PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS-trabalho de Automação

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PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Graduação em Engenharia Mecânica (Ênfase em Mecatrônica)
Yousser Moizés Ferreira
ANÁLISE NO REGIME DA FREQUÊNCIA DE UM CIRCUITO RLC COMPLEXO 
	
15/Março
2012
Yousser Moizés Ferreira
ANÁLISE NO REGIME DA FREQUÊNCIA DE UM CIRCUITO RLC COMPLEXO 
Trabalho apresentado à disciplina Automação do sexto período, do Programa de Graduação em Engenharia Mecânica ênfase Mecatrônica, da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. 
Orientadora: Rosely Maria Velloso Campos 
15/Março
2012
RESUMO
O presente trabalho apresenta o estudo do comportamento de um circuito elétrico de segunda ordem. O circuito estudado foi um do tipo Resistor-Indutor-Capacitor (RLC), do qual pode se caracterizar como sistema subamortecido, sobreamortecido ou criticamente amortecido.
O circuito caracteriza por ser um sistema de segunda ordem e foi analisado no domínio da freqüência, ou seja, a função de transferência dos circuitos foi utilizada para a analise das respostas teóricas. A resposta transitória desses circuitos também foi analisada, e a partir delas foi possível caracterizar a curva de resposta para o circuito. Para a obtenção das respostas teóricas, foi utilizado o software Matlab, amplamente utilizado em simulações de sistemas de controle.
Palavras chave: Análise, Circuito RLC, Matlab, Simulink.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO........................................................................................... 5
OBJETIVO................................................................................................. 6
CONCEITUAÇÃO TEÓRICA..................................................................... 7
 ANÁLISE E CÁLCULOS........................................................................... 8
SIMULAÇÃO NO MATLAB........................................................................ 11
SIMULAÇÃO NO SIMULINK..................................................................... 12
SIMULAÇÃO DE ESPAÇOS DE ESTADOS NO SIMULINK.................... 13
REFERÊNCIAS......................................................................................... 14
INTRODUÇÃO
	A importância do controle dos mais variados processos e muito importante para a sociedade atual. A aplicação dos processos de controle encontra-se amplamente difundida em todos as áreas industriais, que necessitam de um controle rigoroso em seus processos de produção. O controle dos processos desenvolve uma forma de maximizar a produção, minimizando desta maneira os custos destes processos ou então, entram como uma forma de realizar o controle do comportamento dos sistemas. Os sistemas por sua vez antes controlados manualmente, hoje contam com o advento da tecnologia e portanto podem ser controlados e/ou operados remotamente em plataformas digitais.
	O emprego dos sistemas de controle nos processos confere algumas vantagens operacionais como:
• Segurança;
 • Adaptatibilidade do sistema;
• Estabilidade;
• Maior eficiência, tanto de controle quanto de processo;
• Redução de sobre-excedentes;
• Otimização;
Ainda entre os vários sistemas controlados, podemos encontrar comumente os sistemas de primeira e de segunda ordem que são o cerne deste relatório. Neste contexto, torna-se imprescindível compreender completamente suas características de modo a realizar um controle de maior rendimento. Este relatório ira então descrever todas as etapas percorridas na realização da análise e dos cálculos com o circuito de segunda ordem (RLC), utilizado.
OBJETIVO
O objetivo principal deste trabalho é analisar e simular o comportamento dinâmico da corrente da tensão no capacitor, considerando a vazão de entrada um degrau unitário, encontrando a função de transferência do sistema e simulando no Matlab e Simulink.
CONCEITUAÇÃO TEÓRICA
	
	A fim de facilitar a compreensão de conceitos utilizados neste trabalho, serão apresentadas algumas considerações e definições sobre circuitos RLC.
	Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos, constituem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. Para o estudo destes circuitos, necessita a análise das relações entre tensão e a corrente e entre tensão e carga (sob condições iguais a zero), para cada componente. 
Figura 1 – Tabela de relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitores, resistores e indutores
	Os princípios guia para os cálculos, são as leis de Kirchhof. Devem-se somar as tensões ao longo de malhas ou correntes em nós, dependendo da técnica que envolva o menor esforço de manipulação algébrica e, em seguida, igualar o resultado a zero. A partir destas relações, podem-se escrever as equações diferenciais do circuito. Aplica-se, então, a transformada de Laplace das equações para finalmente se solucionar a função de transferência. 
ANÁLISE E CALCULOS
O primeiro passo para a solução, consiste em converter o circuito em transformada de Laplace das impedâncias e das variáveis de circuito. O circuito do qual calculamos necessitou de duas equações simultâneas para se obter a função de transferência. Estas equações podem ser determinadas somando as tensões ao longo de cada malha ou mesmo somando as correntes nos nós.
Optamos por fazer por meio do somatório das tensões nas malhas.
Figura 2 – Diagrama do circuito RLC usado para análise
	Pré-estabelecemos que para o circuito escolhido os valores de Ls = 1H, C = 1F e R1 = 10Ω.
	
