FEE Aula 3 Capitalização Composta

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Engenharia	
  Econômica	
  
Prof.	
  Filipe	
  Parpinelli	
  Bordoni	
  
ENGENHARIA ECONÔMICA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Capitalização	
  Composta	
  
O	
  regime	
  de	
  juros	
  compostos	
  é	
  o	
  mais	
  comum	
  no	
  sistema	
  financeiro	
  e	
  
portanto,	
  o	
  mais	
  ú<l	
  para	
  cálculos	
  de	
  problemas	
  do	
  dia-­‐a-­‐dia.	
  
Os	
  juros	
  gerados	
  a	
  cada	
  período	
  são	
  incorporados	
  ao	
  principal	
  para	
  o	
  
cálculo	
  dos	
   juros	
  do	
  período	
   seguinte.	
  Chamamos	
  de	
   capitalização	
  o	
  
momento	
  em	
  que	
  os	
  juros	
  são	
  incorporados	
  ao	
  principal.	
  
	
  
Considerando	
  3	
  meses	
  de	
  capitalização:	
  
1º	
  mês:	
  M1	
  =	
  C	
  +	
  C	
  x	
  i	
  =	
  C	
  (1+	
  i)	
  
2º	
  mês:	
  M2	
  =	
  M1	
  +	
  M1	
  x	
  i	
  =	
  M1	
  (1	
  +	
  i)	
  =	
  C	
  x	
  (1	
  +	
  i)	
  x	
  (1	
  +	
  i)	
  
3º	
  mês:	
  M3	
  =	
  M2	
  +	
  M2	
  x	
  i	
  =	
  M2	
  (1	
  +	
  i)	
  =	
  C	
  x	
  (1	
  +	
  i)	
  x	
  (1	
  +	
  i)	
  
	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  M	
  =	
  C	
  .	
  (1	
  +	
  i)n	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  J	
  =	
  M	
  -­‐	
  C	
  
	
  
Exemplo:	
  
	
  
Calcule	
  o	
  montante	
  de	
  um	
  capital	
  de	
  R$	
  6.000,00,	
  aplicado	
  a	
  juros	
  
compostos,	
  durante	
  1	
  ano,	
  à	
  taxa	
  de	
  3,5%	
  ao	
  mês.	
  
	
  
	
  
Resolução:	
  
P	
  =	
  R$	
  6.000,00	
  
t	
  =	
  1	
  ano	
  =	
  12	
  meses	
  
i	
  =	
  3,5%	
  a.m.	
  =	
  0,035	
  
M	
  =	
  ?	
  
	
  
	
  
	
  
ENGENHARIA ECONÔMICA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Capitalização	
  Composta	
  
Usando	
  a	
  fórmula	
  M=P.(1+i)n,	
  obtemos:	
  
M	
  =	
  6000.(1+0,035)12	
  	
  =	
  6000.(1.035)	
  12	
  
	
  
	
  
Portanto	
  o	
  montante	
  é	
  R$	
  9.054,00	
  
ENGENHARIA ECONÔMICA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Capitalização	
  Composta	
  
ENGENHARIA ECONÔMICA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Capitalização	
  Composta	
  (Exercícios)	
  
Exercício	
  1:	
  Um	
  capital	
  de	
  $66.200	
  foi	
  aplicado	
  durante	
  2	
  semestres	
  à	
  uma	
  taxa	
  de	
  juros	
  	
  
compostos	
  de	
  8,5%	
  ao	
  semestre,	
  capitalizável	
  semestralmente.	
  Após	
  este	
  período,	
  o	
  capital	
  
resultante	
  foi	
  aplicado	
  por	
  mais	
  3	
  anos	
  à	
  uma	
  taxa	
  de	
  juros	
  compostos	
  de	
  2,8%	
  ao	
  trimestre,	
  
capitalizável	
  trimestralmente.	
  
Calcular	
  o	
  valor	
  do	
  montante	
  após	
  este	
  período.	
  
	
  
Exercício	
  2:	
  Em	
  quanto	
  tempo	
  uma	
  taxa	
  de	
  juros	
  compostos	
  de	
  4%	
  ao	
  mês	
  triplica	
  um	
  
determinado	
  capital?	
  
	
  
Exercício	
  3:	
  Se	
  um	
  capital	
  de	
  R$	
  73.500,	
  aplicado	
  durante	
  8	
  meses,	
  gera	
  juros	
  de	
  R$	
  9.952,	
  
em	
  quanto	
  tempo	
  ele	
  gera	
  juros	
  de	
  R$16.845?	
  
