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Carlos Vinicius

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Questões resolvidas

Considere a série de potências:

∞∑
n=0

(2x)n
a) Quais são os seis primeiros termos da série?

b) Qual é o comportamento da série quando |2x| < 1?

A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, construída a partir das
derivadas de uma função em um único ponto: a origem (x = 0). Ela é expressa por:

f(x) =
∞∑
n=0

f (n)(0)

n!

xn = f(0) + f ′(0)x+

f ′′(0)

2!

x2 + . . .

Relação com a série de Taylor: A série de Maclaurin nada mais é do que a série
de Taylor centrada em c = 0.

Principal diferença: A única diferença entre elas é o ponto de expansão (centro). A
série de Taylor pode ser centrada em qualquer ponto x = c, enquanto a série de Maclaurin
é estritamente centrada em x = 0. Por isso, a série de Maclaurin é mais simples de calcular,
mas a de Taylor é mais flexível para aproximar funções em torno de pontos distantes da
origem.
Qual é a principal diferença entre a série de Maclaurin e a série de Taylor?

A expressão geral da série de Taylor de uma função f(x) desenvolvida em torno de um
ponto x = c é:

f(x) =
∞∑
n=0

f (n)(c)

n!

(x− c)n

Ou, de forma expandida:

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +
f ′′(c)

2!

(x− c)2 +

f ′′′(c)

3!

(x− c)3 + . . .

Papel de cada elemento:

• f (n)(c): Representa o valor da n-ésima derivada da função no centro c. Ele determina
a "forma"ou a curvatura da função naquele ponto exato.

• n!: É o fatorial de n. Ele atua como um fator de normalização, garantindo que, ao
derivar o termo n vezes, o coeficiente original seja recuperado.

• (x− c)n: É o termo variável que mede a distância do ponto x em relação ao centro
c. Ele faz com que a influência dos termos de ordem superior diminua à medida que
nos aproximamos do centro.

Contribuição para a aproximação: Cada termo adicionado à série "corrige"a
aproximação para que ela coincida com a função não apenas no valor, mas também na
primeira derivada, segunda derivada, e assim por diante. Quanto mais termos usarmos,
mais próxima a série fica da função exata em uma vizinhança do ponto c.
Qual é o papel de cada elemento na expressão geral da série de Taylor de uma função f(x) desenvolvida em torno de um ponto x = c?

Determine os cinco primeiros termos da série de Maclaurin de f(x) = cos(x).

Vamos calcular as derivadas sucessivas e avaliá-las em x = 0:

f(x) = cos(x) =⇒ f(0) = 1

f ′(x) = − sen(x) =⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos(x) =⇒ f ′′(0) = −1

f ′′′(x) = sen(x) =⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos(x) =⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sen(x) =⇒ f (5)(0) = 0

Substituindo na fórmula da série de Maclaurin:

f(x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)

2!

x2 +
f ′′′(0)

3!

x3 +
f (4)(0)

4!

x4 +
f (5)(0)

5!

x5 + . . .

cos(x) = 1 + 0 · x+
−1

2!

x2 + 0 · x3 +

1

4!

x4 + 0 · x5 + . . .

Portanto, os cinco primeiros termos (não nulos) são:

cos(x) = 1− x2

2
+

x4

24
− x6

720
+

x8

40320
− . . .

(Nota: se considerarmos estritamente os cinco primeiros termos da soma, incluindo os
nulos, seriam: 1 + 0x− x2

2
+ 0x3 + x4

24
.)
Quais são os cinco primeiros termos da série de Maclaurin de f(x) = cos(x)?

Obtenha o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = arctan(x), centrado em x = 0.

