Noções Primitivas de Geometria e Trigonometria - Exercícios 1 (1)

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1. (G1 - cftmg 2020) As alturas de dois prédios, 
em relação ao solo, são 2.640 cm e 4.720 cm. Do 
topo de um deles (ponto A), avista-se o topo do 
outro (ponto B) sob um ângulo de 30 , em relação 
ao plano horizontal, como mostra a figura a seguir. 
 
 
 
Nessas condições, é correto afirmar que a distância 
de A até B é, em cm, igual a 
a) 2.360 
b) 2.640 
c) 4.160 
d) 4.320 
 
2. (G1 - epcar (Cpcar) 2020) À noite, um 
helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa 
uma região plana e avista um VANT (Veículo 
Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura 
desprezível, com raio de 3 m, estacionado 
paralelamente ao solo a 30 m de altura. 
O VANT está a uma distância y metros de um 
holofote que foi instalado no helicóptero. 
O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT 
incide sobre a região plana e produz uma sombra 
circular de centro O e raio R. 
O raio R da circunferência da sombra forma um 
ângulo de 60 com o feixe de luz, conforme se vê 
na figura seguinte. 
 
 
 
Nesse momento, uma pessoa que se encontra num 
ponto A da circunferência da sombra corre para o 
ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à 
região plana. 
 
A distância, em metros, que essa pessoa percorre 
de A até O é um número entre 
a) 18 e 19 
b) 19 e 20 
c) 20 e 21 
d) 22 e 23 
 
3. (G1 - ifpe 2020) Uma das mais fantásticas 
construções humanas é a Torre Eiffel, imagem de 
referência da cidade de Paris, na França. 
Construída no final do século XIX, ela impressiona 
pelo seu tamanho. Uma pessoa, a 561 metros de 
distância do centro da base da Torre, consegue 
avistar seu topo segundo um ângulo de 30 com a 
horizontal. Desconsiderando a altura da pessoa e 
tomando 3 1,7,= a altura da Torre corresponde, 
aproximadamente, à altura de um prédio de quantos 
andares? (Considere que cada andar mede 3 m). 
a) 140 andares. 
b) 110 andares. 
c) 200 andares. 
d) 170 andares. 
e) 80 andares. 
 
4. (Unesp 2020) Uma das finalidades da Ciência 
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Forense é auxiliar nas investigações relativas à 
justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que 
pode ser empregada na análise de uma cena de 
crime. 
 
Uma gota de sangue que cai perfeitamente na 
vertical, formando um ângulo de 90º com a 
horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida 
que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, 
a mancha fica cada vez mais longa. 
 
As ilustrações mostram o alongamento da gota de 
sangue e a relação trigonométrica envolvendo o 
ângulo de impacto e suas dimensões. 
 
 
 
Considere a coleta de uma amostra de gota de 
sangue e a tabela trigonométrica apresentadas a 
seguir. 
 
 
 
α sen α cos α tg α 
31 0,51 0,85 0,60 
37 0,60 0,80 0,75 
53 0,80 0,60 1,32 
59 0,85 0,51 1,66 
74 0,96 0,28 3,50 
 
De acordo com as informações, o ângulo de 
impacto da gota de sangue coletada na amostra foi 
de 
a) 37 
b) 74 
c) 59 
d) 53 
e) 31 
 
5. (G1 - cp2 2019) A haste (de 7 m de 
comprimento) de uma bandeira está apoiada, 
verticalmente, sobre o telhado de uma escola. De 
um ponto do plano horizontal onde a escola se 
situa, avistam-se a ponta superior e a base dessa 
haste, em ângulos de 60 e 45 , respectivamente, 
conforme mostra a figura: 
 
Considere: 3 1,7 
 
 
 
A altura aproximada da escola, em metros, é 
a) 4. 
b) 7. 
c) 10. 
d) 17. 
 
6. (G1 - ifpe 2019) Analise a figura a seguir e 
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responda o que é solicitado. 
 
 
 
Um avião está voando paralelamente ao solo 
conforme demonstrado na figura. Marcelinho, cuja 
distância dos olhos até o solo é de 1,5 m, avista o 
avião com um ângulo de visão de 30 . Nesse 
momento, a distância do avião ao solo é igual a 
a) 6,5 3 m. 
b) 5 m. 
c) 5 3. 
d) 6,5 m. 
e) 11,5 m. 
 
7. (Famerp 2019) Duas equipes de escavação vão 
perfurar um túnel AB em uma montanha, sendo 
que uma delas partirá de A e a outra de B, a fim de 
se encontrarem. Para cavar nas direções corretas os 
engenheiros precisam determinar as medidas dos 
ângulos α e ,β indicados na figura, que essa 
direção forma com as retas perpendiculares AC e 
BC, respectivamente. 
 
