AD2-MD2-2024-1-GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
1o Semestre de 2024
Gabarito da Avaliação a Distância 2 - AD2
Questão 1 [2, 5pts] Responda as seguintes questões a respeito da função f(x) = 1+x
1−x
(a)[0, 5pt] Determine o doḿınio de f ;
(b)[1, 0pt] Calcule os limites lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x) e discuta sobre as assintotas horizontais da
função;
(c)[0, 5pt] Faça um estudo de sinais de f ′ e apresente a expressão de f ′(x);
(d)[0, 5pt] Faça um estudo de sinais de f ′′ e apresente a expressão de f ′′(x).
Solução: (a) Como é uma função racional o denominador não pode se anular. Logo,
1 − x ̸= 0 ⇔ x ̸= 1.
Portanto, D(f) = {x ∈ R : x ̸= 1}.
(b) Calculando os limites:
lim
x→+∞
x + 1
1 − x
= lim
x→+∞
x
x
(1 + 1/x)
(1/x − 1) = −1.
E também
lim
x→−∞
x + 1
1 − x
= lim
x→−∞
x
x
(1 + 1/x)
(1/x − 1) = −1.
Temos que f(x) se aproxima de −1 quando x → +∞ e o mesmo ocorrendo quando x → −∞.
Portanto, y = −1 é uma asśıntota horizontal ao gráfico de f.
(c) Derivando
f ′(x) = 1(1 − x) − (−1)(x + 1)
(1 − x)2 = 2
(1 − x)2
Como f ′(x) = 2
(1−x)2 , então o sinal de f ′ é determinado pelo numerador 2, pois (1 − x)2 > 0 para
todo x ∈ D(f), portanto, f ′(x) > 0 para todo x ∈ D(f).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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(d) Derivando
f ′′(x) = 0(1 − x)2 − (2)2(1 − x)(−1)
(1 − x)4
= 4(1 − x)
(1 − x)4
= 4
(1 − x)3
Vemos que o sinal de f ′′ é determinado pelo termo (1 − x)3 do denominador. Dessa forma, basta
analisar o sinal da expressão 1 − x. Dáı podemos concluir que f ′′(x) > 0 se x 1.
Questão 2 [2, 5pts] Sabendo que a definição da derivada é f ′(x) = limh→0
f(x+h)−f(x)
h . Calcule
a derivada de f(x) = x2 − 1.
Solução: Aplicando
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − 1 − (x2 − 1)
h
= lim
h→0
x2 + 2xh + h2 − 1 − (x2 − 1)
h
= lim
h→0
2xh + h2
h
= lim
h→0
2x + h
= 2x
Questão 3: [2, 5pts] Se l(x) for o lucro total quando há x reais investidos em uma empresa,
então o lucro médio por real investido é dado por:
L(x) = l(x)
x
.
a)[1, 0pt] Se o retorno médio por real investido de um investimento seguro chamado TD está em
1, 1, determine por que vale mais a pena aumentar o investimento na empresa do que em TD
quando L′(x) > 1, 1.
b)[1, 5pts] Considerando que l(100) = 105, l′(100) = 1, 06 e que até agora foram investidos 100
reais na empresa, se existe uma disponibilidade de mais 1 real, determine se vale mais a pena investir
esse dinheiro na empresa ou em investir em TD.
Solução: a) Se investimos x e aumentarmos um pouco o investimento em h reais, ou seja,
passamos de x reais investidos para x + h reais, teremos um lucro sobre h de aproximadamente
hL′(x) ao investir na empresa, mas de h.1, 1 ao investir em TD. Portanto, se L′(x) > 1, 1, vale
mais a pena investir na empresa.
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b) Derivando obtemos
L′(x) = xl′(x) − l(x)
x2 = 100.1, 06 − 105
1002 = 1
10000 = 0, 0001
Como L′(100)