Aula 2

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CONTROLE CONTÍNUO 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Samuel Polato Ribas 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
A aplicação e a capacidade de projetar e analisar sistemas de controle é 
evidentemente cada vez mais requisitada. A escassez de profissionais capazes 
de compreender corretamente uma planta ou um processo em malha aberta e 
principalmente em malha fechada é visível e sentida nos mais diversos campos 
da indústria. 
Muito dessa escassez se deve ao fato de grande parte desses 
profissionais não conhecerem e não saberem como obter a função de 
transferência do processo ou da planta que deve ser controlada. 
Levando esses fatos em consideração, esta aula tem como principal 
objetivo apresentar a modelagem matemática de alguns sistemas físicos para 
que o estudante possa aplicar esse conhecimento a plantas e processos de 
diferentes áreas. 
CONTEXTUALIZANDO 
A modelagem matemática é uma ferramenta fundamental para o projeto 
de sistemas de controle. Sua importância é tal que alguns sistemas se tornam 
quase impossíveis de serem controlados caso não se tenha o conhecimento de 
sua função de transferência. 
Além disso, ao conhecer a função de transferência é possível realizar um 
projeto mais preciso de controladores e determinar qual será o comportamento 
da planta frente ao controlador projetado. Mais ainda, é possível verificar qual é 
o controlador mais adequado para a aplicação em função da resposta que se 
deseja que a planta ou processo possua. 
PROBLEMATIZANDO 
Para que a modelagem matemática de sistemas físicos possa ser 
realizada devem ser conhecidas as leis e equações que descrevem o 
comportamento dinâmico do sistema. 
Esse é um os motivos que leva à não obtenção de algumas funções de 
transferência. Há sistemas cuja modelagem pode se tornar complexa a ponto de 
serem necessários recursos computacionais para obtê-las. Porém, com as 
ferramentas disponíveis atualmente, isso não deve ser um problema. 
 
 
3 
Entretanto, independentemente de se tratar de um sistema complexo ou 
não, é indispensável que o profissional da área de controle seja capaz de obter 
as equações básicas que descrevem o comportamento da planta a ser 
controlada. Com esse objetivo, esta aula abordará alguns exemplos de como 
obter a função de transferência matematicamente. 
PESQUISE 
Pesquise sobre formas de obter a função de transferência de plantas 
experimentalmente. Uma das possibilidades é a modelagem matemática. 
Pesquise sobre as demais. 
TEMA 1 – MODELAGEM DE SISTEMAS 
A modelagem matemática de sistemas físicos é indispensável para o 
projeto e a análise de sistemas de controle. 
Para obter o modelo dinâmico de uma planta ou processo, utilizam-se 
equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema. Após a 
obtenção das equações diferenciais, elas devem ser submetidas a aplicação da 
transformada de Laplace, para então obter-se a função de transferência. 
Vale ressaltar que quando se trata de um sistema físico não linear, deve-
se utilizar alguma técnica de linearização para as equações diferenciais. 
Após obtidas as equações diferenciais, trabalhadas matematicamente, e 
submetidas à transformada de Laplace, obtém-se a função de transferência que 
é a relação entre dois sinais – normalmente é a relação entrada-saída. Em outras 
palavras, a partir da função de transferência é possível obter a saída do sistema 
em função do sinal de entrada. Assim é possível estudar qual será o seu 
comportamento frente a possíveis sinais de entrada. 
Isso é muito importante para o projeto de sistemas de controle, pois sem 
a modelagem matemática não é possível “prever” como será o comportamento 
da planta. 
Outra vantagem da obtenção da função de transferência da planta é que 
com ela é possível criar um diagrama de blocos com todas as funções de 
transferência que compõem um sistema em malha aberta ou em malha fechada. 
Com isso em mãos, é simples e prático analisar o sistema, além de obter 
resultados que irão condizer com o sistema real. 
 
