Apontamentos sobre Dinâmica para a MEC0404 T02 em 2016.1 Primeira Parte

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CÂMARA DE PROJETOS MECÂNICOS E DE FABRICAÇÃO
DISCIPLINA: MEC0404-MECÂNICA DOS SÓLIDOS – T02
PROF.: JOÃO WANDERLEY RODRIGUES PEREIRA
APONTAMENTOS SOBRE DINÂMICA-PARTE 1
ALUNO:......................................................................................................DATA: 01/02/2016
Parte A - Cinemática das Partículas
8.1-INTRODUÇÃO
Cinemática é a parte da Mecânica que trata do movimento das partículas, linhas e corpos sem Levar em consideração as forças necessárias a produzir ou manter o movimento. Um profundo conhecimento das relações entre posição, tempo, velocidade, aceleração, deslocamento e distância percorrida pelas partículas, linhas e corpos é essencial ao estudo dos efeitos de sistemas de forças não equilibrados em corpos. A Cinética refere-se aos sistemas de forças que produzem movimento acelerado de corpos, às suas propriedades inerciais, e ao movimento resultante destes corpos.
As quantidades cinemáticas, tais como posição e velocidade, são expressas em relação a um sistema de eixos de referência. Quando os eixos são fixados à Terra, usada como referência, o movimento é denominado movimento absoluto, diferindo do movimento relativo, que é medido em relação a eixos em movimento. Estritamente falando, o movimento absoluto é aquele medido relativamente a um sistema de coordenadas fixo no espaço, um sistema de referência Newtoniano, e desde que a Terra está-se movendo, o movimento medido em relação a eixos fixos na Terra é realmente um movimento relativo. Entretanto, para a Mecânica elementar, o movimento da Terra pode ser desprezado e, neste texto, movimento medido relativamente a um sistema de coordenadas fixo à Terra é definido como movimento absoluto.
O termo partícula é empregado para qualquer corpo cujo tamanho possa ser desprezado sem introdução de erros apreciáveis, quando estudando ou descrevendo seu movimento. No movimento planetário, a Terra é considerada como uma partícula, embora o balancim de um relógio possa ser tratado como um corpo, na análise do movimento do mecanismo do relógio.
O termo linear, como em velocidade linear ou deslocamento linear, é usado para descrever o movimento de partículas ou pontos. O movimento angular é restrito a linhas e corpos, porque são necessárias duas linhas para definir um ângulo.
Diz-se que as partículas têm movimento linear quando elas se movem ao longo de linhas retas, e movimento curvilíneo quando elas percorrem trajetórias curvas. O movimento uniforme de uma partícula é definido como aquele no qual distâncias iguais são percorridas em intervalos iguais de tempo, desprezando-se quão pequenos os intervalos de tempo possam ser.
8.2-REVISÃO DE CÁLCULO VETORIAL
O cálculo vetorial é útil na Cinemática porque muitas das quantidades estudadas são vetores. No cálculo escalar, somente estão envolvidas variações na grandeza da variável, enquanto que, no cálculo vetorial, devem ser consideradas variações da variável tanto em grandeza como em direção.
O assunto que se segue é. uma breve revisão de alguns aspectos do cálculo vetorial. Uma discussão mais completa pode ser obtida em muitos textos de cálculo ou em livros sobre análise vetorial.
A Fig. 8.1 representa uma partícula movendo-se ao longo de uma trajetória curvilínea. O ponto O é a origem do sistema fixo de coordenadas, xyz. O vetor posição r de O a P, expresso como função do tempo, localiza a partícula em qualquer instante. Como a partícula se move do ponto P ao ponto P’ a variação de r é
r = r’ – r
Se r é a variação durante o intervalo de tempo t, a razão r/t é a taxa média da variação de posição, e o limite, quando t se aproxima de zero, é definido como a derivada do vetor-posição r, em relação ao tempo t. Assim
(dr/dt) = = 
A Fig. 8.1 mostra que r é um vetor e indica a variação de r, tanto em direção como em sentido. O vetor r não se limita a vetores-posição, mas pode ser qualquer vetor que varie com o tempo t, e t pode ser qualquer variável escalar.
Para a avaliação da derivada de um vetor, devem-se considerar mudanças em grandeza e direção .Se o vetor é expresso em termos de vetores unitários em direções fixas, estes vetores podem ser tratados como constantes durante a diferenciação. Considere a função
r = xi + yj + zk
onde x, y e z são funções escalares do tempo, e i, j e k são vetores unitários nas direções fixas x, y e z. Cada termo é um produto de uma variável e de uma constante, e a derivada, em relação ao tempo, é
Se o vetor unitário ou os vetores usados para expressar r variam em direção, o procedimento da diferenciação pode ser modificado para levar em conta esta variação, como explicado no Art. 8.8.
A derivada da soma de dois vetores é igual à soma das derivadas, desde que os vetores obedeçam à lei distributiva. Assim, se A = B + C,
(d/dt)A = (d/dt)(B + C) = (dB/dt) + (dC/dt)
As seguintes relações também podem ser demonstradas, escrevendo-se a derivada como um limite:
(d/dt)(A·B) = A·(dB/dt) + (dA/dt)·B = 
e
(d/dt)(AxB) = Ax(dB/dt) + (dA/dt)xB = 
É essencial que seja mantida a ordem dos fatores, em cada termo, quando se vai diferenciar um produto vetorial.
Mostrou-se que a derivada de um vetor, em relação a um escalar, como o tempo, é um vetor. Algumas vezes, é desejável inverter a operação, isto é, integrar o vetor. Assim, se
A = dB/dt
a expressão inversa seria
dt + C
onde C é uma constante vetorial de integração, e que é constante em direção e em sentido. Um dos métodos mais vantajosos de se resolver a integração é expressar o integrando em termos de vetores unitários constantes, desde que tais constantes não se alteram por integração ou por diferenciação. Assim, se
A = Axi + Avj + Azk
a integral transforma-se em:
B = Adt = (Axi + Avj + Azk)dt + C
Conceitos adicionais envolvendo o cálculo de vetores serão introduzidos quando se fizer necessário.
