terceira lista geometria analitica

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Terceira Lista de Geometria Analítica 
 
Primeiro Período do Núcleo de Engenharia Integral 
 
Produto Escalar, Propriedades do Produto Escalar e 
 Aplicações do Produto Escalar 
 
Prof. Ivan 
 
Observação: Os vetores serão representados às vezes por uma seta acima 
da letra ou às vezes colocando-se a letra em negrito. 
 
1. Encontre a.b se 
 
a) a = (2,4,-3), b = (-1,5,2) 
b) a = 3i-2j+k, b = 4i+5j-2k 
 
2. Encontre x de modo que u v: 
 
a) u=(x,0,3) , v=(1,x,3) 
b) u=(x,x,4) , v=(4,x,1) 
c) u=(x+1,1,2) , v=(x-1,-1,-2) 
d) u=(x,-1,4) , v=(x,-3,1) 
 
3. Encontre o ângulo entre os vetores a e b 
 
a) a = -4i+8j-3k e b = 2i+j+k 
b) a = i-7j+4k e b = 5i-k 
c) a = (-2,-3,0) e b = (-6,0,4) 
d) a = (3,-5,-1) e b = (2,1,-3) 
 
4. Dados os vetores u = (4, x, -1) e v = (x, 2, 3) e os pontos A= (4, -1, 2) e B = (3, 
2, -1), determinar o valor de x tal que u . (v + ) = 5. 
 
5. Dados os pontos A = (-1, 0, 2), B = (-4, 1, 1) e C = ( 0, 1, 3), determinar o vetor 
 tal que . 
 
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6. Seja o triângulo de vértices A= (-1, -2, 4), B= (-4, -2, 0) e C= (3, -2, 1). 
Determinar o ângulo interno ao vértice B. 
 
7. Mostrar que o triângulo de vértices A= (2, 3, 1), B = (2, 1, -1) e C = (2, 2, -2) é 
um triângulo retângulo. 
 
8. Mostrar que o triângulo de vértices A= (5, 1, 5), B = (4, 3, 2) e C = (-3, -2, 1) é 
um triângulo retângulo. 
 
9. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A = (3, -3, 3), B = (2, -
1, 2) e C = (1, 0, 2) 
 
 
10. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A= (0, 1, 2), B = (-1, 0, -1) e C = 
(2, -1, 0). 
 
 
11. Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (1, -1, 2), tal que u . v = -18. 
 
12. Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor v = (1, -1, 2). 
 
13. Determinar o vetor , colinear ao vetor , tal que , 
sendo 
 
14. Encontre u ortogonal a v=(4,-1,5) e a w=(1,-2,3) e que satisfaz u . (1,1,1)= -1. 
 
15. Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições v . v1 = 
10 e v . v2 = - 5, sendo v1 = (2, 3, -1) e v2 = (1, -1, 2). 
 
16. Calcular n para que o ângulo entre os vetores u = (1, n, 2) e j seja 30°. 
 
17. Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (2, 1, -1) e v = (1, -1, m + 2) é π/3 
rad, determinar m. 
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18. Duas forças representadas pelos vetores e agem sobre uma partícula de 
tal modo que ela se move ao longo de uma linha reta desde o ponto (2, 5, 0) ao 
ponto (7, 3, 0). Suponha que , onde as forças são 
medidas em newtons e a distância em metros. Calcule o trabalho realizado: 
 
a) pela força . 
b) pela força . 
c) pela força resultante. 
 
19. Suponha que a força mova um objeto ao longo de uma 
reta da origem ao ponto P=(7,1,3), onde a força é medida em newtons e a 
distância em metros. Calcule o trabalho realizado pela força . 
 
20. Suponha que a força atue sobre um corpo deslocando-o do 
ponto P = (1, -1, 2) ao ponto Q = (4, 3, -1), onde a força é medida em newtons e a 
distância em metros. Calcule o trabalho realizado pela força . 
 
21. Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor v = (6, -2, 3). 
 
22. Dados os pontos A = (2, 2, -3) e B = (3, 1, -3), calcular os cossenos diretores e 
os ângulos diretores do vetor . 
 
23. Determinar o vetor projeção do vetor u = (1, 2, - 3) na direção do vetor v = (2, 
1, - 2). 
 
24. Determinar o vetor projeção do vetor u = (2, 3, 4) na direção do vetor v = (1, -
1, 0).