 
 
Dados: 
x 63,4 68,2 71,6 74 76 
tgx 2 2,5 3 3,5 4 
 
De acordo com o projeto e com os dados 
fornecidos, α e β são, respectivamente, iguais a 
a) 18,4 e 71,6 . 
b) 21,8 e 68,2 . 
c) 14 e 76 . 
d) 26,6 e 63,4 . 
e) 16 e 74 . 
 
8. (G1 - cotil 2019) O prefeito de uma cidade 
turística pretende construir um teleférico unindo o 
parque cultural ao topo de uma montanha de 200 m 
de altura, como mostra a figura abaixo. 
Considerando que a plataforma de embarque do 
teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão e 
que o pico da montanha possa ser observado sob 
um ângulo de 30 , determine a distância percorrida 
pelo teleférico do ponto de embarque ao topo da 
montanha. 
 
 
a) 350 m 
b) 370 m 
c) 390 m 
d) 410 m 
 
9. (G1 - cmrj 2018) O retângulo PQRS é a 
representação de uma mesa de sinuca. O objetivo é 
alcançar a bola verde, representada pelo ponto V, 
com a bola branca, representada pelo ponto B. 
Sabe-se que o ângulo de incidência é igual ao 
ângulo de reflexão, como destacado na figura 
abaixo. 
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Qual o valor da tangente do ângulo ?β 
a) 32 37 
b) 33 37 
c) 36 37 
d) 32 35 
e) 33 35 
 
10. (G1 - ifpe 2018) Os alunos pré-egressos do 
campus Jaboatão dos Guararapes resolveram ir até 
a Lagoa Azul para celebrar a conclusão dos cursos. 
Raissa, uma das participantes do evento, ficou 
curiosa pra descobrir a altura do paredão rochoso 
que envolve a lagoa. Então pegou em sua mochila 
um transferidor e estimou o ângulo no ponto A, na 
margem onde estava, e, após nadar, 
aproximadamente, 70 metros em linha reta em 
direção ao paredão, estimou o ângulo no ponto B, 
conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
 
De acordo com os dados coletados por Raissa, qual 
a altura do paredão rochoso da Lagoa Azul? 
 
Dados: sen (17 ) 0,29, = tan (17 ) 0,30, = 
cos (27 ) 0,89 = e tan (27 ) 0,51. = 
a) 50 metros. 
b) 51 metros. 
c) 89 metros. 
d) 70 metros. 
e) 29 metros 
 
11. (Famema 2018) A figura mostra um quadrado 
ABCD, com 6 cm de lado, e um triângulo retângulo 
ABF de hipotenusa AF, com o ponto F no 
prolongamento do lado BC e o ponto E sendo a 
intersecção dos segmentos DC e AF. 
 
 
 
Sabendo que o ângulo ˆFAB mede 60 , a medida do 
segmento CE é 
a) ( 3 3) cm.+ 
b) (2 3 3) cm.+ 
c) 2(3 3) cm.+ 
d) 2 3 cm. 
e) 2(3 3) cm.− 
 
12. (Insper 2016) O quadrilátero ABCD indicado 
na figura possui ângulo reto em A, um ângulo 
externo de 60 em B e três lados de medidas 
conhecidas, que são AB 7 cm,= BC 6 cm= e 
CD 12 cm.= 
 
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Nesse quadrilátero, a medida de AD, em 
centímetros, é igual a 
a) 3(2 3)+ 
b) 2 11 3 3+ 
c) 2( 11 3)+ 
d) 9 3 
e) 12 3 
 
13. (Mackenzie 2015) 
 
 
Na figura acima, as circunferências 1λ e 2λ são 
tangentes no ponto C e tangentes à reta r nos 
pontos E e F, respectivamente. Os centros, 1O e 
2O , das circunferências pertencem à reta s. Sabe-
se que r e s se interceptam no ponto A, formando 
um ângulo de 30 . 
 
Se AE mede 2 3 cm, então os raios das 
circunferências 1λ e 2λ medem, respectivamente,a) 3 cm e 15 cm 
b) 3 cm e 2 cm 
c) 2 cm e 6 cm 
d) 2 cm e 4 cm 
e) 2 3 cm e 4 cm 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
 
 
No triângulo ABC, destacado na figura, temos: 
4720 2640 1 2080
sen30 AB 4160 cm
AB 2 AB
−
 =  =  = 
 
Resposta da questão 2: [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Desde que os ângulos BAO e BCD são 
correspondentes, temos 
BD y
tgBCD tg60
3CD
y 3 3 m.
=   =
 =
 
 
Portanto, segue que 
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BO 3 3 30
tgBAO tg60
xAO
30
x 3
3
x 3 10 3
x 20,3 m.
+
=   =
 = +
 = +
 
 
 
É imediato que x ]20, 21[. 
 
