DESCONTO SIMPLES

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VALOR NOMINAL – é quanto vale um
compromisso na data de seu vencimento.
Exemplo: Uma pessoa aplicou uma quantia
hoje e vai resgatá-la por $20.000 daqui a 12
meses.
VALOR ATUAL – É o valor que um
compromisso tem em uma data que
antecede ao seu vencimento.
¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000,
na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos
saber qual a taxa de juros.
VALOR FUTURO – Corresponde ao valor
do título em qualquer data posterior à que
estamos considerando no momento.
Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje.
¨c¨é o valor futuro de $10.000 na data 6.=>
Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a
taxa de juros.
Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje $ 15.000,00. e que recebeu,
pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 no mês 12.
Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplicação, do
seguinte modo:
RESOLUÇÃO:
C= $15.000 24.000 = 15.000(1+12i)
n = 12 meses i = 24.000/15.000 – 1 = 0,05 a.m ou 5%
a.m.
N = $ 24.000 12
1. Quando se faz uma aplicação com Vencimento pré-
determinado, o aplicador obtém um comprovante que
pode ser uma nota promissória, um título ou uma letra
de câmbio.
 Caso o aplicador precise do dinheiro antes de vencer o prazo
da aplicação, deve voltar à instituição captadora, transferir
a posse do título e resgatar o principal e parte dos juros.
2. Uma empresa faz uma venda a prazo, com vencimento
pré-determinado. Recebe do comprador uma duplicata.
 A empresa pode ir a um banco e transferir a posse da
duplicata em troca de dinheiro
As operações acima são chamadas de “desconto” e o
ato de efetuá-las é chamado “descontar um título”
Objetivo – Permitir maior liquidez de caixa às
unidades consumidoras e produtoras. São
operações de curto prazo, geralmente inferior a 1
ano.
Desconto – Corresponde ao juro pago pela
antecipação no recebimento de um valor com
vencimento futuro.
Valor Atual ou Valor descontado – Corresponde ao
valor líquido recebido, isto é, o valor do título
menos o juro pago pela antecipação.
Valor Nominal ou Valor Futuro – Corresponde ao
valor expresso no título ou montante.
 Nota Promissória – Consiste em título de crédito
que corresponde a uma promessa de pagamento.
Pode ser usada entre pessoas físicas ou entre
pessoas físicas e instituições financeiras
 Duplicata Mercantil – É usada por pessoa jurídica contra um
cliente que pode ser pessoa física ou pessoa jurídica e deve ter
por lastro a Nota Fiscal.
 Letra de Câmbio – É um título de crédito emitido
por uma financeira em operações de crédito
direto para pessoas físicas ou jurídicas.
 Cheques Pré-datados – Embora não especificados pela
legislação têm sido cada vez mais usados em operações
comerciais em função da facilidade operacional.
Com o franco desenvolvimento da TI, os meios usuais de troca de
documentos entre empresas são realizados por arquivos
eletrônicos: Eletronic Data Interchange ou EDI.
Empresa
Fornecedores
Transportadoras
Seguradoras
Bancos
Racional 
ou por 
Dentro
Verdadeiro
Comercial 
ou por 
Fora
Bancário
 É o desconto obtido pela diferença entre o
valor nominal e o valor atual de um
compromisso que seja saldado em n períodos
antes do seu vencimento.
in
Nin
Dr


1
Dr = valor do desconto
Vr = Valor descontado ou Valor atual
N = valor nominal (montante)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
in
N
Vr


1
12
40,0
12 i
Temos:
N = 5.500,00
n = 3 meses
Calculando a taxa proporcional a 1 mês:
Podemos calcular:
a) O desconto:
b) O Valor descontado: Vr = 5.500,00 - 500,00 = $ 5.000,00
$ 5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos próximos
3 meses e à taxa de 40% a.a., a aplicação de $ 5.000,00 iria render:
J = Cin
J = 5.000,00 x 0,40/12 x 3 = $ 500,00
Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o 
desconto e quanto vai pagar ?
3 Meses
{Dr
Vr
N
 É o valor que se obtém pelo cálculo do juro
simples sobre o valor nominal do
compromisso que seja saldado em n períodos
antes do seu vencimento.
Dc = N.i.n
Dc = Desconto comercial
Vc= Valor descontado ou valor atual
N = valor nominal (montante)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
Vc = N(1-i.n)
in)-N(1 
c
V
in)-(1
V
 cN