 
4 
De forma geral, para se obter o modelo matemático de sistemas físicos, 
os seguintes objetivos devem ser satisfeitos: 
 reconhecimento das equações diferenciais que descrevem o 
comportamento do sistema físico; 
 entendimento da aplicação da transformada de Laplace e sua função na 
obtenção de funções de transferência; 
 conhecimento de diagrama de blocos e métodos de simplificação; 
 compreensão da importância da modelagem para sistemas de controle. 
Já o processo para obtenção do modelo matemático de sistemas físicos 
pode ser descrito pelas seguintes etapas: 
 formulação do modelo matemático; 
 obtenção das equações diferenciais que representam o modelo 
matemático; 
 resolução das equações para a variável de saída; 
 verificação do resultado e das condições iniciais estabelecidas; 
 caso seja necessário, análise ou projeto do sistema novamente. 
Como mencionado anteriormente, pode haver situações em que a planta 
se torna muito complexa, tornando inviável a obtenção analítica do modelo 
matemático. Nesses caso, é aconselhável a obtenção experimental da função 
de transferência. Uma das ferramentas disponíveis para isso é o System 
Identification, da National Instruments. Trata-se de um módulo do software 
LabVIEW que utiliza algoritmos de identificação para a obtenção do modelo da 
planta. 
Normalmente os algoritmos de identificação de parâmetros utilizam 
complexos sistemas de identificação que medem todas as variáveis que podem 
alterar o comportamento do sistema, e também medem qual o comportamento 
da saída para todas as variáveis que alteram o sistema. 
Esses dados são então processados, e é possível obter a função de 
transferência com alta precisão, contendo todos os polos e zeros do sistema. 
TEMA 2 – SISTEMAS MECÂNICOS DE TRANSLAÇÃO 
Os sistemas mecânicos de translação compreendem sistemas compostos 
por elementos de inércia, amortecedores e molas. 
 
 
5 
Cada um desses elementos possui uma equação característica, 
diferencial ou não, que descreve o seu comportamento dinâmico. Essas 
equações são definidas pela 2ª Lei de Newton. 
Antes de iniciar o equacionamento de um sistema mecânico de 
translação, é necessário conhecer a função que descreve o comportamento 
dinâmico dos seus elementos. 
2.1 Elementos de inércia (massa) 
Uma massa, que representa um elemento de inércia, é apresentada na 
Figura 1. 
Figura 1 – Elemento de inércia de um sistema mecânico de translação 
 
Na Figura 1, o elemento de massa m possui uma extremidade fixada, e 
na outra extremidade é aplicada uma forma f(t), ocasionando um deslocamento 
x(t) da massa. De acordo com a 2ª Lei de Newton, sabe-se que a força é o 
produto da massa pela aceleração, portanto 
   
   
2
2
dt
tdx
m
dt
tdv
mtamtf  (1) 
2.2 Elemento de amortecimento 
Nesse elemento pode existir um deslocamento relativo entre o ponto de 
conexão superior e o inferior. Portanto, existe a necessidade de utilizar duas 
variáveis (dois graus de liberdade), conforme mostrado na Figura 2: 
Figura 2 – Elemento de amortecimento de um sistema mecânico de translação 
 
 
6 
 
Na Figura 2, B representa o elemento de amortecimento, f(t) a força 
aplicada, e x1(t) e x2(t) representam os deslocamentos. Nesse caso, o 
equacionamento fica 
      
   







dt
tdx
dt
tdx
BtvtvBtf 2121 (2) 
Caso uma das extremidades estivesse fixa em uma superfície, como no 
caso da Figura 1, então a equação do elemento de amortecimento seria 
   
 
dt
tdx
BtvBtf  (3) 
2.3 Elemento de elasticidade 
O elemento de elasticidade consiste basicamente de uma mola. Assim 
como o elemento amortecedor, pode haver a necessidade de se utilizar duas 
variáveis para o deslocamento, conforme mostrado na Figura 3: 
Figura 3 – Elemento de elasticidade de um sistema mecânico de translação 
 
Na Figura 3, k representaa constante elástica da mola, f(t) a força 
aplicada, e x1(t) e x2(t) representam os deslocamentos. Nesse caso, o 
equacionamento fica 
 
 
7 
      txtxBtf 21  (4) 
Assim como no caso do elemento de amortecimento, caso uma das 
extremidades da mola estivesse presa a uma superfície, o equacionamento seria 
   txktf  (5) 
Como exemplo de obtenção da modelagem matemática de sistemas 
mecânicos de translação e obtenção da função de transferência, considere o 
exemplo mostrado na Figura 4: 
Figura 4 – Exemplo de sistema mecânico de translação 
 
