05 Probabilidade

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Unijorge 
Disciplina: Estatística Aplicada 
Professor: Jonatas SES 
2015.1 
Embora os jogos de azar fossem conhecidos desde 
3500 a.c. pelos egípcios, somente no sec. XVII iniciou-
se oficialmente os estudos de probabilidade com base 
nesses jogos . 
Apesar de não ser possível precisar a origem da 
probabilidade, desconfia-se que em algumas 
civilizações antigas, já se estudava a existência de 
regularidade em fenômenos aleatórios. 
 
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O Cálculo das Probabilidades se desenvolveu, a partir do 
século XVII, de forma independente, porém, paralela ao 
desenvolvimento da Estatística como disciplina científica. 
Em 1651, Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-
1665) estabeleceram os Princípios do Cálculo das Probabilidades 
a fim de solucionar os problemas de jogos de azar proposto por 
um amigo apaixonado por jogos, o Chevalier De Meré. 
 
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Diversos matemáticos foram interessando-se pelo estudo de 
Probabilidade e com isso grandes resultados surgiram. 
O matemático Laplace (1749-1827) incorporou os estudos que 
vinham sendo desenvolvidos em probabilidade no “Tratado 
analítico das probabilidades”, desenvolvendo a definição 
clássica de probabilidade 
 
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o Cálculo das Probabilidades e a Estatística, que vinham 
sendo desenvolvidas separadamente, incorporam-se de 
tal forma que hoje a Teoria das Probabilidades é uma das 
bases da Estatística. 
Com o Cálculo das Probabilidades, a Estatística pôde ser 
impulsionada teoricamente e chegar ao extraordinário 
desenvolvimento e aperfeiçoamento alcançado. 
 
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Além das aplicações formais de probabilidade, o conceito 
de probabilidade está no nosso dia-a-dia em frases como: 
 Provavelmente vai chover amanhã. 
 É provável que o avião atrase. 
 Há boas chances de eu comparecer a aula amanhã. 
Essas expressões estão baseadas na probabilidade de que 
certo evento ocorra 
 
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Determinísticos: Ocorrem quando, dadas as condições de 
experimentação, pode-se determinar ou predizer, com certeza, o 
resultado final do experimento. 
Os modelos matemáticos consistem em uma simplificação da 
realidade. São uma idealização das características do 
fenômeno observado. Eles podem ser: 
Exemplo: Formulações matemáticas e 
físicas para comprovação de teorias, como 
a lei da queda e movimentos dos corpos. 
 
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Não – Determinísticos (ou probabilísticos ou estocásticos): 
Ocorrem quando não é possível predizer, com certeza, o resultado 
antes da realização do experimento. 
Exemplo: 
O estudo do efeito de um fertilizante químico em 
uma parcela do solo; 
A taxa de inflação do próximo mês. 
Um médico investigando o efeito de uma droga 
administrada em pacientes; 
 
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De uma forma em geral, a Teoria das Probabilidades 
visa definir um modelo matemático probabilístico que 
seja conveniente à descrição e interpretação de 
fenômenos aleatórios. 
 
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 Lançamento de um dado e observação dos resultados. 
 
 Utilização de um novo medicamento para uma dada doença 
em três pacientes e observação de cura ou não 
 
 Uma Lâmpada é fabricada e observa-se o seu tempo de vida. 
 
 Lançamento de duas moedas 
São aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a 
influências de fatores casuais e conduz a resultados incertos. 
(E) 
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 Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes 
sob as mesmas condições; 
 
 Em cada repetição do experimento, não podemos afirmar que 
resultado particular ocorrerá, porém podemos descrever o conjunto 
de todos os resultados possíveis do experimento - as possibilidades 
de resultado; 
 
 Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, 
surgirá uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, 
chamada de regularidade estatística, é que torna possível construir 
um modelo matemático preciso com o qual se analisará o 
experimento. 
Características de um experimento aleatório: 
(E) 
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Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
E: Lançamento de um dado e observação dos resultados. 
E: Utilização de um novo medicamento para uma dada 
doença em três pacientes e observação de cura ou não. 
Cada um dos elementos de  que corresponde a um resultado 
recebe o nome de “ponto amostral” (). 
() 
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Qualquer subconjunto do espaço amostral () de um 
experimento aleatório. 
A: Ocorrência de números pares no lançamento de 
um dado e observação dos resultados. 
B: Dois pacientes curados em um experimento de um 
novo medicamento com 3 pacientes. 
Em relação aos dois experimentos do slides anterior teríamos: 
(A, B, ...) 
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Evento simples ou elementar 
 É o evento formado por um único ponto amostral. 
 Exemplo: D: A observação de três pacientes curados 
 Evento certo 
 É o evento formado por todos os pontos amostrais. 
 Exemplo: F: sair um número menor ou igual a 6: 
Evento impossível 
 É o evento que não possui elementos em . 
 Exemplo: G: Sair a face 7 no dado. 
(A, B, ...) 
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• Entre eventos em um mesmo espaço amostral são permitidas todas as operações 
relativas aos conjuntos contidos num mesmo conjunto universo, como: 
• Ao realizar um experimento aleatório diz-se que o evento A ocorreu 
se o resultado observado for um elemento do subconjunto A. 
 
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Exemplo: 
 
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Exemplo: 
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Evento B: representa sair face par  B = {2, 4, 6} 
Evento C: representa sair uma face ímpar  C = {1, 3, 5} 
Evento D: representa sair uma face maior que 3  D = {4, 5, 6} 
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a) Observar o sexo de uma criança ao nascer. 
b) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima. Anotar 
a sequência de caras e coroas. 
c) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima. 
Registrar o número de caras ocorrido. 
d) Registrar o número de pessoas atendidas num ambulatório no período de 24 horas. 
e) Lançar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados ocorridos nas 
faces voltadas para cima. 
f) Um lote de dez peças contém três peças defeituosas. As peças são retiradas uma a uma, 
sem reposição, até que a última peça defeituosa é encontrada. O número total de peças 
retiradas é registrado. 
g) Peças são fabricadas até que dez peças perfeitas sejam produzidas. O número total de 
peças fabricadas é anotado. 
1) Descrever o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos: 
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2) Com baseno experimento do exercício 1.e), relacione os elementos dos 
seguintes eventos: 
a) aparece coroa e número ímpar. 
b) aparece coroa e número par. 
c) aparece coroa. 
d) aparece número ímpar. 
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Calcular uma probabilidade é medir a incerteza ou associar um 
grau de confiança aos resultados possíveis de um experimento. 
Por exemplo, ao escolher, ao acaso, uma carta de um baralho 
comum (bem embaralhado), o que é mais provável: 
Sair uma figura ( K, Q, J ) 
ou 
Sair o Ás de copas? 
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As probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo 
[0,1]. Quanto maior o valor associado ao evento, maior a 
certeza de sua possibilidade de ocorrência. 
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
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Evento B: representa sair face par 
Evento C: representa sair uma face ímpar 
Evento D: representa sair uma face maior que 3 
Evento F: representa sair face 1 
Calcule: P(B) = 
 
