Exercícios - Tema 4 - Modelagem no Domínio do Tempo

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A
B
C
1 Marcar para revisão
O desenvolvimento de sistemas de automação e
controles de processos físicos depende de sua
representação no espaço de estado por meio do
conhecimento de todas as variáveis envolvidas.
Considere a matriz de estado definida abaixo. O
produto dessa matriz pela sua matriz inversa
produzirá um resultado igual a:
[ 0 1
−4 −5
]
[ 0 1
16 25
]
[ 1 0
0 1
]
Questão 1 de 10
Corretas (10)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Modelage… Sair
D
E
[ 0 1
1 0
]
[−5 −1
4 0
]
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
Gabarito:
Justificativa: Como a matriz de estado é
definida por:
E sua inversa é dada por:
Assim, o produto  é igual a:
[ 1 0
0 1
]
A.A−1
2 Marcar para revisão
O desenvolvimento de sistemas de automação e
controles de processos físicos depende de sua
representação no espaço de estado por meio do
conhecimento de todas as variáveis envolvidas.
A representação no espaço de estado de um
A
B
C
D
E
sistema físico é definida como pode ser visto
abaixo. De acordo com a representação no
espaço de estado, é possível definir que a
matriz que contém os dados de entrada do
sistema físico é a:
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
= [
−R/L −1/L
1/C 0
] [
i(t)
vc(t)
] + [
1/L
0
] v(t)
∂di(t)
∂t
∂vc(t)
∂t
y(t) = [ 0 1 ] [
i(t)
vc(t)
]
[
−R/L −1/L
1/C 0
]
[
1/L
0
]
[ 0 1 ]
[
i(t)
vc(t)
]
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
∂di(t)
∂t
∂vc(t)
∂t
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A representação geral no espaço de estado
é definida pelas equações:
Nessas equações, a matriz B é a que
contém os dados de entrada do sistema
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
A
B
C
físico. No caso apresentado, a matriz B é
dada por: . Portanto, a alternativa
correta é a B.
[
1
/L
0
]
3 Marcar para revisão
O desenvolvimento de sistemas de automação e
controles de processos físicos depende de sua
representação no espaço de estado por meio do
conhecimento de todas as variáveis envolvidas.
Considerando a matriz inversa, o determinante e
a representação no espaço de estado da saída
de um sistema dados abaixo, é possível afirmar
que a relação  é igual a:C(sI − A)−1
[ ]s+2
Δ
1
Δ
[ ]−2
Δ
1
Δ
[ ]
s
Δ
s
Δ
D
E
[ ]s+2
Δ
s
Δ
[ ]s
Δ
1
Δ
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Gabarito:
Justificativa: Observando os parâmetros
dados, pode-se definir que:
[ ]s+2
Δ
1
Δ
4 Marcar para revisão
Representar um sistema no espaço de estado
apresenta uma grande importância no
desenvolvimento de sistemas físicos sendo
fundamental para a elaboração de estratégias
de controle. Uma das metodologias utilizada na
conversão das funções de transferência (FT) em
equações de espaço de estado consiste na
separação da FT em frações. Sabendo que as
funções de variáveis de estado podem ser
A
B
C
D
E
agrupadas como pode ser visto abaixo, a matriz
de saída será definida como:
Logo,
[1 1 1]
[0 1 1]
[0 0 1]
[1 0 1]
[1 1 0]
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Uma relação direta entre a função de
transferência e o agrupamento mostrado
permite visualizar que
Assim, 
A
B
C
D
E
Como o vetor de estado é definido por: 
5 Marcar para revisão
O desenvolvimento de sistemas de automação e
controles de processos físicos depende de sua
representação no espaço de estado por meio do
conhecimento de todas as variáveis envolvidas.
As matrizes inversíveis são fundamentais na
conversão de sistemas de estado em funções
de transferência. Para definir se uma matriz é
passível de ser invertida, é necessário a
determinação de seu:
Condição inicial
Identidade
Variável de estado
Espaço de estado
Determinante
Resposta correta
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alternativa correta. Confira o
A
B
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Gabarito Comentado
O determinante é um parâmetro necessário
para a definição da possibilidade de
inversão de uma matriz. A condição inicial
define as condições de partida de um
sistema. A identidade permite a
operacionalização algébrica de matrizes. A
variável de estado é o conjunto de variáveis
que definem um sistema. O espaço de
estado é o espaço onde um sistema é
apresentado. Portanto, para definir se uma
matriz é passível de ser invertida, é
necessário determinar o seu determinante.
Se o determinante de uma matriz for
diferente de zero, a matriz é inversível.
Caso contrário, a matriz não é inversível.
6 Marcar para revisão
O desenvolvimento de sistemas de automação e
controles de processos físicos depende de sua
representação no espaço de estado por meio do
conhecimento de todas as variáveis envolvidas.