8.3-DEFINIÇÕES BÁSICAS
A posição instantânea de uma partícula que se move ao longo de uma trajetória pode ser especificada pelo vetor posição r que vai da origem de um sistema fixo de coordenadas até a partícula. A sua posição pode ser também determinada fixando-se as suas coordenadas ou fornecendo-se a distância s, medida ao longo desta dada trajetória, do ponto fixo nesta trajetória até a partícula. Está-se considerando que todas estas quantidades são expressas como funções do tempo.
É essencial uma convenção de sinais consistente e claramente definida, se se deve dar uma interpretação física correta à solução algébrica. Direções positivas são aquelas dos eixos coordenados, quando dados. Se os eixos não são especificados, as direções positivas, que são consistentes com os dados fornecidos, deverão ser selecionadas e mostradas com a solução dos problemas.
O deslocamento linear, q, de uma partícula durante um intervalo de tempo é definido como a variação de posição da partícula durante o intervalo de tempo. Assim, se a partícula se move da posição P até a posição P’ da Fig. 8.1, durante um determinado intervalo de tempo, seu deslocamento é
q = r = r’ – r (8.1)
e é o vetor que vai de P a P’, Se a partícula se move de P a C e então retorna a P’, seu deslocamento, q , é ainda o vetor r de P a P’ e depende somente das posições inicial e final da partícula.
A distância total percorrida, representada por Q, é o comprimento total acumulado da trajetória percorrida, e assim depende da forma da mesma e se a direção do movimento é ou não invertida, bem como as posições inicial e final da partícula. A partir desta definição, verifica-se que a distância total percorrida será sempre igual ou maior que q, a grandeza do deslocamento. Somente quando a trajetória é uma linha reta e o movimento não se inverte, Q será igual a q.
O deslocamento q é uma quantidade vetorial, e é especificado completamente quando a grandeza e a direção são dadas. A distância total Q é uma quantidade escalar tendo somentegrandeza. O deslocamento linear e a distância total percorrida representam variações que ocorrem durante um intervalo de tempo, enquanto que a posição, r, é uma função vetorial contínua do tempo, com um valor definido para cada instante de tempo. Todas as três quantidades têm dimensões fundamentais de comprimento, e as unidades comuns são metros, milímetros, ou unidades semelhantes.
A velocidade linear v de uma partícula é definida como a taxa da variação da posição da partícula. Se a partícula, na Fig. 8.1, se move da posição P à posição P’ no tempo t, a taxa da variação da posição, isto é, a velocidade média, é r/t, e a velocidade instantânea na posição P é
 (8.2)
Como o intervalo de tempo diminui, o ponto P’ aproximar-se-á do ponto P e o deslocamento r tenderá à tangente à curva em P. Portanto, a velocidade de um ponto é um vetor e sempre tangente à trajetória ao longo da qual o ponto se move. A Equação (8.2) indica que a velocidade linear tem dimensões de comprimento dividido por tempo LT– l, e as suas unidades mais comuns são metros por segundo (m/s), milímetros por segundo (mm/s) ou unidades semelhantes.
A aceleração linear a de uma partícula é definida como a taxa de variação da velocidade linear da partícula. No ponto P da Fig. 8.2 a velocidade é v, e no ponto P’ ela é v + v. A taxa média da variação da velocidade linear é v/t, e a aceleração instantânea na posição P é
A aceleração linear é uma quantidade vetorial na direção da variação da velocidade. Deve ser observado que, embora a velocidade seja tangente à trajetória, ela pode variar tanto em grandeza como em direção e, em geral, a aceleração não é tangente à trajetória. A Equação (8.3) mostra que as dimensões da aceleração linear são comprimento dividido pelo quadrado do tempo, LT– 2. As unidades usuais são metros por segundo por segundo (m/s2), milímetros por segundo por segundo (mm/s2), ou unidades semelhantes. As acelerações são, algumas vezes, expressas em gs, onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s2) à superfície da Terra. Assim, uma aceleração de 5g seria igual a 49,05 m/s2.
Uma linha tem movimento angular quando varia o ângulo que ela forma com uma linha de referência. A linha pode girar ao redor de um ponto fixo sobre ela ou que se mova sobre ela, como no caso do ponteiro de um relógio, ou pode ser que o ponto não permaneça fixo sobre a linha, como é o caso do raio de uma roda que tenha movimento de rolamento. As partículas são consideradas sem dimensão, e qualquer movimento angular que elas possuam não pode ser medido ou descrito; assim sendo, o movimento angular é uma propriedade que é restrita a linhas e corpos.
Na discussão que se segue, considera-se que a linha AB, na Fig. 8.3, move-se somente no plano xy. O movimento de uma linha, que não se move em um mesmo plano, é discutido na Parte B deste capítulo. A posição angular da linha AB, a qualquer instante, é definida pelo ângulo do eixo x até a linha. A função posição angular , como usada aqui, é uma função escalar do tempo. A variação da posição angular de uma linha, durante um dado intervalo de tempo, é denominada deslocamento angular da linha e indicada pelo símbolo . Similarmente, o símbolo é empregado para designar o ângulo total varrido durante um intervalo de tempo, e será maior que sempre que a direção da rotação varia.
A velocidade angular, w, de uma linha é definida como a taxa de variação da posição angular da linha. A velocidade angular é uma quantidade vetorial livre, que pode ser representada por um vetor perpendicular ao plano do movimento da linha, em uma direção determinada pela regra da mão direita. Se a linha AB, na Fig. 8.3, está girando de tal forma que está aumentando, o vetor velocidade angular está na direção z, como mostrado. Quando uma linha permanece em um plano, o vetor velocidade angular é sempre perpendicular a este plano, e é conveniente indicar a direção da velocidade angular com uma seta no sentido horário ou anti-horário. Para o movimento coplanar de uma linha, o valor da velocidade angular é
 ‘ (8.4)
A velocidade angular tem as dimensões de um ângulo por unidade de tempo, isto é, LT– 1desde que um ângulo é adimensional. Unidades usuais para velocidade angular são radianos por segundo (rad/s), revoluções por minuto (rpm), etc.
A aceleração angular, , de uma linha é definida como a taxa de variação da velocidade angular da linha. Desde que a velocidade angular é uma quantidade vetorial, ela pode variar em direção ou sentido, ou em ambos. Como neste artigo só se está considerando movimento angular planar, a velocidade angular somente pode alterar sua grandeza e sentido. O valor da aceleração angular de uma linha é
 (8.5)
A aceleração angular de uma linha pode ser representada por um vetor livre, e para o movimento planar desta linha o vetor é perpendicular ao plano do movimento e seu sentido é determinado pela regra da mão direita. Se a linha AB da Fig. 8.3 está girando no sentido horário, com a diminuição da velocidade angular, a aceleração angular aparece como mostrada na figura. Para o movimento coplanar, é conveniente o uso de uma seta no sentido horário ou anti-horário para representar a aceleração angular.
