Modelagem de Circuitos Amplificadores

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CONTROLE CONTÍNUO 
MODELAGEM DE CIRCUITOS COM AMPLIFICADORES 
OPERACIONAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Samuel Polato Ribas
 
 
MODELAGEM DE CIRCUITOS COM AMPLIFICADORES 
No material da rota da Aula 2 da disciplina de Controle Contínuo estudamos 
como obter o modelo matemático de sistemas mecânicos de translação e de 
rotação, sistemas elétricos, e sistemas eletromecânicos. Neste material será 
mostrado como obter o modelo matemático, ou seja, a função de transferência 
de circuitos com amplificadores operacionais. Obter esta função de transferência 
é importante porque em sistemas de controle analógicos os compensadores são 
implementados a partir de circuitos com amplificadores. Consequentemente, 
devemos conhecer a função de transferência deles, para ser possível estudar o 
comportamento deles, e também definir o valor dos componentes a serem 
utilizados para que o resultado seja o esperado. 
Inicialmente, vamos realizar uma análise dos amplificadores operacionais para 
sistemas de controle. Os amplificadores são circuitos eletrônicos utilizados para 
amplificar sinais provenientes de uma fonte que emite estes sinais. Em sistemas 
de controle, onde o objetivo em grande parte das aplicações consiste em realizar 
o controle de uma variável, o sinal a ser amplificado é proveniente do sensor que 
realiza a medição da variável a ser controlada. A Figura 1 apresenta o símbolo 
de um amplificador operacional. 
 
Figura 1 – Amplificador operacional 
A configuração da Figura 1 é chamada de diferencial, onde os valores de e1 e e2 
são medidos em relação a referência, portanto a entrada inversora tem tensão 
negativa em relação a referência e a entrada não-inversora tem tensão positiva 
em relação a referência. Portanto a saída eo é dada por 
𝑒𝑜(𝑡) = 𝐾(𝑒2(𝑡) − 𝑒1(𝑡)) = −𝐾(𝑒1(𝑡) − 𝑒2(𝑡)) (1) 
onde K é o ganho diferencial, para tensões contínua, tende ao infinito. Portanto, 
perceba que a tensão de saída é a diferença entre os sinais de entrada, 
multiplicada por um ganho. A medida que a frequência do sinal de entrada 
 
 
3 
aumenta, o ganho diferencial diminui até chegar ao valor de aproximadamente 1 
para frequências entre 1 MHz e 50 MHz. Como nesta situação o ganho do 
amplificador é muito elevado, ele necessita de uma realimentação negativa da 
saída para a entrada para a estabilização 
Considerando o amplificador como sendo ideal, a impedância de entrada é 
infinita, e a impedância de saída e zero, portanto a corrente de entrada é zero e 
a corrente de saída é infinita. Este modelo é o que será considerado para nossos 
cálculos. 
Em sistemas de controle é comum utilizarmos amplificadores para serem 
implementados ganhos dos compensadores, assim como os efeitos de atraso e 
avanço de fase, e efeitos da componente integral e derivativa. Como exemplo, 
considere o amplificador na configuração inversora como mostrado na Figura 2. 
 
Figura 2 – Amplificador inversor 
Na Figura 2, foi definida a tensão e’(t) na entrada inversora do amplificador. 
Neste circuito tem-se que a corrente i1(t) será dada por 
𝑖1(𝑡) =
𝑒𝑖(𝑡) − 𝑒′(𝑡)
𝑅1
 (2) 
e 
𝑖2(𝑡) =
𝑒′(𝑡) − 𝑒𝑜(𝑡)
𝑅2
 (3) 
Considerando um amplificador ideal, então a corrente da entrada inversora é 
igual a zero, dessa forma toda a corrente i1(t) vai passar pelo resistor R2, ou seja 
i1(t) é igual a i2(t) o que, de acordo com as equações (2) e (3), nos leva a 
 
 
4 
𝑒𝑖(𝑡) − 𝑒′(𝑡)
𝑅1
=
𝑒′(𝑡) − 𝑒𝑜(𝑡)
𝑅2
 (4) 
De acordo coma equação (1), a tensão de saída é a diferença entre a tensão da 
entrada não-inversora e a entrada inversora. Portanto aplicando a equação (1) 
ao circuito da Figura 2, o resultado é 
𝑒𝑜(𝑡) = 𝐾(0 − 𝑒
′(𝑡)) → 𝑒𝑜(𝑡) = −𝐾𝑒′(𝑡) (5) 
Se considerarmos um sinal contínuo na entrada, então K será um valor na faixa 
entre 105 e 106, portanto, 
𝑒′(𝑡) = −
𝑒𝑜(𝑡)
𝐾
= 0 (6) 
Sendo assim, a equação (4) fica 
𝑒𝑖(𝑡)
𝑅1
=
−𝑒𝑜(𝑡)
𝑅2
→
𝑒𝑜(𝑡)
𝑒𝑖(𝑡)
= −
𝑅2
𝑅1
 (7) 
Aplicando a transformada de Laplace à equação (7) resulta em 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑅2
𝑅1
 (8) 
que é a função de transferência do amplificador inversor. Esta configuração do 
inversor, caracteriza um compensador proporcional, que aplica um ganho 
definido pela relação R2/R1. O sinal negativo, significa que na prática o sinal de 
saída terá polaridade oposta ao sinal de entrada. 
Outro exemplo pode ser dado a partir do circuito da Figura 3. 
 
