Resolução Brunetti

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Capítulo 4 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 
 
Neste capítulo o livro diferencia-se bastante de todos os outros sobre o assunto. Como já foi 
feito em relação à equação da continuidade no Capítulo 3, restringe-se a equação a aplicações 
em regime permanente. Novamente, a ausência de variações com o tempo permite simplificar 
a compreensão dos fenômenos e a solução de problemas importantes, sem restringir muito as 
aplicações, já que a maioria dos problemas práticos aproxima-se dessa hipótese. No Capítulo 
10, a equação é generalizada para permitir a solução de problemas mais complexos. 
Inicialmente, apresentam-se as energias mecânicas associadas a um fluido, excluindo-se 
efeitos térmicos. O leitor deve perceber que, sendo as energias entidades da mesma espécie, 
podem-se, por meio delas, associar entidades heterogêneas como velocidades, cotas e 
pressões. Graças às seis hipóteses estabelecidas inicialmente é possível deduzir a equação de 
Bernoulli para um tubo de corrente, que relaciona de forma elementar essas entidades em duas 
seções do escoamento. O desenvolvimento da equação de Bernoulli conduz a energias por 
unidade de peso, denominadas cargas, e por coincidência, as cargas podem ser medidas em 
unidade de comprimento, o que permite interpretações interessantes em certas aplicações. 
Nos itens seguintes as hipóteses de Bernoulli são retiradas aos poucos, o que permite resolver 
problemas sem restrições práticas, com exceção da hipótese de regime permanente. 
Após a retirada de todas as hipóteses simplificadoras chega-se à equação mais geral, que nada 
mais é do que a primeira lei da Termodinâmica para volume de controle, em regime 
permanente. 
A grande vantagem desse tratamento é a separação dos efeitos térmicos dos efeitos 
mecânicos, o que possibilita uma concentração maior nos tipos de problemas que podem ser 
resolvidos. Assim, o professor de Termodinâmica pode dedicar sua atenção a problemas em 
que os efeitos térmicos são predominantes e o de Mecânica dos Fluidos pode se dedicar 
àqueles em que os efeitos são desprezíveis. Apesar de se perder inicialmente na generalidade, 
ganha-se na compreensão e na facilidade de absorver os conceitos e visualizar os fenômenos 
físicos. Observa-se no fim do capítulo a interpretação da perda de carga. 
 
Exercício 4.1 
 
 
 
 
 
 
 
Ressaltar as hipóteses de Bernoulli: 
1) R.P. Reservatório de grandes dimensões. 
2) S.M. Visual. Não há bombas nem turbinas no trecho (1)-(2). 
3) S.P. Dado do enunciado: fluido ideal. 
4) F.I. Líquido. 
5) P.U.S. Jato livre. Não vale o princípio da aderência. 
6) S.T.C. Visual. 
 
O leitor deve ser hábil na escolha dos pontos (1) e (2). Como regra, o ponto (1) deve ser 
escolhido numa seção onde v, p e z sejam conhecidos, e o ponto (2), onde estiver a incógnita, 
ou vice-versa. 
v2
(1) 
(2) PHR 
h 
 
 
gh2v
g2
v
h
PHRnoponto0z
efetivaescalanap0p
incógnitaaév
PHRdopartiraacothz
efetivaescalanap0p
ioreservatórnofluidodonível0v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
2
2
2
atm2
2
1
atm1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
=→=
→=
→=
→
→=
→=
→=
+γ+=+γ+
 
Observa-se que o PHR é arbitrário. Ao ser mudado alteram-se z1 e z2, mas a solução da 
equação permanece a mesma. 
 
Exercício 4.2 
 
( )
( )
( ) ( ) ( ) 2122
11
2
1
xxbaa4
g
a2bag2
g
a2bag2
g
y2vx
baa4ay4
g
y2ga2
g
y2ga2
g
y2vxAlcance
bag2v
ga2v
=⇒+=×+=+==
+==×===
+=
=
 
 
Exercício 4.3 
 
m3,6
10
1075
20
9,4zz
p
g2
v
zzz
p
g2
v
z
kPa7510025ppp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s/m9,42,120gz2v
g2
v
z
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)a
4
32
AS
S
2
S
ASS
s
2
S
A
atmSS
S
S
2
S
A
A
2
A
AB
2
B
A
B
B
2
B
A
A
2
A
absef
=×−−−=−
γ−−=−→+γ+=
−=−=−=
+γ+=+γ+
=×==→=
+γ+=+γ+
 