SIMULAÇÃO NO MATLAB
Figura 3 – Simulação da função de transferência e espaços de estados no Matlab 
Figura 4 – Gráfico do comportamento do circuito RLC
SIMULAÇÃO NO SIMULINK
Figura 5 – Diagrama em blocos da função de transferência
Figura 6 – Gráfico do comportamento do circuito RLC no Simulink
ESPAÇO DE ESTADOS NO SIMULINK
Figura 7 – Diagrama de espaços de estados no Simulink
Figura 8 – Gráfico do comportamento do circuito RLC no simulink
ANÁLISE DAS RESPOSTAS DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA EM REGIMES PERMANENTES
A função de transferência genérica para sistemas de segunda ordem é:
Onde:
 – Fator de amortecimento
 – Freqüência natural de oscilação do processo
	
	A função de transferência do circuito usado é:
Igualando os denominadores da função de transferência genérica e a do circuito, é possível determinar o coeficiente de amortecimento e a frequência natural de Oscilação.
Deve-se proceder ao cálculo dos pólos da função para definir o comportamento do sistema com o tempo.
Utilizando a fórmula de Bháskara:
Figura 9 – Gráfico das raízes e pólos do sistema
	Para efetuar o cálculo da resposta transitória, deve-se calcular MP% e ts2%:
Para o cálculo do erro no regime permanente para uma entrada degrau unitário temos:
	Programação no Matlab:
>> NUM1=[10];
>> DEN1=[10 1 10];
>> sys=tf(NUM1,DEN1)
 
Transfer function:
 10
---------------
10 s^2 + s + 10
 
>> %Função pzmap
>> H = tf([0 0 10],[10 1 10]);sgrid
>> pzmap(H)
>> gridon 
>> %Função damp
>> damp(H)
 
 Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) 
 
 -5.00e-002 + 9.99e-001i 5.00e-002 1.00e+000 
 -5.00e-002 - 9.99e-001i 5.00e-002 1.00e+000 
 
>> %função polyval
>> x=[10 1 10]
x =
 10 1 10
>> P=polyval(x,0)
P =
 10
>> ess=1-(10/P)
ess =
 0
 
>> %função step
>> step(H)
>>
Figura 10 – Raízes e pólos do sistema gerado pelo Matlab
Figura 11 – Gráfico do sistemasubamortecido gerado pelo Matlab
ANÁLISE DOS RESULTADOS
	Os pólos s1 e s2 possuem parte real e parte imaginárias, o que significa que o sistema é estável e amortecido, obtendo -0,05 na parte real, e +/- j1,997 na parte imaginária.
	O parâmetro Mp%, indica que o sistema terá uma saída Y(s) 85,4% maior que a resposta após a estabilização.
	O parâmetro ts2% indica que serão necessários 80 segundos para estabilizar em um determinado valor.
LUGAR DAS RAÍZES
	Acrescentando a função riocus na programação do Matlab, é possível se calcular o lugar das raízes.
Programação no Matlab
NUM1=[10];
DEN1=[10 1 10];
sys=tf(NUM1,DEN1)
%Função pzmap
H = tf([0 0 10],[10 1 10]);sgrid
H = tf([0 0 10],[1 0,1 1]);sgrid
pzmap(H)
gridon
damp(H)
H = tf([0 0 10],[10 1 10]);sgrid
pzmap(H)
NUM1=[10];
DEN1=[10 1 10];
sys=tf(NUM1,DEN1)
%calculo do Wn
Wn=sqrt(1)
%Calculo do Quisi
Qsi = 1/(10*2*Wn)
%Calculo do Ts
Ts=4/(Qsi*Wn)
Wn =
 1
Qsi =
 0.0500
Ts =
 80
CONTROLADORES
	No simulink foram realizadas as respostas temporais para os controladores Proporcional (P), Integral (I), Derivativo (D), Proporcional Integral (PI), Proporcional Derivativo (PD) e Proporcional Integral e Derivativo (PID).
CONTROLADOR PROPORCIONAL
Figura 11 - Diagrama Controlador Proporcional
Figura 12 – Gráfico Controlador Proporcional
CONTROLADOR INTEGRAL
Figura 13 - Diagrama Controlador Integral
Figura 14 – Gráfico Controlador Integral
CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL
Figura 15 – Diagrama Controlador Proporcional Integral
Figura 16 - Gráfico Controlador Proporcional Integral
CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO
Figura 17 – Diagrama Controlador Proporcional Derivativo
Figura 18 – Gráfico Controlador Proporcional Derivativo
CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL E DERIVATIVO
Figura 19 – Diagrama Controlador Proporcional Integral e Derivativo
Figura 20 - Gráfico Controlador Proporcional Integral e Derivativo
ANÁLISE DOS DADOS
	Analisando os resultados obtidos na forma dos gráficos, conclui que o critério para a escolha do controlador a ser usado, primeiramente deve-se levar em conta alguns fatores como overshoot, tempo de estabilização e o erro da resposta temporal, ou seja, deverá ser escolhido o controlador que melhor atende as necessidades do projeto com relação a fator de maior importância pro projeto.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NISE, Normam S.. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª Ed. Pomona: California State Polytechnic University. 2000. 42 p.