 P(C) = 
 
 P(D)= 
 
 P(F)= 
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Na maioria das situações práticas, o espaço amostral não é equiprovável e 
não podemos calcular probabilidades usando a definição clássica. 
Neste caso, vamos calcular probabilidades baseado em observações obtidas de 
um experimento aleatório, e o valor obtido é uma estimativa da 
probabilidade. 
A probabilidade frequentista de um evento A é a frequência relativa desse 
evento quando repetimos o experimento E, n vezes, sob as mesmas condições: 
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A terceira característica enunciada do experimento aleatório 
apresenta o conceito de regularidade estatística quando repetimos 
o experimento um grande número de vezes. 
Vamos repetir E 20 vezes, ou seja, jogar a moeda 20 vezes (n=20) 
Considere: 
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Resultado referente aos 20 lançamentos da moeda 
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Gráfico correspondendo ao número de repetições do 
experimento versus frequência relativa: 
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
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Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 
afirmaram que “colavam/pescaram” nos exames, enquanto 
2468 afirmaram não “colar/pescar”. 
Selecionando aleatoriamente um desses estudantes, determine 
a probabilidade deste estudante ter “colado/pescado” em um 
exame. 
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1) Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. 
Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espada? 
2) Se dois dados são jogados. Qual a probabilidade 
de que a soma das faces sejam iguais a 7? 
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Exemplo 6: Determinado produto é produzido por uma indústria em dois 
turnos de trabalho. Segue dados da produção de um determinado dia: 
Turno Não Defeituosos Defeituosos Total 
Matutino 570 30 600 
Noturno 396 04 400 
Total 966 34 1000 
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Experimento aleatório: Uma peça é escolhida ao acaso deste lote. 
Calcule a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos: 
Se soubermos que o produto foi produzido no turno 
Noturno, qual é a probabilidade de ser defeituoso? 
Temos uma informação parcial (uma condição): o produto foi 
produzido no turno Noturno. 
P(D|N) 
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Em algumas situações (fenômenos), a ocorrência de determinado 
evento interfere na ocorrência de outro evento. 
A probabilidade de um evento D ocorrer, dado que um outro 
evento N ocorreu, é chamada probabilidade condicional do 
evento D dado N e é denotada por: 