 
Exercício 4.4 
 
( )
( )
s
m8,7
20
6,3
45
g2
v
hHhH
g2
v
Hhp
Hp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
==⇒γ
+γ=γ
γ+
+γ=
γ=
+γ+=+γ+
 
 
Exercício 4.5 
 
4vv2,0
g2
vv
2,0
p
comoez
p
g2
v
z
p
g2
v
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
1
2
1
0
0
2
0
=−→=−
=γ+γ+=+γ+
 
 
 
s
N211,210gQQ
s
kg1,20026,0
10
000.8Q
g
QQ
s
L6,2
s
m0026,0
4
08,052,0Q
4
D
vQ
s/m52,0v4vv16:anteriornadoSubstituin
v4v40v80v
4
D
v
4
D
v
mG
m
322
0
0
0
2
0
2
0
01
2
1
2
0
2
1
1
2
0
0
=×==
=×=γ=ρ=
==×π×=→π=
=→=−
=→×=×→π=π
 
 
Exercício 4.6 
 
( )
( )
s
L40
s
m104AvQ
s
m4
10
10308,320
p
8,3g2v
kPa3010106
000.1
2,020p
2,0ppp2,02,0p
8,3
p
g2
v
p
g2
vp
g2
v
3
2
14
3
1
1
44
1
O2Hm212mO2H1
1
2
1
0
2
01
2
1
=×==⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
γ−=
=−×+=
γ−γ+=⇒=×γ−×γ+
=γ+
γ+=γ+
−
 
 
 
Exercício 4.7 
cm3
16,3
07,72
v
v
DD
4
D
v
4
D
v
s
m16,35,020v
m5,0
10
1020
20
07,7p
g2
v
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s
N2,22
4
02,007,710
4
D
vQ
s
m07,75,2102gh2vh
g2
v
:PitotdetuboNo)a
1
2
21
2
2
2
2
1
1
1
4
32
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
4
2
2
2G
2
2
2
=×==→π=π
=×=
=×−=γ−=→+γ+=+γ+
=×π××=πγ=
=××==→=
 
 
Exercício 4.8 
 
( ) ( )
( )
( )
( )
cm7,5m107,5
43,12
1014,34
v
Q4D
4
D
vQ
s
m43,1246,138v
6,13816,1355,020vv
155,0g2vvzz155,0
pp
pzz55,055,0p
zz
pp
g2
v
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
0
101036,1
10187101052pzphpzhhp
kPa181017101052zzppz
p
g2
v
z
p
g2
v
)b
s
N3141014,310QQ
s
m1014,3
4
1,04
4
D
vQ
s
m410
10
10521620z
p
Hg2vz
p
g2
v
H)a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
Hg2
1
2
212
Hg21
212Hg1
21
12
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
45
343
Hg
31
131Hg11
34
31133
3
2
3
1
1
2
1
24
G
3
2
22
1
1
4
3
1
1
111
1
2
1
1
=×=×π
××=π=⇒
π=
=+=
=−××=−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ
γ××=−⇒−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ
γ=γ
−
=−γ−×γ−×γ+
−+γ
−=−
+γ+=+γ+
=−×
×+×−×=γ−γ
−Δγ−=⇒=Δγ−γ−γ+
−=×−+=−γ+=⇒+γ+=+γ+
=××=γ=⇒×=×π×=π=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×−×=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −γ−=⇒+γ+=
−−
−
−−
 
 
 
 
 
Exercício 4.9 
 
s
kg14,8
4
072,02
10
000.10
4
D
v
g
Q
s
m2v84,59vv16
anteriornadosubstituinv4v
4
D
v
4
D
v
84,59
10
920.2920vv
p
g2vvz
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa920.2922,0000.136hp
22
1
1m
1
2
1
2
1
12
2
1
1
2
2
2
4
2
1
2
2
22
1
2
21
1
2
1
2
2
2
2
Hg2
=×π××=πγ=
=⇒=−
→=→π=π
=−×−=−
γ−=−→+γ+=+γ+
−=×−=γ−=
 
 
Exercício 4.10 
 
0565,0
109,5
1033,3
Q
Q
s
kg109,5
4
025,01201
4
D
vQ
s
kg1033,3
4
00115,045,4720
4
D
vQ
s
m45,401,0
7200
720020z
p
g2v
0z
p
g2
v
z
p
g2
v
z
p
g2
v
:gasolinaNa
pPa7200
2
1201
2
v
g2
v
p
p
g2
vp
g2
v
:arNo
2
3
am
gm
2
22
a
aama
3
22
g
gggm
g2
g
g2
g2
g2
g
g2
2
g2
g2
g
g2
2
g2
g1
g
g1
2
g1
g2
22
a2
a
2
a2
aa2
a
a2
2
a2
a
a1
2
a1
=×
×=
×=×π××=πρ=
×=×π××=πρ=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +γ−=
=+γ+⇒+γ+=+γ+
=−=×−=ρ−=γ−=⇒γ+=γ+
−
−
−
−
 
