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Relações, Funções e Matrizes Matrizes • Dados em muitos tipos de problemas podem ser representados através de um arranjo retangular de valores; • Tal arranjo é chamado de matriz. • Assim, – 1 0 4 3 −6 8 é uma representação de uma matriz com duas linhas e três colunas. • As dimensões da matriz são o número de linhas e o de colunas; Aqui é uma matriz 2x3. • Elementos de uma matriz são denotados por 𝑎𝑖𝑗 onde i é o número da linha e j o da coluna. Exemplo • Temperaturas médias em 3 cidades diferentes em cada mês podem ser resumidas em uma matriz 3x12. • Interpretamos aqui as 3 linhas como representando as 3 cidades e as 12 colunas como os 12 meses, de janeiro a dezembro. • Qual a temperatura média na terceira cidade no mês de abril, ou seja, o elemento 𝑎3 4? 23 26 38 47 58 71 78 77 69 55 39 33 14 21 33 38 44 57 61 59 49 38 25 21 35 46 54 67 78 86 91 94 89 75 62 51 Exemplo • Temperaturas médias em 3 cidades diferentes em cada mês podem ser resumidas em uma matriz 3x12. • Interpretamos aqui as 3 linhas como representando as 3 cidades e as 12 colunas como os 12 meses, de janeiro a dezembro. • Qual a temperatura média na terceira cidade no mês de abril, ou seja, o elemento 𝑎3 4? 67 𝑜𝐹 23 26 38 47 58 71 78 77 69 55 39 33 14 21 33 38 44 57 61 59 49 38 25 21 35 46 54 67 78 86 91 94 89 75 62 51 Sistemas lineares • É possível obter soluções de muitos problemas resolvendo-se sistemas de equações lineares. • O sistema linear 𝑥 + 𝑦 = 70 24𝑥 + 14𝑦 = 1180 • Pode ser representada pela matriz de coeficientes 1 1 24 14 e a solução x = 20 e y = 50 pode ser encontrada facilmente como demostraremos no decorrer da aula. Matrizes iguais • Em uma matriz, a distribuição dos elementos é importante. Logo, para duas matrizes serem iguais elas têm que ter as mesmas dimensões e os mesmos elementos em cada posição. • Sejam 𝑥 4 1 𝑦 𝑧 0 = 3 4 1 6 2 𝑤 então, x = 3, y = 6, z = 2 e w = 0 Matrizes iguais • Em uma matriz, a distribuição dos elementos é importante. Logo, para duas matrizes serem iguais elas têm que ter as mesmas dimensões e os mesmos elementos em cada posição. • Sejam 𝑥 4 1 𝑦 𝑧 0 = 3 4 1 6 2 𝑤 então, x = 3, y = 6, z = 2 e w = 0 Matrizes quadradas e simétricas • Quando temos uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas, dizemos que ela é quadrada. • A = 1 5 7 5 0 2 7 2 6 A é uma matriz quadrada 3x3 • Ela também é simétrica. A parte triangular superior à diagonal é uma reflexão da parte inferior. Note que 𝑎21 = 𝑎12 Operações Matriciais • Multiplicação por escalar: • A x 3 sendo, A = 1 4 5 6 −3 2 x 3 = 3 12 15 18 −9 6 • A soma de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A + B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 • A subtração de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A - B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 Operações Matriciais • Multiplicação por escalar: • A x 3 sendo, A = 1 4 5 6 −3 2 x 3 = 3 12 15 18 −9 6 • A soma de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A + B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 • A subtração de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A - B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 Operações Matriciais • Multiplicação por escalar: • A x 3 sendo, A = 1 4 5 6 −3 2 x 3 = 3 12 15 18 −9 6 • A soma de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A + B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 • A subtração