Aplicando o somatório de forças ao sistema da Figura 4, tem-se que 
 
   
 txk
dt
tdx
B
dt
txd
mtf 
2
2
 (6) 
Perceba que uma das extremidades do elemento amortecedor e o 
elemento elástico são fixos. Portanto, não há a necessidade de considerar dois 
deslocamentos. 
Aplicando a transformada de Laplace à equação (6), tem-se 
               sXkxssXBxsxsXsmsF  00'02 (7) 
Considerando o sistema no instante inicial em repouso, ou seja, em t = 0, 
não há deslocamento, portanto x(0) = 0 e x’(0) = 0 resulta em 
       skXsBsXsXmssF  2 (8) 
 
 
8 
Considerando a força F(s) aplicada como sendo o sinal de entrada e o 
deslocamento X(s) como sendo o sinal de saída, a função de transferência desse 
sistema pode ser obtida fazendo 
    kBsmssXsF  2 (9) 
e, finalmente, 
 
  kBsmssF
sX


2
1
 (10) 
Esse é um sistema bastante simples de ser modelado. Entretanto, os 
sistemas mecânicos podem se tornar mais complexos à medida que o número 
de elementos aumenta, e também a partir do momento em que os elementos 
amortecedor e elástico não são conectados a superfícies fixas. 
TEMA 3 – SISTEMAS MECÂNICOS DE ROTAÇÃO 
Os sistemas mecânicos de rotação são basicamente iguais aos sistemas 
mecânicos de translação. A diferença básica é que nos sistemas de translação 
há um movimento e deslocamento lineares. Nos sistemas de rotação, o 
movimento e o deslocamento serão angulares. 
Os elementos são os mesmos vistos no Tema 2 e seu equacionamento é 
visto a seguir. 
3.1 Elemento de inércia 
O elemento de inércia de um sistema de rotação é mostrado na Figura 5. 
Figura 5 – Elemento de inércia de um sistema mecânico de rotação 
 
 
 
9 
Na Figura 5, J é um elemento que possui uma inércia a ser superada para 
que o sistema entre em movimento girante, T(t) é o torque rotacional aplicado e 
θ(t) é o deslocamento angular resultante da aplicação do torque. 
Matematicamente, a equação do elemento da Figura 5 fica 
   
   
2
2
dt
td
J
dt
td
JtJtT

  (11) 
em que α(t) é a aceleração angular e ω(t) a velocidade angular. 
3.2 Elemento de amortecimento 
Para o elemento de amortecimento, a aplicação de um torque rotacional 
T(t) pode ocasionar dois deslocamentos angulares relativos, θ1(t) e θ2(t), 
conforme mostrado na Figura 6. 
Figura 6 – Elemento de amortecimento de um sistema mecânico de rotação 
 
Nesse caso, o equacionamento fica 
      
   







dt
td
dt
td
DttDtT 2121

 (12) 
em que D é o coeficiente de atrito viscoso. Caso exista apenas um deslocamento 
angular, a equação (12) seria escrita na forma 
   
 
dt
td
BtBtT

  (13) 
 
 
 
 
10 
3.3 Elemento de elasticidade 
O elemento de elasticidade de um sistema mecânico de rotação 
submetido à aplicação de um torque e com dois deslocamentos angulares é 
mostrado na Figura 7. 
Figura 7 – Elemento de elasticidade de um sistema mecânico de rotação 
 
Considerando os dois deslocamentos angulares, o equacionamento será 
      ttktT 21   (14) 
Caso haja apenas um deslocamento, então o equacionamento fica 
   tktT  (15) 
Como exemplo de aplicação da modelagem matemática aplicada a 
sistemas mecânicos de rotação, considere o sistema mostrado na Figura 8. 
Figura 8 – Exemplo de sistema mecânico de rotação 
 
Aplicando a equação característica de cada um dos elementos ao sistema 
da Figura 8 e realizando o somatório dos torques, chega-se a 
   tJtT  (16) 
A equação (16) significa que o torque necessário para igualar o torque da 
massa inercial é igual ao torque T(t) aplicado menos o torque do elemento de 
amortecimento viscoso, menos o torque do elemento elástico. 
 