Exercício 4.11 
 
kW375,0
000.1
1
8,0
301,010QHN
s
m01,0101010AvQ
m342
20
10HH
g2
vHz
Hzp
g2vHzp
g2
v)a
4
B
B
B
3
4
66
2
B6,1p
2
6
B1
6,1p2
2
2
2
B1
1
2
1
=××=η
γ=
=××==
=−+=→+=+
++γ+=++γ+
−
 
 
( ) ( )
( ) N1,3810101081,1102010F
Pa1081,1pm81,1
20
5,1210
10
10p
s
m5,12
108
01,0
A
Qv
g2
vvpp
z
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa10110p
HpH
p
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
AApApFFAApAp)b
4444
4
G
22
4
4
G
4
G
G
2
G
2
44G
G
G
2
G
4
4
2
4
44
4
6,4p46,4p
4
6,4p6
6
2
6
4
4
2
4
HpGp4HpGp4
=×××−−××=
×−=→−=−+=γ
=×==
−+γ=γ→+γ+=+γ+
=×=
γ=→=γ→++γ+=+γ+
−−=→+−=
−−
−
 
 
Exercício 4.12 
 
( ) ( )
( )
kW4,410
7,0
2002,17,12QHN
m200
7,12
7341806ppH
Pa18062,1427,122,142pm2,142100
20
5,730p
H
g2
vvp
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
Pa7348,577,128,57pm8,57100
20
5,730p
s
m5,7
4,04,0
2,1
A
Qv
s
m2,12,02,030AvQ
H
g2
vvp
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
3
v
v
v
01
v
1
22
1
A,1p
2
1
2
A1
A,1pA
A
2
A
1
1
2
1
0
22
0
0
0
3
AA
0,Ap
2
0
2
A0
0,Ap0
0
2
0
A
A
2
A
=×××=η
γ=
=−−=γ
−=
=×=×γ=⇒=+−=γ
+−=γ⇒++γ+=+γ+
−=−×=−×γ=⇒−=−−=γ
=×==⇒=××==
−−=γ⇒++γ+=+γ+
−
 
 
Exercício 4.13 
 
( ) ( ) Pa108,810102,18,0hpp phhp:amanométricEquação
ppg2vv
zp
g2
vzp
g2
v)a
445
F54
5F4
542
4
2
5
5
5
2
5
4
4
2
4
×=−×=γ−γ=−
=γ−γ+
γ
−=−
+γ+=+γ+
 
176
10
108,820vv 4
4
2
4
2
5 =××=− 
 
s
m047,0101007,4AvQ
s
m7,4
8
176v176vv9
v3vAvA3vAvAv
3
4
44
4
2
4
2
4
4555545544
=××==
==→=−
=→=→=
−
 
 
( ) kPa49Pa109,47,368,410p
HzH
p
Hz
p
H
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
)c
m8,4
047,010
75,0103
Q
N
H
QH
N)b
44
6
6,1p6B
6
6,1p6
6
B
6,1p6
6
2
6
B1
1
2
1
4
3
BB
B
B
B
B
−=×−=−−×=
−−=γ→++γ=
++γ+=++γ+
=×
××=γ
η=→η
γ=
 
 
Exercício 4.14 
 
( )
( ) ( )
( )
( ) kW3102,150196,010QHN)d
m2,212,156HzzHHHHH
m2,15
10
000.765
20
9,610H
s
m9,6
6
510
D
D
vv
pp
g2
vv
H)c
Pa000.761036,1101105hppphhp)b
s
L6,19
s
m0196,0
4
05,010
4
D
vQ
s
m10251220v
z
p
Hg2vz
p
g2
v
H)a
34
B
B303,0p3,0p3B0
4
22
B
2
2
1
2
2
21
12
2
1
2
2
B
544
Hg212Hg1
322
2
22
2
2
222
2
2
2
2
=×××=γ=
=+=+−=⇒+=+
=−−+−=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
γ
−+−=
−=×−×+×=γ−γ+=⇒=γ−γ+
==×π×=π=⇒=−−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ−=⇒+γ+=
−
 
Exercício 4.15 
 
νπ=ν×π=→π=ν=
=×
×==→=
−
1
1
2
1
12
1
1
11
1
3
canalcanal
D
Q4D
D
Q4Re
D
Q4v;DvRe)b
s
m5,0
4,02,0
1040
bL
QvbLvQ)a
 
