Evolução da Notação para Derivadas

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O Baricentro da Mente Kleber Kilhian
Kleber Kilhian
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O Baricentro da Mente Kleber Kilhian
A evolução da notação 
para derivadas
Desde quando iniciamos nossos estudos nos primeiros 
anos de escola, aprendemos a resolver certos problemas, como 
somar e subtrair, multiplicar e dividir. Mais adiante aprende-
mos exponenciação e radiciação. Já na graduação, especifica-
mente de Matemática ou Engenharia, aprendemos sobre 
somatórios, produtórios, derivadas, integrais e equações dife-
renciais. Para o bom entendimento desta e de outras opera-
ções, precisamos de um bom sistema de notação matemática.
Quando Isaac Newton inventou seu Cálculo através do 
método das fluxões ele utilizava uma notação de ponto sobre 
uma letra para representar a fluxão (derivada) que se pretendia 
encontrar, que chamou de notação de letra pontuada. Para en-
contrar uma derivada, por exemplo de , deve-se obter 
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uma relação entre e em relação ao tempo. Newton pensava 
como uma quantidade variável fluindo uniformemente com 
tempo. A derivada, em sua notação de ponto, ficaria como 
. A derivada, ou a taxa de variação de em relação a 
é a proporção entre as suas fluxões, e, por fim, a derivada de fi-
caria representada como .
Esta notação de Newton não era muito eficiente, mas, 
mesmo assim, permaneceu em uso na Inglaterra por mais de 
um século, devido ao prestígio que os matemáticos ingleses ti-
nham em relação a Newton. Ainda hoje em dia pode ser encon-
trada em livros de Física para denotar a diferenciação em 
relação ao tempo.
No entanto, na Europa continental a notação adotada 
foi a de Leibniz, que se mostrou muito mais eficiente e a difu-
são se deu principalmente por conta dos irmãos Bernoullis. 
Leibniz pensava em e como incrementos muito pequenos 
nas variáveis e e a proporção entre elas ofereceu uma medi-
da da taxa de variação de em relação a . Atualmente, utili-
zamos a letra grega delta maiúscula ( ) para denotar as 
diferencias de Leibniz. A proporção é escrito como , en-
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quanto simboliza o limite quando e se aproxima 
de zero.
A notação de Leibniz apresenta muitas vantagens 
operacionais, pois a sugestão de utilizá-la como uma fração or-
dinária é grande e em muitos casos, se comporta como tal. Por 
exemplo, se e , então é uma função indireta 
de . Para calcularmos a derivada dessa função com-
posta devemos utilizar a regra da cadeia:
Embora cada derivada seja um limite de uma proporção, ela se 
comporta como se fosse uma proporção real entre duas quanti-
dades finitas.
Se tivermos uma função ela terá um inverso 
, com uma derivada recíproca da derivada original:
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Podemos ver que a notação de Leibniz de certa forma 
se comporta como frações ordinárias.
Existe uma outra notação para derivada que merece 
destaque por possuir a vantagem de ser concisa e foi proposta 
por Lagrange em seu tratado Théorie des fonctions analyti-
ques. Lagrange utilizou um apóstrofo para indicar a derivada. 
Por exemplo, se , então sua derivada será representada 
por ou simplesmente por . Assim, se , então sua 
derivada será .
No mesmo tratado, Lagrange propôs a notação para 
função de , que é o precursor do símbolo que utilizamos hoje 
para denotar funções . Lagrange chamou de função 
derivada de . E para a segunda derivada de , escreveu ou 
.
Se for uma função com duas variáveis independentes, 
por exemplo , quando formos derivá-la, devemos es-
pecificar em relação a qual das variáveis estamos diferenciando. 
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Neste caso, usamos a letra no lugar de para obtermos as 
duas derivadas parciais de :
Nesta notação, todas as variáveis serão tomadas como 
constantes, exceto aquelas indicadas. Por exemplo: se 
, então as derivadas parciais serão:
 e 
No primeiro caso, foi tomado como uma constante e, 
portanto, a derivada foi realizada em relação a ; No segundo 
caso, foi tomado como constante sendo realizada a derivada 
em relação a .
A notação foi usada pela primeira vez por Legendre 
em 1786 em sua obra Memoire sur la manière de distinguer les 
maxima des minima dans le Calcul des Variations.
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Em 1841, Jacobi reintroduziu a notação em seu artigo 
De determinatibus Functionalibus. O símbolo em alguns ca-
sos é chamado de delta de Jacobi.
