Polinômio de Taylor de arctan

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Questão 6
Obtenha o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = arctan(x), centrado em x = 0.
O polinômio de Taylor de grau 4 em torno de x = 0 (Maclaurin) é dado por:
P4(x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 +
f (4)(0)
4!
x4
Calculando as derivadas sucessivas de f(x) = arctan(x):
f(x) = arctan(x) ⇒ f(0) = 0
f ′(x) =
1
1 + x2
⇒ f ′(0) = 1
f ′′(x) =
−2x
(1 + x2)2
⇒ f ′′(0) = 0
f ′′′(x) =
−2(1 + x2)2 − (−2x) · 2(1 + x2)(2x)
(1 + x2)4
=
6x2 − 2
(1 + x2)3
⇒ f ′′′(0) = −2
f (4)(x) =
12x(1 + x2)3 − (6x2 − 2) · 3(1 + x2)2(2x)
(1 + x2)6
=
24x− 24x3
(1 + x2)4
⇒ f (4)(0) = 0
Substituindo os valores encontrados na fórmula do polinômio:
P4(x) = 0 + 1 · x+
0
2!
x2 +
−2
3!
x3 +
0
4!
x4
P4(x) = x− 2
6
x3
Portanto, o polinômio de Taylor de grau 4 é:
P4(x) = x− x3
3
1