A aceleração angular tem dimensões de um ângulo dividido pelo tempo ao quadrado, T– 2 Unidades usuais são radianos por segundo por segundo (rad/s2), revoluções por segundo por segundo (rev/s2), e unidades semelhantes.
Quando posições angulares de linhas em movimento são mostradas em um desenho, emprega-se a direção de uma seta, a partir da linha fixa de referência, para indicar a direção positiva. De maneira semelhante, os eixos coordenados são usados para indicar as direções lineares positivas. Quando as direções positivas não são especificadas, elas podem freqüentemente ser determinadas a partir dos dados fornecidos. Quando os mesmos são insuficientes para permitir a escolha das direções positivas, as direções consideradas deverão ser indicadas claramente.
8.4-MOVIMENTO RETILÍNEO
O movimento retilíneo de uma partícula é definido como o movimento ao longo de uma linha reta. Quando as definições desenvolvidas no Art. 8.3 são aplicadas ao movimento retilíneo, verifica-se que a velocidade da partícula, que é sempre tangente à trajetória, estará sempre ao longo de uma linha reta e assim pode variar somente em grandeza e sentido. Desde que a velocidade pode variar somente em grandeza, a aceleração (taxa de variação da velocidade) deve estar também ao longo desta linha reta. Se i é o vetor unitário ao longo da trajetória, são obtidas as seguintes equações, partindo-se das definições do Art. 8.3.
A posição r do ponto é
r = si
onde s é a distância que vai do ponto fixo na trajetória ao ponto em movimento. A velocidade é
donde
 (a)
De maneira análoga, a aceleração do ponto é dada por
isto é,
 (b)
Se v é expressa como uma função de s, a aceleração pode ser também expressa (para um movimento retilíneo) como
 (c)
Observe-se que as Eqs. (a), (b), (c) são equações escalares que fornecem os valores das velocidades e das acelerações. As direções são indicadas pelo vetor unitário ao longo da trajetória e o sinal algébrico da velocidade ou da aceleração. Se a grandeza da velocidade diminui, a aceleração é, algumas vezes, denominada uma desaceleração.
Quando algumas das quantidades cinemáticas (posição, deslocamento, velocidade, aceleração e tempo) são conhecidas e outras devem ser determinadas, as Eqs. (8.2) e (8.3), oualguma outra de suas formas, podem ser empregadas para obter-se as quantidades desejadas, por diferenciação ou por integração. As três equações escalares mais úteis para movimento retilíneo são
A forma ou equação particular a ser utilizada dependerá dos dados fornecidos e dos resultados desejados.
As semelhanças entre as Eqs. (a) e (8.4) e entre (b) e (8.5) indicam uma analogia direta entre posição, velocidade e aceleração para o movimento retilíneo de um ponto e para o movimento angular planar de uma linha. Expressões algébricas para quantidades angulares podem ser diferenciadas e integradas da mesma maneira que as expressões análogas para as quantidades lineares. Freqüentemente, é interessante relacionar a posição linear de um ponto à posição angular de uma linha, por meio da geometria, e obter expressões que relacionam velocidades e acelerações, por diferenciação. Os exemplos que se seguem ilustram alguns dos princípios discutidos até agora.
8.5-CURVAS DE MOVIMENTO
Para muitos problemas, um procedimento semigráfico ou ilustrado, utilizando curvas de movimento, proporciona um excelente método de solução e permite facilitar a visualização do movimento. As curvas de movimento são diagramas que apresentam as relações entre as várias quantidades cinemáticas. Para o movimento retilíneo, a posição, velocidade, ou aceleração podem ser representadas graficamente como ordenadas, contra o tempo correspondente como abscissa. Em alguns casos, a velocidade pode ser representada em gráfico contra a posição (isto é conhecido como um gráfico no plano de fase), ou a aceleração pode ser representada em gráfico contra a posição ou velocidade. Um dos diagramas mais úteis, para muitos problemas, é o diagrama v-t (velocidade-tempo). A Fig. 8.5 mostra um exemplo de um diagrama v-t.
A inclinação da curva, correspondente a qualquer tempo t, representa a variação no valor da velocidade dv dividida pelo intervalo de tempo dt, a qual, pela Eq.(8.3), é o valor da aceleração.
A área sob a curva entre quaisquer duas ordenadas em t1 e t2 da Fig. 8.5 é a integral definida de vdt. Desde que v = ds/dt, a expressão vdt é igual a ds e a integral vale
onde s1 e s2 são os valores de s, correspondendo a t1 e t2, respectivamente. Assim, a área sob a curva v-t, entre as ordenadas em t1 e t2, é a variação de s (valor do deslocamento) durante o correspondente intervalo de tempo. A inversão da velocidade ocorre quando t = t3 onde a curva corta o eixo dos tempos. A área Q1 representa a distância percorrida durante o intervalo de tempo t1, desde t = O até t = t3 (anterior à inversão da velocidade). A área Q2 representa a distância percorrida na direção oposta, durante o intervalo de tempo t2, desde t = t3 até t = t4. A soma das duas áreas representa a distância total percorrida desde t = O até t = t4 e a diferença representa a distância (valor do deslocamento) durante o intervalo.
8.6-MOVIMENTO RELATIVO - MOVIMENTO DE MUITAS PARTÍCULAS
Quando duas ou mais partículas estão-se movimentando simultaneamente, seus movimentos podem ser inteiramente independentes. Considere, por exemplo, dois trens movendo-se ao longo de linhas paralelas. A posição, velocidade e aceleração de um trem não afetam a posição, velocidade ou aceleração do segundo trem, e os movimentos são independentes. Entretanto, se as partículas são conectadas por cordas, polias, molas ou outros vínculos, o movimento de um dos corpos normalmente afetará o movimento de cada um dos outros corpos. Vários exemplos de tal movimento são ilustrados na Fig. 8.9, na qual cada partícula ou corpo tem movimento retilíneo e as partículas são conectadas por cabos flexíveis inextensíveis. Na Fig. 8.9(a), se o corpo A se move para baixo de uma distância sA, o corpo B deve mover-se da mesma distância, para a direita, e as coordenadas de posição dos dois corpos são relacionadas pelo comprimento da corda que os conecta. As posições dos corpos C e D na Fig. 8.9(b) são também relacionadas pelo comprimento da corda, mas a relação é um pouco menos direta. As Figs. 8.9(c) e 8.9(d) são outros exemplos nos quais a posição de um dos corpos é relacionada às posições dos outros corpos pela corda ou cabo que os liga.