Resposta da questão 3: [B] 
 
Sendo H a altura da torre, temos: 
 
 
 
H 3 H
tg30
561 3 561
1,7 561
H H 317,9 m
3
 =  = 

 =  =
 
 
Sendo N o número aproximado de andares, 
devemos ter que: 
317,9
N 106
3
=  
 
Ou seja, dentre as opções, podemos concluir que a 
torre possui aproximadamente 110 andares. 
 
Resposta da questão 4: [A] 
 
Desde que o seno do ângulo de impacto, ,α é dado 
pela razão entre a largura e o comprimento da gota 
de sangue, temos 
1,5
sen 0,6.
2,5
α = = 
 
Portanto, da tabela, segue que 37 .α   
 
Resposta da questão 5: [C] 
 
Calculando: 
𝑡𝑔 45° =
ℎ
𝑥
⇒ 1 =
ℎ
𝑥
⇒ 𝑥 = ℎ 
𝑡𝑔 60° =
ℎ+7
ℎ
⇒ √3 =
ℎ+7
ℎ
⇒ ℎ√3 − ℎ = 7 ⇒
1,7ℎ− ℎ = 7 ⇒ ℎ =
7
0,7
= 10 
 
Resposta da questão 6: [D] 
 
Calculando: 
altitude avião x 1,5
x 1 x
sen 30 x 5
10 2 10
altitude avião 5 1,5 6,5 m
= +
 =  =  =
= + =
 
 
Resposta da questão 7: [A] 
 
Calculando: 
BC 20 14 6 m
AC 3 14 1 18 m
18
tg 3 71,6
6
90 71,6 90 18,4
β β
α β α α
= − =
= + + =
= =  = 
+ =   +  =   = 
 
 
Resposta da questão 8: [C] 
 
 
 
195 1 195
sen30 x 390 m
x 2 x
 =  =  = 
 
Resposta da questão 9: [B] 
 
Do enunciado e da figura, temos: 
 
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Os triângulos CBF e VDE são semelhantes, logo: 
x 0,9
0,75x xy 0,315
0,35 0,75 y
=  − =
−
 
 
Os triângulos CBF e CDP são semelhantes, logo: 
x 0,9
xy 1,35 0,9x
1,5 x y
=  = −
−
 
 
Substituindo xy 1,35 0,9x= − na equação 
0,75x xy 0,315,− = 
( )0,75x 1,35 0,9x 0,315
0,75x 1,35 0,9x 0,315
111
x
110
− − =
− + =
=
 
 
Assim, no triângulo CBF, temos: 
0,90
tg
111
110
33
tg
37
β
β
=
=
 
 
Resposta da questão 10: [B] 
 
Considerando x a altura do paredão e y a distância 
do ponto B ao paredão, temos: 
 
 
 
( )
x
tg27 x y tg27 x 0,51y (I)
y
x
tg17 x y 70 tg17 x 0,30y 21 (II)
y 70
 =  =    =
 =  = +    = +
+
 
 
Fazendo (I) (II),= temos: 
0,51y 0,30y 21 0,21y 21 y 100= +  =  = 
 
Logo, a altura do paredão será: 
x 0,51 100 51m.=  = 
 
Resposta da questão 11: [E] 
 
Desde que ABCD é quadrado, temos 
DAE 90 FAB
90 60
30 .
=  −
=  − 
= 
 
 
Portanto, sabendo que 
3
tg30 ,
3
 = do triângulo 
ADE, vem 
ED 6 CE
tgDAE tg30
6AD
CE 6 2 3
CE 2(3 3)cm.
−
=   =
 = −
 = −
 
 
Resposta da questão 12: [B] 
 
 
 
Pelo ponto C traça-se a reta s // AB de modo que 
r AB {P} = 
Pelo ponto D traça-se s // r de modo que r s {Q}. = 
Concluímos então que AD PQ,= ou seja 
AD PC QC.= + 
No triângulo BPC, temos: 
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PC 3
sen60 PC 6 PC 3 3cm
6 2
BP 1
cos60 BP 6 BP 3cm
6 2
=  =   = 
=  =   = 
Portanto, DQ AP 7 3 10 cm= = + = 
 
No triângulo DQC, temos: 
2 2 2 2CQ 10 12 CQ 44 CQ 2 11+ =  =  =  
Logo, PQ PC CQ 3 3 2 11= + =  +  (opção [B]) 
 
Resposta da questão 13: [C] 
 
Do triângulo retângulo 1AEO , vem 
 
1
1
EO 3
tg30 EO 2 3 2cm.
3AE
 =  =  = 
 
Assim, temos 
 
1
1
1
EO
sen30 AO 4cm.
AO
 =  = 
 
Em consequência, sendo 1 1AO AB BO ,= + podemos 
concluir que AB 2cm.= 
 
Finalmente, como os triângulos 1AEO e 2AFO são 
semelhantes por AA, encontramos 
 
2 2 2 2
1 1
2
FO AO FO 6 FO
2 4EO AO
FO 6cm.
+
=  =
 =
 
 
 
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