	
  
Exercício	
  4:	
  Numa	
  determinada	
  data	
  foram	
  aplicados	
  dois	
  capitais:	
  um	
  de	
  $100.000	
  à	
  uma	
  
taxa	
  de	
  juros	
  compostos	
  de	
  3,4%	
  ao	
  mês	
  e	
  outro	
  de	
  $	
  150.000	
  à	
  uma	
  taxa	
  de	
  juros	
  
compostos	
  de	
  2,45%	
  ao	
  mês.	
  Após	
  quanto	
  tempo	
  os	
  montantes	
  das	
  duas	
  aplicações	
  ficaram	
  
iguais?	
  	
  
ENGENHARIA ECONÔMICA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Capitalização	
  Composta	
  (Exercícios)	
  
Exercício5:	
  
	
  
Considere	
  os	
  três	
  inves<mentos	
  possíveis	
  relacionados	
  a	
  seguir:	
  
Inves<mento	
  I:	
  aplicar	
  R$7.000	
  hoje	
  e	
  resgatar	
  R$7.795	
  daqui	
  um	
  ano.	
  
Inves<mento	
  II:	
  aplicar	
  R$4.000	
  hoje	
  e	
  resgatar	
  R$4.400	
  daqui	
  8	
  meses.	
  
Inves<mento	
  III:	
  aplicar	
  R$10.000	
  hoje	
  e	
  resgatar	
  R$12.400	
  daqui	
  4	
  semestres.	
  
	
  
Podemos	
  afirmar	
  que:	
  
	
  
a)	
  O	
  Inves<mento	
  I	
  apresenta	
  a	
  melhor	
  rentabilidade	
  
b)	
  O	
  Inves<mento	
  II	
  apresenta	
  a	
  melhor	
  rentabilidade	
  
c)	
  O	
  Inves<mento	
  III	
  apresenta	
  a	
  melhor	
  rentabilidade	
  
d)	
  Tanto	
  o	
  Inves<mento	
  I	
  como	
  Inves<mento	
  II	
  apresentam	
  a	
  mesma	
  rentabilidade	
  
e)	
  Todos	
  os	
  inves<mentos	
  apresentam	
  a	
  mesma	
  rentabilidade.	
  
	
  
ENGENHARIA ECONÔMICA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Capitalização	
  Composta	
  (Exercícios)	
  
Exercício	
  6:	
  
	
  
Um	
  equipamento	
  é	
  vendido	
  a	
  vista	
  por	
  R$	
  10.000	
  ou	
  a	
  prazo	
  em	
  duas	
  condições:	
  R$	
  5.030	
  de	
  
entrada	
  mais	
  R$	
  5.030	
  em	
  um	
  mês	
  ou	
  R$	
  3.000	
  de	
  entrada,	
  R$	
  2.050	
  em	
  um	
  mês,	
  R$	
  3.000	
  
em	
  dois	
  meses	
  e	
  R$	
  2090	
  em	
  3	
  meses.	
  
Se	
  você	
  possui	
  capital	
  suficiente	
  para	
  comprar	
  este	
  equipamento,	
  em	
  qualquer	
  uma	
  destas	
  
condições,	
  e	
  se	
  este	
  capital	
  es<ver	
  rendendo	
  1,2%	
  ao	
  mês,	
  qual	
  a	
  afirma<va	
  abaixo	
  é	
  a	
  
correta,	
  financeiramente:	
  
	
  
a)  A	
  melhor	
  opção	
  de	
  pagamento	
  é	
  a	
  vista	
  
b)  A	
  melhor	
  opção	
  de	
  pagamento	
  é	
  a	
  de	
  duas	
  parcelas	
  
c)  A	
  melhor	
  opção	
  de	
  pagamento	
  é	
  a	
  de	
  quatro	
  parcelas	
  
d)  A	
  opção	
  a	
  vista	
  é	
  tão	
  boa	
  quanto	
  a	
  de	
  quatro	
  parcelas	
  e	
  são	
  melhores	
  que	
  a	
  opção	
  de	
  
duas	
  parcelas	
  
e)  A	
  opção	
  de	
  duas	
  parcelas	
  é	
  tão	
  boa	
  quanto	
  a	
  de	
  quatro	
  parcelas	
  e	
  são	
  melhores	
  que	
  a	
  
opção	
  a	
  vista