Prova de Cálculo Diferencial e Integral - III - Exercício do Conhecimento - Tentativa 1 de 2

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Prova de Cálculo Diferencial e Integral - III - Exercício do Conhecimento - Tentativa 1 de 2
Questão 1 de 5
Um dos objetivos das derivadas parciais é localizar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis. A partir dessa informação, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
I – A função de duas variáveis R2 → R2 , definida por ƒ ( x, y ) = 12 -2x2 -3y2 + 5x - 4 y,
possui um ponto crítico que é um máximo local.
PORQUE
II – De acordo com o Teste da Derivada Segunda, a derivada segunda de  ƒ ( x, y ) é negativa e o determinante Hessiano é positivo.
Acerca dessas asserções, assinale a opção correta:
A -
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
B -
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, é uma proposição falsa.
C -
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
Resposta correta
D -
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
E -
Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Questão 2 de 5
Uma função ƒ de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais ( χ , γ ) de um conjunto D um único valor real, designado por ƒ( χ , γ ). O conjunto D é o domínio de ƒ e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de ƒ, ou seja, {ƒ ( χ , γ ) / ( χ , γ ) ε D . Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa correta a respeito do domínio da função .
A -
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou acima da reta y = -x -2 , enquanto x = ± 2 significa que os pontos sobre as retas x = -2 e x = +2 devem ser excluídos do domínio.  
Resposta correta
B -
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão acima da reta y = - x -2, enquanto x = ± 2 significa que os pontos sobre as retas x = -2 e x = +2 devem ser excluídos do domínio.
C -
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou abaixo da reta y = -x -2 e pelos pontos sobre as retas x = -2 e x = +2 devem ser excluídos do domínio.
D -
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou abaixo da reta y = -x -2, enquanto x = ±2 significa que os pontos sobre as retas x = -2 e x = +2 devem ser excluídos do domínio.
E -
O domínio de g é o conjunto formado pelos pontos que estão sobre ou acima da reta y = -x -2 e pelos pontos sobre as retas x = -2 e x = +2.
Questão 3 de 5
O gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis representa uma superfície. À medida que se realiza, sucessivamente, um zoom de um ponto nessa superfície, esta se torna, cada vez mais, semelhante a um plano tangente.  Considere a função ƒ ( x, y ) = - 3xey + 4y
A partir dessa função, avalie as informações a seguir.
I. A equação do plano tangente à função ƒ ( x, y ) no ponto (-3, 0) é dada por: z = -3x + 13y
II. O vetor gradiente da função ƒ ( x, y ) no ponto (-3, 0) é nulo.  
III. As derivadas parciais de ƒ ( x, y ) são funções contínuas em R2 .
É correto o que se afirma em:
A -
I e II, apenas.
B -
I e III, apenas.
Resposta correta
C -
I, II e III.
D -
II, apenas.
E -
III, apenas.
Questão 4 de 5
Em uma função de duas variáveis, diz-se que sua diferencial fornece uma aproximação do incremento Az que a função sofre ao ser feita a linearização de f no ponto (xo, yo). Considere a função f(x, y) —x 3 + 2x 2 — y 2 — 4xy.
A partir dessa função, avalie as informações a seguir.
l. A diferencial (dz) de f quando (x, y) passa de (—3,2) para (—3,4, 1,96) pode ser expressa pelo intervalo: 18 dz 18,5.
II. Quando (x, y) passa de (—3,2) para (—3,4, 1,96), o incremento (Az) é negativo.
III. O erro de aproximação, em módulo, do incremento Az, quando x e y variam, é de 0,7584. É correto o que se afirma em:
A -
I e II, apenas
Resposta correta
B -
I e III, apenas
C -
I, II e III
D -
II, apenas
E -
III, apenas
Questão 5 de 5
O cálculo de integrais duplas possibilita determinar, dentre outras grandezas, o volume de um sólido situado acima de uma região R e abaixo de uma superfície z, cujo gráfico é representado pela função f (x, y). Um dos métodos práticos para calcular integrais duplas deu origem ao Teorema de Fubini. Considere uma função de duas variáveis R 2 -+ R 2 definida por f (x, y) = 1 e a região R = {(x,y)/—l < x 2, —2 1}.
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A partir das informações apresentadas, o volume do sólido situado acima da região R e abaixo da função f é:
A -
141/16
B -
163/27
C -
23/4
Resposta correta
D -
25/3
E -
31/5