( ) ( )
s
m75,0
667,0
5,0
667,0
v
v667,0v
2
h10
3
h25
h
v
v
dyy10y25
h
v
Ldyyv10yv25
bL
1v
yv10yv25v:Logo
v10bev25a:sistemaosolvendoRe
b2,0a20bay2
dy
dv0
dy
dv;m2,0ypara
2,0b2,0avvv;m2,0ypara
0c0v;0ypara)d
m7,16
8000
103,0
20
4,2078,0H
s
m4,20
05,0
10404
D
Q4v
s
m78,0
255,0
10404
D
Q4v
p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
m255,0
200010
10404
Re
Q4D
m
máxmáx
23
máx
m
h
0
2máxh
0 máx
2
máxm
máx
2
máx
máxmáx
2
máxmáx
622
2,1p
2
3
2
2
2
2
3
2
1
1
1
2
2
2
1
2,1p
2,1p2
2
2
2
1
1
2
1
4
3
1
1
===⇒×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
+−=+−=
+−=
=−=
+×=→+=→==
×+×=⇒==
=⇒==
=×+−=
=×π
××=π=
=×π
××=π=
γ+
−=
++γ+=+γ+
=××π
××=πν=
∫∫
−
−
−
−
 
 
Exercício 4.16 
 
( )
( )
224
3
1
1
1,0p
1
011,0p1
1
2
1
0
3
34
22
23
2
3
2
33
2
3
32
2
3
2
2
3,2p
232
3
2
23,2p3
3
2
3
2
2
2
2
cm45,1m1045,1
9,4
1071,0
v
QA
s
m9,48,03520H
p
zg2vHz
p
g2
v
z)b
s
L71,0
s
m1071,01011,7AvQ
s
m1,7354,020v
s
m354,0v50vv400v20
A
A
vv
50235,320vv
H
pp
g2vvHz
p
g2
v
z
p
g2
v
)a
=×=×==
=−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −γ−=⇒++γ+=
=×=××==
=×=⇒=⇒=−⇒==
=+−×=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +γ−γ=−⇒++γ+=+γ+
−−
−−
 
 
W4,932,11071,010QHN
m32,1
20
9,41,7
g2
vv
H)c
34
B
222
1
2
2
B
=×××=γ=
=−=−=
−
 
 
Exercício 4.17 
 
( )
m545
20
2030
10
104,0H
p
g2
v
H
p
H
HHHH)c
mca4525
10
102,0pH
pp
z
p
g2
v
Hz
p
g2
v
)b
kW4
1000
18,025102010pQHN
m25H
m25305
10
104,01510
10
1025,0H
Hz
p
HHz
p
HHHHH
)0(a)5(deEscoamentoHH
m455
10
102,0
20
20z
p
g2
v
H
s
m20
1010
1020
A
Qv
m3510
10
1025,00z
p
g2
v
H)a
2
4
6
p
2
2
2
M
5
p
p2M5
4
6
2
M
12
1
1
2
1
M2
2
2
2
34
TTT
T
4
6
4
6
M
p0
0
MM5
5
p0MM5
01
4
62
1
1
2
1
1
4
3
1
1
4
6
0
0
2
0
0
2,5
22,5
2,52
1
1
1
0,512
0,512
=−−+×=
γ−−+γ=
+=+
=−−×=γ→−γ=γ
+γ+=++γ+
=×××××=ηγ=
=
−=−−×−++×=
++γ=+++γ
+=++
→>
=+×+=+γ+=
=
×
×==
=+×+=+γ+=
−
−
−
 
 
Exercício 4.18 
 
m2,23
10
10200
20
8p
g2
v
H
s
m2
108
1016v;
s
m8
102
1016v)a
4
32
2
2
2
2
3
3
33
3
2
=×+=γ+=
=×
×==×
×= −
−
−
−
 
 
 
( )
( ) ( ) MPa362,010512,4010zHHp
HHz
p
)d
kW95,1102,12101610QHN
)turbina(m2,1213,23
10
101,0HH
p
H
HHHH)c
m173,232,40HHH)b
).1(para)4(deSentidoHHm2,40
10
10400
20
2p
g2
v
H
64
43,4p34
3,4p34
4
334
TT
4
6
1,2p2
1
M
1,2p1M2
232,3p
234
32
3
2
3
3
=×−+=−+γ=
+=+γ
=××××=γ=
−=+−×=+−γ=
+=+
=−=−=
⇒>→=×+=γ+=
−
−−
 
