Tecnicas de Demonstracao - V H S Lins

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TÉCNICAS DE
DEMONSTRAÇÃO
Victor Lins
Copyright ©2024, Victor Lins.
É vedada a cópia e reprodução não autorizada dessa obra sob
qualquer circunstância.
Conteúdo
1 Demonstração Direta 4
2 Demonstração por Contraposição 8
3 Redução ao Absurdo 11
4 Princípio da Indução Finita 14
5 Demonstração por Exaustão 18
6 Resolução para os exercícios 22
7 Orientações para estudar matemática 30
3
1 Demonstração Direta
Nossa jornada pelas técnicas de demonstração começa pela abor-
dagem resolutiva mais comum: a demonstração direta, uma téc-
nica que, como o próprio nome sugere, estabelece a veracidade de
uma proposição percorrendo um caminho lógico direto, sem re-
correr a suposições alternativas ou raciocínios indiretos. Nesta
seção, esmiuçaremos os fundamentos dessa técnica, suas aplica-
ções e nuances, e resolveremos problemas para consolidar. Na
matemática, frequentemente nos deparamos com proposições do
tipo:
Se P, então Q.
Aqui, P representa a hipótese, isto é, uma condição que sa-
bemos ser verdadeira, e Q representa a conclusão que desejamos
demonstrar. O objetivo de uma demonstração direta é construir
uma sequência lógica de argumentos que parta de P e chegue em
Q, sem passos ocultos ou ambiguidades. Veja o exemplo a seguir.
EXEMPLO 1
Prove que a soma de dois números pares é sempre um nú-
mero par.
Demonstração. Começamos assumindo a hipótese. Seja a
e b dois números pares. Pela definição de número par, exis-
tem inteiros k e m tais que:
a = 2k e b = 2m.
Agora, somamos esses dois números:
a+b = 2k+2m = 2(k+m).
O resultado, 2(k + m), é divisível por 2, o que prova que
a+b é um número par, como desejávamos demonstrar.
Neste exemplo simples, observamos como a técnica direta utiliza
definições e propriedades conhecidas para chegar à conclusão. A
4
técnica da demonstração direta é especialmente útil quando as
hipóteses e a conclusão estão claramente conectadas por propri-
edades matemáticas bem definidas. Experiência com o conteúdo
contribui para determinar a conexão desejada, ou pelo menos o
rastro dela. O que quero dizer por isso é que você pode até não
saber a demonstração inteira a priori, mas tem uma ideia do que
pode ser, então começa a escrever e a mágica vai ocorrendo ao
longo da sua dissertação.
ORIENTAÇÕES PRÁTICAS
• Familiarize-se com as definições dos termos presen-
tes naquele assunto, pois elas te ajudarão a compre-
ender o contexto.
• Certifique-se de entender e contextualizar plena-
mente o que está sendo dado no enunciado. Destaque
as hipóteses, escreva o que sabe a respeito, tentando
criar a conexão com a conclusão.
• Organize o raciocínio. Cada etapa deve levar de
forma natural e lógica à próxima, como se você es-
tivesse construindo uma ponte entre a hipótese e a
conclusão. Escreva bastante, em prosa, conforme
pensa.
Vejamos mais alguns exemplos.
EXEMPLO 2
Prove que o produto de dois números ímpares é sempre
ímpar.
Demonstração. Seja a e b dois números ímpares. Pela de-
finição, podemos escrevê-los como:
a = 2k+1 e b = 2m+1,
onde k,m ∈Z.
5
Calculando o produto:
a ·b = (2k+1)(2m+1).
Expandimos:
a ·b = 4km+2k+2m+1= 2(2km+k+m)+1.
Como 2km+k+m é um inteiro, concluímos que a ·b tem a
forma 2n+1, onde n ∈Z. Logo, a ·b é ímpar.
EXEMPLO 3
Prove que a soma de dois números racionais é sempre ra-
cional.
Demonstração. Seja r1 = p
q e r2 = m
n , onde p, q,m,n ∈ Z e
q,n ̸= 0. Somando r1 e r2:
r1 + r2 = p
q
+ m
n
.
Encontrando o denominador comum:
r1 + r2 = pn+mq
qn
.
Como pn+mq ∈ Z e qn ∈ Z, concluímos que r1 + r2 é um
número racional.
Agora é sua vez de praticar com os exercícios que vou sugerir. As
resoluções estão disponíveis no final do documento.
Questão 1.
Prove que, se n é um número inteiro, então n2 é congruente
a 0 ou 1 (mod 4).