 
11 
O torque do elemento de amortecimento viscoso e o da mola se opõem 
ao torque rotacional aplicado T(t). A soma dos três torques deve ser igual ao 
torque da massa inercial. Assim encontra-se o equilíbrio do sistema, e é possível 
obter a equação dinâmica e consequentemente a função de transferência do 
sistema. 
Assim, da equação (16) tem-se 
 
 
 
 
 
   
 tk
dt
td
D
dt
td
JtT
dt
td
Jtk
dt
td
DtT







2
2
2
2
 (17) 
Aplicando a transformada de Laplace à equação (17) e considerando as 
condições iniciais de deslocamento angular nulas, tem-se 
      kssDssJssT  2 (18) 
Considerando que o torque T(s) é o sinal de entrada e o deslocamento 
angular θ(s) é o deslocamento angular, a função de transferência fica na forma 
 
  kDsJssT
s


2
1
 (19) 
TEMA 4 – SISTEMAS ELÉTRICOS 
A modelagem matemática de sistemas elétricos tem como objetivo obter 
uma função de transferência que descreva o comportamento dinâmico de um 
circuito elétrico. 
As equações básicas de um circuito podem ser obtidas por meio das leis 
de Ohm e de Kirchhoff. Com base nessas leis são obtidas as equações que 
descrevem o circuito. A partir delas define-se uma variável como sinal de entrada 
e outra como sinal de saída. As variáveis que definem a entrada e a saída são 
tensões ou correntes dos elementos dos circuitos. 
Entretanto, antes de apresentar o exemplo de uma modelagem de um 
sistema elétrico, é necessário conhecer o comportamento da tensão e da 
corrente nos três elementos básicos de um circuito, que são o resistor, o indutor 
e o capacitor. 
 
 
12 
4.1 Resistor 
O resistor é um elemento que tem como função limitar a passagem de 
corrente elétrica, dissipando a energia na forma de calor. Na Figura 9 é 
apresentado o símbolo do resistor, com uma corrente elétrica, iR(t), passando 
por ele, gerando uma tensão vR(t). 
Figura 9 – Símbolo de resistência elétrica 
 
A tensão sobre o resistor, vR(t), pode ser calculada diretamente pela Lei 
de Ohm, fazendo 
   tiRtv RR  (20) 
E, consequentemente 
 
 
R
tv
ti RR  (21) 
4.2 Capacitor 
O capacitor é um elemento armazenador de energia, que tem essa 
capacidade influenciada pelo valor da sua capacitância, aqui representa por C. 
Quando uma corrente elétrica passa por ele, vai resultar no aparecimento de 
uma diferença de potencial entre seus terminais, conforme mostrado na Figura 
10. 
Figura 10 – Símbolo de um capacitor 
 
A corrente no capacitor, iC(t), é dada pela variação da tensão sobre ele, 
vC(t), multiplicada pela capacitância, C. Portanto, pode ser escrita como sendo 
 
 
13 
 
 
dt
tdv
Cti CC  (22) 
E, consequentemente, da equação (22) vem 
 
 

t
C
C dt
C
ti
tv
0
 (23) 
4.3 Indutor 
Assim como o capacitor, o indutor é um elemento armazenador de 
energia. Entretanto, a capacidade de armazenamento está relacionada ao valor 
de sua indutância, aqui representada pela letra L. Uma representação do símbolo 
de um indutor, juntamente com sua tensão, vL(t), e sua corrente, iL(t), é mostrada 
na Figura 11. 
Figura 11 – Símbolo de um indutor 
 
A tensão sobre o indutor, vL(t), pode ser calculada multiplicando a 
indutância, L, pera variação da corrente que passa por ele. Matematicamente, 
 
 
dt
tdi
Ltv LL  (24) 
E, consequentemente, da equação (24) obtém-se 
 
 
dt
L
tv
ti
t
L
L  0 (25) 
Com base nas equações características dos três elementos (resistor, 
capacitor e indutor), as equações dinâmicas do circuito obtidas pela Lei de 
Kirchhoff são submetidas à transformadade Laplace e posteriormente 
manipuladas matematicamente para se obter a função de transferência que 
descreve o comportamento do circuito. 
Como exemplo de modelagem aplicada a circuitos elétricos, considere o 
circuito RLC da Figura 12. 
 