P(B)
)(
)|(
BAP
BAP


No Exemplo 6: Qual a probabilidade de produto 
selecionada ao acaso ter sido produzido no turno Matutino 
sabendo que o produto selecionado possui algum defeito? 
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A tabela a seguir resume informações de um levantamento das 
empresas industriais e comerciais de certo município em 
determinado ano, discriminando segundo o porte da empresa: 
Porte da Empresa Atividade Total 
Indústria Comércio 
Micro 40 50 90 
Pequena 20 40 60 
Média 15 20 35 
Grande 5 10 5 
Total 80 120 200 
Qual a probabilidade de selecionarmos ao acaso uma empresa 
comercial, sabendo que a empresa escolhida é uma pequena empresa? 
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Se A e B são dois eventos quaisquer associados ao mesmo espaço 
amostral, com probabilidades positivas, então, a probabilidade da 
ocorrência simultânea de A e B, P(A  B), é definida por: 
Exemplo 8: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retira-se 2 
peças do lote, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade 
de que ambas sejam boas? 
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Dois eventos, A e B, são estatisticamente independentes se: 
ou seja, se o evento A é independente do evento B, então, 
Exemplo 9: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retira-se 2 
peças do lote, uma após a outra, com reposição. Qual a probabilidade 
de que ambas sejam boas? E a de que a primeira seja defeituosa e a 
segunda seja boa? 
e 
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
Exemplo 11: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna 
contém 4 bolas branca e 2 amarelas. Escolhe-se , ao acaso, uma urna e dela 
retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
Seja B um evento qualquer associado a  . A probabilidade 
associada ao evento B é dada por: 
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
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a) Qual a probabilidade do parafuso, escolhido ao acaso, ser 
defeituoso? 
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
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Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite 
que utiliza da fazenda F1, 30% da fazenda F2 e 50% da fazenda F3. 
Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e 
observou que 20% do leite produzido na fazenda F1 estava 
adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa 
proporção era de 5% e 2%, respectivamente. 
Na indústria de sorvete os galões de leite são armazenados em um 
refrigerador sem identificação das fazendas. 
Ao escolher ao acaso um galão de leite para analisar uma suposta 
adulteração, e verificar que o galão escolhido está adulterado, qual a 
probabilidade do leite adulterado ser produzido pela fazenda F1? 
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Sejam E um experimento e  um espaço amostral associado E. 
As variáveis aleatórias normalmente são representadas por 
letras maiúsculas, como X e Y, próximas ao final do alfabeto. 
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Considere o experimento E: lançar duas moedas. 
Seja X a variável aleatória que representa o 
número de coroas obtidas nos doislançamentos. 
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A classificação das variáveis aleatórias é feita de acordo com os valores que assumem. 
Variável aleatória Discreta: Se a v.a. X assume valores em um 
conjunto finito ou infinito enumerável. 
Variável aleatória Contínua: Se a v.a. X assume valores em um 
conjunto infinito não enumerável. 
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Exemplo 16: Suponha a condução de um estudo sobre o 
número de atendimentos que um balconista faz durante um 
dia de trabalho. Os valores possíveis da variável aleatória X 
são 0, 1, 2, 3, 4 e assim por diante. Uma vez que o conjunto de 
resultados possíveis pode ser enumerado, X é uma variável 
aleatória discreta. 
Exemplo 17: Outra maneira de conduzir o estudo seria medir 
o tempo gasto pelo balconista no atendimento durante um 
dia. Uma vez que o tempo gasto no atendimento pode ser 
qualquer número de 0 a 24 (incluindo frações e decimais), X é 
uma variável aleatória contínua. 
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É uma função matemática que associa probabilidades 
a valores assumidos pela variável aleatória X. 
Esta função é diferenciada para os casos em que a 
variável aleatória em estudo é discreta ou contínua. 
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Seja X uma variável aleatória com distribuição discreta. 
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E: Lançamento de um dado honesto. 
X: número da face observada 
A distribuição de probabilidade de X é dada por: 
X 1 2 3 4 5 6 
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
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E: Lançamento de duas moedas. 
X: número de caras obtidas. 
A distribuição de probabilidade de X é dada por: 
X 0 1 2 
¼ 2/4 1/4 
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 Graficamente teríamos: 
 E fórmula teríamos: 
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X -3 -1 0 1 2 3 5 8 
0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05 
Determine as seguintes probabilidades 
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Distribuição Bernoulli 
Distribuição Binomial 
Distribuição Multinomial 
Distribuição Geométrica 
Distribuição Poisson 
Algumas distribuições de probabilidade discretas 
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Seja X uma variável aleatória com distribuição contínua. 
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Distribuição Exponencial 
Distribuição Weibull 
Distribuição Normal (ou Gaussiana) 
Distribuição t-Student 
Distribuição Qui-quadrado 
Distribuição F 
Algumas distribuições de probabilidade Contínuas 
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Num teste educacional com crianças, o tempo para a realização de uma 
bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para 
ser comparado com o modelo teórico. 
Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento da criança e 
auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera, T, 
tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com 
função densidade de probabilidade dada por: 
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Propriedades: 