6
Contexto: aqui, é necessário compreender o conceito de con-
gruência modular. Dizemos que dois números a e b são con-
gruentes módulo m, denotado por a ≡ b (mod m), se a−b é
divisível por m. Além disso, observe que um número n pode
ser 0,1,2, ou 3 (mod 4), mas, ao elevar ao quadrado, o com-
portamento de n2 será restringido apenas a 0 ou 1 (mod 4).
Tente analisar todos os casos.
Questão 2.
Prove que a soma de três números consecutivos é divisível
por 3.
Contexto: para resolver este exercício, você deve compreen-
der o conceito de números consecutivos. Números consecu-
tivos são inteiros que aparecem em sequência, como n, n+1,
n+2. Além disso, será útil lembrar que um número é di-
visível por 3 se o resto da sua divisão por 3 é zero, ou seja,
x (mod 3)= 0. A propriedade distributiva e a manipulação
algébrica básica serão suficientes para demonstrar o resul-
tado.
Questão 3.
Demonstre que o produto de dois números inteiros conse-
cutivos é sempre par.
Contexto: para resolver este exercício, é importante lembrar
que um número é par se é divisível por 2 e ímpar se não
é divisível por 2. Números inteiros consecutivos, como n e
n+1, sempre alternam entre par e ímpar. Use esse fato para
construir uma demonstração direta, analisando os possí-
veis casos.
7
Questão 4.
Mostre que, se a,b ∈Z, então a2 −b2 é divisível por a+b.
Contexto: o exercício utiliza a diferença de quadrados, que
é uma identidade algélica fundamental: a2−b2 = (a−b)(a+
b). Essa identidade será crucial para demonstrar que a2 −
b2 é divisível por a+b. Você também deve lembrar que a+b
e a−b são números inteiros, dado que a,b ∈Z.
Questão 5.
Demonstre que, se x ∈ Q e x2 é inteiro, então x também é
inteiro.
Contexto: Para resolver este exercício, você precisa compre-
ender o conceito de número racional. Um número racional
x pode ser escrito na forma x = p
q , onde p, q ∈Z e q ̸= 0, com
p e q primos entre si. A partir da condição x2 ∈ Z, analise
como isso impõe restrições a q. Em particular, explore o fato
de que q2 precisaria dividir p2, o que contraria a hipótese
de que p e q são primos entre si, a menos que q = 1.
2 Demonstração por Contraposição
Enquanto a demonstração direta segue um caminho lógico que
parte da hipótese P e chega à conclusão Q, a demonstração por
contraposição utiliza uma abordagem alternativa: em vez de de-
monstrar diretamente P =⇒ Q, provamos uma proposição logica-
mente equivalente, que afirma que, se Q não for verdadeiro, então
P também não é verdadeiro. Essa abordagem é frequentemente
representada simbolicamente como ¬Q =⇒ ¬P, onde o símbolo ¬
indica a negação de uma proposição.
Duas proposições são logicamente equivalentes se possuem
sempre o mesmo valor lógico. Nesse caso, demonstrar P =⇒ Q
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é logicamente equivalente a demonstrar ¬Q =⇒ ¬P. Na prática,
isso significa que, se conseguirmos provar que a negação de Q
implica a negação de P, então automaticamente P =⇒ Q estará
provado. Considere o exemplo a seguir.
EXEMPLO 4
Prove que, se o produto de dois números inteiros é ímpar,
então ambos os números são ímpares.
Demonstração. Ao invés de demonstrar diretamente que
o produto ímpar implica números ímpares, utilizaremos a
contraposição. Vamos provar que, se algum dos números
não for ímpar (isto é, for par), então o produto será par.
Seja a ∈ Z um número par. Pela definição, a = 2k, onde
k ∈Z. Seja b ∈Z um número qualquer. O produto de a e b
é:
a ·b = (2k) ·b = 2(k ·b).
Como k · b ∈ Z, concluímos que a · b é divisível por 2, ou
seja, é par. Assim, mostramos que, se algum dos números
não é ímpar, então o produto não é ímpar, o que completa
a demonstração por contraposição.
A demonstração por contraposição é particularmente útil em
situações em que a relação direta entre P e Q é complexa ou pouco
clara, sendo mais fácil analisar a negação da conclusão do que
provar diretamente a proposição. Vejamos mais alguns exemplos.
EXEMPLO 5
Prove que, se n2 é par, então n é par.
Demonstração. Ao invés de demonstrar diretamente que
n2 par implica n par, utilizaremos a contraposição. Vamos
provar que, se n não for par (isto é, for ímpar), então n2
será ímpar.
