Distribuições Contínuas e Estatística com Excel

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ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Capítulo 8
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
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Considere a variável aleatória contínua X em que definimos a função f(x) denominada função densidade de probabilidade e que tem as seguintes propriedades:
A probabilidade da variável aleatória X é sempre definida num intervalo de valores dessa variável X, por exemplo, (x1, x2).
A probabilidade da variável aleatória X é medida pela área sob a curva da função densidade f(x) num determinado intervalo. 
A área total sob a curva f(x) é igual a um ou 100%. 
O valor f(x) da função densidade não mede a probabilidade do valor x da variável aleatória X.
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VA Contínua
Para a variável aleatória contínua X que assume valores do conjunto dos números reais há uma função matemática f(x) com as seguintes premissas:
A função densidade de probabilidade f(x) é sempre positiva, para todo x pertencente a X.
A área sob a função f(x) entre os limites menos infinito e mais infinito da variável aleatória contínua X é igual a um ou 100%:
A probabilidade da VA contínua X dentro do intervalo (a, b) com ambos limites incluídos é medida pela área definida pela função f(x) entre os limites a e b:
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Um ponto f(x) da função densidade não é a probabilidade do valor x da variável aleatória X, pois, por exemplo, o ponto f(x=a) da função densidade é zero. 
Como deve-se representar os limites do cálculo da probabilidade de uma variável aleatória contínua dentro do intervalo (a, b), P(aXb) ou P(a<X<b)?
As duas podem representações podem ser utilizadas, incluindo a representação com limites mistos, por exemplo: P(aX<b) ou P(a<Xb)! 
Neste livro utilizaremos a representação P(aXb).
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Valor Esperado e Variância
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DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Uma distribuição de variável aleatória contínua é a distribuição uniforme cuja função densidade de probabilidade é constante dentro de um intervalo de valores da variável aleatória X.
Cada um dos possíveis valores que X com distribuição uniforme pode assumir tem a mesma probabilidade de ocorrer.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística. 
A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, a média  e o desvio padrão  da distribuição, por exemplo, a curva da distribuição normal f(x) para =40, =10 e valores da variável aleatória no intervalo (10, 70) é mostrada na Figura 8.4. 
Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc.
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Analisando a fórmula da função densidade f(x) podemos verificar que para cada par de parâmetros  e  há uma curva diferente de f(x), ou que para qualquer outro par de parâmetros  e , a curva f(x) será diferente. 
Portanto, não há apenas uma única distribuição normal, e sim uma família de distribuições normais representadas como N(,). 
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INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS
O que ocorreria com a forma da distribuição normal N(40, 10) se o valor da média for mudado de 40 para 50? 
A forma da distribuição permaneceria a mesma, porém com a média deslocada de 40 para 50 e definindo a nova distribuição normal N(50, 10). 
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No intervalo C3:C4, é possível mudar os parâmetros da curva de cor azul registrando novos valores.
Entretanto, os parâmetros da curva vermelha são mudados acionando um dos dois controles giratórios por vez, células E3 e E4.
Observe que ao variar o valor da média de 40 para 50, mantendo constante o desvio padrão =10, a distribuição normal mantém sua forma e se desloca para a direita.
Da mesma maneira, para valores de média menores que 40, por exemplo =30, a distribuição manterá sua forma e se deslocará para a esquerda de =40. 
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Variando o Desvio Padrão 
Para analisar o comportamento da forma da distribuição normal variando o desvio padrão, lembremos primeiro o significado do desvio padrão apresentado no Capítulo 4.
A terceira regra prática estabelece que, em todas as distribuições, a porcentagem de valores contidos dentro de três desvios padrões ao redor da média será próxima de 100%.
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Como a distribuição normal é simétrica ao redor da média, seja qual for o valor do desvio padrão, praticamente 100% dos valores da variável aleatória estarão contidos dentro de três desvios padrões ao redor da média.
Se na distribuição normal N(40, 10) o desvio padrão for mudado para 15, a forma da curva N(40, 15) será mais aberta que a anterior N(40, 10), diminuindo sua altura para manter a área de 100%. Da mesma maneira, pode-se verificar que para desvios padrão menores que 10, a distribuição diminui sua base e aumenta sua altura.