Podem ser desenvolvidas relações entre velocidades e acelerações dos corpos conectados escrevendo-se uma ou mais equações que relacionam as posições dos corpos e diferenciando-se em relação ao tempo. É essencial uma convenção de sinais bem definida, para que os resultados possam ser interpretados corretamente. A coordenada que fornece a posição de cada um dos corpos da Fig. 8.9 é mostrada em cada desenho, com uma seta indicando a direção positiva. Nestes exemplos, a posição de cada partícula é medida a partir de uma referência fixa, em lugar de uma origem que se movimente. Assim, a posição de A. na Fig. 8.9(d), é medida a partir das polias fixas em vez de ser a partir da polia em movimento D.
No Art. 8.1 foi feito referência tanto ao movimento absoluto como ao movimento relativo. Quando o movimento é especificado em relação a um sistema de .eixos fixo no espaço, o movimento é denominado movimento absoluto. Quando a posição, velocidade e aceleração são medidas em relação a uma origem que se movimenta, o movimento denomina-se movimento relativo.
A Fig. 8.10 representa duas partículas movendo-se em um plano fixo xy. As posições absolutas de A e B são mostradas como rA e rB, respectivamente. A posição de B pode ser também medida a partir dos eixos x’y’ que se movem com o ponto A. O vetor rB/A é definido como a posição de B em relação ao sistema de eixos que se move com o ponto A. Quando x’ e y’ permanecem paralelos aos eixos fixos, é conveniente chamar a posição de B relativa aos eixos x’y’ como a posição de B em relação a A. Assim, o movimento de B medido em relação ao sistema x’y’, é o movimento de B em relação a A.
A partir da Fig. 8.10, pode ser escrita uma equação vetorial para a posição de B em relação a A. Isto é,
rB = rA + rB/A ou rB/A = rB – rA
Esta equação pode ser diferenciada, fornecendo
vB = vA + vB/A ou vB/A = vB – vA
e
aB = aA + aB/A ou aB/A = aB – aA
Observe que rA, rB e as outras quantidades são vetores, e quando são diferenciadas, devem ser incluídas variações tanto em grandeza como em direção, conforme indicado no Art. 8.2. Tais diferenciações serão discutidas com maiores detalhes nos itens seguintes.
Os exemplos que se seguem ilustram as relações cinemáticas para dois ou mais corpos.
O procedimento em se escrever uma ou mais equações que relacionem as funções posição absoluta ou relativa, e a subseqüente diferenciação para obter-se as relações de velocidade e aceleração, proporciona recursos fundamentais na obtenção de tais relações e freqüentemente são verificados independente de outras soluções.
8.7-MOVIMENTO CURVILÍNEO – COMPONENTES RETANGULARES
Nos artigos anteriores, a partícula foi considerada movendo-se ao longo de uma linha reta, e a velocidade e aceleração eram dirigidas ao longo desta linha reta e poderiam variar somente em grandeza (não em direção). Quando a partícula se move ao longo de uma trajetória curva, em geral estas quantidades variam tanto em grandeza como em direção. Mostrou-se no Art. 8.3 que a velocidade é sempre tangente à trajetória e, assim, variará em direção, e talvez em grandeza, quando a partícula se move ao longo da trajetória. A aceleração da partícula não é tangente à trajetória para o movimento curvilíneo. Este ponto será discutido com maiores detalhes no Art. 8.8. Diferentes sistemas de coordenadas têm sido utilizados para descrever a cinemática do movimento curvilíneo da partícula. O emprego de componentes retangulares é discutido neste artigo.
O vetor posição de uma origem fixa até um ponto no espaço pode ser escrito em termos dos vetores unitários constantes i, j e k (paralelos aos eixos fixos x, y e z, respectivamente) como
r = xi + yj + zk (8.6)
onde as coordenadas retangulares (x, y e z)do ponto ou partícula podem variar com o tempo. O deslocamento da partícula durante um intervalo de tempo é
q = r = rf – ri
onde ri e rf são as posições inicial e final da partícula.
A velocidade da partícula, em qualquer instante, foi definida no Art. 8.3 como a taxa de variação temporal da posição da partícula. Pela Eq. (8.6) a velocidade é
 (8.7)
onde é a grandeza da componente da velocidade na direção x com expressões semelhantes para vy e vZ. Observe que a derivada do produto xi é desde que i é uma constante tanto em grandeza como em direção para eixos fixos.
A aceleração linear da partícula, em qualquer instante de tempo, é definida como a taxa de variação temporal da velocidade da partícula, e pela Eq. (8.7), seu valor é
 (8.8)
onde ax, ay e az são as componentes da aceleração nas direções x, y e z, respectivamente.
As Equações (8.6) a (8.8) indicam que o movimento curvilíneo pode ser considerado como o vetor soma de três movimentos retilíneos simultâneos, ao longo dos três eixos coordenados. Esta análise é particularmente interessante na análise de movimentos, onde o movimento (aceleração e velocidade), ao longo dos eixos coordenados, é independente.
O movimento de um projétil em vôo é um exemplo do movimento curvilíneo. Quando se despreza a resistência do ar, a única força agindo no projétil é seu peso, desta maneira, a componente horizontal da aceleração é zero, e a componente vertical é a aceleração devido ao peso do corpo, aproximadamente 9,81 m/s2, dirigida verticalmente para baixo. Posteriormente, neste capítulo, será mostrado que um projétil percorre uma trajetória parabólica quando a resistência do ar é desprezada. A resistência do ar é uma força variável, que varia tanto em grandeza como em direção. A grandeza varia com a velocidade e com a densidade do ar, e a direção é oposta à direção da velocidade. Não há soluções simples para tais problemas, embora tenha-se conseguido obter soluções aproximadas.