Operadores diferenciais:
Cada operador está associado a um procedimento espe-
cífico, de modo que devemos saber como este procedimento de-
ve ser executado. Por exemplo, para indicar a soma entre duas 
quantidades e , utilizamos o operador de adição, cujo símbo-
lo é , lemos: "mais", e representamos assim: e quer dizer 
que devemos somar uma quantidade à outra.
Outros operadores são muito utilizados em nosso cotidi-
ano, como o operador para subtração (menos), para multipli-
cação (vezes), para raiz (raiz quadrada de), e muitos 
outros.
No entanto, um operador somente adquire um significa-
do se for aplicado a uma quantidade sobre a qual ele pode ope-
rar. Por exemplo . Isso quer dizer que, a raiz 
quadrada de é igual a ou a , pois assim como 
.
No Cálculo não é diferente. Para indicarmos uma dife-
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renciação usamos o símbolo operador de Leibniz , indican-
do que o que vier à direita do operador deverá ser diferenciado, 
mas o que estiver à esquerda, não. Por exemplo:
Se desejarmos encontrar a segunda derivada, utiliza-
mos:
Em 1800, o símbolo foi usado como operador diferen-
cial pelo francês Louis François Antoine Arbogast, muito em-
bora Johann Bernoulli já o tivesse usado de modo não 
operacional, mas foi o engenheiro eletricista inglês Oliver Hea-
viside que elevou o uso do símbolo como operador diferencial 
à condição de uma verdadeira arte, manipulando habilmente o 
símbolo e tratando-o como uma quantidade algébrica. Heavi-
side resolveu numerosos problemas aplicados de modo elegante 
e eficaz, envolvendo equações diferenciais que surgiam na teoria 
elétrica.
Da mesma forma que o operador leibniziano, o símbolo 
 age sobre qualquer função que estiver imediatamente à direi-
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ta. Por exemplo:
E para uma segunda diferenciação, utilizamos :
Assim, podemos denotar , com inteiro positivo, 
como diferenciações sucessivas. Algo bem interessante ocorre 
se for negativo: obtemos uma antidiferenciação, ou seja, uma 
integral indefinida. Por exemplo:
Vamos analisar uma função específica. Sabemos que a 
função é igual à sua própria derivada. Aplicando o ope-
rador , obtemos , que é uma equação diferencial cuja 
solução geral é . É tentado tratar como uma 
equação algébrica ordinária, dividindo ambos os lados por 
obtendo o que em si não tem significado alguma, mas 
ganharia seu significado se multiplicarmos ambos os lados por 
.
Esse tipo de manipulação torna o operador útil para 
resolver certos tipos de equações diferenciais. Por exemplo, a 
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equação diferencial:
pode ser escrita como:
Se tomarmos que os símbolos utilizados nesta equação 
como quantidades algébricas ordinárias,podemos utilizar de 
suas propriedades colocar $y$ em evidência:
Analisando esta nova equação, temos que o produto de 
dois fatores é igual a . Ou , que é a solução trivial e que 
nada nos interessa, ou , que é muito mais inte-
ressante. Neste caso, podemos ainda fatorar o membro esquer-
do como:
Novamente temos um produto de dois fatores que é 
igual a . As soluções para esta equação é:
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Estas soluções são meramente declarações operacionais, 
temos que que multiplicá-las por para obtermos um sentido:
A primeira equação tem solução geral como e 
a segunda equação tem como solução geral , onde 
 e são constantes arbitrárias. Como a equação original é 
linear e seu lado direito é igual a , a soma dessas soluções 
também é uma solução, ou seja , e que de 
fato é a solução geral para a equação .
Heaviside não tinha uma educação formal em Mate-
mática e a manipulação de , até certo ponto descuidada, foi 
censurada por matemáticos profissionais. Mas Heaviside justifi-
cou seus métodos dizendo que o fim justifica os meios, pois o 
método que utilizava produzia resultados corretos e uma justi-
ficação rigorosa não era de grande importância para ele, mas 
que foi encontrada num método mais avançado conhecido hoje 
como transformada de Lapalce.
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Referências:
•e, a história de um número - Eli Maor
•A rainha das Ciências - Gilberto Geraldo Garbi
Links para este artigo:
•http://bit.ly/evolucao-notacao-derivadas 
•https://www.obaricentrodamente.com/2019/02/a- 
evolucao-da-notacao-para-derivadas.html
Veja mais:
•Qual a melhor notação para derivadas? 
•Leibniz e as diferenciais 
•Algumas observações sobre a notação de derivadas 
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