n
N
V
-1
 
c
i













i
N
V
-1
 
c
n
3 Meses
{Dc
Vc
N
a) O desconto:
Dc = Nin
Dc = 5.500,00 x 0,40/12 x 3 = $ 550,00
b) O valor descontado comercial:
Consideremos o exemplo do item anterior, em que o título de $ 5.500,00 é
descontado à taxa de 40% a.a., 3 meses antes do vencimento, qual é o
desconto e quanto vai obter ?
Então a pessoa vai receber $ 4.950,00 pelo desconto comercial, que é
menos que os $ 5.000,00 que receberia se o desconto fosse racional.
É evidente, portanto, que ao se fazer um desconto comercial a taxa
de desconto utilizada não é mais igual à taxa de juros capaz de
reproduzir o montante. Observe-se que, se o banco ganha $ 550,00
sobre um valor de $ 4.950,00, em 3 meses, a taxa de juros de
operação é:
Note-se então que, no desconto comercial, é preciso
distinguir entre a taxa de desconto utilizada na
operação e a taxa implícita que é cobrada de fato.
 Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa
pré-fixada, cobrada sobre o valor nominal, além da taxa
do Imposto sobre Operações Financeiras IOF.
 IOF Sobre Operações de Crédito:
Alíquota: máxima de 1,5% ao dia sobre o valor das operações de crédito.
Alíquota reduzida vigente:
 Incidente sobre Pessoas Jurídicas:
 0,00137% ao dia para Pessoas Jurídicas optantes pelo Simples
Nacional, em operações iguais ou inferiores a R$ 30.000,00;
 0,0041% ao dia para os demais casos;
 Incidente sobre Pessoas Físicas: 0,0041% ao dia;
])[( hniiND
IOFB

DB = desconto bancário
N = valor nominal (montante)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
iIOF = Alíquota do IOF
h = taxa de despesas administrativas (taxa de despesas bancárias)
Vb = N [1 - (in + h)]
Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como
despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses
antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é
de 40% a.a., qual o desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do
título ?
Compara-se este valor que o
proprietário recebeu ao descontar seu
título 3 meses antes com aquele obtido
via desconto comercial ($ 4.950,00).
Mais uma vez notamos que a taxa de
desconto não corresponde à taxa
implícita na operação:
a) Desconto bancário:
Db = N (in + h)
Db = 5.500,00 (0,40/12 x3 + 0,02)
Db = 5.500,00 (0,10 + 0,02)
Db = $ 660,00
b) Valor descontado bancário:
Vb = N [1 - (in + h)]
Vb = 5.500,00 [1 - (0,40/12 x 3 + 0,02]
Vb = 5.500,00 x 0,88
Vb = $ 4.840,00
 É a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado
(comercial ou bancário), gera no período, um montante
igual ao valor nominal.
onde:
if = taxa efetiva
N = valor nominal
V = valor atual (comercial ou bancário)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto aplicada
n
V
N
if
1

ou
in
i
if


1
Obs: Para usar a fórmula direta, é
necessário que a taxa esteja expressa na
mesma unidade de tempo do prazo, caso
contrário, devemos calcular a taxa
proporcional ao prazo para poder aplicar a
fórmula
Sendo o valor descontado comercial de $ 4.950,00, o título de $ 5.500,00
saldado 3 meses antes de seu vencimento, qual é a taxa de juros efetiva
para desconto comercial utilizada, se a taxa corrente for de 40% a.a.?Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anteriormente,
por cálculo direto.
..44,0..03703,0
3
11111,1
;
3
1
00,4950
00,500.5
1
aamai
ii
n
V
N
i
f
ff
c
f







a.a. 0,44 4 x 0,1111 
a.t. 1111,0
10,01
10,0
3
12
40,0
1
3
12
40,0
1









f
f
f
f
I
I
I
in
i
I
• O Desconto Comercial pode ser entendido como sendo o
montante do Desconto Racional calculado para o mesmo período
e à mesma taxa.
• Ou o Desconto Racional corresponde ao valor atual do Desconto
Comercial para o mesmo período e à mesma taxa.
).1(
..
ni
niN
Dr


ni
Dr
Dc
.1
)1( nDrDc 
)1( n
Dc
Dr


niNDc ..
1) Um contribuinte da Receita Federal tem direito a uma restituição de
seu Imposto de Renda que importa em R$ 2.000,00 a ser efetuado
dentro de um período de 4 meses. Este cidadão, necessitando
urgentemente de recursos, aceita a antecipação oferecida por uma
instituição bancária que cobra uma taxa de desconto de 6% a.m.,
acrescida de IOF de 0,6% a.m. Calcule:
a) Valor do desconto cobrado e do IOF (conjuntamente) (R$ 528,00)
b) Valor recebido pelo contribuinte. (R$ 1.472,00)
2) Um título com valor de resgate de R$ 225.700,00 foi descontado à
taxa de juros simples de 3,6% a.m. Sabendo-se que o desconto
racional foi de R$ 11.563,38, determinar o prazo de vencimento do
título. (1,5 meses ou 45 dias)
3) Uma Nota Promissória de valor nominal R$ 8.856,00, com vencimento
em 4 meses, foi comprada por R$ 8.200,00. Qual a taxa de desconto
exigida pelo comprador? (0,24 0u 24% a.a)
4) Qual é o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional
seja igual a três quartos do desconto comercial, considerando-se uma
taxa de juros de 40% a.a. em ambos os descontos? (0,83333 anos ou
10 meses)