9
Seja n = 2k+1, onde k ∈Z. O quadrado de n é:
n2 = (2k+1)2 = 4k2 +4k+1= 2(2k2 +2k)+1.
Como 2k2 +2k ∈ Z, concluímos que n2 é da forma 2m+1,onde m ∈Z, ou seja, n2 é ímpar. Assim, mostramos que, se
n não é par, então n2 não é par, completando a demonstra-
ção.
EXEMPLO 6
Prove que, se um número inteiro n não é divisível por 3,
então n2 mod 3= 1.
Demonstração. Usaremos a contraposição. Vamos provar
que, se n2 mod 3 ̸= 1, então n é divisível por 3.
Se n2 mod 3 = 0, então n2 é divisível por 3. Isso im-
plica que n também é divisível por 3, pois 3 é um número
primo e, pela propriedade da divisibilidade, se um número
primo divide o quadrado de outro, então ele divide o pró-
prio número. Logo, mostramos que a contraposição é ver-
dadeira.
Sua vez com os exercícios!
Questão 6.
Prove que, se o produto de dois números inteiros é múltiplo
de 4, então pelo menos um deles é par.
Contexto: para resolver este exercício, utilize a contraposi-
ção. A ideia é mostrar que, se ambos os números são ímpa-
res, então o produto não pode ser múltiplo de 4. Lembre-se
de que o produto de dois números ímpares é sempre ímpar.
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Questão 7.
Demonstre que, se um número inteiro n ao quadrado é
múltiplo de 3, então n é múltiplo de 3.
Contexto: para resolver este exercício, use a contraposição.
A estratégia é provar que, se n não for múltiplo de 3, então
n2 também não será múltiplo de 3. Leve em consideração a
propriedade de números primos e divisibilidade.
Questão 8.
Mostre que, se x ∈Q e x2 ∉Z, então x ∉Z.
Contexto: explore a relação entre x ∈Q e suas propriedades
numéricas. A contraposição será útil para demonstrar que,
se x for inteiro, então x2 também será inteiro. Trabalhe com
a definição de número racional e de número inteiro.
3 Redução ao Absurdo
A demonstração por redução ao absurdo é uma técnica clássica
que consiste em assumir que uma proposição que desejamos de-
monstrar é falsa e, a partir dessa suposição, derivar uma contra-
dição lógica ou um fato que sabemos ser impossível. Essa con-
tradição prova, indiretamente, que a proposição original deve ser
verdadeira. Uma vez fiz uma animação sobre isso no meu Insta-
gram, clique aqui para ver.
Matematicamente, ao provar uma proposição do tipo P, assu-
mimos ¬P (a negação de P) e mostramos que isso leva a um ab-
surdo, como Q∧¬Q (uma proposição verdadeira e falsa ao mesmo
tempo). Para ilustrar essa abordagem, consideremos o exemplo
clássico a seguir.
11
https://www.instagram.com/reel/C5D_yERLGsa/
EXEMPLO 7
Prove que a raiz quadrada de 2 não é um número racional.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que
p
2 seja um nú-
mero racional. Então, podemos escrever
p
2 = p
q , onde
p, q ∈ Z, q ̸= 0, e p e q não têm fatores comuns (isto é,
gcd(p, q)= 1). Elevando ambos os lados ao quadrado, obte-
mos:
2= p2
q2 .
Multiplicando por q2, temos:
p2 = 2q2.
Isso implica que p2 é par, pois é igual a 2q2. Pela propri-
edade de números inteiros, se p2 é par, então p também é
par. Assim, podemos escrever p = 2k, onde k ∈ Z. Substi-
tuímos p = 2k na equação p2 = 2q2:
(2k)2 = 2q2 =⇒ 4k2 = 2q2 =⇒ q2 = 2k2.
Portanto, q2 também é par, o que implica que q é par. Con-
tudo, isso contradiz a suposição inicial de que p e q não têm
fatores comuns, já que ambos são divisíveis por 2. Essa
contradição prova que
p
2 não pode ser racional.
A redução ao absurdo é frequentemente utilizada quando as-
sumir a falsidade de uma proposição gera implicações claras e
contradições evidentes ou em problemas onde a abordagem direta
ou contrapositiva não oferece um caminho lógico claro. Explore-
mos mais exemplos para consolidar.
EXEMPLO 8
Prove que existem infinitos números primos.
12
Demonstração. Suponha, por absurdo, que o conjunto de
números primos seja finito. Seja p1, p2, . . . , pn a lista de
todos os números primos. Considere o número N definido
como:
N = p1 · p2 · · · · · pn +1.