 
 
Exercício 4.19 
 
1,2p1
1
2
1
2
2
2
2
1,2p12
2
4
2
4
4
4
2
4
4
2
3
3
3
2
3
3
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH)b
)1(para)6(deSentido
13
g2
v
49
g2
v
z
p
g2
v
H
11
g2
v
z
p
g2
v
H)a
++γ+=+γ+
+=
+=++=+γ+=
+=+γ+=
 
 
kW192,0
1000
18,0410610QHN
m4Hm4117ppH)c
s
m10610106vAQ
s
m6vm8,1728,17
g2
v
34
TTT
T
32
1M
3
34
2
2
2
=×××××=ηγ=
=→−=−=γ−γ=
×=××==
=→=−+=
−
−−
 
4,6p64
4
2
4
2M
4,6p4
4
2
4
2M6
6
2
6
4,6p42M6
Hzz
p
g2
v
H
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
HHHH)d
+−+γ+=
++γ+=++γ+
+=+
 
kW59,0
1000
18,910610QHN
)bomba(m8,9239
20
6H
34
B2
2
2M
=××××=γ=
=+−+=
−
 
 
 
Exercício 4.20 
 
m7,20HH
p
HHH)c
MPa207,0Pa107,20pm7,2047,26
10
10502
20
47,4p
m7,26
1062,510
105,1
Q
NHQHN
H
p
Hz
p
g2
v
HHHH)b
s
m1062,5
4
04,047,4
4
D
vQ
s
m47,422
10
105020v
kPa5010050ppp
Hz
p
g2vHz
p
g2
v
0
HHH)a
0,3p0,3p
3
0,3p03
4
34
32
3
34
3
BB
3,2p
3
B1
1
2
1
3,2p3B1
3
3
22
1
14
3
1
atmabs1ef1
1,0p1
1
11,0p1
1
2
1
1,0p10
=⇒=γ
+=
=×=⇒=−+×−+=γ
=××
×=γ=⇒γ=
+γ=++γ+
+=+
×=×π×=π=⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++×−×−=
−=−=−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++γ−=⇒++γ+=
+=
−
−
 
 
Exercício 4.21 
 
( )
TB
32
2
3
2
2
2,1p
2,1p3
3
2
3
TB2
2
2
2
2,1p3TB2
3
4
3
TT
T
TTT
T
B
TTTB
4
6
21
B
HHpp
g2
vvH
Hzp
g2
vHHzp
g2
v
HHHHH)b
s
m04,0
75,02010
106
H
NQQHN
m20
75,02
30
2
HHQH2QH
m30
10
1003,0ppH)a
−+γ
−+−=
++γ+=−++γ+
+=−+
=×××=ηγ=→ηγ=
=×=η=→ηγ=γ
=×−=γ
−=
 
( )
4,1p4
4
2
4
1
1
2
1
4
622
2,1p
4
2
24
3
3
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)c
m45,02030
10
101,00
20
45H
s
m5
1080
04,0
A
Qv;
s
m4
10100
04,0
A
Qv
++γ+=+γ+
=−+×−+−=
=×===×== −−
 
 
m55,9
10
101,0
20
54p
g2
vv
H
Hz
p
g2
v
z
p
g2
v
)d
MPa295,0Pa1095,245,010103,0Hpp
H
pp
4
622
3
2
2
2
3
2,3p
2,3p2
2
2
2
3
3
2
3
546
4,1p14
4,1p
14
=×+−=γ+
−=
++γ+=+γ+
=×=×−×=γ−=
−γ=γ
 
 
Exercício 4.22 
 
kW4,31036,11103010QHN
m36,11H15H20H56,0HHHH
m20
103010
106
Q
N
HQHN
H56,0H8,07,0HHH
QH
QHNN
334
T
TTTpT2B1B
34
3
2B
2B2B2B
T1BTBTT1B
B
1B
TTBT
=××××=γ=
=⇒=−+⇒=−+
=××
×=γ=⇒γ=
=⇒××=ηη=⇒η
γ=ηγ⇒=
−−
−
 
Exercício 4.23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
2
24
316
24
312181216
8
R
6
R3
4
R3
2
R
R
16
drrrR3rR3rR
R
16
rdrrR
R
16rdr2
2
v
R
r1v
R
1
dA
v
v
A
1
8888
8
R
0
752346
8
R
0
322
8
3
R
0 máx
2
máx
2
3
A
m
=α
×=−+−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−=α
−+−=α
−=π
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
π=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=α
∫
∫∫
∫
Exercício 4.24 
 
