><p>−8</p><p>≥ −47</p><p>40</p><p>(e) −10 ></p><p>20</p><p>−3</p><p>Solução: Antes de começarmos o gabarito desta questão, por motivo de simplificação e economia</p><p>de espaço, vamos trocar a expressão “se, e somente se,”pelo śımbolo “⇐⇒”. Na Aula 4, falaremos</p><p>mais sobre ele.</p><p>(a)</p><p>3</p><p>7</p><p>· −5</p><p>2</p><p><</p><p>−3</p><p>2</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>⇐⇒ −15</p><p>14</p><p><</p><p>−9</p><p>6</p><p>+</p><p>2</p><p>6</p><p>⇐⇒ −15</p><p>14</p><p><</p><p>−7</p><p>6</p><p>⇐⇒ −15 · 6 < −7 · 14</p><p>⇐⇒ −90 < −98</p><p>Logo, a desigualdade é falsa.</p><p>(b)</p><p>−8</p><p>3</p><p>· −7</p><p>8</p><p>></p><p>4</p><p>5</p><p>− 6</p><p>8</p><p>⇐⇒ −8</p><p>−1</p><p>3</p><p>· −7</p><p>8</p><p>1</p><p>></p><p>4</p><p>5</p><p>− 6</p><p>3</p><p>8</p><p>4</p><p>⇐⇒ −1</p><p>3</p><p>· −7</p><p>1</p><p>></p><p>4</p><p>5</p><p>− 3</p><p>4</p><p>⇐⇒ 7</p><p>3</p><p>></p><p>16</p><p>20</p><p>− 15</p><p>20</p><p>⇐⇒ 7</p><p>3</p><p>></p><p>1</p><p>20</p><p>⇐⇒ 7.20 > 3.1</p><p>⇐⇒ 140 > 3</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 4</p><p>Logo, a desigualdade é verdadeira.</p><p>(c)</p><p>−</p><p>(−5</p><p>9</p><p>÷ −2</p><p>7</p><p>)</p><p>≤ 4</p><p>7</p><p>·</p><p>(</p><p>−3</p><p>5</p><p>)</p><p>⇐⇒ −</p><p>(−5</p><p>9</p><p>· 7</p><p>−2</p><p>)</p><p>≤</p><p>(</p><p>−4</p><p>7</p><p>· 3</p><p>5</p><p>)</p><p>⇐⇒ −</p><p>(</p><p>35</p><p>18</p><p>)</p><p>≤ −12</p><p>35</p><p>⇐⇒ −35 · 35 ≤ −12 · 18</p><p>⇐⇒ −1225 ≤ −216</p><p>Logo, a desigualdade é verdadeira.</p><p>(d)</p><p>−4</p><p>5</p><p>+</p><p>3</p><p>−8</p><p>≥ −47</p><p>40</p><p>⇐⇒ −32</p><p>40</p><p>+</p><p>−15</p><p>40</p><p>≥ −47</p><p>40</p><p>⇐⇒ −47</p><p>40</p><p>≥ −47</p><p>40</p><p>Logo, a desigualdade é verdadeira.</p><p>(e)</p><p>−10 ></p><p>20</p><p>−3</p><p>⇐⇒ −10 ></p><p>−20</p><p>3</p><p>⇐⇒ −30 > −20</p><p>Logo, a desigualdade é falsa.</p><p>Exerćıcio 5 Efetue as expressões numéricas indicadas e obtenha o resultado na forma de uma fração</p><p>irredut́ıvel.</p><p>(a)</p><p>12</p><p>8</p><p>+</p><p>8</p><p>5</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 5</p><p>(b)</p><p>2</p><p>7</p><p>− 5</p><p>4</p><p>× 2</p><p>−3</p><p>(c) 1 + 2</p><p>[</p><p>3− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>4</p><p>6</p><p>− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>+ 5</p><p>]</p><p>+ 7</p><p>(d) 2</p><p>{</p><p>−1 + 12</p><p>[</p><p>−13 + 4</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>3</p><p>)]</p><p>+ 5</p><p>}</p><p>(e)</p><p>[(</p><p>3</p><p>6</p><p>− 12</p><p>48</p><p>)</p><p>÷ 7</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>(</p><p>13</p><p>4</p><p>− 7</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>12</p><p>)]</p><p>× 1</p><p>3</p><p>÷ 1</p><p>7</p><p>(f)</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 7</p><p>4</p><p>× 5</p><p>6</p><p>)</p><p>÷ 5</p><p>3</p><p>− 1</p><p>2</p><p>× 3</p><p>4</p><p>(g)</p><p>1</p><p>6</p><p> 1</p><p>5</p><p>3</p><p>+</p><p>7</p><p>−4</p><p>× 9</p><p>8</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>.</p><p>Lembrete: Lembre-se primeiro resolvemos o que está entre parênteses, depois o que está entre colchetes e, finalmente,</p><p>o que está entre chaves. Observe ainda que quando temos dois termos lado a lado sem nenhum sinal entre eles (como</p><p>ocorre após 1/7 no item e) a operação a ser realizada é multiplicação.</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>12</p><p>8</p><p>+</p><p>8</p><p>5</p><p>=</p><p>12</p><p>3</p><p>8</p><p>2</p><p>+</p><p>8</p><p>5</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>+</p><p>8</p><p>5</p><p>=</p><p>15</p><p>10</p><p>+</p><p>16</p><p>10</p><p>=</p><p>15 + 16</p><p>10</p><p>=</p><p>31</p><p>10</p><p>(b)</p><p>2</p><p>7</p><p>− 5</p><p>4</p><p>× 2</p><p>−3</p><p>=</p><p>2</p><p>7</p><p>− 10</p><p>−12</p><p>=</p><p>2</p><p>7</p><p>+</p><p>10</p><p>5</p><p>12</p><p>6</p><p>=</p><p>2</p><p>7</p><p>+</p><p>5</p><p>6</p><p>=</p><p>12</p><p>42</p><p>+</p><p>35</p><p>42</p><p>=</p><p>47</p><p>42</p><p>(c)</p><p>1 + 2</p><p>[</p><p>3− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>4</p><p>2</p><p>6</p><p>3</p><p>− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>+ 5</p><p>]</p><p>+ 7 = 1 + 2</p><p>[</p><p>3− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>+ 5</p><p>]</p><p>+ 7</p><p>= 1 + 2</p><p>[</p><p>3− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>4− 3</p><p>6</p><p>)</p><p>+ 5</p><p>]</p><p>+ 7</p><p>= 1 + 2</p><p>[</p><p>3− 1</p><p>4</p><p>(</p><p>1</p><p>6</p><p>)</p><p>+ 5</p><p>]</p><p>+ 7</p><p>= 1 + 2</p><p>[</p><p>3− 1</p><p>24</p><p>+ 5</p><p>]</p><p>+ 7</p><p>= 1 + 2</p><p>[</p><p>72− 1 + 120</p><p>24</p><p>]</p><p>+ 7</p><p>= 1 + 2</p><p>[</p><p>191</p><p>24</p><p>]</p><p>+ 7</p><p>= 