Por construção, N é maior que qualquer um dos primos
p1, p2, . . . , pn. Além disso, N não é divisível por nenhum
deles, pois a divisão de N por qualquer pi resulta em resto
1. Logo, N ou é primo (contrariando a suposição de que
já listamos todos os primos), ou possui um fator primo que
não está na lista p1, p2, . . . , pn. Em ambos os casos, con-
cluímos que nossa suposição inicial de que existem finitos
números primos está errada. Portanto, existem infinitos
números primos.
EXEMPLO 9
Prove que a soma de um número racional e um número
irracional é irracional.
Demonstração. Suponha, por absurdo, que a soma de um
número racional r e um número irracional i seja racional.
Então, podemos escrever:
r+ i = q,
onde q ∈Q. Rearranjando, obtemos:
i = q− r.
Como q e r são racionais, a diferença q− r também é raci-
onal, o que contradiz o fato de que i é irracional. Logo, a
soma de um número racional e um número irracional deve
ser irracional.
Agora divirta-se com os exercícios!
13
Questão 9.
Prove que, se um triângulo possui dois ângulos retos, ele
não pode existir.
Contexto: Para resolver este exercício, você deve se lembrar
que a soma dos ângulos internos de um triângulo em geo-
metria euclidiana é sempre 180◦. Suponha, por absurdo,
que tal triângulo existe. Considere o impacto dessa supo-
sição sobre a soma dos ângulos internos e demonstre como
isso leva a uma contradição.
Questão 10.
Demonstre que a raiz quadrada de 3 é irracional.
Contexto: Utilize um raciocínio semelhante ao caso de
p
2,
assumindo que
p
3 é racional e derivando uma contradição
com base na divisibilidade por 3.
Questão 11.
Mostre que não existe o menor número real positivo.
Contexto: Assuma, por absurdo, que existe um menor nú-
mero real positivo x. Analise o número x/2 e como ele con-
tradiz a suposição.
4 Princípio da Indução Finita
A demonstração por indução é uma técnica muito útil e utilizada
para provar proposições envolvendo números inteiros ou sequên-
cias infinitas. Eu, inclusive, já fiz uma animação falando a res-
peito dela. Caso queira assistir, clique aqui. O raciocínio por indu-
ção baseia-se no princípio fundamental de que, se conseguimos
14
https://www.instagram.com/reel/C8F_EBxteW7/
demonstrar que:
• A proposição é verdadeira para um caso base (n = n0).
• A veracidade para um número n = k implica sua veracidade
para n = k+1.
Então, podemos concluir que a proposição é verdadeira para to-
dos os números n ≥ n0. O processo de demonstração por indução
consiste, portanto, em duas etapas:
(1) Passo Base: Mostramos que a proposição é verdadeira para
um valor inicial n = n0.
(2) Passo Indutivo: Assumimos que a proposição é verdadeira
para um número n = k (hipótese de indução) e mostramos que isso
implica sua veracidade para n = k+1.
O princípio da indução é frequentemente comparado a um efeito
dominó: ao derrubar o primeiro dominó (n = n0) e garantir que
cada dominó derruba o próximo (n = k =⇒ n = k+1), asseguramos
que todos os dominós cairão. Vamos explorar um exemplo para
fixar essa ideia.
EXEMPLO 10
Prove que a soma dos n primeiros números inteiros positi-
vos é dada pela fórmula:
1+2+·· ·+n = n(n+1)
2
.
Demonstração. Usaremos indução sobre n.
• Passo Base: Para n = 1, temos:
1= 1(1+1)
2
= 1.
Assim, a fórmula é válida para n = 1.
• Passo Indutivo: Suponha que a fórmula seja válida
15
para n = k, ou seja:
1+2+·· ·+k = k(k+1)
2
.
Queremos mostrar que ela também é válida para n =
k+1. Somando k+1 a ambos os lados da hipótese de
indução, obtemos:
1+2+·· ·+k+ (k+1)= k(k+1)
2
+ (k+1).
Colocando k+1 em evidência:
k(k+1)
2
+ (k+1)= k(k+1)+2(k+1)
2
= (k+1)(k+2)
2
.
Isso mostra que a fórmula é válida para n = k+1.
Portanto, por indução, a fórmula é verdadeira para todo
n ≥ 1.
A demonstração por indução é amplamente utilizada em provas
envolvendo sequências, somas, produtos, identidades algébricas,
etc. Vejamos mais exemplos.