( )
06,1
R
17
7R
10
7
R
672,3x
17
7Rx
10
7
R
672,3
dx)xRx(
R
672,3dxxRx
R
672,3
dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança
rdr)
R
rR(
R
672,3rdr2
v
60
49
R
r1v
R
1
dA
v
v
A
1
7
17
7
17
7
17
R
0
7
17
7
10
7
17
7
10
R
0
7
3
7
17
R
0
7
3
7
17
7
3
R
02
3
R
0
máx
7
1
máx
2
3
m
=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=α
−=−=α
−=−=−=
−=π
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
π=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=α
∫∫
∫∫
∫
 
 
Exercício 4.25 
 
 
m5,0
20
311,1
g2
v)e
W104985,1
2
103100011,1
2
AvC)d
11,1
58
2
58,4
3
596,0
4
5064,0
135
1
22
m
5
33
m
234
=×=α
×=×××=ρα=
=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×+×+×+×=α
 
( )dy8y8,4y96,0y064,0
135
1dy2
3
2y4,0
52
1
2y4,0v:olog
4,0C2C544v5ypara
2C2v0ypara
CyCv
dA
v
v
A
1)c
s
m30523bhvQ)b
s
m3
2
24v)a
5
0
235
0
3
11
2
21
3
A m
3
m
m
∫∫
∫
+++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
×=α
+=
=⇒+=⇒=→=
=⇒=→=
+=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=α
=××==
=+=
Exercício 4.26 
 
( )
73,1
7
55
6
305
5
700.25
4
000.27
103
1
7
hh
6
30h
5
700.2h
4
000.27
103
1
dy)yy30y700.2y000.27(
103h
1bdy)
67
yy30(
bh
1)e
h
kg135.27600.325,005,067,0900bhvQ)d
s
m67,0
3
5515v
3
hh15
3
h
2
h30
h
1bdy)yy30(
bh
1v)c
m
N9,130063,0
m
s.N063,0
10
107000.9
g
s
m107
s
m107,0St7,0cSt70;
m
N000.9
dy
dv30
dy
dv)b
s26
dy
dvy230
dy
dv)a
6
543
5
6
543
5
654h
0
3
5
3h
0
2
mm
2
m
232h
0
2
m
20y
2
5
2
5
2
4
3
0y0y
1
cm2y
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×+×−××=α
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−×=α
−+−××=
−=α
=××××=ρ=
=−×=
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−=
=×=τ
=××=γν=μ
×=×===ν=γ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛μ=τ⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⇒−=
∫∫
∫
=
−
−−
==
−
=
 
 
Exercício 4.27 
 
s
L20
s
m02,0101002AvQ
s
m28,4
10
10409
1
20v
Hzp
g2
vzp
g2
v
HHH
NHQNHQHQ
3
4
t20
4
3
2
2,0p2
2
2
2
20
0
2
0
0
2,0p20
diss661100
==××==
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×−=
++γ+α=+γ+α
+=
+γ=+γ+γ
−
 
s
L351520QQQ 106 =+=+= 
m7H
m9H
1
0
=
=
 
kW31,1
1000
18,01640NN
W1640N
10006,010103510N71015109102010
m6,0
20
5,31H
s
m5,3
10100
1035
A
Q
v
g2
v
H
TT
343434
2
6
4
3
t
6
6
2
6
66
=××=η=
−=
+××××=+×××+×××
=×=
=×
×==→α=
−−−
−
−
 
 
Exercício 4.28 
 
m4,11234,27HHHH
m4,27HH10510310510
21010103,0105103,231051030101010
m3,0
20
5,2
g2
v
H
m3,2525
20
5,2H
v
s
m5,2
05,0
1054
D
Q4vz
g2
v
H
m3010
10
102,0z
p
H
s
L5
2
10
2
Q
QQ
HQHQHQHQHQHQ
7,6p5,4p7,4p6,5p
7,4p7,4p
3434
34343434
22
7
7
2
3
72
3
2
3
33
2
3
3
4
6
0
0
0
0
73
7,4p73,2p31,0p0773300
=−−=−−=
=⇒×××+×××+
+×××+×××+×××=×××
===
=+=
==×π
××=π=→+=
=+×=+γ=
====
γ+γ+γ+γ+γ=γ
−−
−−−−
−
 
 
Exercício 4.29 
 ( ) ( )
kW75,3
8,0
3NN
kW68,05,7NN
m10H;0H;0H
HQHHQHHQHQHQNNHQ
T
T
2
BB1
760
p7pp6pp077662100 7,36,54,33,21,0
==η=
=×=η=
===
γ++γ++γ+γ+γ=−+γ
 