1 +</p><p>191</p><p>12</p><p>+ 7</p><p>=</p><p>12 + 191 + 84</p><p>12</p><p>=</p><p>287</p><p>12</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 6</p><p>(d)</p><p>2</p><p>{</p><p>−1 + 12</p><p>[</p><p>−13 + 4</p><p>(</p><p>1− 1</p><p>3</p><p>)]</p><p>+ 5</p><p>}</p><p>= 2</p><p>{</p><p>−1 + 12</p><p>[</p><p>−13 + 4</p><p>(</p><p>3− 1</p><p>3</p><p>)]</p><p>+ 5</p><p>}</p><p>= 2</p><p>{</p><p>−1 + 12</p><p>[</p><p>−13 + 4</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>)]</p><p>+ 5</p><p>}</p><p>= 2</p><p>{</p><p>−1 + 12</p><p>[</p><p>−13 +</p><p>8</p><p>3</p><p>]</p><p>+ 5</p><p>}</p><p>= 2</p><p>{</p><p>−1 + 12</p><p>[−39 + 8</p><p>3</p><p>]</p><p>+ 5</p><p>}</p><p>= 2</p><p>{</p><p>−1 + 12</p><p>4[−31</p><p>3</p><p>]</p><p>+ 5</p><p>}</p><p>= 2 {−1 + 4 [−31] + 5}</p><p>= 2 {−1− 124 + 5}</p><p>= 2{−120}</p><p>= −240</p><p>(e)[(</p><p>3</p><p>6</p><p>2</p><p>− 12</p><p>48</p><p>4</p><p>)</p><p>÷ 7</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>×</p><p>(</p><p>13</p><p>4</p><p>− 7</p><p>3</p><p>+</p><p>1</p><p>12</p><p>)]</p><p>× 1</p><p>3</p><p>÷ 1</p><p>7</p><p>=</p><p>[(</p><p>1</p><p>2</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)</p><p>× 6</p><p>7</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>×</p><p>(</p><p>39</p><p>12</p><p>− 28</p><p>12</p><p>+</p><p>1</p><p>12</p><p>)]</p><p>× 1</p><p>3</p><p>× 7</p><p>=</p><p>[(</p><p>2</p><p>4</p><p>− 1</p><p>4</p><p>)</p><p>× 6</p><p>7</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>× 12</p><p>12</p><p>]</p><p>× 1</p><p>3</p><p>× 7</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>4</p><p>2</p><p>× 6</p><p>3</p><p>7</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>]</p><p>× 7</p><p>3</p><p>=</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>× 3</p><p>7</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>]</p><p>× 7</p><p>3</p><p>=</p><p>[</p><p>3</p><p>14</p><p>+</p><p>1</p><p>7</p><p>]</p><p>× 7</p><p>3</p><p>=</p><p>[</p><p>3</p><p>14</p><p>+</p><p>2</p><p>14</p><p>]</p><p>× 7</p><p>3</p><p>=</p><p>5</p><p>14</p><p>2</p><p>× 7</p><p>3</p><p>=</p><p>5</p><p>2</p><p>× 1</p><p>3</p><p>=</p><p>5</p><p>6</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 7</p><p>(f) (</p><p>2</p><p>3</p><p>− 7</p><p>4</p><p>× 5</p><p>6</p><p>)</p><p>÷ 5</p><p>3</p><p>− 1</p><p>2</p><p>× 3</p><p>4</p><p>=</p><p>(</p><p>2</p><p>3</p><p>− 35</p><p>24</p><p>)</p><p>÷ 5</p><p>3</p><p>− 3</p><p>8</p><p>=</p><p>(</p><p>16</p><p>24</p><p>− 35</p><p>24</p><p>)</p><p>÷ 5</p><p>3</p><p>− 3</p><p>8</p><p>= −19</p><p>24</p><p>÷ 5</p><p>3</p><p>− 3</p><p>8</p><p>= −19</p><p>24</p><p>8</p><p>× 3</p><p>5</p><p>− 3</p><p>8</p><p>= −19</p><p>8</p><p>× 1</p><p>5</p><p>− 3</p><p>8</p><p>= −19</p><p>40</p><p>− 3</p><p>8</p><p>= −19</p><p>40</p><p>− 15</p><p>40</p><p>= −34</p><p>40</p><p>= −17</p><p>20</p><p>(g)</p><p>1</p><p>6</p><p> 1</p><p>5</p><p>3</p><p>+</p><p>7</p><p>−4</p><p>× 9</p><p>8</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p> 1</p><p>5</p><p>3</p><p>− 7</p><p>4</p><p>× 9</p><p>8</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p> 1</p><p>20</p><p>12</p><p>− 21</p><p>12</p><p>× 9</p><p>8</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p> 1</p><p>− 1</p><p>12</p><p>× 9</p><p>8</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>=</p><p>1</p><p>6</p><p>(−12</p><p>−2</p><p>)× 9</p><p>8</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>= −2</p><p>−1</p><p>× 9</p><p>8</p><p>4</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>= −9</p><p>4</p><p>÷ −2</p><p>3</p><p>= −9</p><p>4</p><p>×</p><p>(</p><p>−3</p><p>2</p><p>)</p><p>=</p><p>27</p><p>8</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 8</p><p>Exerćıcio 6 Simplifique as expressões algébricas a seguir, onde a, b e c são números com a ̸= 0 e</p><p>b ̸= 0.</p><p>(a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c)</p><p>(b) (a+ 5b)− (4a+ 5b)</p><p>(c) (3a) · (−9b)</p><p>(d) 2(a− b) + 2b</p><p>(e) (25a)÷ (5a)</p><p>(f)</p><p>3a</p><p>6</p><p>÷ 6</p><p>3b</p><p>(g)</p><p>a− 3ba</p><p>3a</p><p>+ b</p><p>Solução:</p><p>(a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c) = 7a+ b− 2c+ 2a− 5b− 3c</p><p>= (7a+ 2a) + (b− 5b) + (−2c− 3c)</p><p>= (9a) + (−4b) + (−5c)</p><p>= 9a− 4b− 5c</p><p>(b) (a+ 5b)− (4a+ 5b) = a+ 5b− 4a− 5b</p><p>= (a− 4a) + (5b− 5b)</p><p>= −3a+ 0</p><p>= −3a</p><p>(c) (3a) · (−9b) = −27ab</p><p>(d) 2(a− b) + 2b = 2a− 2b+ 2b = 2a</p><p>(e) (25a)÷ (5a) = 25a · 1</p><p>5a</p><p>=</p><p>25</p><p>5</p><p>a</p><p>5a</p><p>= 5</p><p>(f)</p><p>3a</p><p>6</p><p>÷ 6</p><p>3b</p><p>=</p><p>3a</p><p>6</p><p>· 3b</p><p>6</p><p>=</p><p>9ab</p><p>36</p><p>4</p><p>=</p><p>ab</p><p>4</p><p>(g)</p><p>a− 3ba</p><p>3a</p><p>+ b =</p><p>a− 3ab+ 3ab</p><p>3a</p><p>=</p><p>a</p><p>3a</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>Exerćıcio 7 Calcule e simplifique ao máximo as expressões algébricas abaixo:</p><p>(a) 2x(x+ 1)</p><p>(b) (x− 1)x</p><p>(c) (x+ 2)(x− 1)</p><p>(d) −(2x+ 1)(x− 2)</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 9</p><p>(e)</p><p>(x</p><p>2</p><p>+ 3</p><p>)</p><p>(x+ 2)</p><p>Solução:</p><p>(a) 2x(x+ 1) = 2x2 + 2x.