Lista 4 - Módulo 1 - Curso de Análise 1 (UnB) - Prof Celius

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1
Mo´dulo 1 Lista 4 1.o/2013
1) Sejam f : A→ R uma func¸a˜o dada e c ∈ R tal que (c, d) ⊂ A para algum d > c. Segundo
os itens que se seguem, as afirmac¸o˜es I e II dada abaixo sa˜o equivalentes, e caracterizam a
existeˆncia do limite lateral limx→c+ f(x).
I - (f(xn)) e´ convergente para toda sequeˆncia xn → c com xn > c.
II- Existe l ∈ R com a propriedade de que: dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)− l| < ǫ
para todo x ∈ A com c < x < c+ δ.
a) Para i = 1, 2, supor que as sequeˆncias xin → c e xin > c sejam tais que f(xin) → li.
Mostre que, se l1 6= l2, enta˜o existe sequeˆncia (xn) tal que (f(xn)) na˜o converge.
b) Conclua que, nas condic¸o˜es de I acima, f(xn)→ l onde l e´ independente de (xn).
c) Obtenha a negac¸a˜o lo´gica da afirmac¸a˜o: dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que |f(x)− l| < ǫ
para todo x ∈ A com c < x < c+ δ.
d) Use os itens anteriores para mostrar que I ⇒ II.
e) Finalmente, mostre que II ⇒ I.
2) Indique por [x] o maior inteiro menor ou igual a x, e seja f : R→ R dada por f(x) = [x].
Observe que, para n ∈ Z, tem-se que f(x) = n para n ≤ x < n + 1.
a) Esboce o gra´fico de f no intervalo [−2, 2].
b) Calcule os limites laterais de f em um ponto x 6∈ Z.
c) Calcule os limites laterais de f em um ponto x ∈ Z.
d) Use a desigualdade (1 + r)n ≥ n(n− 1) r2
2
, com n ∈ N e r ≥ 0, para calcular os limites
limn→∞ n
√
n e limn→∞
n
√
n + 1.
e) Use os itens anteriores e as propriedades do limite para calcular limx→∞ [x]
√
x.
3) Seja f : I → R uma func¸a˜o dada, onde I ⊂ R e´ um intervalo. f e´ Ho¨lder-cont´ınua se
existem M > 0 e α > 0 tais que |f(x)− f(y)| ≤ M |x − y|α ∀ x, y ∈ I. M e α sa˜o ditos a
constante e o expoente de Ho¨lder, respectivamente.
a) Mostre que uma func¸a˜o Ho¨lder-cont´ınua e´ cont´ınua em seu domı´nio.
b) Verifique que, se I = [a, b] e´ um intervalo limitado e f : I → R e´ dada por f(x) = x2,
enta˜o f e´ Ho¨lder-cont´ınua com expoente α = 1.
c) Argumentando por contradic¸a˜o, verifique agora que f : R → R, f(x) = x2, na˜o e´
Ho¨lder-cont´ınua de expoente α = 1.
d) Suponha f : [0,∞) → R, f(x) = √x. Use a igualdade x − y = (√x −√y)(√x +√y)
para concluir que f na˜o e´ Ho¨lder-cont´ınua de expoente α = 1.
e) Finalmente, multiplicando a desigualdade
√
x − √y ≤ √x + √y por √x − √y, com
x ≥ y, conclua que a func¸a˜o do item anterior e´ Ho¨lder-cont´ınua de expoente α = 1
2
.
Ana´lise 1 Mo´dulo 1 Lista 4 1.o/2013 – 1/2
4) Suponha que f : [a, b] → [a, b] seja uma contrac¸a˜o, isto e´, que existe 0 < λ < 1 tal que
|f(x)− f(y)| ≤ λ|x − y| para todo x, y ∈ [a, b]. Nesse caso, como segue dos itens abaixo, a
func¸a˜o necessariamente possui um ponto fixo, isto e´, um ponto x ∈ [a, b] tal que f(x) = x.
Escolha um x1 ∈ [a, b] qualquer e defina a sequeˆncia (xn) por xn = f(xn−1) para n ≥ 2.
a x b
a
f(x)
b
a) Mostre que f e´ cont´ınua em qualquer ponto de seu domı´nio.
b) Mostre que existe K > 0 tal que |xn+2 − xn+1| ≤ Kλn para
todo n ∈ N.
c) Verifique agora que existe o limn→∞ xn = x.
d) Conclua que o valor x do limite acima e´ um ponto fixo de f .
e) Verifique que a func¸a˜o f : [0, 1]→ [0, 1] dada por f(x) = 1
3
x2 e´ uma contrac¸a˜o, e calcule
o seu ponto fixo.
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