3
60
6
4
0
4
34
6
4
0
434
1010QQ
1050Q108Q106
21010108Q106Q101010101037506000
−
−−
×+=
=××+××
×××+××+××+×××=−
 
 Resolvendo o sistema de equações: 
 
m2,117
8,0102,310
103
Q
N
HHQN
m4,45
102,1310
8,0105,7
Q
N
H
HQ
N
s
L2,13Q
s
L2,3Q
34
3
T6
T
TTT6T
34
3
0
BB
B
B
B0
B
0
6
=
×××
×=ηγ=→ηγ=
=
××
××=γ
η=→η
γ=
=
=
−
−
 
 
Exercício 4.30 
 
( )
s
L56
s
m056,0028,02Q2Q
s
m028,0
210
8,0700
H
N
Q
HQ
N)b
bombam2H25,0125,2
2
H
7
4
2
Q
1
2
Q
1Q4
2
Q
5
2
Q
H
2
Q
7Q
m4zH
m5zH
m72
10
1050z
p
H
2
Q
QQQ2QQQ
HQHQHQHQHQHQHQ)a
3
30
3
4
B
BB
3
B
B3
B
M
M
00
0
00
M
0
0
33
22
4
3
0
0
0
0
322320
3,1p32,1p21,0p03322M300
==×==
=×
×=γ
η=⇒η
γ=
=⇒++++=+
×γ+×γ+×γ+×γ+×γ=×γ+×γ
==
==
=+×=+γ=
==⇒=+=
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
 
 
Exercício 4.31 
 
g2
v5,1H;
g2
v5H
;
g2
v
3
1H;
g2
v5H;
g2
v7H;8H;0H
H2HH3H2HH3H3
HQ2HQHQ3HQ2HQHQ3HQ3
Q3QQQQ;Q2Q
HQHQHQHQHQHQHQ
2
2
2,sp
2
1
1,sp
2
e
e,0p
2
2
2
2
1
1B0
2,sp1,spe,0p21B0
2,sp11,sp1e,0p12111B101
1021012
2,sp21,sp1e,0p02211B000
==
=+=+===
++++=+
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
=→+==
γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ
 
g2
v3
g2
v5
g2
v
g2
v210
g2
v783
2
2
2
1
2
e
2
2
2
1 ++++++=× 
kW15
1000
1
48,0
80897,010HQN
s
m0897,0
4
138,06
4
D
vQ
s
m6v
s
m2v140v35v9v20v6140
v2vv3v
g2
v
g2
v
5
g2
v
67
4
B
Be
B
322
e
ee
e1
2
1
2
1
2
1
2
1
121e
2
e
2
2
2
1
=×××=η
γ=
=×π×=π=
=⇒=→=→++=
==
++=
 
 
Exercício 4.32 
 
( ) kW36,210101061015104106,11101010N
HQHQHQN)c
m10
p
H;m15
p
H
m6,114,820
pp
H)b
kPa84pm4,8
p
8,15101048,11106
p
51010
m8,15
10
1015,0
20
4p
g2
v
H
m8,11
10
101,0
20
6p
g2
v
H
c5
p
g2
v
H
HQHQHQ
s
m6
1010
106
A
Q
v;
s
m4
1010
104
A
Q
v;
s
m10
1010
1010
A
Q
v
s
L6410QQQ)a
3343434
diss
6,5p64,3p42,1p1diss
5
6,5p
3
4,3p
21
2,1p
2
23323
4
62
3
2
3
3
4
62
5
2
5
5
2
2
2
2
335522
4
3
6
54
3
4
34
3
1
2
416
=××××+×××+×××=
γ+γ+γ=
=γ==γ=
=−=γ−γ=
=⇒=γ⇒×××+××=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
γ+××
=×+=γ+=
=×+=γ+=
+=γ+=
γ+γ=γ
=×
×===×
×===×
×==
=−=−=
−−−−
−−−
−
−
−
−
−
−
 