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CÁLCULO DE PROBABILIDADE
A probabilidade P(aXb) de a variável aleatória contínua X ser igual ou maior que a e, ao mesmo tempo, menor ou igual a b é obtida da área definida pela função f(x) entre os limites a e b, sendo b>a.
O procedimento de cálculo passa pela integração da função f(x) no intervalo (a,b), procedimento bastante trabalhoso.
Entretanto, utilizando a função estatística DIST.NORM do Excel esse cálculo se tornará mais simples e, neste momento, nos permitirá compreender o processo de cálculo da probabilidade P(X) da variável aleatória contínua X com distribuição normal. 
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Função do Excel
DIST.NORM(x; média; desv_padrão; cumulativo)
A função DIST.NORM retorna a função densidade da distribuição normal ou a probabilidade acumulada de menos infinito até o valor do argumento x, conforme o valor registrado no argumento cumulativo.
Se no argumento cumulativo for registrado o valor FALSO, a função estatística DIST.NORM retornará o valor f(x) para o valor x informado no primeiro argumento da função.
Se no argumento cumulativo for registrado o valor VERDADEIRO, a função DIST.NORM retornará a probabilidade acumulada de menos infinito até x, considerando os parâmetros média e desvio padrão da distribuição registrados no argumento média e no argumento desv_padrão. A função DIST.NORM calcula a integral da função f(x) no intervalo (-, x). 
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No Exemplo 8.3, a probabilidade P(X50) é igual a 84,13%, resultado obtido com a fórmula =DIST.NORM(50;40;10;VERDADEIRO) registrada numa célula vazia de qualquer planilha Excel.
Esse resultado tem o seguinte significado:
A probabilidade de um resultado do experimento (ou valor da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) ser menor ou igual a 50 é 84,13%. 
Ou, podemos dizer que 84,13% dos resultados do experimento (ou valores da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) estão dentro do intervalo (, 50).ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
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A probabilidade P(X35) é igual a 30,85%, resultado obtido com =DIST.NORM(35;40;10;VERDADEIRO) registrado numa célula vazia de qualquer planilha Excel.
Ou seja, a probabilidade de um resultado do experimento (ou valor da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) ser menor ou igual a 35 é 30,85%.
Ou 30,85% dos resultados do experimento (ou valores da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) estão dentro do intervalo (, 35).
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Como a função DIST.NORM retorna a probabilidade acumulada de menos infinito até x, o cálculo da probabilidade procurada P(25X60) deverá ser realizado em duas partes
 P(25X60)= P(X60)P(X25).
Primeiro deve ser calculada a probabilidade P(X60)=0,977250. 
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Depois deve ser calculada a probabilidade P(X25)=0,066807.
Subtraindo a área da figura da direita da área da figura da esquerda será obtida a primeira figura que representa a probabilidade procurada P(25X60).
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A probabilidade P(25X60) é 91,04%, obtido como resultado da diferença das duas probabilidades anteriores 0,9772500,066807=0,910443 ou 91,04%.
Esse resultado pode ser obtido com a função DIST.NORM registrando a fórmula seguinte:
 =DIST.NORM(60;40;10;VERDADEIRO) 
 DIST.NORM(25;40;10;VERDADEIRO)
O resultado tem o seguinte significado:
A probabilidade de um resultado do experimento (ou valor da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) pertencer ao intervalo (25, 60) é 91,04%. 
Ou, 91,04% dos resultados do experimento (ou valores da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) estão dentro do intervalo (25, 60).
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Resultados Importantes da DN
A fórmula da função densidade f(x) mostra que para cada par de parâmetros  e  há uma curva diferente de f(x), ou para qualquer outro par de parâmetros  e  a curva f(x) será diferente. 
Embora não haja apenas uma única distribuição normal e sim uma família de distribuições normais representadas com N(,), elas mantêm algumas propriedades em comum, como, por exemplo, a porcentagem de resultados ao redor da média.
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Um desvio padrão ao redor da média
Qual a percentagem de valores dentro de um desvio padrão ao redor da média 200 da variável aleatória X com distribuição normal N(200, 10)?