Desde que sejam conhecidas as componentes horizontal e vertical da aceleração de um projétil, o movimento resultante é uma superposição de dois movimentos retilíneos uniformes, e as componentes retangulares constituem-se em um método adequado de análise. As acelerações dos movimentos das componentes são constantes (uma é zero); desta maneira, os diagramas »-t são linhas retas e freqüentemente podem levar a uma solução conveniente do movimento resultante. As equações diferenciais dos dois movimentos simultâneos podem ser também empregadas para analisar o movimento. Ambos os procedimentos são discutidos nos exemplos que se seguem.
8.8-MOVIMENTO CURVILÍNEO – COMPONENTES NORMAL E TANGENCIAL
O movimento curvilíneo foi analisado, no Art. 8.7, por meio de coordenadas retangulares, e em certos tipos de problemas essa análise proporciona a solução mais simples e direta. Entretanto, as componentes retangulares de velocidade e aceleração falham em relacionar as componentes diretamente à trajetória que está sendo percorrida, e isto pode ser desvantajoso para alguns problemas. Para determinados problemas em movimento curvilíneo, particularmente movimento circular de uma partícula, as componentes normal e tangencial de velocidade e aceleração podem ser mais convenientes que as componentes retangulares. A posição de uma partícula, que se move ao longo de uma trajetória curva, é especificada completamente quando a trajetória é conhecida e quando a distância até a partícula, medida sobre a trajetória, a partir de um ponto fixo sobre ela, é conhecida como uma junção do tempo. A posição da partícula P, na Fig. 8.19(a), quando se move sobre a curva plana, é dada pela distância s, medida ao longo da curva, a partir do ponto fixo A.
É conveniente introduzir vetores unitários nas direções normal e tangencial, como mostrado na Fig. 8.19(a). O vetor unitário e, está sobre o raio principal de curvatura' no ponto, e a direção positiva é a partir da curva para o centro de curvatura em O. O vetor unitário tangente e, é tangente à trajetória no ponto, e a direção positiva é a direção do aumento de s, como mostrado. Desde que estes vetores unitários variarão em direção, suas derivadas temporais são diferentes de zero.
A velocidade de uma partícula é sempre tangente à trajetória, como mostrado no Art. 8.3. O valor da velocidade pode ser obtido analisando-se a Fig. 8.19(a). Como a partícula se move de P até P’, ela percorre uma distância Às em um intervalo de tempo t e possui uma velocidade média s/t. O valor da velocidade instantânea é o limite desta razão, quando t se aproxima de zero; isto é,
e
 (8.9)
A aceleração da partícula é definida como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. A velocidade pela Eq. (8.9) é o produto de dois fatores, e sua derivada é
A quantidade é a taxa de variação de et, em relação ao tempo, et pode ser calculada como indicado na Fig. 8.19(b). Desde que et tem um valor constante (unitário), pode variar somente em direção. O valor de et é
et = 2[et.sen(/2)] = 2(1)sen(/2)
e como torna-se muito pequeno, sen(/2) é aproximadamente igual a /2, e et é escrito como
et = 2(/2) = 
A direção de et é perpendicular à de et, isto é, na direção de en, e a derivada temporal de et é
 (8.10)
Observe que deve ser dado em radianos por unidade de tempo.
Embora isto não seja necessário para esta análise, é útil observar que en pode ser diferenciado de maneira semelhante, obtendo-se
 (10a)
visto que a direção de en é oposta à de et.
A aceleração linear da partícula torna-se, então,
 (8.11)
Algumas vezes, é interessante relacionar as quantidades lineares e angulares nas equações anteriores. Os pontos O e O’ na Fig. 8. 19(a) são os centros de curvatura para P e P’, respectivamente, e r é o raio de curvatura em P. Pode ser verificado que, como se aproxima de zero, O’ aproximar-se-á de O e ds será igual a r.d quando d está dado em radianos.
Quando esta quantidade é dividida por dt, fica
 (8.12)
e a Eq, (8.11) pode ser escrita como
 (8.13)
onde at e an são as componentes tangencial e normal, respectivamente, da aceleração da partícula.
Deve ser verificado que a velocidade é sempre tangente à trajetória, e assim não possui componente normal. A velocidade do ponto tem um valor ds/dt na direção et [veja a Eq. (8.9)]. Observe que o valor da componente tangencial da aceleração, d2s/dt2 resulta de uma variação no valor de v. A componente normal da aceleração é devido à variação da direção da velocidade, como indicado por det/dt. A componente normal está sempre dirigida da partícula em direção ao centro de curvatura da trajetória, e é zero somente quando a velocidade é zero ou não está variando em direção (movimento retilíneo). A componente tangencial é zero quando a velocidade é constante (valor escalar).
Para o caso especial do movimento com trajetória circular, r é constante e, pelas Eqs. (8.12) e (8.5),
(d2s/dt2) = r(d2/dt2)
o que permite escrever a Eq. (8.13) como
Algumas vezes, é conveniente alterar a variável independente na expressão para at, na Eq. (8.13), de t para s. Isto pode ser compreendido escrevendo-se
ou na forma vetorial
Os exemplos que se seguem ilustram o emprego usual das componentes normal e tangencial da aceleração.
8.9- MOVIMENTO CURVILÍNEO – COMPONENTES RADIAL E TRANSVERSAL 
Quando uma partícula percorre uma trajetória curva em um plano, algumas vezes é conveniente expressar sua posição em coordenadas polares. A distânciaradial r a partir de um ponto fixo e a posição angular a partir de uma linha de referência, como mostrado na Fig. 8.20(a), expressas como funções do tempo, determinam completamente a localização da partícula. Quando se empregam coordenadas polares, a velocidade e a aceleração são colocadas em termos das componentes radial e transversal. A componente radial fica sobre o raio vetor da partícula, e a componente transversal é perpendicular ao raio vetor. A Fig. 8.20(a) mostra os vetores unitários er e e nas direções positivas do aumento de r e .
O vetor posição para a partícula P da Fig. 8.20(a) pode ser escrito como
r = rer (8.14)
onde r é a coordenada polar radial.
A velocidade da partícula é definida como a taxa de variação, em relação ao tempo, da posição da partícula. Os vetores unitários er e e são diferenciados da mesma maneira como foram en e et, na seção anterior. Pela Fig. 8.20(b), verifica-se
 (8.15)
e de maneira semelhante
 (8.15a)
A velocidade linear da partícula P, obtida diferenciando-se a Eq. (8.14), é
 (8.16)
onde vR e vT são as componentes radial e transversal, respectivamente, da velocidade.
A aceleração linear de P é a taxa de variação, em relação ao tempo, da velocidade, e pela Eq. (8.16), é
 (8.17)
onde aR e aT são as componentes radial e transversal, respectivamente, da aceleração. A equivalência das duas expressões para aT pode ser verificada expandindo-se a segunda expressão. Esta segunda forma é freqüentemente empregada quando se faz necessário integrar a componente transversal da aceleração.
O exemplo seguinte ilustra o emprego de coordenadas polares para encontrar-se a velocidade e a aceleração de uma partícula que se move em uma trajetória curvilínea, em um plano.
8.10-CINEMÁTICA DE UMA PARTÍCULA EMPREGANDO COORDENADAS CILÍNDRICAS
A análise do movimento de uma partícula, empregando coordenadas polares, como explicado no Art. 8.9, pode ser estendida para três dimensões pela adição de uma coordenada z e de um vetor unitário ez. O vetor unitário adicionado tem direção constante (paralela ao eixo z), bem como em grandeza. As direções positivas estão nas direções do aumento de r, e z, como mostrado pelos vetores unitários da Fig. 8.23. Pode ser observado que er, e e ez definem um sistema positivo de coordenadas.
O vetor posição, da origem a qualquer partícula P, é, como mostrado na Fig. 8.23,
r1 = rer + zez (8.18)
A velocidade de P é definida como a taxa de variação temporal da posição. A derivada de e, é dada pela Eq. (8.15) do Art. 8.9. Como e, é constante, tanto em grandeza como em direção, sua derivada é zero. A derivada temporal é
v = (dr1/dt) = (dr/dt)er + r(d/dt)e + (dz/dt)ez = vR + vT + vz (8.19)
onde vR, vT e vz são as componentes de velocidade nas direções radial, transversal e direção z, respectivamente.
Da mesma maneira, a diferenciação da Eq. (8.19) fornece
a = (d2r1/dt) = [(d2r/dt) – r(d/dt)2]er + [r(d2/dt) + 2(d/dt)(dr/dt)]e + (d2z/dt2)ez
a = aR + aT + az (8.20)
onde aR, aT e az são as componentes de aceleração correspondentes.
Os exemplos seguintes ilustram o emprego de coordenadas cilíndricas para problemas em Cinemática.
8.11-RESUMO
As quantidades cinemáticas utilizadas para descrever o movimento de uma partícula são tempo, posição (incluindo deslocamento e distância total percorrida), velocidade e aceleração. Quantidades análogas são usadas para descrever o movimento angular de uma linha. Os problemas de Cinemática consistem na determinação de uma ou mais das quantidades descritas anteriormente, a partir dos dados fornecidos. As várias quantidades cinemáticas estão relacionadas por equações diferenciais. As relações são desenvolvidas empregando coordenadas ou componentes cartesianas, normal e tangencial, radial e transversal e cilíndricas. Equações paramétricas são freqüentemente convenientes. Pode-se lançar mão das curvas de movimento para suplementar ou substituir a solução analítica. Desde que muitas das quantidades envolvidas são vetores, normalmente é necessário diferenciar ou integrar quantidades vetoriais.
Parte B – Cinemática do Corpo Rígido
8.12-DEFINIÇÕES
O movimento de pontos ou partículas, e de linhas que os conectam, foi analisado nos artigos anteriores deste capítulo. Quando as dimensões de um corpo são pequenas comparadas com as dimensões da trajetória do movimento do corpo, é normalmente permitido tratar o corpo como uma partícula em movimento. Quando as dimensões do corpo não são desprezíveis comparadas às dimensões da trajetória normalmente é necessário investigar as relações entre as posições, velocidades e acelerações dos vários pontos e linhas do corpo. Um corpo rígido foi definido no Art. 1.2 como aquele no qual as partículas permanecem a distâncias fixas uma das outras. Qualquer movimento de corpo rígido pode ser classificado como um dos seguintes tipos:
Translação: Quando um corpo rígido se movimenta de tal maneira a que todas as linhas do corpo permaneçam paralelas a suas posições originais, o corpo tem um movimento de translação. Para tal movimento, a velocidade angular e a aceleração angular de todas as linhas no corpo devem ser zero. Se o centro de massa do corpo permanece em um plano, o movimento é definido como uma translação planar. Muitos corpos tendo movimento de translação enquadram-se na translação planar. Alguns exemplos de translação são (1) a biela de uma locomotiva deslocando-se sobre um trilho reto e também as barras paralelas conectando as rodas de uma locomotiva, (2) o amortecedor de um automóvel deslocando-se em linha reta sobre uma estrada, e (3) uma porta deslizante cujos roletes correm em ranhuras retas. Pela definição de translação, é aparente que todos os pontos do corpo devem ter o mesmo deslocamento durante qualquer intervalo de tempo e, conseqüentemente, idênticas velocidades e idênticas acelerações para qualquer instante. Em outras palavras, o movimento de qualquer partícula de um corpo rígido tendo um movimento de translação determina o movimento de toda partícula do corpo.
Rotação: Um corpo rígido tem um movimento de rotação se uma linha no corpo, ou em sua extensão, é fixa e todas as suas partículas que não estejam sobre a linha fixa percorrem trajetórias circulares com centros sobre o eixo fixo. A linha fixa é chamada eixo de rotação, e cada partícula, que não esteja sobre o eixo, move-se em um plano perpendicular ao eixo de rotação. Algumas vezes, este movimento é chamado rotação pura, para distingui-lo do movimento no qual não se fixa uma linha, mas sim onde o corpo gira ou roda em relação a uma linha em movimento, como no movimento plano (a ser definido mais tarde). O rotor de uma turbina a vapor estacionária, uma roda d'água, os ponteiros de um relógio, e o braço de manivela de um automóvel quando o carro ainda está parado e o motor está funcionando são exemplos de corpos rígidos em rotação. Se o carro está em movimento em uma estrada reta, o braço de manivela não tem rotação porque os pontos percorrem trajetórias helicoidais em lugar de trajetórias circulares.
Movimento plano: Quando um corpo rígido se move de tal maneira que toda partícula do corpo permanece a uma distância constante de um plano fixo de referência, o corpo tem movimento plano. Assim, todas as partículas, em um corpo rígido com movimento plano, movem-se no mesmo plano ou em planos paralelos. A rotação é um caso especial do movimento plano, e a rotação planar é também movimento plano. O plano no qual o centro de massa se move é chamado de plano de movimento do corpo. Emgeral, o movimento plano pode ser interpretado como uma combinação de rotação e translação. Dois exemplos comuns de movimento plano são a barra de conexão de um motor estacionário e a roda de um automóvel percorrendo uma estrada em linha reta.
O movimento plano pode ser analisado interpretando-o como a combinação de uma rotação do corpo ao redor de algum eixo de referência conveniente no corpo, ou em sua extensão, e de uma translação do corpo, na qual todos os pontos têm o mesmo movimento em relação a um ponto de referência. O braço BC do mecanismo de ligação da Fig. 8.25(a) tem movimento plano. Como o braço AB gira para a posição AB’, o braço DC gira para DC’ e BC move-se para B’C’. O movimento de BC pode ser visualizado como uma rotação ao redor de um eixo em C para a posição B”C, seguido de uma translação curvilínea para B’C’, com todas as partículas de BC movendo-se ao longo de trajetórias curvas semelhantes a CC’, desde B”C até a posição B’C’. O movimento também pode ser imaginado como uma translação curvilínea de BC para a posição B’C” na Fig. 8.25(b), seguida por uma rotação ao redor de B’ para a posição B’C’. O deslocamento angular de BC, quando se move desde BC até B’C’, é igual a no sentido anti-horário se se considera que a rotação ocorre ao redor de um eixo em C ou um eixo em B, ou ao redor de qualquer outro eixo perpendicular ao plano do movimento. Além disso, é irrelevante considerar-se que a rotação ou a translação ocorre em primeiro lugar.
Movimento ao redor de um ponto fixo: Quando um corpo se move de tal forma que um ponto, O, permaneça fixo no espaço, pode-se mostrar que o deslocamento resultante é uma rotação ao redor de algum eixo passando por O, com velocidade angular w. Uma rotação infinitesimal qualquer, com velocidade angular w, pode ser considerada como sucessivas rotações em relação a um sistema de eixos x, y e z, com velocidades angulares wx = wxi, wy = wyj e wz = wzk. Rotações angulares infinitesimais podem ser consideradas como vetores; desta maneira, a velocidade angular w é a soma das três velocidades angulares componentes.
Movimento geral: O teorema de Euler para o movimento de um corpo rígido ao redor de um ponto fixo pode ser estendido para descrever o movimento geral de um corpo rígido. O teorema geral, conhecido como Teorema de Chasles, estabelece que qualquer deslocamento pode ser analisado como a combinação de uma rotação e de uma translação.
Quando um corpo tem movimento plano, todas as linhas no corpo paralelo ao plano do movimento têm velocidades e acelerações angulares comuns, e os valores são relacionados como a velocidade angular ou aceleração angular do corpo. A placa ABC, na Fig. 8.26, tem movimento plano, e como a ligação OA move-se para AO’, o braço PB mover-se-á para PB’ e ABC para A’B’C’. A linha AB na placa ABC girará de um ângulo e as linhas BC e AC devem também girar do mesmo ângulo desde que os ângulos ABC e BAC devem permanecer constantes em um corpo rígido. Assim, vê-se que todas as linhas no corpo ABC sofrerão rotação do mesmo ângulo, no mesmo intervalo de tempo, e, assim, terão a mesma velocidade angular em qualquer instante. Este mesmo raciocínio permite concluir-se que todas as linhas no corpo (paralelo ao plano do movimento) devem ter uma aceleração angular comum, em qualquer instante.
O movimento de vários pontos e linhas de corpos em um mecanismo pode ser relacionado pela derivação de expressões que relacionam as posições linear e angular (pela geometria) e diferenciando estas expressões para obter-se velocidades e acelerações, como ilustrado em alguns dos artigos anteriores. As equações do movimento relativo, derivadas no Art. 8.6, podem ser freqüentemente aplicadas a problemas de corpo rígido em Cinemática para obter-se soluções mais diretas. A familiaridade com vários métodos é importante se a solução mais direta deve ser selecionada.
A notação para movimento relativo de posições, velocidades e acelerações de pontos foi discutida no Art. 8.6. O símbolo vA representa a velocidade do ponto A medida em relação a um sistema fixo de eixos (a Terra é considerada fixa para a maior parte dos problemas). A quantidade vA/B é a velocidade do ponto A medida em relação a um sistema de eixos de translação (sem rotação) cuja origem move-se com o ponto B. O movimento em relação a eixos com rotação é analisado no Art. 8.21.
O movimento angular de uma linha ou corpo pode ser também expressa tanto por uma quantidade relativa como por uma quantidade absoluta. O movimento angular absoluto de uma linha é definido como o movimento angular da linha medido em relação a um sistema de eixos sem rotação. O movimento de uma linha, medido com relação a eixos em rotação, é chamado movimento angular relativo da linha. Neste texto, todos os valores de quantidades lineares e angulares são considerados absolutos, a menos que previamente especificado.
8.13-ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO
A velocidade e a aceleração de qualquer ponto em um corpo rígido em rotação podem ser expressas em termos do movimento angular do corpo. A Fig. 8.27 representa um corpo rígido que está em rotação ao redor do eixo fixo z, com uma velocidade angular w = iJ e uma aceleração angular a = 8, como mostrado. O ponto P desloca-se ao longo de uma trajetória circular de raio b, e a posição de P a partir de uma origem arbitrária sobre o eixo de rotação é
r = rer
A velocidade de P é tangente à trajetória, e pelo Art. 8.8 é
vP = (dr/dt) = bwe = r(sen)we = wxr (8.21)
Observe que a ordem dos termos no produto vetorial deve ser indicada de tal maneira a fornecer a direção correta para a velocidade. A derivada do vetor r é dada na Eq. (8.21) somente quando o valor de r é constante ou quando O e P são dois pontos de um corpo rígido.