Para que a conversão de espaço de estado em
função de transferência seja possível, é
fundamental a determinação do termo
. Para auxiliar no desenvolvimento
desse cálculo, é essencial o uso do(a):
(sI − A)−1
Matriz identidade
Determinante
C
D
E
Variável de estado
Variável de fase
Derivada da variável de estado
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A matriz identidade é a resposta correta. Ela
é uma ferramenta matemática que permite
a operacionalização algébrica de matrizes,
sendo essencial para a determinação do
termo no desenvolvimento de
sistemas de automação e controles de
processos físicos. As outras opções, apesar
de também serem conceitos importantes na
matemática e na física, não são diretamente
responsáveis por auxiliar no cálculo desse
termo específico. O determinante, por
exemplo, é um parâmetro necessário para a
definição da possibilidade de inversão de
uma matriz. A variável de estado e a
variável de fase são conjuntos de variáveis
que definem um sistema, e a derivada da
variável de fase é a derivação da variável
de fase.
(sI − A)−1
7 Marcar para revisão
A
B
C
D
E
O desenvolvimento de sistemas de automação e
controles de processos físicos depende de sua
representação no espaço de estado por meio do
conhecimento de todas as variáveis envolvidas.
Considerando a matriz inversa, o determinante e
a representação no espaço de estado da saída
de um sistema dados abaixo, é possível definir
que a função de transferência do sistema é
dada por:
s
s2+2s+2
1
s2+2s+2
1
2s+2
1
s2+2
1
s2+2s
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Gabarito:
Justificativa: Por definição, tem-se que:
1
s2+2s+2
Observando os parâmetros dados, pode-se
definir que:
Como  é igual a:
Então:
Como:
Logo:
C(sI − A)−1
8 Marcar para revisão
A
B
C
D
E
Representar um sistema no espaço de estado
apresenta uma grande importância no
desenvolvimento de sistemas físicos, sendo
fundamental para a elaboração de estratégias
de controle. Abaixo é possível observar um
exemplo de função de transferência de um
sistema físico. O vetor de variáveis de estado
que define esses sistemas é igual a:
G(s) = =
80
s3+12s2+20s
C(s)
R(s)
x = [ċ c̈
...
c ]
x = [c c̈
...
c ]
x = [ċ ċ
...
c ]
x = [ċ c̈ ċ ]
x = [c ċ c̈ ]
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A função de transferência dada é
. Ao rearranjar essa
equação, obtemos
, que pode
ser reescrita como
 ou, em
termos de derivadas, .
A seleção das variáveis de estado é
baseada na equação diferencial
G(s) = =
80
s3+12s2+20s
C(s)
R(s)
(s3 + 12s2 + 20s)C(s) = 80R(s)
s
3
C(s) + 12s2
C(s) + 20sC(s) = 80R(s)
...
c + 12c̈ + 20ċ = 80r
A
B
C
. As variáveis de fase
são definidascomo , e ,
o que nos leva ao vetor de variáveis de
estado , que corresponde à
alternativa E.
...
c + 12c̈ + 20ċ = 80r
x1 = c x2 = ċ x3 = c̈
x = [c ċ c̈ ]
9 Marcar para revisão
O desenvolvimento de sistemas de automação e
controles de processos físicos depende de sua
representação no espaço de estado por meio do
conhecimento de todas as variáveis envolvidas.
Para que a conversão de espaço de estado em
função de transferência seja possível, é
fundamental a determinação do termo
. Observando o espaço de estado
abaixo, é possível determinar que o termo
 é igual a:
(sI − A)−1
(sI − A)
[ s 0
1 s + 2
]
[ s 0
2 s
]
[ s −1
2 s + 2
]
D
E
[ s 2
−1 s + 2
]
[ s + 2 −1
2 s + 2
]
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
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Gabarito Comentado
Gabarito:
Justificativa: Observando as matrizes de
espaço de estado é possível definir que
:
[ s −1
2 s + 2
]
(sI − A)
10 Marcar para revisão
A
B
C
D
E
Representar um sistema no espaço de estado
apresenta uma grande importância no
desenvolvimento de sistemas físicos, sendo
fundamental para a elaboração de estratégias
de controle. Observando a equação diferencial
abaixo e considerando o vetor de estado
, é possível definir que a
matriz de estado apresentará ao menos 1 linha
definida por:
x(t) = [c(t) ċ(t) c̈(t)]
...
c + 12c̈ + 20ċ = 80r
⎡
⎢⎢
⎣
0 −20 −12
. . .
. . .
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎢⎢
⎣
. . .
0 −20 −12
. . .
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎢⎢
⎣
. . . 0
. . . −20
. . . −12
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎢⎢
⎣
0 . . .
−20 . . .
−12 . . .
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎢⎢
⎣
. . .
. . .
0 −20 −12
⎤
⎥⎥
⎦
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a
alternativa correta. Confira o
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é a letra E. Para
entendermos o porquê, precisamos analisar
a equação diferencial dada. A partir dela,
podemos observar que:
Isso nos leva a concluir que a matriz de
estado será:
Portanto, a linha da matriz de estado que
corresponde à equação diferencial dada é a
última linha da matriz, que é [0 -20 -12],
como apresentado na alternativa E.
ẋ3 =
...
c = −12c̈ − 20ċ + 80r
⎡
⎢⎢
⎣
ẋ1
ẋ2
ẋ3
⎤
⎥⎥
⎦
=
⎡
⎢⎢
⎣
0 1 0
0 0 1
0 −20 −12
⎤
⎥⎥
⎦
⎡
⎢⎢
⎣
c
ċ
c̈
⎤
⎥⎥
⎦
+
⎡
⎢⎢
⎣
0
0
80
⎤
⎥⎥
⎦
r