Teoria de Filas: Análise e Gerenciamento

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Teoria de Filas
José Eduardo Pécora Jr
FILAS
• Lugares onde esperamos...
• Telefone • Hotéis • Hospitais
• Supermercados • Cinemas • Correios
• Bancos • Restaurantes • Sinaleiros
• Aeroportos • Parques • Lojas
• Portos • Aviões • Táxi
• As filas de espera nem sempre contém pessoas...
–DVDs devolvidos
–Peças manufaturadas em uma linha de montagem
–Mensagens eletrônicas na internet
• A teoria das filas trata da análise e gerenciamento de filas 
de espera.
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José Eduardo Pécora Jr
O Objetivo de Modelos de Filas
• Os modelos de Filas são utilizados para:
–descrever o comportamento de filas
–descrever a disciplina de fila (FIFO, LIFO)
–determinar a configuração da fila
–determinar o nível de atendimento (serviço) de uma fila
–avaliar alternativas de configuração para prover serviço
3 José Eduardo Pécora Jr
Modelos
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José Eduardo Pécora Jr
Exemplo - Burger Dome
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Sistema
Chegada
Fila
Serviço
Tchau
Neste exemplo o que determina o tempo de espera?
Taxa de chegada
Tempo de atendimento
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Exemplo - Burger Dome - Taxa de Chegada
• Suponha que a taxa de chegada dos consumidores do 
Burger Dome siga uma distribuição de Poisson
• Logo a probabilidade de chegarem x clientes dentro de 
um período de tempo específico é: 
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• Uma análise estatística demonstra que chegam em média 
45 clientes por hora no Burger Dome
Clientes por minuto� =
45
60
= 0.75
P (x) =
�xe��
x!
José Eduardo Pécora Jr
Probabilidades de chegada
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P (x) =
0.75xe�x
x!
Número de Chegadas Probabilidade
0 0.4724
1 0.3543
2 0.1329
3 0.0332
4 0.0062
5 + 0.0010
Clientes por minuto� =
45
60
= 0.75
José Eduardo Pécora Jr
Exemplo - Burger Dome - Atendimento
• Suponha que a tempo de atendimento siga uma 
distribuição exponencial
• Logo a probabilidade do tempo de serviço para um cliente 
é:
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• Uma análise estatística demonstra que o Burger Dome 
pode atender em média 60 clientes por hora
Clientes por minuto
P (tempo  t) = 1� e�µt
µ =
60
60
= 1
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Probabilidades de tempos de atendimento
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Tempo de Serviço <= t Probabilidade
0.5 0.3935
0.7 0.5034
1.0 0.6321
1.2 0.6988
1.5 0.7769
2.0 0.8647
Clientes por minutoµ =
60
60
= 1
P (tempo  t) = 1� e�1t
José Eduardo Pécora Jr
Exemplo - Burger Dome
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Sistema
Chegada
0.75 / Min
Fila
Serviço
Tchau
Serviço
1 / Min
– Indicadores de Performance
– Probabilidade de não ter clientes no sistema
– Tempo médio na fila
– Tempo médio no sistema
– Número médio de clientes na fila
– Número médio de clientes no sistema
– Probabilidade de chegar e não ter fila
– Probabilidade de ter N clientes no sistema
José Eduardo Pécora Jr
Indicadores de Performance Fila M/M/1
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Probabilidade de não ter clientes no sistema P0 = 1� �
µ
Número médio de clientes na fila Lq =
�2
µ(µ� �)
Número médio de clientes no sistema L = Lq +
�
µ
Tempo médio na fila Wq =
Lq
�
Tempo médio no sistema
Probabilidade de ter n clientes no sistema Pn =
⇣�
µ
⌘n
P0
W =Wq +
1
µ
José Eduardo Pécora Jr
Exercício 1
Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com 
uma duração média entre chegadas de 20 minutos. O barbeiro 
gasta em média 15 minutos com cada cliente.
a) Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para 
ser atendido?
b) Qual o número esperado de clientes no salão do barbeiro? 
Na fila?
c) Quanto tempo, em média, um cliente permanece no salão?
d) Quanto tempo, em média, um cliente espera na fila?
e) O barbeiro está estudando a possibilidade de colocar outro 
barbeiro desde que o tempo de permanência médio de cada 
cliente no salão passe a 1, 25 hora. Para quanto deve 
aumentar a taxa de chegada de modo que este segundo 
barbeiro fique justificado?
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José Eduardo Pécora Jr
Exercício 2
Fregueses chegam aleatoriamente a uma padaria à 
taxa média de 12/hora. O único empregado da padaria 
pode servir fregueses à taxa média de 20/hora. O 
empregado recebe R$3/hora, enquanto que o tempo 
que os fregueses “perdem” na padaria está estimado 
em R$8/hora. O dono da padaria está considerando a 
instalação de um equipamento de autoserviço que fará 
com que a taxa de atendimento aos fregueses passe 
para 42 fregueses/hora.
O custo do equipamento de auto-serviço é de R$30/
dia. Considerando que a padaria funciona 12 horas/dia, 
justifique economicamente se o equipamento de auto-
serviço deve ou não ser comprado.
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