O polinômio de Taylor de grau 4 é dado por:

P4(x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)

2!

x2 +
f ′′′(0)

3!

x3 +
f (4)(0)

4!

x4

Vamos calcular as derivadas:

f(x) = arctan(x) =⇒ f(0) = 0

f ′(x) =
1

1 + x2

= (1 + x2)−1 =⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = −1(1 + x2)−2(2x) =
−2x

(1 + x2)2

=⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) =
−2(1 + x2)2 − (−2x) · 2(1 + x2)(2x)

(1 + x2)4

=

−2(1 + x2) + 8x2

(1 + x2)3

=

6x2 − 2

(1 + x2)3

=⇒ f ′′′(0) = −2

f (4)(x) =
12x(1 + x2)3 − (6x2 − 2) · 3(1 + x2)2(2x)

(1 + x2)6

=
12x(1 + x2)− 6x(6x2 − 2)

(1 + x2)4

=

12x+ 12x3 − 36x3 + 12x

(1 + x2)4

=
24x− 24x3

(1 + x2)4

=⇒ f (4)(0) = 0

Substituindo os valores no polinômio:

P4(x) = 0 + 1 · x+
0

2!

x2 +
−2

3!

x3 +
0

4!

x4

P4(x) = x− 2

6

x3

Portanto, o polinômio de Taylor de grau 4 (que, neste caso, tem grau 3 devido aos
coeficientes nulos) é:

P4(x) = x− x3

3
Qual é o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = arctan(x), centrado em x = 0?

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Um matemático está estudando a representação de funções usando séries de Taylor e Maclaurin. Ele está interessado em encontrar a série de Maclaurin...

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Questões resolvidas

Considere a série de potências:

∞∑
n=0

(2x)n
a) Quais são os seis primeiros termos da série?

b) Qual é o comportamento da série quando |2x| < 1?

A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, construída a partir das
derivadas de uma função em um único ponto: a origem (x = 0). Ela é expressa por:

f(x) =
∞∑
n=0

f (n)(0)

n!

xn = f(0) + f ′(0)x+

f ′′(0)

2!

x2 + . . .

Relação com a série de Taylor: A série de Maclaurin nada mais é do que a série
de Taylor centrada em c = 0.

Principal diferença: A única diferença entre elas é o ponto de expansão (centro). A
série de Taylor pode ser centrada em qualquer ponto x = c, enquanto a série de Maclaurin
é estritamente centrada em x = 0. Por isso, a série de Maclaurin é mais simples de calcular,
mas a de Taylor é mais flexível para aproximar funções em torno de pontos distantes da
origem.
Qual é a principal diferença entre a série de Maclaurin e a série de Taylor?

A expressão geral da série de Taylor de uma função f(x) desenvolvida em torno de um
ponto x = c é:

f(x) =
∞∑
n=0

f (n)(c)

n!

(x− c)n

Ou, de forma expandida:

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +
f ′′(c)

2!

(x− c)2 +

f ′′′(c)

3!

(x− c)3 + . . .

Papel de cada elemento:

• f (n)(c): Representa o valor da n-ésima derivada da função no centro c. Ele determina
a "forma"ou a curvatura da função naquele ponto exato.

• n!: É o fatorial de n. Ele atua como um fator de normalização, garantindo que, ao
derivar o termo n vezes, o coeficiente original seja recuperado.

• (x− c)n: É o termo variável que mede a distância do ponto x em relação ao centro
c. Ele faz com que a influência dos termos de ordem superior diminua à medida que
nos aproximamos do centro.

Contribuição para a aproximação: Cada termo adicionado à série "corrige"a
aproximação para que ela coincida com a função não apenas no valor, mas também na
primeira derivada, segunda derivada, e assim por diante. Quanto mais termos usarmos,
mais próxima a série fica da função exata em uma vizinhança do ponto c.
Qual é o papel de cada elemento na expressão geral da série de Taylor de uma função f(x) desenvolvida em torno de um ponto x = c?

Determine os cinco primeiros termos da série de Maclaurin de f(x) = cos(x).

Vamos calcular as derivadas sucessivas e avaliá-las em x = 0:

f(x) = cos(x) =⇒ f(0) = 1

f ′(x) = − sen(x) =⇒ f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cos(x) =⇒ f ′′(0) = −1

f ′′′(x) = sen(x) =⇒ f ′′′(0) = 0

f (4)(x) = cos(x) =⇒ f (4)(0) = 1

f (5)(x) = − sen(x) =⇒ f (5)(0) = 0

Substituindo na fórmula da série de Maclaurin:

f(x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)

2!

x2 +
f ′′′(0)

3!

x3 +
f (4)(0)

4!

x4 +
f (5)(0)

5!

x5 + . . .

cos(x) = 1 + 0 · x+
−1

2!

x2 + 0 · x3 +

1

4!

x4 + 0 · x5 + . . .