Nesse caso, um valor de X incluído no intervalo de um desvio padrão ao redor da média deve estar no intervalo (190, 210). 
A probabilidade de um valor da variável aleatória X estar dentro de um desvio padrão ao redor da média é P(190X210)=0,6827 ou 68,27%. 
Esse resultado mostra que 68,27% dos valores da variável X com distribuição normal se distribuem no intervalo de um desvio padrão ao redor da média.
Ou que a probabilidade de um resultado do experimento com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (190, 210) é 68,27%. 
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Dois desvios padrão ao redor da média
Qual a percentagem de valores da variável X com distribuição normal N(200, 10) localizados dentro de dois desvios padrão ao redor da média? 
Um valor de X incluído no intervalo de dois desvios padrão ao redor da média deve estar no intervalo (180, 220). 
A probabilidade de um valor da variável aleatória X estar dentro de dois desvios padrão ao redor da média é P(180X220)=0,9545 ou 95,45%
Esse resultado mostra que 95,47% dos valores da variável X com distribuição normal se distribuem no intervalo de dois desvios padrão ao redor da média.
Ou que a probabilidade de um resultado do experimento com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (180, 220) é 95,45%. 
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Três desvios padrão ao redor da média
Qual a percentagem de valores da variável X com distribuição normal N(200, 10) localizados dentro de três desvios padrão ao redor da média? 
Um valor de X incluído no intervalo de dois desvios padrão ao redor da média deve estar no intervalo (170, 230). 
A probabilidade de um valor da variável aleatória X estar dentro de três desvios padrão ao redor da média é P(170X230)=0,9973 ou 99,73%
Esse resultado mostra que 99,73% dos valores da variável X com distribuição normal se distribuem no intervalo de três desvios padrão ao redor da média.
Ou que a probabilidade de um resultado do experimento com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (170, 230) é 99,73%. 
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MODELO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
O gráfico da distribuição normal f(x) construído na planilha Modelo Distribuição Normal, incluída na pasta Capítulo 8, inclui a representação dos intervalos dos três tipos de desvios padrão.
Com os controles giratórios, são informados os valores da média na célula C3 e o desvio padrão na célula C4 e, ao mesmo tempo, a planilha recalcula a tabela do intervalo B6:C31 de acordo com o tipo de probabilidade escolhida na caixa de grupo:
f(x). Fornecerá o valor da função f(x) para o valor x.
Probabilidade acumulada até x. Fornecerá a probabilidade acumulada de menos infinito até x.
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Modelo DN
O modelo estatístico Modelo DN facilita os cálculos de probabilidade com a distribuição normal N(, ).
Por exemplo, no cálculo da probabilidade de um valor da variável aleatória com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (180, 220). 
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Exemplo 8.3
Exemplo 8.4
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Exemplo 8.5
Exemplo 8.6
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Distribuição Normal Padronizada
Foi mostrado que:
A probabilidade P(Xa) é o resultado de integrar a função f(x) da distribuição normal N(,) entre os limites (, a). 
O cálculo de probabilidades é bastante trabalhoso, pois não há apenas uma única distribuição normal e sim uma família de distribuições normais N(,). 
A função estatística DIST.NORM do Excel e o Modelo DN reduzem sensivelmente o procedimento de cálculo.
Entretanto, o procedimento clássico de cálculo de probabilidades utiliza a distribuição normal padronizada obtida da distribuição normal N(, ) realizando a mudança da variável X. 
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A variável aleatória desvio padrão normalizado Z de uma distribuição normal padronizada é definida pela expressão:
A nova variável Z realiza cálculos de probabilidades com uma única curva de distribuição denominada distribuição normal padronizada N(0, 1).
Depois da transformação da variável, a função densidade f(x) passa a ser:
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Função do Excel
PADRONIZAR(x; média; desv_padrão)
A função estatística PADRONIZAR retorna o desvio padrão normalizado Z considerando os argumentos x, média e desv_padrão e utilizando a fórmula de Z.
Digitando a fórmula =PADRONIZAR(52,4;40;10) numa célula vazia da planilha Excel, obteremos o resultado procurado Z=1,24.
Neste momento, temos P(X52,4)=P(Z1,24).