EXEMPLO 11
Prove que 2n > n2 para todo n ≥ 5.
Demonstração. Usaremos indução sobre n.
• Passo Base: Para n = 5, temos:
25 = 32 e 52 = 25 =⇒ 25 > 52.
Logo, a desigualdade é verdadeira para n = 5.
• Passo Indutivo: Suponha que a desigualdade seja
verdadeira para n = k, ou seja:
2k > k2.
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Queremos mostrar que:
2k+1 > (k+1)2.
Multiplicando ambos os lados da hipótese de induçãopor 2, temos:
2k+1 = 2 ·2k > 2 ·k2.
Note que, para k ≥ 5, temos:
2 ·k2 > (k+1)2.
Expandindo 2 ·k2 > (k+1)2, obtemos:
2k2 − (k2 +2k+1)> 0 =⇒ k2 −2k−1> 0.
Para k = 5, temos:
52 −2 ·5−1= 25−10−1= 14> 0.
Para k > 5, o termo k2 − 2k − 1 cresce quadratica-
mente, pois k2 domina os termos lineares e constan-
tes. Logo, k2 −2k−1> 0 para todo k ≥ 5.
Portanto, por indução, 2n > n2 para todo n ≥ 5.
Hora de colocar em prática o que vimos.
Questão 12.
Prove que 13 +23 +·· ·+n3 =
(
n(n+1)
2
)2
.
Contexto: Use indução sobre n. Comece demonstrando o
caso base para n = 1 e assuma que a fórmula é válida para
n = k. Mostre que ela é válida para n = k + 1 ao somar
(k+1)3 à soma até k.
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Questão 13.
Demonstre que 5n −1 é divisível por 4 para todo n ≥ 1.
Contexto: Utilize indução. Para o passo base, verifique o
caso n = 1. No passo indutivo, assuma que 5k−1 é divisível
por 4 e mostre que o mesmo vale para 5k+1 −1.
Questão 14.
Prove que n!> 2n para todo n ≥ 4.
Contexto: Utilize indução sobre n. Verifique o caso base
n = 4 e, no passo indutivo, assuma k! > 2k e mostre que
(k+1)! > 2k+1.
5 Demonstração por Exaustão
A demonstração por exaustão, também conhecida como demons-
tração por inspeção, consiste em analisar todas as possibilidades
de maneira sistemática e demonstrar que a proposição é verda-
deira para cada caso. Essa técnica é ideal para situações em que
o número de possibilidades é finito e administrável. Para aplicar
esta abordagem, é essencial:
• Listar e verificar todas as possibilidades relevantes.
• Certificar-se de que nenhum caso foi omitido.
• Analisar cada caso de forma rigorosa e completa.
Vamos explorar um exemplo para ilustrar o uso da técnica de
exaustão.
18
EXEMPLO 12
Prove que um triângulo com lados de comprimentos intei-
ros e perímetro 6 não pode ser isósceles.
Demonstração. Sejam a,b, c ∈ Z+ os comprimentos dos la-
dos do triângulo, com a ≤ b ≤ c. Como o perímetro é 6,
temos:
a+b+ c = 6.
Além disso, os lados devem satisfazer a desigualdade tri-
angular:
a+b > c, a+ c > b, b+ c > a.
Agora, listamos todas as combinações possíveis de a,b, c
com a+b+ c = 6 e a ≤ b ≤ c:
• Caso 1: a = 1, b = 2, c = 3. Verificamos as desigual-
dades:
a+b = 1+2= 3> c, a+ c = 1+3= 4> b,
b+ c = 2+3= 5> a.
Todas as desigualdades são satisfeitas, e os lados são
distintos (a ̸= b ̸= c). Este triângulo é escaleno.
• Caso 2: a = 1, b = 1, c = 4. Verificamos as desigual-
dades:
a+b = 1+1= 2 ̸> c.
Este caso não satisfaz a desigualdade triangular,
portanto nem caracteriza um triângulo. Descarta-
mos.
• Caso 3: a = 2,b = 2, c = 2:
Aqui, a+ b+ c = 6, e todas as desigualdades são sa-
tisfeitas:
a+b = 2+2= 4> c, a+ c = 2+2= 4> b
b+ c = 2+2= 4> a.
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Os lados são iguais (a = b = c), o que caracteriza um
triângulo equilátero.
Após analisar todas as combinações possíveis, verificamos
que o triângulo com perímetro 6 e lados inteiros pode ser
escaleno (a = 1,b = 2, c = 3) ou equilátero (a = b = c = 2). No
entanto, nenhum triângulo isósceles com essas condições é
admissível, pois nenhuma das combinações possíveis sa-
tisfaz a condição a = b ̸= c ou a ̸= b = c.