</p><p>(b) (x− 1)x = x2 − x.</p><p>(c) (x+ 2)(x− 1) = x2 − x+ 2x− 2 = x2 + x− 2.</p><p>(d) −(2x+ 1)(x− 2) = −(2x2 − 4x+ x− 2) = −(2x2 − 3x− 2) = −2x2 + 3x+ 2.</p><p>(e)</p><p>(x</p><p>2</p><p>+ 3</p><p>)</p><p>(x+ 2) =</p><p>x2</p><p>2</p><p>+ x+ 3x+ 6 =</p><p>x2</p><p>2</p><p>+ 4x+ 6.</p><p>Exerćıcio 8 Calcule e simplifique ao máximo as expressões algébricas abaixo:</p><p>(a)</p><p>x− 1</p><p>x− 2</p><p>− 2</p><p>(b)</p><p>x+</p><p>1</p><p>3</p><p>− x2 + 1</p><p>x− 2</p><p>− 1− 2x</p><p>3</p><p>(c)</p><p>x− 1</p><p>x+ 2</p><p>− 1</p><p>x</p><p>− 1</p><p>(d)</p><p>x− 1</p><p>x+ 1</p><p>+</p><p>x</p><p>x− 1</p><p>− 3x</p><p>x− 1</p><p>(e)</p><p>x− 1</p><p>x+ 1</p><p>+</p><p>x</p><p>x− 1</p><p>− 3x</p><p>x2 − 1</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>x− 1</p><p>x+ 2</p><p>− 2 = =</p><p>x− 1</p><p>x− 2</p><p>− 2(x− 2)</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>x− 1</p><p>x− 2</p><p>− 2x− 4</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>x− 1− (2x− 4)</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>x− 1− 2x+ 4</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>−x+ 3</p><p>x− 2</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 10</p><p>(b)</p><p>x+ 1</p><p>3</p><p>− x2 + 1</p><p>x− 2</p><p>− 1− 2x</p><p>3</p><p>=</p><p>(x+ 1)(x− 2)</p><p>3(x− 2)</p><p>− 3(x2 + 1)</p><p>3(x− 2)</p><p>− (1− 2x)(x− 2)</p><p>3(x− 2)</p><p>=</p><p>x2 − 2x+ x− 2</p><p>3(x− 2)</p><p>− 3x2 + 3</p><p>3(x− 2)</p><p>− x− 2− 2x2 + 4x</p><p>3(x− 2)</p><p>=</p><p>x2 − x− 2</p><p>3(x− 2)</p><p>− 3x2 + 3</p><p>3(x− 2)</p><p>− −2x2 + 5x− 2</p><p>3(x− 2)</p><p>=</p><p>x2 − x− 2− (3x2 + 3)− (−2x2 + 5x− 2)</p><p>3(x− 2)</p><p>=</p><p>x2 − x− 2− 3x2 − 3 + 2x2 − 5x+ 2</p><p>3(x− 2)</p><p>=</p><p>−6x− 3</p><p>3(x− 2)</p><p>= − 6x+ 3</p><p>3(x− 2)</p><p>(c)</p><p>x− 1</p><p>x+ 2</p><p>− 1</p><p>x</p><p>=</p><p>x(x− 1)</p><p>x(x+ 2)</p><p>− 1 · (x+ 2)</p><p>x(x+ 2)</p><p>=</p><p>x2 − x</p><p>x(x+ 2)</p><p>− x+ 2</p><p>x(x+ 2)</p><p>=</p><p>x2 − x− (x+ 2)</p><p>x(x+ 2)</p><p>=</p><p>x2 − x− x− 2</p><p>x(x+ 2)</p><p>=</p><p>x2 − 2x− 2</p><p>x(x+ 2)</p><p>(d)</p><p>x− 1</p><p>x+ 1</p><p>+</p><p>x</p><p>x− 1</p><p>− 3x</p><p>x− 1</p><p>=</p><p>(x− 1)2</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>+</p><p>x(x+ 1)</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>− 3x(x+ 1)</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>=</p><p>x2 − 2x+ 1</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>+</p><p>x2 + x</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>− 3x2 + 3x</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>=</p><p>x2 − 2x+ 1 + x2 + x− (3x2 + 3x)</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>=</p><p>x2 − 2x+ 1 + x2 + x− 3x2 − 3x</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>=</p><p>−x2 − 4x+ 1</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 11</p><p>(e) Observe que x2 − 1 = (x+ 1)(x− 1). Assim,</p><p>x− 1</p><p>x+ 1</p><p>+</p><p>x</p><p>x− 1</p><p>− 3x</p><p>x2 − 1</p><p>=</p><p>x− 1</p><p>x+ 1</p><p>+</p><p>x</p><p>x− 1</p><p>− 3x</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>=</p><p>(x− 1)2</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>+</p><p>x(x+ 1)</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>− 3x</p><p>(x− 1)(x+ 1)</p><p>=</p><p>x2 − 2x+ 1</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>+</p><p>x2 + x</p><p>(x+ 1)(x− 1)</p><p>− 3x</p><p>(x− 1)(x+ 1)</p><p>=</p><p>x2 − 2x+ 1 + x2 + x− 3x</p><p>(x− 1)(x+ 1)</p><p>=</p><p>2x2 − 4x+ 1</p><p>(x− 1)(x+ 1)</p><p>Exerćıcio 9 Resolva as equações:</p><p>(a)</p><p>4x</p><p>3</p><p>=</p><p>11</p><p>5</p><p>(b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)</p><p>(c) 3</p><p>(</p><p>1− x− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>(3x− 7)</p><p>(d)</p><p>6− 3x</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>10</p><p>(e)</p><p>3x− 8</p><p>4</p><p>=</p><p>4x− 20</p><p>5</p><p>(f)</p><p>x− 1</p><p>x− 2</p><p>= 2</p><p>(g)</p><p>x+ 1</p><p>3</p><p>− x2 + 1</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>1− 2x</p><p>3</p><p>Solução:</p><p>(a)</p><p>4x</p><p>3</p><p>=</p><p>11</p><p>5</p><p>⇐⇒ 4x</p><p>3</p><p>·15 =</p><p>11</p><p>5</p><p>·15 ⇐⇒ 4x(5) = 11(3) ⇐⇒ 20x = 33 ⇐⇒ 20x· 1</p><p>20</p><p>= 33· 1</p><p>20</p><p>⇐⇒ x=</p><p>33</p><p>20</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 12</p><p>(b)</p><p>3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1)</p><p>⇐⇒ 