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O valor da probabilidade P(Z1,24) pode ser obtido com a função DIST.NORMP do Excel para a distribuição normal padronizada e também com a TabelaZ.
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Função do Excel
DIST.NORMP(z)
A função estatística DIST.NORMP retorna a probabilidade acumulada da distribuição normal padronizada Z, de menos infinito até o valor registrado no argumento z.
Registrando a fórmula =DIST.NORMP(1,24) numa célula da planilha Excel obteremos a probabilidade P(Z1,24)=0,8925.
Para chegar a esse resultado, primeiro foi calculado o valor de z; entretanto, poderíamos evitar esse cálculo registrando a fórmula =DIST.NORMP(PADRONIZAR(52,4;40;10)) 
 onde no lugar do argumento z foi incluída a função PADRONIZAR, que calcula o valor z. 
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Tabela Z
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A curva da distribuição Z tem a mesma forma que a curva da distribuição X, com a mudança dos valores do eixo X para o eixo Z.
Sugerimos que você tente visualizar a mesma curva de distribuição normal com os dois eixos X e Z.
Como há diversos cálculos de probabilidade, a tabela seguinte apresenta o resumo dos procedimentos de cálculo de probabilidade utilizando a tabela da distribuição normal padronizada Z.
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Modelo CÁLCULOS COM DN
Este modelo estatístico Cálculos DN é equivalente ao Modelo DN, porém incluindo os valores de Z e o gráfico da distribuição que mostra as áreas sob a curva que estão sendo utilizadas no cálculo requerido. 
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No modelo:
As células do intervalo C3:C6 aceitam somente dados. 
Nas células D4 e D5 são selecionados os tipos de limite do intervalo para cálculo da probabilidade desejada. Os dados registrados no intervalo C5:C6 são utilizados para definir os limites nas duas caixas de combinações.
Na caixa de combinação da célula D5 é possível escolher os limites ≤ e ≥, e na caixa de combinação da célula D6 os limites ≤, ≥ e Não. 
Nas células do intervalo F5:F6 são registrados os valores de Z correspondentes aos limites registrados em C5:C6. 
No intervalo B7:E7 é registrado o resultado informando o texto da probabilidade calculada.
O gráfico da distribuição normal mostra a(s) área(s) sob a curva que está(ão) sendo utilizada(s) no cálculo requerido. 
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OUTROS CÁLCULOS COM a DN
O objetivo dos exemplos de distribuição normal apresentados até este momento foi o cálculo da probabilidade de que ocorra um determinado evento sendo conhecidos os parâmetros da distribuição normal, a média e o desvio padrão.
Há outros problemas com a distribuição normal, por exemplo, o cálculo inverso e a determinação dos parâmetros da distribuição normal a partir de constatações práticas.
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Exemplo 8.11
Jota afirma que está entre os 5% maiores vendedores da empresa, pois seu total de vendas no ano passado foi de $1.350.000. Considerando que as vendas de todos os vendedores têm a distribuição normal N($1.250000, $100.000), verificar se a afirmação do vendedor Jota é correta.
5% maiores vendedores
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Solução
Os 5% maiores vendedores da empresa estão localizados no final da cauda superior da distribuição normalizada. 
Qual o valor Z1 que verifica a relação P(ZZ1)=5%? Como a tabela não tem registrada essa parte da área da curva, deveremos procurar a probabilidade complementar 0,95 obtida como resultado da diferença (1-0,05).
Procurando no miolo da Tabela Z verificamos que o valor 0,95 não coincide com nenhum dos valores registrados na Tabela Z, portanto, será necessário realizar uma interpolação.
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Como o valor 0,95 situa-se entre 0,9495 (Z=1,64) e 0,9505 (Z=1,65), interpolando entre esses valores obtém-se Z=1,645, que corresponde à probabilidade P(Z1,645)=0,05. 
Com os dados disponíveis, a N($1.250000, $100.000) e o valor Z=1,645, calculamos o valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores, utilizando a fórmula do desvio padrão normalizado Z:
O valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores é x=$1.414.500, com a fórmula:
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Concluindo, para pertencer ao grupo dos 5% maiores vendedores da empresa, seria necessário vender pelo menos $1.414.500. Como o vendedor Jota vendeu $1.350.000, ele não pertence ao grupo dos 5% maiores vendedores.