 
14 
Figura 12 – Circuito RLC série 
 
No circuito da Figura 12, será considerado que o sinal de entrada é a 
tensão vi(t), e o sinal de saída é a tensão sobre o capacitor, vo(t). Do ponto de 
vista de controle, a interpretação é qual será o comportamento da tensão vo(t) 
em função do sinal de entrada vi(t). 
Ainda, considera-se que o sentido da corrente elétrica é convencional e 
que o terminal de elemento em que a corrente entra é positivo. 
Com base nas considerações feitas, ao aplicarmos a Lei de Kirchhoff das 
malhas ao circuito da Figura 12 tem-se 
       tvtvtvtv CRLi  (26) 
em que vL(t), vR(t) e vC(t) são as tensões sobre o indutor, resistor e capacitor 
respectivamente. 
Substituindo as equações (20), (23) e (25) na equação (26), tem-se que 
 
 
 
 
dt
C
ti
tiR
dt
tdi
Ltv
t
i  0 (27) 
Aplicando a transformada de Laplace à equação (27) e considerando as 
condições iniciais nulas, tem-se que 
     
 
Cs
sI
sRIsLsIsVi  (28) 
Note que na equação (28) não aparece o sinal Vo(s), que é a saída do 
circuito. Portanto, é necessário obter uma segunda equação para seja possível 
escrever a função de transferência desejada. 
Analisando o circuito da Figura 12, nota-se que a tensão vo(t) é a tensão 
sobre o capacitor, portanto vC(t) = vo(t), que nos leva a 
   
 

t
OC
C
ti
tvtv
0
 
(29) 
15 
Aplicando a transformada de Laplace à equação (29) tem-se 
 
 
Cs
sI
sVO  (30) 
e portanto 
   sCsVsI O (31) 
Agora, substituindo a equação (31) na equação (28) tem-se 
     
 
Cs
sCsV
sRCsVsLsCsVsV OOOi 
       sVsRCsVsVLCssV OOOi 
2
   sVsV Oi
2
[LCs +RCs +1]
(32) 
Agora, na equação (32), basta obter a função de transferência da entrada, 
Vi(s), para a saída, VO(s), fazendo 
 
  1
1
2
0


RCsLCssV
sV
i
(33) 
Finalmente, pode-se afirmar que a função de transferência do circuito da 
Figura 12, sendo Vi(s) o sinal de entrada e VO(s) o sinal de saída, é dada pela 
equação (33). 
É valido ressaltar que um mesmo circuito pode ter mais de uma função de 
transferência. Depende de qual sinal é a entrada e qual sinal será a saída. 
Por exemplo, no mesmo circuito da Figura 12, suponha que o sinal V i(s) 
é a entrada e o sinal I(s) é a saída, ou seja, deseja-se saber qual é o 
comportamento da corrente em função da tensão de entrada. Nesse caso, 
bastaria obter a equação (28) e a partir dela obter a função de transferência, 
fazendo 
   sI
Cs
RLssVi 






1
 
  12 

RCsLCs
Cs
sV
sI
i
(34)
 
 
16 
Assim, a equação (34) representa a função de transferência da corrente 
I(s) em função da entrada Vi(s). 
TEMA 5 – SISTEMAS ELETROMECÂNICOS 
Os sistemas eletromecânicos são bastante comuns em engenharia 
elétrica. Como exemplo mais, podemos citar o motor de indução. 
O motor de indução é um dispositivo que converte energia elétrica em 
energia mecânica, caracterizando um dispositivo eletromecânico. Além dele, 
podemos citar ainda geradores, máquinas de corrente contínua, servomotores, 
motores de passo e motores de relutância variável. 
Além disso, a evolução da eletrônica disponibiliza ferramentas que 
possibilitam o controle cada vez mais preciso dessas máquinas. Além do mais, 
muitos processos industriais exigem precisão e rapidez na execução de 
processos. 
O controle preciso e rápido desses dispositivos só é possível com 
sistemas de controle bem projetados e bem executados. A melhor maneira de 
conseguir isso é conhecendo o modelo matemático, ou seja, a função de 
transferência do dispositivo que se deseja controlar. 
Como exemplo, a partir deste ponto será realizada a modelagem 
matemática de um gerador de corrente contínua operando com excitação 
independente. Essa máquina foi escolhida devido à sua simplicidade e também 
porque suas equações matemáticas não são de alta complexidade. 
Para iniciar a análise, a Figura 13 apresenta o circuito de ligação do 
gerador de corrente contínua com excitação independente. 
Figura 13 – Circuito equivalente do gerador de corrente contínua com excitação 
independente 
 