3 · x+ 3 · (−4)− 2 · 1− 2 · (−x) = 2 · x+ 2 · (−1)</p><p>⇐⇒ 3x− 12− 2 + 2x = 2x− 2</p><p>⇐⇒ 5x− 14 = 2x− 2</p><p>⇐⇒ 5x− 14−2x = 2x− 2−2x</p><p>⇐⇒ 3x− 14 = −2</p><p>⇐⇒ 3x− 14+14 = −2+14</p><p>⇐⇒ 3x = 12</p><p>⇐⇒ 3x·1</p><p>3</p><p>= 12·1</p><p>3</p><p>⇐⇒ x = 4</p><p>(c)</p><p>3</p><p>(</p><p>1− x− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>(3x− 7)</p><p>⇐⇒ 3 · 1− 3 ·</p><p>(</p><p>x− 1</p><p>3</p><p>)</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>· 3x− 1</p><p>3</p><p>· 7</p><p>⇐⇒ 3− (x− 1) = x− 7</p><p>3</p><p>⇐⇒ 3− x+ 1 =</p><p>3x− 7</p><p>3</p><p>⇐⇒ 4− x =</p><p>3x− 7</p><p>3</p><p>⇐⇒ 3(4− x) = 3x− 7</p><p>⇐⇒ 12− 3x = 3x− 7</p><p>⇐⇒ −3x− 3x = −7− 12</p><p>⇐⇒ −6x = −19</p><p>⇐⇒ x =</p><p>−19</p><p>−6</p><p>⇐⇒ x =</p><p>19</p><p>6</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 13</p><p>(d)</p><p>6− 3x</p><p>5</p><p>=</p><p>1</p><p>10</p><p>⇐⇒ 6− 3x</p><p>5</p><p>· 10 =</p><p>1</p><p>10</p><p>· 10</p><p>⇐⇒ 6− 3x</p><p>5</p><p>· 102= 1</p><p>10</p><p>· 10</p><p>⇐⇒ (6− 3x) · 2 = 1</p><p>⇐⇒ 2 · (6− 3x) = 1</p><p>⇐⇒ 12− 6x = 1</p><p>⇐⇒ −6x = 1− 12</p><p>⇐⇒ −6x = −11</p><p>⇐⇒ x =</p><p>−11</p><p>−6</p><p>⇐⇒ x =</p><p>11</p><p>6</p><p>(e)</p><p>3x− 8</p><p>4</p><p>=</p><p>4x− 20</p><p>5</p><p>⇐⇒ 3x− 8</p><p>4</p><p>· 20 =</p><p>4x− 20</p><p>5</p><p>· 20</p><p>⇐⇒ 3x− 8</p><p>4</p><p>· 20</p><p>5</p><p>=</p><p>4x− 20</p><p>5</p><p>· 204</p><p>⇐⇒ (3x− 8) · 5 = (4x− 20) · 4</p><p>⇐⇒ 5 · (3x− 8) = 4 · (4x− 20)</p><p>⇐⇒ 15x− 40 = 16x− 80</p><p>⇐⇒ 15x− 16x = −80 + 40</p><p>⇐⇒ −x = −40</p><p>⇐⇒ x = 40.</p><p>(f)</p><p>x− 1</p><p>x+ 2</p><p>= 2 ⇐⇒ x− 1</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>2(x− 2)</p><p>x− 2</p><p>⇐⇒ x− 1</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>2x− 4</p><p>x− 2</p><p>⇐⇒ x− 1 = 2x− 4</p><p>⇐⇒ x− 2x = −4 + 1</p><p>⇐⇒ −x = −3</p><p>⇐⇒ x = 3</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 14</p><p>(g)</p><p>x+ 1</p><p>3</p><p>− x2 + 1</p><p>x− 2</p><p>=</p><p>1− 2x</p><p>3</p><p>⇐⇒ (x+ 1)(x− 2)</p><p>3(x− 2)</p><p>− 3(x2 + 1)</p><p>3(x− 2)</p><p>=</p><p>(1− 2x)(x− 2)</p><p>3(x− 2)</p><p>⇐⇒ x2 − 2x+ x− 2</p><p>3(x− 2)</p><p>− 3x2 + 3</p><p>3(x− 2)</p><p>=</p><p>x− 2− 2x2 + 4x</p><p>3(x− 2)</p><p>⇐⇒ x2 − x− 2− (3x2 + 3) = −2x2 + 5x− 2</p><p>⇐⇒ x2 − x− 2− 3x2 − 3 = −2x2 + 5x− 2</p><p>⇐⇒ x2 − 3x2 + 2x2 − x− 5x = −2 + 2 + 3</p><p>⇐⇒ −6x = 3</p><p>⇐⇒ x =</p><p>3</p><p>−6</p><p>= −1</p><p>2</p><p>Exerćıcio 10 Numa produção caseira de uma quantidade q de bombons, sabe-se que o custo C é</p><p>igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00. A receita R</p><p>obtida pela comercialização deste produto é igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que</p><p>o lucro L é dado pela diferença entre a receita e o custo, escreva a equação que representa uma</p><p>produção com lucro igual a R$ 50,00. Neste caso, determine quantos bombons são produzidos.</p><p>Solução: Pelo enunciado q é a quantidade de bombons a ser produzida.</p><p>Como o custo C é igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$</p><p>16,00, temos a equação</p><p>C = 2q + 16.</p><p>Como a receita R obtida pela comercialização deste produto é igual a 5 vezes a quantidade produzida,</p><p>temos</p><p>R = 5q.</p><p>Como o lucro L é dado pela diferença entre a receita e o custo, temos</p><p>L = R− C = 5q − (2q + 16) = 3q − 16.</p><p>Assim, a equação que representa uma produção com lucro igual a R$ 50,00 é escrito por</p><p>L = 50 =⇒ 3q − 16 = 50 .</p><p>Resolvendo essa equação, vem que:</p><p>3q − 16 = 50</p><p>⇐⇒ 3q − 16 + 16 = 50 + 16</p><p>⇐⇒ 3q = 66</p><p>⇐⇒ 1</p><p>3</p><p>· 3q = 1</p><p>3</p><p>· 66</p><p>⇐⇒ q = 22</p><p>Isto significa, que quando o lucro é igual a R$ 50,00 são produzidos 22 bombons.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 15</p><p>Exerćıcio 11 Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, sendo que cada</p><p>um deveria contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes</p><p>da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de</p><p>pagar R$ 27,00 a mais do que antes. No entanto, o diretor, para ajudar, contribuiu com R$ 630,00.</p><p>Quanto pagou cada aluno participante da festa?</p><p>Observação: Este exerćıcio foi retirado do livro Matemática e Lógica para Concursos de José Luiz de Morais, da</p><p>Editora Saraiva.</p><p>Solução:</p><p>A solução em v́ıdeo desta questão está dispońıvel em https://youtu.be/IAoaLTF3ReQ .</p><p>Representando o total de alunos que inicialmente faziam parte da classe por a, segue que o total de</p><p>alunos que efetivamente contribuiram com a festa foi de a−7, depois que 7 deles deixaram a escola.