Como exercício adicional, verifique que o salário de Jota está no grupo dos 15,87% maiores vendedores da empresa, resultado obtido pelo cálculo direto da probabilidade a partir do valor de vendas anuais, P(X1.350.000)=0,1587.
Como ajuda, o valor de vendas de Jota está a um desvio padrão da média da distribuição.
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Função do Excel
INV.NORM(probabilidade; média; desv_padrão)
A função INV.NORM retorna o valor de x correspondente aos argumentos probabilidade, média e desv_padrão. A função INV.NORM é a inversa da função DIST.NORM, com argumento cumulativo VERDADEIRO. Para calcular o valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores, numa célula da planilha Excel registramos =INV.NORM(0,95;1250000;100000). Essa fórmula retorna o resultado $1.414.485, resultado um pouco diferente do obtido da Tabela Z com valores arredondados.
No cálculo de x, o Excel utiliza um procedimento iterativo até alcançar um erro de 310-7. Entretanto, se até 100 iterações não for possível encontrar o resultado, a função INV.NORM retornará o resultado #N/A.
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Função do Excel
INV.NORMP(probabilidade)
A função INV.NORMP retorna o valor Z da probabilidade informada, valor entre zero e um. A função DIST.NORMP considera que a probabilidade informada se refere à probabilidade acumulada de menos infinito até Z, pois essa função é a inversa da função DIST.NORMP. Para calcular o valor de venda mínimo x correspondente a 5% dos maiores vendedores, registramos a fórmula =INV.NORMP(0,95)*100000+1250000, retornando $1.414.485, o mesmo resultado obtido com a função INV.NORM.
No cálculo de Z o Excel utiliza um procedimento iterativo até alcançar um erro de 310-7. Entretanto, se até 100 iterações não for possível encontrar o resultado, a função DIST.NORMP retornará o resultado #N/A. 
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Outra forma de resolver o Exemplo 8.11 é utilizando a planilha Cálculo Inverso incluída na pasta Capítulo 8, como mostra a Figura 8.14.
Esse modelo é parecido com os anteriores, porém foi adaptado para retornar o valor de x nas duas possíveis respostas selecionadas na caixa de combinação da célula D6.
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Exemplo 8.12
Os registros históricos da loja mostram que a demanda mensal do sabonete especial Alfa tem distribuição normal com média 2.400 e desvio padrão 230. 
Como o valor médio do ticket de compra desses compradores é o mais alto da loja, o gerente quer garantir que 99% dessas vendas sejam atendidas. 
Calcular o estoque que a loja deve ter no início de cada mês.
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Exemplo 8.13
Como costuma ocorrer, o diretor de novos projetos necessita, para ontem, a estimativa preliminar do valor do investimento do lançamento do novo produto. 
Quando pergunta ao gerente de novos projetos da empresa, que tem muita experiência na avaliação desse tipo de projeto bastante freqüente na empresa, ele responde que a estimativa do investimento se situa entre $1.500.000 e $2.000.000, com 50% de probabilidade de acerto.
Qual o valor dos parâmetrosdessa distribuição considerando que a variável investimento tem distribuição normal? 
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Exemplo 8.14
Para definir o preço unitário de um novo produto, o gerente do produto costuma analisar dois cenários, um otimista e o outro pessimista. No caso do novo detergente em cubos para máquina de lavar louças ele definiu: 
O preço do cenário otimista de $25 por pacote, considerando que a probabilidade de exceder esse valor seja de 5%.
O preço do cenário pessimista de $18 por pacote, considerando que a probabilidade de reduzir esse valor seja de 5%.
Considerando que o preço unitário tenha distribuição normal, qual o valor dos parâmetros dessa distribuição? 
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Exemplo 8.15
O produto farmacêutico líquido é enchido em frascos por uma máquina automática que pode ser ajustada em qualquer volume entre 10 e 20 centímetros cúbicos.
O volume do produto é uma variável aleatória com distribuição normal com desvio padrão 0,4 centímetros cúbicos. A especificação do controle de qualidade exige que pelo menos 98% dos frascos contenham 16 centímetros cúbicos ou mais. 
