Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA Lista 5 – Derivadas Impl´ıcitas e L’Hoˆpital 1. Considere a func¸a˜o f(x) = ln(x2 + 1) definida nos reais. Deˆ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto x = 0. 2. Considere a func¸a˜o f(x) = x8 + 3 x2 + 1 cos4(x) definida nos reais. Deˆ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto x = 0. 3. Considere a func¸a˜o y = f(x) definida implicitamente por cos(x+ y) = xy, encontre a derivada dy dx . 4. Em cada item fac¸a o que se pede. a) Encontre dy dx por derivac¸a˜o impl´ıcita para a curva xy + cos y = x3 + y. b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + e2x em (0, f(0)). c) Determine lim x→0 ( 1 + 5x ) −3/x . 5. Considere a equac¸a˜o cos (3x+ y) = y2 sen x, que define implicitamente y como func¸a˜o de x, e o ponto P = ( 0, pi 2 ) . a) Mostre que P satisfaz a equac¸a˜o dada. b) Determine dy dx no ponto P . 6. Considere a curva C de equac¸a˜o ln (y2 − 8) = x3y − 3, que define implicitamente y como func¸a˜o de x. Considere tambe´m o ponto P = (1, 3) . a) Mostre que P e´ um ponto da curva C. b) Determine dy dx , em termos de x e y. c) Obtenha uma equac¸a˜o para a reta tangente a` curva C no ponto P. 7. Em cada item fac¸a o que se pede. a) Encontre dy dx por derivac¸a˜o impl´ıcita para a curva xy + y2 = arctan(x3). b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + ln(ex) em (1, f(1)). c) Determine lim x→0 ( cos(x) )2/x . 8. Calcule os limites abaixo, utilizando, sempre que necessa´rio, a regra de L’Hoˆpital. a) lim x→0 x3 1− cos(x) b) lim x→0 (1 + sen (x))3/x c) lim x→0 ex − 1 sen (x) d) lim x→0+ ( tan(x) )x/2 e) lim x→0 ( ex + x )4/x . f) lim x→0 (1 + sen(x)) 1 3x 9. A func¸a˜o g(x) = ln (x4 + 1) x possui ass´ıntotas horizontais? Quais? 10. Seja f(x) = 20 ( x− 1 ex ) . Verifique se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais. Em caso afirmativo, determine a equac¸a˜o de cada uma delas. 11. Seja f(x) = x3 e (−x/2) , x ∈ R.Determine se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais. Em caso afirmativo, determine sua(s) equac¸a˜o(o˜es). 12. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 ln x. Calcule lim x→0+ f(x) 13. Considere a func¸a˜o f(x) = (lnx)3 x . Calcule lim x→∞ f(x). 14. Considere a func¸a˜o real f(x) = (pi/2− arctanx) (5x+ 3). Utilize os limites lim x→−∞ f(x) e lim x→+∞ f(x) para determinar as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f(x), se existirem. 15. A reta de equac¸a˜o x = 3 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o f(x) = ln (x3 − 3x2 − x+ 4) x2 − 9 ? 16. Calcule o limite abaixo lim x→0 x3 ln(x+ 4). A reta x = 0 e´ uma ass´ıntota vertical? E x = −4?
Compartilhar