</p><p>Como as despesas não foram alteradas depois da sáıda destes alunos, segue que o que os alunos da</p><p>classe iam arrecadar inicialmente ficou igual ao que os alunos restantes arrecadaram. Ou seja,</p><p>135 a = (135 + 27)(a− 7)</p><p>Resolvendo essa equação obtemos</p><p>135 a = (135 + 27)(a− 7)</p><p>⇐⇒ 135 a = 162 (a− 7)</p><p>⇐⇒ 135 a = 162 a− 1134</p><p>⇐⇒ 135 a− 162 a = −1134</p><p>⇐⇒ −27 a = −1134</p><p>⇐⇒ a =</p><p>−1134</p><p>−27</p><p>⇐⇒ a = 42.</p><p>Encontramos o total de alunos que dividiriam, inicialmente, o total das despesas; esse total é igual a</p><p>42 ·R$ 135, 00 = R$ 5670, 00.</p><p>Como o diretor contribuiu com R$ 630,00, essa despesa diminuiu para R$ 5040,00, montante que</p><p>deverá ser dividido entre os alunos restantes, ou seja, 42− 7 = 35 alunos.</p><p>Assim, temos que cada aluno participante da festa pagou</p><p>R$ 5040, 00</p><p>35</p><p>= R$ 144, 00.</p><p>Exerćıcio 12 Em uma cidade de 100 habitantes, são vendidas duas marcas de sabonetes, A e B.</p><p>Sabe-se que 12 pessoas compram ambas as marcas; que o número de pessoas que compra a marca</p><p>A é o triplo do que compra a marca B; e que apenas 16 pessoas não compram A e nem B.</p><p>Determine quantas pessoas compram apenas a marca A.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>https://youtu.be/IAoaLTF3ReQ</p><p>https://youtu.be/IAoaLTF3ReQ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 16</p><p>Solução:</p><p>A solução em v́ıdeo desta questão está dispońıvel em https://youtu.be/HH6cPGCjAAc .</p><p>Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos compradores</p><p>da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B.</p><p>A informação de que “12 pessoas compram ambas as marcas”, nos dá então que n(A ∩ B) = 12.</p><p>Além disso, como “apenas 16 pessoas não compram A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16.</p><p>Temos então o seguinte diagrama:</p><p>Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no</p><p>diagrama abaixo,</p><p>teremos n(B) = x+ n(A∩B) = x+12. Como o número de compradores da marca A é o triplo de</p><p>compradores de B, temos</p><p>n(A) = 3n(B) = 3 (x+ 12) = 3x+ 36.</p><p>Além disso, o número de compradores exclusivos da marca A será dado por</p><p>n(A)− n(A ∩B) = (3x+ 36)− 12 = 3x+ 24.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>https://youtu.be/HH6cPGCjAAc</p><p>https://youtu.be/HH6cPGCjAAc</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 17</p><p>Reunindo todas as informações no diagrama, temos:</p><p>Com isso, podemos ver que</p><p>(3x+ 24) + 12 + x+ 16 = 100,</p><p>logo</p><p>4x = 100− 52 ∴ 4x = 48 · t ∴ x = 12.</p><p>O percentual de compradores exclusivos de A será então</p><p>n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12 + 24 = 60.</p><p>Com isso, 60 pessoas compram apenas a marca A.</p><p>Exerćıcio 13 Na cidade de São Miguel de Longe à Beça, com população de 300 habitantes, circu-</p><p>lam apenas dois jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da</p><p>Madrugada possui o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas são leitoras de ambos os</p><p>jornais. Sabe-se também que 150 pessoas não leem jornal algum.</p><p>(a) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta?</p><p>(b) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada?</p><p>Solução:</p><p>(a) Vamos chamar de x o número de pessoas que leem apenas o Correio da Noite Alta. Assim, o</p><p>número de leitores deste jornal será dado por x + 50 (número de leitores exclusivos do Correio</p><p>somado ao número de leitores de ambos os jornais).</p><p>Desta forma, o número de leitores da Folha da Madrugada, que é o triplo do número de leitores</p><p>do Correio, será dado por 3(x+ 50) = 3x+ 150 e, com isso, o número de leitores exclusivos da</p><p>Folha será 3x+ 150− 50 = 3x+ 100. Temos então o seguinte diagrama:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 18</p><p>Com isso,</p><p>(3x+ 100) + 50 + x+ 150 = 300,</p><p>logo</p><p>4x+ 300 = 300,</p><p>e então x = 0.</p><p>Portanto, ninguém lê apenas o Correio da Noite Alta!</p><p>(b) Como vimos no item anterior, o número de leitores da Folha da Madrugada é dado por 3x+150 =</p><p>3 · 0 + 150 = 150.</p><p>Exerćıcio 14 Em uma turma, o número de alunos que não gostam de Matemática é o dobro do</p><p>número de alunos que gostam. Um terço dos que gostam de Matemática gostam também de Por-</p><p>tuguês. Sabe-se ainda que o número de alunos que gostam de Português é o dobro dos que gostam</p><p>de Matemática.</p><p>Representando por x o número de alunos que gostam de Matemática, preencha o diagrama abaixo</p><p>colocando, em cada parte, a fração de x correspondente.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 19</p><p>Solução: Como pede o enunciado, vamos representar por x o número de alunos que gostam de</p><p>Matemática. É dado que um terço dos alunos que gostam de Matemática, ou seja</p><p>x</p><p>3</p><p>, também</p><p>gostam de Português. Com isso, a interseção entre os conjuntos “Matemática”e “Português”do</p><p>diagrama é</p><p>x</p><p>3</p><p>.</p><p>Como o número de alunos que gosta de Matemática é x, dos quais</p><p>x</p><p>3</p><p>também gosta de Português,</p><p>o número de alunos que gosta apenas de Matemática é dado por</p><p>x− x</p><p>3</p><p>=</p><p>3x− x</p><p>3</p><p>=</p><p>2x</p><p>3</p><p>.</p><p>Preenchendo no diagrama, temos:</p><p>O número de alunos que gostam de Português é o dobro dos que gostam de Matemática, logo é</p><p>dado por 2x. Como a interseção entre os conjuntos é</p><p>x</p><p>3</p><p>, o número de alunos que gostam apenas de</p><p>Português é dado por</p><p>2x− x</p><p>3</p><p>=</p><p>6x− x</p><p>3</p><p>=</p><p>5x</p><p>3</p><p>.</p><p>Preenchendo no diagrama:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 20</p><p>O número de alunos que não gostam de Matemática é o dobro do número de alunos que gostam,</p><p>logo, 2x. Estes alunos correspondem à região destacada abaixo:</p><p>Destes, já conhecemos a quantidade que gosta de Português, dada por</p><p>5x</p><p>3</p><p>. Assim, aqueles que não</p><p>gostam nem de Matemática e nem de Português são dados por</p><p>2x− 5x</p><p>3</p><p>=</p><p>6x− 5x</p><p>3</p><p>=</p><p>x</p><p>3</p><p>.</p><p>Temos então o seguinte diagrama preenchido:</p><p>Exerćıcio 15 Uma pesquisa com 324 consumidores de três marcas de sabão em pó, Alvo, Bem</p><p>Limpo e Cores Vivas revelou que:</p><p>1. 5 consumidores compram somente Alvo e Bem Limpo;</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 21</p><p>2. os consumidores de Cores Vivas ou compram só esta marca, ou compram somente esta marca e</p><p>mais uma das outras duas;</p><p>3. 1/3 dos consumidores de Alvo também compram outras marcas;</p><p>4. os consumidores apenas de Bem Limpo são o triplo dos consumidores apenas de Alvo, o quádruplo</p><p>dos consumidores apenas de Cores Vivas e o dobro dos que consomem Bem Limpo e Cores Vivas.</p><p>5. todos os participantes da pesquisa consomem pelo menos uma das marcas.</p><p>Para ajudar na resolução desta questão, uma dica é utilizar o diagrama de Venn abaixo. No diagrama,</p><p>A é o conjunto das pessoas que compram Alvo, B é o conjunto de quem compra Bem Limpo, e C</p><p>o conjunto de quem compra cores vivas.</p><p>Note que algumas das regiões representadas podem ser vazias, isto é, ter 0 elementos.</p><p>(a) Quantas pessoas compram as três marcas, Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas?</p><p>(b) Se chamarmos de x o número de pessoas que compram somente Alvo, qual é o número de</p><p>pessoas, em função de x, que compram Alvo e Cores Vivas mas não compram Bem Limpo?</p><p>(c) Quantas pessoas, em função de x, compraram somente Bem Limpo? E quantas compram</p><p>somente Cores Vivas?</p><p>(d) Quantas pessoas compram somente Alvo?</p><p>Solução:</p><p>(a) Pela informação 2, quem compra Cores Vivas só compra, no máximo, mais uma das outras</p><p>marcas, não comprando as outras duas. Assim, a interseção entre os três conjuntos é vazia, logo</p><p>ninguém (ou 0 pessoas) compra as três marcas, Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas.</p><p>(b) Vamos utilizar o diagrama de Venn sugerido.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 22</p><p>Vamos preencher com x, como dito, o conjunto de quem só compra Alvo, com 0 o conjunto</p><p>de quem compra as três marcas (obtido no item anterior) e com 5 o conjunto de quem compra</p><p>somente Alvo e Bem Limpo (informação 1):</p><p>Observe a região marcada com y no diagrama abaixo, que representa quem compra Alvo e Cores</p><p>Vivas mas não compra Bem Limpo. Pela informação 3, um terço das pessoa que compram Alvo</p><p>também compram outras marcas. Como as pessoas que compram Alvo são dadas por x+y+5+0</p><p>e as que compram Alvo e outras marcas são 5 + 0 + y, temos</p><p>1</p><p>3</p><p>(x+ y + 5 + 0) = 5 + 0 + y</p><p>∴ x+ y + 5 = 15 + 3y</p><p>∴ y − 3y = 15− 5− x</p><p>∴ −2y = 10− x</p><p>∴ 2y = x− 10</p><p>∴ y =</p><p>x− 10</p><p>2</p><p>.</p><p>Assim, o número de pessoas que compram Alvo e Cores Vivas mas não compram Bem Limpo é</p><p>dado por</p><p>x− 10</p><p>2</p><p>.</p><p>(c) Por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo são o triplo dos consumidores apenas de Alvo (ou</p><p>seja, x). Com isso, os consumidores apenas de Bem Limpo são dados por 3x.</p><p>Ainda por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo (3x) são quádruplo dos consumidores apenas</p><p>de Cores Vivas, logo os consumidores apenas de Cores Vivas são</p><p>3x</p><p>4</p><p>.</p><p>Novamente por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo (3x) são o dobro dos que consomem</p><p>Bem Limpo e Cores Vivas, logo</p><p>3x</p><p>2</p><p>consomem Bem Limpo e Cores Vivas. Como 0 estão na</p><p>interseção A ∩B ∩ C, esses</p><p>3x</p><p>2</p><p>estão em B ∩ C − A, como no diagrama abaixo:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 23</p><p>(d) Para saber quantas pessoas compram somente Alvo, basta descobrirmos x. Observando o di-</p><p>agrama completo do item anterior, sabendo que o total de consumidores é 324 e que, pela</p><p>informação 5, todos compram pelo menos uma das marcas, temos</p><p>x+ 5 + 0 +</p><p>x− 10</p><p>2</p><p>+ 3x+</p><p>3x</p><p>2</p><p>+</p><p>3x</p><p>4</p><p>= 324,</p><p>logo, escrevendo todos os termos sobre um mesmo denominador 4,</p><p>4x+ 20 + 0 + 2(x− 10) + 12x+ 6x+ 3x</p><p>4</p><p>=</p><p>4 · 324</p><p>4</p><p>,</p><p>e, portanto,</p><p>4x+ 20 + 2x− 20 + 12x+ 6x+ 3x = 1296,</p><p>e então</p><p>27x = 1296,</p><p>que nos dá</p><p>x =</p><p>1296</p><p>27</p><p>= 48.</p><p>Exerćıcio 16 Na bolsa de valores de um determinado páıs, são negociadas ações de 150 empresas.</p><p>Estas empresas podem ter suas ações de posse do governo, de investidores privados ou de ambos.</p><p>Para as empresas negociadas nesta bolsa, há um projeto especial de investimentos chamado de</p><p>Projeto Parceria, do qual só podem participar empresas que possuem ações com os investidores</p><p>privados e com o governo. Sabe-se ainda que:</p><p>i. 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam deste projeto;</p><p>ii. 1/3 das empresas que possuem ações com os investidores privados participam do Projeto Parceria;</p><p>iii. o número de empresas que possuem ações com o governo é o dobro do número das que não</p><p>possuem;</p><p>iv. toda empresa possui ações com o governo, com investidores privados ou com ambos, não havendo</p><p>empresas sem investidor.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 24</p><p>(a) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, chamando de P o conjunto de empresas</p><p>com ações na mão de investidores privados, de G o conjunto de empresas com ações na mão</p><p>do governo e de R o conjunto de empresas que participam do Projeto Parceria. Chame de x</p><p>o número de empresas que possuem ações tanto com o governo quanto com os investidores</p><p>privados. Escreva, em função de x, o número de empresas que participam do Projeto Parceria.</p><p>(b) Escreva, em função de x, o número de empresas que possuem ações apenas com os investidores</p><p>privados.</p><p>(c) Escreva, em função de x, o número de empresas que possuem ações apenas na mão do governo.</p><p>(d) Determine o número de empresas que possuem ações tanto com o governo quanto com investi-</p><p>dores privados.</p><p>Solução:</p><p>(a) Como só podem participar do Projeto Parceria as empresas que possuem ações com os inves-</p><p>tidores privados e com o governo, temos que o conjunto R das empresas que participam do</p><p>Projeto Parceria está contido na interseção do conjunto P de empresas com ações na mão de</p><p>investidores privados com o conjunto G de empresas com ações na mão do governo. Observe</p><p>que não é necessário representar um conjunto U que contenha os conjunto P , G e R, visto que</p><p>não há elementos fora da união de P e G, pois cada empresa possui ações na mão de investidores</p><p>privados ou do governo. Representamos então, abaixo, a situação por meio de um diagrama de</p><p>Venn.</p><p>De acordo com i), temos que 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria par-</p><p>ticipam deste projeto. Lembrando que só podem participar do Projeto Parceria as empresas na</p><p>interseção entre os conjuntos P e G, cujo número de elementos, conforme pedido, é x, temos</p><p>que o número de elementos do conjunto R é igual a 3/4 de x, isto é, 3x/4.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 25</p><p>(b) Como o número de elementos do conjunto R é igual a 3x/4 e o número de elementos na</p><p>interseção de G com P é x, temos que o número de elementos do conjunto P ∩G−R é</p><p>x− 3x</p><p>4</p><p>=</p><p>4x</p><p>4</p><p>− 3x</p><p>4</p><p>=</p><p>x</p><p>4</p><p>.</p><p>Vamos agora chamar de p o número de elementos do conjunto P , isto é, o número de empresas</p><p>que possuem ações com os investidores privados. De acordo com ii), temos que 1/3 das em-</p><p>presas que possuem ações com os investidores privados participam do Projeto Parceria. Temos,</p><p>portanto, que</p><p>1</p><p>3</p><p>· p =</p><p>3x</p><p>4</p><p>∴ p = 3 · 3x</p><p>4</p><p>=</p><p>9x</p><p>4</p><p>.</p><p>Queremos agora o número de empresas que possuem ações apenas com os investidores privados,</p><p>ou seja, o número de elementos do conjunto P − P ∩G, é igual a p− x. Como p =</p><p>9x</p><p>4</p><p>, temos</p><p>que o número de empresas que possuem ações apenas com os investidores privados é dado por</p><p>p− x =</p><p>9x</p><p>4</p><p>− x =</p><p>9x</p><p>4</p><p>− 4x</p><p>4</p><p>=</p><p>5x</p><p>4</p><p>.