V.A. DISCRETA 
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Logo 
X 0 1 2 
1/3 1/6 1/2 
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Propriedades: 
V.A. CONTÍNUA 
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a) Encontre a função de distribuição acumulada; 
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V.A. DISCRETA 
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V.A. CONTÍNUA 
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a) Encontre a função de distribuição acumulada; 
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V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
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Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, e 
Justifique a sua resposta 
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V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
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que pode ser reescrita em termos de esperanças da forma 
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V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
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-2 1/5 -2/5 
-1 1/5 -1/5 
0 1/5 0 
3 1/5 3/5 
5 1/5 5/5 
0 1/8 0 
1 6/8 6/8 
2 1/8 2/8 
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Universidade Federal da Bahia • MAT236 - Métodos Estatísticos • Prof. Jonatas SES • 2012.2 
V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
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V.A. DISCRETA 
Distribuição de Bernoulli; 
Distribuição Binomial; 
Distribuição de Poisson. 
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 Lançar uma moeda e observar se ocorre cara ou coroa; 
 Numa linha de produção, observar se um item, tomado 
ao acaso é defeituoso ou não defeituoso. 
 Observar se um cliente de uma financeira, será 
inadimplente ou adimplente. 
São os experimentos mais simples em que observamos a 
presença ou não de alguma característica em uma única 
tentativa, ou seja, um experimento com somente dois 
resultados possíveis: Fracasso ou Sucesso. 
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Uma variável aleatória segue modelo Bernoulli se assume 
apenas dois valores possíveis, 0 ou 1, Fracasso ou Sucesso, etc. 
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Um fabricante afirma que 5% de todas as peças que produz tem 
duração inferior a 20h. 
a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade do lote ser 
rejeitado? 
Uma indústria compra semanalmente um grande lote dessas peças 
com esse fabricante, mas sob a seguinte condição: em uma 
amostra de 10 peças escolhidas ao acaso do lote, pode haver no 
máximo uma peça com duração inferior a 20h, caso contrário, o 
lote é rejeitado. 
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Em muitas situações, conhecemos o número de sucesso, porém é 
difícil, e às vezes, sem sentido, determinar o número de fracassos 
ou o número total de ensaios, por exemplo; 
 Número de carros que passam em uma determinada rua ao longo de 1 dia. 
 Número de falhas de um computador em um dia de operação; 
 Número de buracos por quilômetro em uma rodovia; 
 Número de clientes que chegam a uma determinada agência bancáriadurante seu expediente. 
Em resumo, o modelo de Poisson representa o experimento em 
que se observa uma contagem em determinado intervalo de 
tempo, espaço ou volume. 
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Função de probabilidade: 
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Um telefone recebe em média 2 chamadas por hora. 
Calcule a probabilidade do telefone receber no máximo 3 
chamadas em duas horas e a probabilidade do telefone não 
receber chamadas em 90 minutos. 
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V.A. CONTÍNUAS 
Distribuição de Exponencial; 
Distribuição de Normal. 
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A distribuição exponencial é bastante utilizada para modelar 
tempo de espera entre ocorrência de eventos. Tem aplicações em 
áreas diversas, principalmente na teoria da confiabilidade. Alguns 
exemplo da utilização da distribuição exponencial: 
 Tempo de espera em uma fila; 
 Tempo de sobrevivência de um pacientes após iniciar um tratamento; 
 Tempo de vida de um material eletrônico; 
 Tempo até determinado equipamento falhar. 
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Função de probabilidade: 
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Determine: 
c) A probabilidade da lâmpada queimar antes de 1.000 horas. 
d) A probabilidade de que ela queime depois de sua duração média. 
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Das diversas distribuições teóricas de probabilidade, a distribuição 
normal é uma das (ou até mesmo a) mais importante, visto que, 
 Representa com boa aproximação as distribuições de frequências 
observadas de muitos fenômenos naturais e físicos; 
 Diversas distribuições importantes, como por exemplo, a 
Binomial e a Poisson, podem ser aproximadas pela normal, 
simplificando o cálculo de probabilidades; 
 Em grandes amostras, as distribuições amostral da média e da 
proporção, se aproximam da distribuição normal, o que nos permite 
fazer estimações intervalares e testes estatísticos aproximados. 
Função de probabilidade: 
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Estatística Aplicada • Prof. Jonatas Silva do Espirito Santo • 2015.1 
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- O intervalo (média – 1 desvio padrão ; média + 1 desvio padrão) 
engloba 68,3% de todas as observações; 
 - O intervalo (média – 2 desvio padrão ; média + 2 desvio padrão) 
inclui 95,5% dos valores; 
- O intervalo (média – 3 desvio padrão ; média + 3 desvio padrão) 
contém 99,7% de todas as observações; 
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34% 34% 
2 DP 
Média 
1 DP 1 DP 
68,3% 
2 DP 
95,5% 
3 DP 3 DP 
99,7% 
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As probabilidades da normal padrão, também conhecida como 
normal reduzida ou normal zero-um, estão tabeladas. 
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Os salários de diretores de uma empresa distribuem-se 
normalmente com média R$8.000 e desvio-padrão R$5.000. 
Qual o percentual de diretores que recebem: 
a)Menos de R$6.470,00 
b)Entre R$8.920,00 e R$9.380,00 
c) Mais de R$9.500,00 
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