Questão 15.
Mostre que qualquer número inteiro entre 1 e 10 é primo
ou pode ser escrito como um produto de primos.
Contexto: Liste todos os números entre 1 e 10 e verifique
caso a caso quais são primos e quais podem ser escritos
como produtos de primos.
Questão 16.
Liste todas as soluções inteiras (x, y) para a equação x2 +
y2 = 25.
Contexto: A equação representa um círculo com raio 5.
Considere apenas valores inteiros para x e y e use o método
de exaustão para testar todas as possibilidades. Analise
para x, y ∈ [−5,5].
Questão 17.
Prove que, para triângulos com perímetro 12 e lados intei-
ros, pelo menos um deles é isósceles.
20
Contexto: Liste todas as combinações possíveis de a,b, c
com a+b+ c = 12 e verifique as propriedades dos lados.
21
6 Resolução para os exercícios
SOLUÇÃO 1
Considere o resto de n quando dividido por 4. Há quatro
casos:
(1) n ≡ 0 (mod 4): Então n = 4k. Logo, n2 = (4k)2 = 16k2 =
4(4k2), e n2 ≡ 0 (mod 4).
(2) n ≡ 1 (mod 4): Então n = 4k+1. Logo, n2 = (4k+1)2 =
16k2 +8k+1= 4(4k2 +2k)+1, e n2 ≡ 1 (mod 4).
(3) n ≡ 2 (mod 4): Então n = 4k+2. Logo, n2 = (4k+2)2 =
16k2 +16k+4= 4(4k2 +4k+1), e n2 ≡ 0 (mod 4).
(4) n ≡ 3 (mod 4): Então n = 4k+3. Logo, n2 = (4k+3)2 =
16k2 +24k+9= 4(4k2 +6k+2)+1, e n2 ≡ 1 (mod 4).
Em todos os casos, n2 ≡ 0 ou 1 (mod 4).
SOLUÇÃO 2
Sejam n,n+1,n+2 três inteiros consecutivos. Sua soma é:
n+ (n+1)+ (n+2)= 3n+3= 3(n+1),
que é múltiplo de 3. Portanto, a soma de três inteiros con-
secutivos é divisível por 3.
SOLUÇÃO 3
Sejam n e n+1 dois inteiros consecutivos. Há dois casos:
(1) Se n é par, então n = 2k e (n)(n+1)= 2k(n+1) é par.
(2) Se n é ímpar, então n+1 é par, (n+1)= 2k e (n)(n+1)=
n(2k) é par.
22
Assim, o produto de dois inteiros consecutivos é sempre
par.
SOLUÇÃO 4
Note que
a2 −b2 = (a−b)(a+b).
Como (a− b)(a+ b) é um múltiplo de a+ b, então a2 − b2 é
divisível por a+b.
SOLUÇÃO 5
Suponha x ∈Q tal que x2 é inteiro. Então podemos escrever
x = p
q
com p, q ∈Z, q ̸= 0 e mdc(p, q)= 1. Temos então
x2 = p2
q2 ∈Z.
Isto implica que q2 divide p2. Como p e q são coprimos,
isso só pode acontecer se q = ±1. Portanto, x = p
q = p é
inteiro.
SOLUÇÃO 6
Suponha, por contraposição, que ambos os inteiros são ím-
pares. Sejam então m = 2k+1 e n = 2 j +1, com k, j ∈ Z.
Então:
mn = (2k+1)(2 j+1)= 4k j+2k+2 j+1= 2(2k j+k+ j)+1,
que é ímpar, logo não é múltiplo de 4. Assim, se o produto
de dois inteiros é múltiplo de 4, pelo menos um deles deve
ser par.
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SOLUÇÃO 7
Por contraposição, suponha que n não seja múltiplo de 3,
isto é, n = 3k+1 ou n = 3k+2 para algum k ∈Z.
(1) Se n = 3k+1, então n2 = (3k+1)2 = 9k2+6k+1= 3(3k2+
2k)+1, não múltiplo de 3.
(2) Se n = 3k + 2, então n2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 =
3(3k2 +4k+1)+1, não múltiplo de 3.
Em ambos os casos, n2 não é múltiplo de 3. Portanto, se n2
é múltiplo de 3, então n é múltiplo de 3.
SOLUÇÃO 8
Por contraposição, suponha que x ∈Z. Então x = n para al-
gum n ∈Z. Assim, x2 = n2 também é um inteiro. Portanto,
se x2 ∉Z, é impossível que x ∈Z.
SOLUÇÃO 9
Suponha, por absurdo, que exista um triângulo com dois
ângulos retos. Isso significa que dois de seus ângulos me-
dem 90◦ cada. Somando com o terceiro ângulo, teríamos:
90◦+90◦+ (terceiro ângulo)> 180◦.
No entanto, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos
internos deve ser 180◦. Essa contradição mostra que não
pode existir um triângulo com dois ângulos retos.
SOLUÇÃO 10
Suponha, por absurdo, que
p
3 seja racional. Então pode-
24
mos escrevê-la na forma:
p
3= p
q
,
com p, q ∈ Z, q ̸= 0 e mdc(p, q) = 1. Elevando ambos os
lados ao quadrado:
3= p2
q2 =⇒ 3q2 = p2.
Isso mostra que p2 é múltiplo de 3. Assim, p também é
múltiplo de 3. Seja p = 3r. Substituindo:
3q2 = (3r)2 = 9r2 =⇒ q2 = 3r2.
Agora, q2 também é múltiplo de 3, logo q é múltiplo de
3. Isso contradiz o fato de mdc(p, q) = 1, pois encontra-
mos que tanto p quanto q são múltiplos de 3. Concluímos,
portanto, que
p
3 não pode ser racional.
SOLUÇÃO 11
Suponha, por absurdo, que exista um menor número real
positivo x. Então considere o número x
2 . Como x
2 é positivo
e x
2)2
.
SOLUÇÃO 13
Base: Para n = 1:
51 −1= 4,
que é divisível por 4.
Passo indutivo: Suponha que 5k −1 é divisível por 4. Isto
26
é, existe um inteiro m tal que:
5k −1= 4m.
Então, para n = k+1:
5k+1−1= 5·5k−1= 5(4m+1)−1= 20m+5−1= 20m+4= 4(5m+1),
que também é múltiplo de 4. Isso completa a indução, pro-
vando que 5n −1 é divisível por 4 para todo n ≥ 1.
SOLUÇÃO 14
Base: Para n = 4:
4!= 24> 16= 24.
Passo indutivo: Suponha que k! > 2k para algum k ≥ 4.
Então:
(k+1)!= (k+1) ·k!> (k+1) ·2k.
Note que, para k ≥ 4, temos k+1≥ 5. E como 5> 2, podemos
dizer:
(k+1)!> 5 ·2k = 2k ·2log2(5).
Como log2(5)> 2 (já que 22 = 4 2k ·22 = 2k+2 > 2k+1.
Portanto, (k+1)!> 2k+1. Isso completa a indução, provando
que n!> 2n para todo n ≥ 4.
SOLUÇÃO 15
Considerando os inteiros entre 1 e 10:
• 1: não é primo nem composto, mas é a unidade neu-
tra da multiplicação.
27
• 2: primo.
• 3: primo.
• 4= 2 ·2: produto de primos.
• 5: primo.
• 6= 2 ·3: produto de primos.
• 7: primo.
• 8= 2 ·2 ·2: produto de primos.
• 9= 3 ·3: produto de primos.
• 10= 2 ·5: produto de primos.
Assim, qualquer inteiro entre 1 e 10 é primo ou pode ser
escrito como um produto de primos (exceto o 1, que não é
primo nem composto).
SOLUÇÃO 16
A equação x2 + y2 = 25 representa todos os pontos inteiros
(x, y) cujo quadrado das coordenadas soma 25. Testando x
e y inteiros com |x|, |y| ≤ 5:
x2 + y2 = 25.
As possibilidades para x2 são 0,1,4,9,16,25. Como x2+y2 =
25, os pares possíveis são:
x2 ∈ {0,1,4,9,16,25}, y2 = 25− x2.
Verificando caso a caso:
• x2 = 0 =⇒ y2 = 25 =⇒ y = ±5. Soluções: (0,5),
(0,−5).
• x2 = 1 =⇒ y2 = 24 (não há y inteiro com y2 = 24).
28
• x2 = 4 =⇒ y2 = 21 (não há y inteiro com y2 = 21).
• x2 = 9 =⇒ y2 = 16 =⇒ y = ±4. Soluções: (±3,4),
(±3,−4).
• x2 = 16 =⇒ y2 = 9 =⇒ y = ±3. Soluções: (±4,3),
(±4,−3).
• x2 = 25 =⇒ y2 = 0 =⇒ y= 0. Soluções: (5,0), (−5,0).