Portanto, os cinco primeiros termos (não nulos) são:

cos(x) = 1− x2

2
+

x4

24
− x6

720
+

x8

40320
− . . .

(Nota: se considerarmos estritamente os cinco primeiros termos da soma, incluindo os
nulos, seriam: 1 + 0x− x2

2
+ 0x3 + x4

24
.)
Quais são os cinco primeiros termos da série de Maclaurin de f(x) = cos(x)?

Obtenha o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = arctan(x), centrado em x = 0.

O polinômio de Taylor de grau 4 é dado por:

P4(x) = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)

2!

x2 +
f ′′′(0)

3!

x3 +
f (4)(0)

4!

x4

Vamos calcular as derivadas:

f(x) = arctan(x) =⇒ f(0) = 0

f ′(x) =
1

1 + x2

= (1 + x2)−1 =⇒ f ′(0) = 1

f ′′(x) = −1(1 + x2)−2(2x) =
−2x

(1 + x2)2

=⇒ f ′′(0) = 0

f ′′′(x) =
−2(1 + x2)2 − (−2x) · 2(1 + x2)(2x)

(1 + x2)4

=

−2(1 + x2) + 8x2

(1 + x2)3

=

6x2 − 2

(1 + x2)3

=⇒ f ′′′(0) = −2

f (4)(x) =
12x(1 + x2)3 − (6x2 − 2) · 3(1 + x2)2(2x)

(1 + x2)6

=
12x(1 + x2)− 6x(6x2 − 2)

(1 + x2)4

=

12x+ 12x3 − 36x3 + 12x

(1 + x2)4

=
24x− 24x3

(1 + x2)4

=⇒ f (4)(0) = 0

Substituindo os valores no polinômio:

P4(x) = 0 + 1 · x+
0

2!

x2 +
−2

3!

x3 +
0

4!

x4

P4(x) = x− 2

6

x3

Portanto, o polinômio de Taylor de grau 4 (que, neste caso, tem grau 3 devido aos
coeficientes nulos) é:

P4(x) = x− x3

3
Qual é o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = arctan(x), centrado em x = 0?

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Um matemático está estudando a representação de funções usando séries de Taylor e Maclaurin. Ele está interessado em encontrar a série de Maclaurin...

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Tarefa 7 – Aula 7: Séries de Potências, Taylor e
Maclaurin
Questão 1
Uma série de potências é uma série infinita da forma
∞∑
n=0
cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + . . .
onde a é uma constante chamada de centro da série e cn são os coeficientes. Ela é
caracterizada por ser uma soma de termos que envolvem potências de uma variável (x−a).
A representação de funções por séries de potências é de suma importância no Cálculo
e na resolução de problemas matemáticos porque:
• Permite aproximar funções complexas (como seno, cosseno, exponencial) por po-
linômios simples;
• Facilita o cálculo de derivadas e integrais, pois séries de potências podem ser deri-
vadas e integradas termo a termo;
• É uma ferramenta essencial para resolver equações diferenciais, especialmente quando
os coeficientes não são constantes (método de Frobenius);
• Permite calcular valores numéricos de funções e limites com precisão arbitrária.
Questão 2
Considere a série de potências:
∞∑
n=0
(2x)n
a) Seis primeiros termos
Expandindo a soma para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5:
n = 0 : (2x)0 = 1
n = 1 : (2x)1 = 2x
n = 2 : (2x)2 = 4x2
n = 3 : (2x)3 = 8x3
1
n = 4 : (2x)4 = 16x4
n = 5 : (2x)5 = 32x5
Portanto, os seis primeiros termos são:
1 + 2x+ 4x2 + 8x3 + 16x4 + 32x5
b) Comportamento da série quando |2x|

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