Em que volume a máquina deve ser ajustada?
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DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
A distribuição exponencial é uma distribuição contínua aplicada em muitos problemas de empresas nas áreas de serviços e manufaturas, em geral denominados problemas de fila de espera. 
Quando os serviços prestados por uma empresa para clientes externos ou internos são de duração variável, a distribuição exponencial é indicada para analisar esses experimentos; por exemplo, a duração do atendimento do caixa de um banco ou de postos de saúde, o tempo de operação sem interrupção de um equipamento etc. 
A distribuição exponencial é definida pelo único parâmetro  denominado média, que estabelece a média de chegadas por hora, por exemplo, ou de serviços por minuto ou alguma outra unidade de tempo.
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Função do Excel
DISTEXPON(x; lambda; cumulativo)
A função estatística DISTEXPON retorna a função densidade de x ou a probabilidade acumulada de zero até x, conforme o argumento cumulativo. 
Se cumulativo for FALSO, a função estatística DISTEXPON retornará a função densidade: 
Se cumulativo for VERDADEIRO, a função DISTEXPON retornará a probabilidade acumulada de zero até x, ou P(Xx), valor obtido com a fórmula: 
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Modelo Distribuição Exponencial
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DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL
A distribuição normal está presente em muitas situações. 
Por exemplo, um cabo de aço trançado utilizado num elevador, ou alguma outra aplicação de tração, é formado por muitos fios de aço que adequadamente entrelaçados conferem uma forte resistência ao cabo.
A força ou capacidade do cabo Y é a soma das capacidades individuais dos fios de aço yi:
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Se o número de fios n que formam o cabo for adequadamente grande, mesmo que a distribuição da capacidade dos fios de aço não seja normal, a distribuição da capacidade do cabo será normal, de acordo com o Teorema Central do Limite, que será apresentado no Capítulo 10. Esse exemplo mostra que uma variável aleatória Y definida como a soma de n variáveis aleatórias yi pode ser descrita com uma distribuição normal, atendendo a alguns requisitos.
Outra situação freqüente aparece no caso de uma variável aleatória X definida pelo produto de n variáveis aleatórias xi, como mostra a fórmula:
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Um exemplo prático da multiplicação de variáveis aleatórias é a determinação da taxa de retorno de um ativo durante um mês, obtido como resultado da multiplicação da variação de preços diários desse ativo. Aplicando o logaritmo natural aos dois membros dessa fórmula:
Se os termos do segundo membro cumprem com os requisitos necessários, a analogia com a soma anterior é clara, podendo-se afirmar que a variável aleatória lnX tem distribuição normal.
Se Y=lnX, pode-se dizer que a variável aleatória Y tem distribuição normal e a variável aleatória X tem distribuição lognormal.
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Prof. Juan Carlos Lapponi
A distribuição lognormal é muito utilizada em engenharia de confiabilidade para descrever falhas causadas por fadiga de material, incertezas e taxas de falhas, além de uma variedade de outros fenômenos.
Ainda tem a propriedade de que se duas variáveis aleatórias têm distribuição lognormal, a função gerada pelo produto dessas duas variáveis também terá distribuição lognormal.
Também é bastante utilizada em opções de ativos da teoria moderna de finanças. Por exemplo, analisando a variável aleatória retorno de um investimento em ações:
A relação entre o resgate e a aplicação pode ser maior que um, sem nenhuma limitação até onde o próprio mercado permitir. 
Entretanto, a relação entre o resgate e a aplicação pode ser menor que um até o limite de não resgatar nada e perder a aplicação realizada, provocando uma distribuição de retornos assimétrica.
ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Funções do Excel
DIST.LOGNORMAL(x; média; desv_padrão)
A função estatística DIST.LOGNORMAL retorna a probabilidade acumulada de zero até x, conhecidos os argumentos média e desv_padrão.
INVLOG(probabilidade; média; desv_padrão)
A função estatística INVLOG retorna o valor de x para o argumento probabilidade, conhecidos os argumentos média e desv_padrão.
A função INVLOG é a função inversa da função DIST.LOGNORMAL.
ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi