Calculo Diferencial-Integral - 4a Lista de Exerc. Derivacao Implicita e Taxas Relacionadas

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
Professor: Cleiton Geraldo Mendes Miranda 
cleiton.miranda@prof.una.br 
 
4ª Lista de Exercícios: Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 
 
1) Determine a derivada y’ das curvas dadas implicitamente por: 
a) 
4²²  yx
 
b) 
yxyxy 2³2² 
 
c) 
0)(²²  yxsenyx
 
d) 
3 yxe
xy
 
e) 
0³ 



yx
yx
y
 
f) 
1)(  xyytg
 
g) 
²)ln( yxy 
 
 
2) Derive as funções: 
a) 
)2ln(² xxy 
 
b) 
)²1ln( xxy 
 
c) 
²
ln
x
x
y 
 
d) 
4
)13(
)³12(
ln)(



t
t
tF
 
3) O modelo 
1²
1²



t
tt
N
mede a percentagem do nível de oxigênio em uma lagoa; t é o 
tempo em semanas, após o lançamento de detritos orgânicos na lagoa. Ache a taxa 
de variação de N em relação a t quando: 
a) t = 0,5 b) t = 2 c) t = 8. 
 
4) Determine a taxa de variação do volume V de uma esfera em relação ao seu raio r 
para: 
a) r arbitrário b) r = 1 m 
 
5) Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da 
área A da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para: 
a) r arbitrário b) r = 200 m 
 
6) Despejam-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma 
de um cone com diâmetro de base igual à altura. Quando a altura do monte é de 3 m, 
a taxa de variação com que a areia é despejada é de 0,01 m³/ min. Qual a taxa de 
variação da altura do monte quando esta for de 3 m? 
 
7) Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam 
que o número n de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em 
dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por 
3
³
64
t
tn 
. 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia? 
 
8) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água 
no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por 
)²80(50 tV 
Determinar: 
a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 
primeiras horas de escoamento. 
b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de 
escoamento. 
c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de 
escoamento. 
 
9) Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação l = 2 + t², onde a 
variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado 
quando t = 2. 
 
 
Respostas: 
1) 
,
²21
'),
²sec
')
,
2)²²(3
2
'),
1
1
'),
)cos(²2
)(²2
'),
2²62
²1
'),/')
y
y
yg
xy
y
yf
xyxy
y
ye
xe
ye
yd
yxyx
ysenxy
yc
yxy
y
ybyxya
xy
xy















 
2) 
13
12
12
6
)('),
³
ln21
'),
²1
1
')),2ln(.2')








tt
tFd
x
x
yc
x
ybxxxya
... 
3) a) 
semana
dt
dN
/%48,0)5,0( 
 b) 
semana
dt
dN
/%12,0)2( 
 c) 
semana
dt
dN
/%015,0)8( 
 
4) 
dt
dr
dt
dV
b
dt
dr
r
dt
dV
a .4),².4)  
... 
5) 
dt
dr
dt
dA
b
dt
dr
r
dt
dA
a .400),.2)  
 
6) Aprox. 0,0014m/min. 
7) a) 48 pessoas/dia, b) dn/dt (8) = 0. Logo a epidemia está controlada. C) aprox. 43 pessoas 
8) 
,/7200),/7500) horalitros
dt
dV
bhoralitros
dt
dV
a 
c) saiu 38750 litros de água 
9) 48 unidades de área / unidade de tempo