Portanto, as soluções inteiras são:
(0,5), (0,−5), (3,4), (3,−4), (−3,4), (−3,−4), (4,3), (4,−3), (−4,3),
(−4,−3), (5,0), (−5,0).
SOLUÇÃO 17
Sejam a ≤ b ≤ c lados inteiros de um triângulo com
a+ b+ c = 12. É necessário a+ b > c. Para enumerar as
possibilidades, comece com valores menores para a:
- Se a = 2, então b + c = 10 e b ≤ c. Testando pares que
formam um triângulo:
(2,5,5) =⇒ 2+5= 7> 5,
que gera um triângulo isósceles.
- Se a = 4, então b + c = 8 e b ≥ 4 para manter a ordem
a ≤ b ≤ c. Isto fornece:
(4,4,4) =⇒ 4+4= 8> 4,
que também é um triângulo isósceles (na verdade, equilá-
tero).
Portanto, existem triângulos com perímetro 12, lados intei-
ros e que são isósceles, como por exemplo (2,5,5) e (4,4,4).
29
7 Orientações para estudar matemática
Como saber se tenho boa base em matemática?
Como saber se consigo pilotar bem um jato? Ora, eu devo me tes-
tar com alguns conhecimentos teóricos sobre pilotagem e também
me testar voando e avaliando o desempenho do voo. Como saber
se sou um bom jogador de xadrez? Ora, eu devo resolver alguns
puzzles para avaliar minha capacidade de reconhecer bons mo-
vimentos e também jogar algumas partidas de xadrez para ver
como me saio na prática contra um adversário. No fim, faço a re-
visão da partida e revejo meus erros. Ou seja, a única forma de
saber se você tem uma boa base é resolvendo uma bateria de ques-
tões de matemática básica e avaliando o seu desempenho. Vendo
forças e fraquezas.
Existe forma certa de estudar matemática?
A resposta é que não. Cada um se identifica com uma aborda-
gem diferente para estudar e contanto que você passe a sentir
sua abordagem funcionando, estará no caminho certo. Porém, há
alguns princípios que é consenso para a maioria dos que estudam
matemática com sucesso, como: estudar por livros, anotar suas
ideias durante uma leitura, escrever definições e demonstrações
com suas próprias palavras e do seu jeito, analisar exemplos re-
solvidos e procurar por padrões, orientar o seu estudo à resolução
de exercícios e aprender com os seus erros. Se você seguir esses
princípios e adaptar a metodologia geral para algo que funcione
para você, no seu ritmo e rotina, tenho certeza que sua formação
será brilhante.
Matemática é difícil, o que fazer?
Com toda a humildade possível, você deve aceitar esse mundo
novo, que você vai ter que engatinhar para aprender, que haverá
dificuldade, que você vai ter que aprender o idioma abstrato da
matemática para sequer conseguir ler o que está nos livros... que
será um processo. Viva esse processo, enquanto o meio acadêmico
fizer sentido para você, porque ele está cheio disso. A dificuldade
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não é só sua, mas de todo mundo que estuda matemática. Sinta-
se acolhido pela comunidade e respeite o processo. Não tente se
livrar das dificuldades, mas aprender a conviver com elas e enten-
der que, depois de um tempo, o que era difícil vai se tornar mais
fácil e outros desafios virão.
Como saber se eu aprendi algo e avançar?
Vamos supor que você está estudando sobre polinômios. No pri-
meiro contato, você estuda e resolve questões a nível de vestibu-
lar. Será que isso vai ser suficiente para o que você vai precisar
de polinômios na faculdade? Provavelmente não. Daí você estuda
polinômios na faculdade e resolve questões a nível superior. Será
que isso vai ser suficiente para dar uma aula a nível superior
sobre polinômios? O mais provável é que não. O que você dedu-
zimos disso é que você precisa de um objetivo com aquele estudo,
um parâmetro para saber quando está bom. Estabelecendo o pa-
râmetro, você se testa por meio de questões e com um grau de
acerto você pode seguir em frente para outros assuntos. A hora
de avançar para um novo conteúdo é aquela em que o seu parâ-
metro de avanço foi atingido. A definição do parâmetro de avanço
depende do seu objetivo. Se for um vestibular, por exemplo, um
bom parâmetro de avanço é conseguir resolver uma série de ques-
tões anteriores daquele assunto no vestibular.
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	Demonstração Direta
	Demonstração por Contraposição
	Redução ao Absurdo
	Princípio da Indução Finita
	Demonstração por Exaustão
	Resolução para os exercícios
	Orientações para estudar matemática