apol 5 Álgebra Línear

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Questão 1/10
Sobre a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa correta:
(   ) T é um operador linear de R².
(   )  é a matriz canônica de T.
(   ) T(1,2) = (3,4).
(   ) Nuc(T) = {(0,0)} e Im(T) = R².
	
	A
	V F V F
	
	B
	V F F V
Você acertou!
Resolução:
Item i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de R² em R², portanto, é um operador linear de R².
Item ii) Falso: matriz canônica de T é igual a .
Item iii) Falso: T(1,2) = (2,6).
Item iv) Verdadeiro: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem por T.
	
	C
	F V V F
	
	D
	F F F V
Questão 2/10
Seja T a transformação linear de R² em R³ tal que T(0,2) = (1,1,2) e T(2,5) = (1,0,1) e w o vetor tal que w = T(4,10). Neste caso, a soma das coordenadas de w é igual a:
	
	A
	4
Você acertou!
	
	B
	5
	
	C
	6
	
	D
	7
Questão 3/10
Seja T o operador linear de R² tal que T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (3,4). Sendo assim, T(12,13) é igual a:
	
	A
	(50,63)
	
	B
	(51,64)
Você acertou!
Como {(1,0),(0,1)} é a base canônica de R², se conhece o efeito de T sobre uma base de R², portanto, pode-se determinar seu efeito sobre qualquer vetor de R² e, em particular, sobre (12,13).
Para isso, escreve-se o vetor em questão como combinação linear dos vetores da base dada:
Do que se pode concluir que: 
Portanto, tem-se: (12,13) = 12.(1,0) + 13.(0,1)  
E em assim, calcular T(12,13) é o mesmo que calcular T(12.(1,0) + 13. (0,1)). Como T é uma combinação linear, pode-se fazer:
	
	C
	(52,65)
	
	D
	(53,66)
Questão 4/10
Julgue as afirmativas abaixo (FALSO OU VERDADEIRO) sobre as matrizes  e , em seguida marque a alternativa correta:
( ) A é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y) = (x+4y, 2x+2y,3x).
(   ) B é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y,z) = (x+y, y+2z).
(   ) A é a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R³.
(   ) B é a matriz canônica de uma transformação linear de R³ em R².
	
	A
	V V V V 
Você acertou!
Todas as afirmativas são verdadeiras.
	
	B
	V F V V
	
	C
	F V V V 
	
	D
	V V V F
Questão 5/10
Sobre transformações lineares, é incorreto afirmar que:
	
	A
	Podem ser descritas matricialmente pela equação w = A.x.
	
	B
	T(x,y) = (2x,3y,4z) é um exemplo de transformação linear de R² em R³.
	
	C
	Têm por núcleo o conjunto dos vetores de seu domínio que são levados no vetor nulo.
	
	D
	T(x,y,z) = (x+y,z+2) é um exemplo de transformação linear de R³ em R².
Você acertou!
Estão corretas as alternativas a, b, c,  sendo falsa a alternativa D por não se tratar de uma combinação linear.
Questão 6/10
Dadas as bases de R²: B = {{1,5);(3,0)} e C = {(2,10);(1,15)}, a matriz de transição de C para B, isto é, a matriz que muda a base de referência de C para B é igual a:
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
Você acertou!
Questão 7/10
Marque a alternativa que apresenta um autovetor de :
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
Você acertou!
Questão 8/10
Dada uma matriz , avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO)  e marque a alternativa correta:
(   ) Quaisquer que sejam os números reais a e b, M não possui autovalores.
(   ) Quaisquer que sejam os reais a e b, M é uma matriz diagonal.
( ) Definidos os escalares reais a e b, M será a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R².
	
	A
	V V V 
	
	B
	F V V 
Você acertou!
i) FALSO: os autovalores de M serão justamente os escalares a e b.
ii) VERDADEIRO: M é quadrada e os elementos que não ocupam a diagonal são nulos, portanto, M é uma matriz diagonal.
iii) VERDADEIRO: M é 2x2, portanto, é a matriz canônica de um operador linear de R².
	
	C
	F F V
	
	D
	V F F 
Questão 9/10
Seja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a alternativa correta:
i. M sempre possui três autovalores distintos que podem ser reais ou imaginários.
ii. M pode possuir autovalores reais e/ou autovalores imaginários.
iii. Considerando-se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores.
	
	A
	V F F 
                    
	
	B
	F F V   
	
	C
	V V F
	
	D
	F V V
Você acertou!
i. FALSO: os autovalores de M podem não ser distintos. Por exemplo, a matriz M a seguir possui três autovalores iguais (de valor 2):  .
ii. VERDADEIRO: os autovalores de M podem ser reais ou imaginários, dependendo da formulação de M.
iii. VERDADEIRO: considerando-se o conjunto dos complexos, M sempre terá autovalores.
Questão 10/10
Dentre as alternativas abaixo, marque a única que apresenta uma matriz cujos autovalores são iguais a 1, 2 e 3:
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
Você acertou!
A matriz apresentada na alternativa c é a única que possui autovalores iguais a 1, 2, e 3.
	
	D