Na Figura 13, vF(t) é a tensão do enrolamento de campo, RF e LF são a 
resistência e a indutância do enrolamento de campo, respectivamente, ɸ é o fluxo 
 
 
17 
magnético, eg(t) é a tensão induzida na armadura, RA e LA são a resistência e a 
indutância do enrolamento de armadura, respectivamente, vA(t) é a tensão sobre 
a carga nos terminais da armadura, ZL, e as cargas e iF(t) e iA(t) são as correntes 
de campo e de armadura, respectivamente. 
O objetivo aqui é construir o diagrama de blocos e encontrar a função de 
transferência tendo como sinal de entrada a tensão do enrolamento de campo, 
VF(s), e como sinal de saída a tensão sobre a carga, VA(s). 
Para isso serão utilizadas as equações obtidas pelas Leis de Kirchhoff e 
as equações de máquinas elétricas que regem o comportamento do gerador de 
corrente contínua. 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas no circuito de campo e no circuito 
de armadura, tem-se, respectivamente, 
   
 
dt
tdi
LtiRtv FFFFF  (35) 
e 
   
 
 tv
dt
tdi
LtiRte A
A
AAAg  (36) 
Aplicando a transformada de Laplace às equações (35) e (36), o resultado 
é 
         sIsLRssILsIRsV FFFFFFF  (37) 
e 
       sVssILsIRsE AAAAAg  (38) 
Sabe-se ainda que a tensão induzida, eg(t), pode ser escrita como 
   
 
dt
td
tkteg

  (39) 
em que k é uma constante construtiva da máquina e dθ(t)/d(t) é a velocidade 
angular da máquina. 
Sabe-se ainda que o fluxo magnético ɸ é diretamente proporcional à 
corrente de campo iF(t), portanto pode-se escrever que 
 
 
18 
   tikt FF  (40) 
em que kF representa uma constante de proporcionalidade. 
Substituindo a equação (40) na equação (39) e considerando que a 
velocidade angular é constante, tem-se 
   
 
 tik
dt
td
tikkte FGFFg 

 (41) 
sendo kG igual ao produto das três constantes da equação (k, kF e dθ(t)/d(t)). 
Aplicando a transformada de Laplace à equação (41), tem-se 
   sIksE FGg  (42) 
Olhando agora para o circuito de armadura, é possível perceber que 
   tiZtv ALA  (43) 
Que, quando submetida à transformada de Laplace, fica 
   sIZsV ALA  (44) 
Substituindo a equação (44) na equação (38), tem-se 
       sIZssILsIRsE ALAAAAg  (45) 
Por fim, isolando as correntes IF(s) e IA(s) nas equações (37) e (45), tem-
se 
 
 
sLR
sV
sI
FF
F
F


 
 
 
sLZR
sE
sI
ALA
g
A

 
(46) 
Agora, com base nas equações (42) e (46), é possível obter o diagrama 
de blocos da Figura 14. 
Figura 14 – Diagrama de blocos do gerador de corrente contínua 
 
 
19 
 
Finalmente, associando os blocos da Figura 14 obtém-se a função de 
transferência 
 
    sLZRsLR
Zk
sV
sV
ALAFF
LG
F
A


 
(47) 
A função de transferência da equação (47) fornece a relação entre a 
tensão do circuito de campo e a tensão terminal da armadura. 
NA PRÁTICA 
Busque exemplos de modelagem matemática de plantas e sistemas 
diferentes dos estudados nesta aula. Por exemplo, modelagem de sistemas com 
engrenagens, sistemas térmicos, entre outros. 
FINALIZANDO 
É inegável que o conhecimento da planta para a otimização de sistemas 
de controle é algo que contribui bastante. Mas para que seja possível obter o 
modelo matemático, é indispensável o conhecimento de como funciona a 
dinâmica da planta em questão. Portanto, fica evidente que para o estudo dos 
sistemas de controle é fundamental o conhecimento multidisciplinar, envolvendo 
diferentes áreas da engenharia, como mecânica, elétrica e máquinaselétricas, 
por exemplo. 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2009. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 
2010.