 
Exercício 4.33 
 
1212
12
2
1
2
2
M
2M1
ppevvpp
g2
vvH
HHH)a
<<→γ
−+−=
=+
 
m6,13z
104404,3026,13z44204424,3096,13
m9
10
1080
20
53,4p
g2
v
H
HQHQHQHQHQHQHQ
s
m53,4
1030
0136,0
A
Q
v
s
m0136,00304,0046,0QQQ)d
s
m046,02010
8,01011
H
N
Q
HQ
N)c
s
m0304,087,3
4
1,0v
4
DQ
QQ)b
m3,2615
20
87,31515
g2
v15
H
s
m87,3v12
g2
v16
3
g2
v
15
g2
v15
30:)1(nadoSubstituin
15
g2
v15pp
g2
vv16pp
g2
vv
H
v4vevv
)1(H
g2
v
Hz
HHHH
turbina0H
4
32
6
2
6
6
9,8p95,4p47,6p699BB4466
4
6
6
3
CB6
3
4
3
B
BB
B
B
BB
B
32
2
2
A
AC
22
2
T
2
2
2
2
2
2
2
2
221
2
2
2
221
2
2
2
1
T
2123
3,0p
2
3
T0
3,0p3T0
M
=
×+×+×+=×+×+×
=×+=γ+=
γ+γ+γ+γ=γ+γ+γ
=×==
=−=−=
=×
××=γ
η=→η
γ=
=××π=π=
=
=+×=+=
=⇒=
+=−−
+=γ
−+−=γ
−+−=
==
+=−
+=−
⇒<
−
 
 
Exercício 4.34 
 
m1,8
20
7,12
g2
v
H
s
m4,25v
s
m7,12
05,0
10254
D
Q4
v
NHQNHQ2NHQNHQHQ
22
1
1
32
3
2
1
1
1
diss3311diss332211
===
=⇒=×π
××=π=
+γ=+γ⇒+γ=+γ+γ
−
 
 
kW6,16
75,0
49,12NN
W490.124401,810251022,32105010N
m2,32
20
4,25H
B
B
3434
2
3
==η=
=+××××−×××=
==
−− 
 
 
Exercício 4.35 
 
kg
kJ5,7
kg
J7500qg
massa
calor
m750
20
25125
g2
vv
q
p
g2
v
q
p
g2
v
s
m125255v5v
5
2,0
1
p
ppp
v
v
AvAv
222
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
12
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
222111
===
=−=−=
γ+=+γ+
=×==
===ρ
ρ→ρ=ρ
ρ
ρ=→ρ=ρ
 
 
Exercício 4.36 
 
kW75,0
s
J7501750Q
s
kg111QQgqQQ
kg
J750
2
1040gq
s
m40
05,0
1,0
1,0
2,010
A
A
p
p
v
A
A
vvAvAv
s
m10
1,0
1
A
Q
v
g2
vv
q
11mm
22
2
1
2
1
1
2
1
2
1
12222111
1
1
1
2
1
2
2
==×=
=×=ρ=→=
=−=
=××==ρ
ρ=⇒ρ=ρ
===
−=
&
&
 
 
Exercício 4.37 
 
g
p
g2
vHqTc
g
p
g2
v
2
2
2
2
M1v
1
1
2
1
ρ+=+++ρ+ 
 
( )
s
kg1634
42,5
10001098,02
vv
NQ~2
Q
s
m2,5
4.0
52,04
A
A
vv
TTeppSe
g2
v
gQ
N
gQ
Q~
g2
v
gQ
NHgHQN
gQ
Q~qqgQQ~
pp
TT
222
1
2
2
m
2
1
12
212121
2
2
mm
2
1
m
MMm
m
m
2
2
1
1
21
=−
×+−×=−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
=
=×==
ρ=ρ⇒==
=++
=→=
=→=
ρ=ρ⇒=
&
&
&&
 
 
Exercício 4.38 
 
( )
kW5610
600.3
500.45,187.45gqQQ
kg
J5,187.45800.58810760.2090.2
2
60275gq
kg
J800.588
3600
4500
10736
Q
NgHgHQN
gHhh
2
vv
gqh
2
v
gqgHh
2
v
3
m
3
22
3
m
mmm
M12
2
1
2
2
2
2
2
M1
2
1
−=××−==
−=+×−+−=
=×==⇒=
+−+−=⇒+=+−+
−&
 
 
Exercício 4.39 
 
 
diss332211 NHQHQNHQ +γ+γ=+γ 
s
m6
25,0
5,1
A
Qv
s
m5
5,0
5,2
A
Qv
s
m5,115,2QQQ
s
m12,05AvQ
3
3
3
1
1
1
3
213
3
222
===
===
=−=−=
=×==
 
 
 
949,0
7,14273
273
N
N
kW273W1073,2107,1425,215,2108,315,11025,31110N
m8,31
10
103,0
20
6p
g2
v
H
m25,31
10
103,0
20
5p
g2
v
H
m25,21
10
102,0
20
5p
g2
v
H
B
B
53442
4
62
3
2
3
3
4
62
2
2
2
2
4
62
1
2
1
1
=+==η
=×=×+××−××+××=
=×+=γ+=
=×+=γ+=
=×+=γ+=