de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A - B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 Operações Matriciais • Multiplicação por escalar: • A x 3 sendo, A = 1 4 5 6 −3 2 x 3 = 3 12 15 18 −9 6 • A soma de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A + B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 • A subtração de duas matrizes A e B só está definida quando A e B são ambas matrizes n x m, então C = A - B é uma matriz também n x m com elementos 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 - 𝑏𝑖𝑗 • Matriz nula é aquela que todos seus elementos são iguais a zero “0”. • Pode ser representada por exemplo, 0 + A = A • Se A e B são matrizes m x n e se r e s são escalares, as seguintes equações matriciais são válidas: • A + 0 = A • A + B = B + A • (A + B) + C = A + (B + C) • r(A + B) = rA + rB • (r + s)A = rA + sA • r(sA) = (rs)A Multiplicação • Poderíamos esperar que a multiplicação de matrizes simplesmente multiplicasse os elementos correspondentes, mas a definição é mais complicada do que isso. • A definição da multiplicação de matrizes é baseada na utilização de matrizes em matemática para representar certas funções, conhecidas como transformações lineares, que levam pontos no plano real em pontos no plano real. • Apesar de não utilizarmos matrizes dessa maneira, usaremos a definição padrão para multiplicação de matrizes. Multiplicação • Para calcular A vezes B, A.B, o número de colunas de A tem que ser igual ao número de linhas de B. • Se A é uma matriz n x m e B uma matriz m x p, o resultado é uma matriz n x p. 𝐶𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑗 𝑚 1 • A = 2 4 3 4 −1 2 x B = 5 3 2 2 6 5 = C = 36 29 30 20 Multiplicação • Para calcular A vezes B, A.B, o número de colunas de A tem que ser igual ao número de linhas de B. • Se A é uma matriz n x m e B uma matriz m x p, o resultado é uma matriz n x p. 𝐶𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗𝑏𝑘𝑗 𝑚 1 • A = 2 4 3 4 −1 2 x B = 5 3 2 2 6 5 = C = 36 29 30 20 • Se A, B e C são matrizes de dimensões apropriadas e se r e s são escalares, as seguintes equações matriciais são válidas: • A(B.C) = (A.B)C • A(B + C) = A.B + A.C • (A+B)C = A.C + B.C • rA. rB = (rs)(A.B) • A matriz n x n na qual todos os elementos da diagonal principal são elementos “1” um e os demais são “0” zero, são conhecidas como Identidades e é denotada por I • A . I = I . A = A • Uma matriz n x n é invertível se existe uma matriz n x n B tal que A.B = B.A = I • Nesse caso, dizemos que B é a inversa de A, denotada por 𝑨−𝟏 Matriz Booleana • Matrizes Booleanas são compostas somente por elementos 0 e 1 • A soma e multiplicação booleanas são definidas de maneiras diferentes das somas e multiplicações usuais. • Multiplicação Booleana: x ∧ y = min(x,y) • Soma Booleana: x ∨ y = max(x, y) • As operações com matrizes booleanas também são conhecidas como e booleano ou (e lógico) e ou booleano ou (ou lógico). • A multiplicação booleana é definida por: (𝑎𝑖𝑘 ∧ 𝑏𝑘𝑗) 𝑚 𝑘=1 • A = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 B = 1 0 0 1 1 1 0 0 1 A ∧ B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A ∨ B = 1 1 0 1 1 1 0 0 1 • A x B • (1∧1)∨(1∧1)∨(0∧0) (1∧0)∨(1∧1)∨(0∧0) (1∧0)∨(1∧1)∨(0∧1) • (0∧1)∨(1∧1)∨(0∧0) (0∧0)∨(1∧1)∨(0∧0) (0∧0)∨(1∧1)∨(0∧1) • (0∧1)∨(0∧1)∨(1∧0) (0∧0)∨(0∧1)∨(1∧0) (0∧0)∨(0∧1)∨(1∧1) • 1∨1∨0 = 1 0∨1∨0 = 1 0∨1∨0 = 1 • 0∨1∨0 = 10∨1∨0 = 1 0∨1∨0 = 1 • 0∨0∨0 = 0 0∨0∨0 = 0 0∨0∨1 = 1 • A x B = 1 1 1 1 1 1 0 0 1