Cálculo de Integrais e Volume

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
CÁLCULO IV – AULA 1 / TAREFA 1
ALUNO: ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA
1. Calcule as integrais duplas abaixo:
a.
∫∫
(x+ 2y) dx dy sobre o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
∫ 1
0
∫ 2
1
(x+ 2y) dx dy =
∫ 1
0
[
x2
2
+ 2xy
]x=2
x=1
dy
=
∫ 1
0
((
4
2
+ 4y
)
−
(
1
2
+ 2y
))
dy
=
∫ 1
0
(
3
2
+ 2y
)
dy
=
[
3
2
y + y2
]1
0
=
3
2
+ 1 =
5
2
b.
∫∫
x cos(2y) dx dy sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 1, −π
4 ≤ y ≤ π
4
∫ 1
0
∫ π/4
−π/4
x cos(2y) dy dx =
(∫ 1
0
x dx
)(∫ π/4
−π/4
cos(2y) dy
)
=
[
x2
2
]1
0
[
sin(2y)
2
]π/4
−π/4
=
(
1
2
)(
sin(π/2)
2
− sin(−π/2)
2
)
=
(
1
2
)(
1
2
−
(
−1
2
))
=
(
1
2
)
(1) =
1
2
1
2. Calcule o volume do sólido descrito pelo conjunto:
V = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ √
xy}
V =
∫ 2
1
∫ 2
0
∫ √
xy
0
1 dz dx dy =
∫ 2
1
∫ 2
0
√
xy dx dy
V =
(∫ 2
0
x1/2 dx
)(∫ 2
1
y1/2 dy
)
V =
[
2
3
x3/2
]2
0
[
2
3
y3/2
]2
1
V =
(
2
3
· 2
√
2
)(
2
3
(2
√
2− 1)
)
V =
(
4
√
2
3
)(
4
√
2− 2
3
)
=
16(2)− 8
√
2
9
=
32− 8
√
2
9
3. Calcule as integrais triplas abaixo:
a.
∫∫∫
B xyz dx dy dz onde B é 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2
∫ 2
0
∫ 1
0
∫ 2
1
xyz dz dy dx =
(∫ 2
0
x dx
)(∫ 1
0
y dy
)(∫ 2
1
z dz
)
=
[
x2
2
]2
0
[
y2
2
]1
0
[
z2
2
]2
1
= (2)
(
1
2
)(
2− 1
2
)
= (1)
(
3
2
)
=
3
2
b.
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 1+y2
2y x dz dy dx
∫ 1+y2
2y
x dz = x[z]1+y2
2y = x(1 + y2 − 2y) = x(1− y)2∫ 1−x
0
x(1− y)2 dy = x
[
−(1− y)3
3
]1−x
0
= x
(
−(1− (1− x))3
3
−
(
−1
3
))
= x
(
−x3
3
+
1
3
)
=
x− x4
3∫ 1
0
x− x4
3
dx =
1
3
[
x2
2
− x5
5
]1
0
=
1
3
(
1
2
− 1
5
)
=
1
3
(
3
10
)
=
1
10
2
4. Calcule a massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
cuja densidade é a soma das coordenadas.
M =
∫∫∫
B
δ(x, y, z) dV =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0
(x+ y + z) dz dy dx
=
∫ 1
0
∫ 1
0
[
xz + yz +
z2
2
]z=1
z=0
dy dx =
∫ 1
0
∫ 1
0
(
x+ y +
1
2
)
dy dx
=
∫ 1
0
[
xy +
y2
2
+
1
2
y
]y=1
y=0
dx =
∫ 1
0
(
x+
1
2
+
1
2
)
dx =
∫ 1
0
(x+ 1) dx
=
[
x2
2
+ x
]1
0
=
1
2
+ 1 =
3
2
3