</p><p>(c) Vamos chamar de g o número de elementos do conjunto G, isto é, o número de empresas que</p><p>possuem ações com o governo. De acordo com iii), temos que o número de empresas que</p><p>possuem ações com o governo é o dobro do número das que não possuem. Como o número de</p><p>empresas que não possuem ações com o governo é o número de elementos do conjunto P−P ∩G</p><p>e este número é</p><p>5x</p><p>4</p><p>, por iii), temos que</p><p>g = 2 · 5x</p><p>4</p><p>=</p><p>10x</p><p>4</p><p>.</p><p>Queremos agora o número de empresas que possuem ações apenas com o governo, ou seja, o</p><p>número de elementos do conjunto G − P ∩ G, é igual a g − x. Como g =</p><p>10x</p><p>4</p><p>, temos que o</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 26</p><p>número de empresas que possuem ações apenas com o governo é dado por</p><p>g − x =</p><p>10x</p><p>4</p><p>− x =</p><p>10x</p><p>4</p><p>− 4x</p><p>4</p><p>=</p><p>6x</p><p>4</p><p>.</p><p>(d) Como o total de empresas é de 150, pelo diagrama de Venn anterior, temos que</p><p>150 =</p><p>5x</p><p>4</p><p>+ x+</p><p>6x</p><p>4</p><p>=</p><p>5x</p><p>4</p><p>+</p><p>4x</p><p>4</p><p>+</p><p>6x</p><p>4</p><p>=</p><p>15x</p><p>4</p><p>,</p><p>de modo que</p><p>x = 150 · 4</p><p>15</p><p>= 40</p><p>Conclúımos assim que 40 empresas possuem ações tanto com o governo quanto com investidores</p><p>privados.</p><p>Exerćıcio 17 Para esta questão, considere as seguintes definições:</p><p>� O lucro obtido com uma venda é o preço de venda menos os custos envolvidos (custo de</p><p>fabricação ou aquisição junto a um fornecedor, impostos, etc).</p><p>� O ponto de equiĺıbrio financeiro (ou break-even, como é muito usual se dizer) é atingido</p><p>quando não há lucro ou prejúızo em uma determinada transação ou atividade.</p><p>Após um levantamento sobre o processo de fabricação e venda de um determinado produto, um</p><p>fabricante percebeu que:</p><p>� Um terço do preço do preço pelo qual vende seus produtos às lojas é formado por impostos,</p><p>isto é, deve ser recolhido para o governo;</p><p>� O custo com matérias-primas, por unidade do produto, é de R$10,00;</p><p>� O pagamento de mão de obra, maquinário e instalações representa um gasto fixo mensal,</p><p>independente da quantidade fabricada, de R$100.000,00.</p><p>(a) Determine a expressão do lucro L com a fabricação e venda de um produto, considerando apenas</p><p>o custo com matérias primas e impostos, tendo como variável o preço P de venda às lojas.</p><p>(b) Determine a expressão que representa o lucro Lt mensal obtido com a fabricação e venda de</p><p>N unidades mensais do produto, vendidas às lojas pelo preço P . Para este lucro, considere os</p><p>gastos que incidem sobre cada unidade (matérias-primas e impostos) e os gastos fixos.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I EP2 27</p><p>(c) Para que o ponto de equiĺıbrio financeiro (break-even) seja atingido, quantas unidades precisam</p><p>ser produzidas em um mês, considerando-se que todas serão vendidas?</p><p>Solução:</p><p>(a) Considerando a venda de apenas um produto, e sendo P seu preço de venda às lojas, pelo</p><p>primeiro item informado acima, os impostos correspondem a</p><p>1</p><p>3</p><p>P . Pelo segundo item, o custo</p><p>com matérias primas é de R$10,00. Com isso, o custo total é de C =</p><p>P</p><p>3</p><p>+10, logo, o lucro, em</p><p>reais, obtido na venda de um produto é dado por</p><p>L = P −</p><p>(</p><p>P</p><p>3</p><p>+ 10</p><p>)</p><p>= P − P</p><p>3</p><p>− 10 =</p><p>2P</p><p>3</p><p>− 10.</p><p>(b) A venda de N unidades do produto pelo preço P resultará numa receita de Rt = N · P , e em</p><p>custos de Ct = N ·</p><p>(</p><p>P</p><p>3</p><p>+ 10</p><p>)</p><p>+ 100.000 (impostos e custo por unidade, adicionados do custo</p><p>fixo). Assim, o lucro total será de</p><p>Lt = Rt − Ct = NP −</p><p>[</p><p>N ·</p><p>(</p><p>P</p><p>3</p><p>+ 10</p><p>)</p><p>+ 100.000</p><p>]</p><p>= NP − NP</p><p>3</p><p>− 10N − 100.000.</p><p>∴ Lt =</p><p>2NP</p><p>3</p><p>− 10N − 100.000.</p><p>(c) No ponto de equiĺıbrio financeiro, não há lucro ou prejúızo, isto é, Lt = 0. Mas</p><p>Lt = 0 ⇔ 2NP</p><p>3</p><p>− 10N − 100.000 = 0</p><p>⇔ N</p><p>(</p><p>2P</p><p>3</p><p>− 10</p><p>)</p><p>= 100.000</p><p>⇔ N =</p><p>100.000</p><p>2P</p><p>3</p><p>− 10</p><p>⇔ N =</p><p>100.000</p><p>2P−30</p><p>3</p><p>⇔ N =</p><p>300.000</p><p>2P − 30</p><p>Assim, será necessário produzir</p><p>300.000</p><p>2P − 30</p><p>unidades. Note que isto só faz sentido para P > 15.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p>