Figura 3 – Circuito de atraso de 1ª ordem 
 
 
5 
Para o circuito da Figura 3, tem-se que 
𝑖1(𝑡) = 𝑖2(𝑡) + 𝑖3(𝑡) (9) 
Fazendo a análise nodal à equação (9) resulta em 
𝑒𝑖(𝑡) − 𝑒′(𝑡)
𝑅1
=
𝑒′(𝑡) − 𝑒𝑜(𝑡)
𝑅2
+ 𝐶
𝑑(𝑒′(𝑡) − 𝑒𝑜(𝑡))
𝑑𝑡
 (10) 
Como e’(t) = 0, a equação (10) resulta em 
𝑒𝑖(𝑡)
𝑅1
= −
𝑒𝑜(𝑡)
𝑅2
− 𝐶
𝑑𝑒𝑜(𝑡)
𝑑𝑡
 (11) 
Aplicando a transformada de Laplace na equação (11) o resultado será 
𝐸𝑖(𝑠)
𝑅1
= −
𝐸𝑜(𝑠)
𝑅2
− 𝐶𝑠𝐸𝑜(𝑠) 
𝐸𝑖(𝑠)
𝑅1
= −
𝐸𝑜(𝑠)
𝑅2
−
𝑅2𝐶𝑠𝐸𝑜(𝑠)
𝑅2
 
 
𝐸𝑖(𝑠)
𝑅1
= [
−1 − 𝑅2𝐶
𝑅2
] 𝐸𝑜(𝑠) 
(12) 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸1(𝑠)
= −
𝑅2
𝑅1𝑅2𝐶𝑠 + 𝑅1
 
 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑅2
𝑅1
∙
1
𝑅2𝐶𝑠 + 1
 
 
Outra forma de obter a mesma função de transferência da equação (12), é tratar 
os componentes ligados as entradas e a saída do amplificador como 
impedâncias. Tratando os elementos como impedância, então o amplificador da 
Figura 3 fica conforme mostrado na Figura 4. 
 
 
6 
 
Figura 4 – Circuito com amplificador com representação por impedâncias 
Note que fazendo uma comparação direta com a Figura 3 chega-se à conclusão 
que a impedância Z1 é igual a resistência R1, e que a impedância Z2 é igual ao 
resultado da associação em paralelo da resistência R2 com o capacitor C. Assim, 
fazendo uso da transformada de Laplace, chega-se a 
𝑍1 = 𝑅1 (13) 
e 
𝑍2 =
𝑅2 ∙
1
𝐶𝑠
𝑅2 +
1
𝐶𝑠
=
𝑅2
𝐶𝑠
𝑅2𝐶𝑠 + 1
𝐶𝑠
=
𝑅2
𝑅2𝐶𝑠 + 1
 (14) 
Note que a corrente i1(t) é igual a corrente i2(t), já que a corrente da entrada do 
amplificador é nula, portanto, se aplicarmos a transformada de Laplace teremos 
𝐼1(𝑠) = 𝐼2(𝑠) 
𝐸𝑖(𝑠) − 𝐸′(𝑠)
𝑍1
=
𝐸′(𝑠) − 𝐸𝑜(𝑠)
𝑍2
 (15) 
𝐸𝑖(𝑠)
𝑍1
=
−𝐸𝑜(𝑠)
𝑍2
 
 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑍2
𝑍1
 
 
Substituindo as equações (13) e (14) no resultado da equação (15) tem-se que 
 
 
7 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑅2
𝑅2𝐶𝑠 + 1
𝑅1
= −
𝑅2
𝑅1
∙
1
𝑅2𝐶𝑠 + 1
 (16) 
Percebam que o sinal de saída do amplificador possui polaridade inversa em 
relação ao sinal de entrada. Se quisermos manter a mesma polaridade do sinal 
de entrada, é possível colocar o amplificador modelado em série com o 
amplificador da Figura 2, que inverterá novamente a polaridade do sinal de 
entrada. Tomando como exemplo o amplificador da Figura 3, quando colocado 
em série com o amplificador da Figura 2 o resultado será o circuito da Figura 5. 
 
Figura 5 – Circuito com amplificadores ligados em série 
Na Figura 5, sabemos que a função de transferência de E(s) para Ei(s) é dada 
por 
𝐸(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= −
𝑅2
𝑅1
∙
1
𝑅2𝐶𝑠 + 1
 (17) 
Sabemos também que a função de transferência de Eo(s) para E(s) é dada por 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸(𝑠)
= −
𝑅4
𝑅3
 (18) 
Como os dois amplificadores estão ligados em série, e conhecemos as funções 
de transferência, é possível representá-los por meio de diagramas de blocos, 
conforme mostrado na Figura 6. 
 
Figura 6 – Amplificadores representados por diagrama de blocos 
 
 
8 
Blocos em série devem ser multiplicados, portanto 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
= (−
𝑅2
𝑅1
∙
1
𝑅2𝐶𝑠 + 1
) ∙ (−
𝑅4
𝑅3
) 
𝐸𝑜(𝑠)
𝐸𝑖(𝑠)
=
𝑅4
𝑅3
∙
𝑅2
𝑅1
∙
1
𝑅2𝐶𝑠 + 1
 
(18) 
Se for desejado que o segundo amplificador apenas inverta o sinal da entrada 
sem nenhum ganho, basta fazer R3 igual a R4. 
REFERÊNCIAS 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno, 5ª. ed. São Paulo: Pearson, 2010.