A aceleração de P pode ser determinada diferenciando a Eq. (8.21), ou seja,
aP = (dvP/dt) = (dw/dt)xr + wx(dr/dt) = xr + wx(wxr) (a)
O primeiro termo à direita pode ser escrito como
xr = r.sen e = be = at
Desde que w e (dr/dt) são perpendiculares, o valor do segundo termo da Eq. (a) é
|wx(dr/dt)| = wvP = bw2
e sua direção, perpendicular a w e e, é de P para O’ e assim sendo a aceleração normal de P. Isto é,
aP = xr + wx(wxr) (8.22)
O teorema de Euler estabelece que a rotação de um corpo ao redor de um ponto fixo é também a rotação ao redor de uma linha no corpo, passando pelo ponto fixo. A velocidade angular do corpo cai sobre o eixo instantâneo de rotação, como mostrado na Fig. 8.28. A velocidade de qualquer ponto P pode ser determinada por intermédio da Eq. (8.21).
Desde que a variação do eixo instantâneo de rotação varia com o tempo, a velocidade angular, em geral, variará tanto em grandeza como em direção. A velocidade angular pode ser expressa como
w = we1
onde e1 é o vetor unitário sobre o eixo instantâneo de rotação. A aceleração angular do corpo é
(dw/dt) = (dw/dt)e1 + w(de1/dt) = (dw/dt)e1 + w(w2xe1)
onde w2 é a velocidade angular do eixo de rotação. O primeiro termo desta expressão é a componente da aceleração angular devido à variação em grandeza da velocidade angular, e o segundo termo é a componente resultante de uma variação em direção da velocidade angular. Estas duas componentes são mutuamente perpendiculares, e como a primeira componente é paralela à velocidade angular, a aceleração angular resultante será paralela à velocidade angular somente quando esta velocidade não sofrer variação em direção. A Equação (8.22) pode ser empregada para calcular a aceleração do ponto P na Fig. 8.28, mas desde que e w não são necessariamente paralelos, a quantidade xr não é necessariamente paralela a wxr e a componente de aceleração, dada por xr, pode não ser tangente à trajetória da partícula.
8.14-VELOCIDADE RELATIVA – EIXOS SEM ROTAÇÃO
O conceito do movimento do ponto B na Fig. 8.9, em relação a um sistema de eixos sem rotação, cuja origem move-se com o pontoA, foi discutido no Art. 8.6. A equação que relaciona as velocidades dos pontos A e B é
vB = vA + vB/A (8.23)
A Eq. (8.28) pode ser rearranjada para fornecer
vB/A = vB – vA
Uma interpretação útil da última equação pode ser obtida considerando-se os pontos A e B na Fig. 8.29, os quais possuem velocidades vA e vB. Se uma velocidade – vA é somada às velocidades de cada uma das partículas, a velocidade resultante da partícula A será zero, e a velocidade resultante da partícula B será vB/A. Em outras palavras, a velocidade de B em relação a A é a velocidade que B pareceria ter para um observador movendo-se com A (tendo a mesma velocidade A) mas não em rotação. O conceito de imaginar-se o movimento de B fixando-se A será freqüentemente invocado na determinação correta da direção da velocidade de B em relação a A.
Quando os pontos A e B na Eq. (8.23) são dois pontos em um corpo rígido, o movimento de B em relação a A deve ser desenvolvido ao longo de uma trajetória esférica, com seu centro em A e com um raio igual à distância de A até B, desde que os dois pontos devam permanecer separados por uma mesma distância. Neste caso, a velocidade de B em relação a A será dada pela Eq. (8.21) e a direção da velocidade relativa será perpendicular à linha AB. A velocidade de B é. assim,
vB = vA + wxr (8.23a)
onde w é a velocidade angular do braço contendo A e B e r é a posição de B em relação a A.
Quando a Eq. (8.23) é aplicada a dois pontos que não estão sobre o mesmo corpo rígido, o movimento de B em relação a A normalmente não está em uma superfície esférica, e pode ser mais difícil a análise da velocidade relativa. O emprego da Eq. (8.23) para o movimento plano e para o movimento em três dimensões será discutido nos Arts. 8.15 e 8.17.
8.15-VELOCIDADE RELATIVA – MOVIMENTO PLANO
Muitos dos problemas cinemáticos encontrados na prática da engenharia envolvem corpos que têm movimento plano. Quando os pontos A e B na Eq. (8.23) são pontos de um corpo rígido com movimento plano, o movimento de B em relação a A ocorrerá sobre uma trajetória circular com seu centro em A, e todos os vetores velocidade cairão em um plano comum. A equação vetorial pode ser resolvida em duas equações escalares, as quais por sua vez podem ser resolvidas para duas incógnitas. Observe que o vetor velocidade angular é sempre perpendicular ao plano do movimento e, assim, pode variar somente em grandeza.
Um caso importante do movimento plano ocorre quando uma roda rola sem deslizamento sobre uma superfície plana. O centro da roda tem movimento retilíneo paralelo ao plano. A Fig. 8.30 mostra uma roda em sua posição inicial e após ter rolado de uma distância sO, para a direita. A linha OA na roda gira no sentido horário de um ângulo até a posição O’A’, e se não há deslizamento, o arco A’B = r deve ser o mesmo que a distância AB = sO; isto é,
sO = r (a)
O valor da velocidade do ponto O é
vO = (d/dt)(r) = rw (b)
onde w = (d/dt) é o valor da velocidade angular da roda. Observe que quando sO está a direita, é horário; conseqüentemente, quando vO está a direita, w deve ser horário.
Os exemplos seguintes ilustram a aplicação da Eq. (8.23) a problemas envolvendo movimento plano.
8.16-CENTROS INSTANTÂNEOS PARA MOVIMENTO PLANO
Freqüentemente, é necessário a determinação da velocidade linear de um mesmo ponto em um corpo rígido ou a velocidade angular de uma linha em um corpo rígido quando o mesmo tem movimento plano. Estas velocidades podem, normalmente, ser obtidas a partir da Eq. (8.23) para velocidades relativas. A equação da velocidade relativa é
vB = vA + vB/A
onde B e A são dois pontos quaisquer no corpo rígido. Se um ponto A, com velocidade zero, pode ser locado, a velocidade de B [ver Eq. (8.21)] torna-se
vB = vB/A = wxr (8.24)
onde r é o vetor posição de B a partir do ponto de velocidade zero e w é a velocidade angular do corpo. Quando A e B estão em um plano qualquer paralelo ao plano do movimento, os dois vetores w e r na Eq. (8.24) são perpendiculares, e a equação pode ser escrita na forma escalar como
vB = wr (8.25)
Tanto a Eq. (8.24) como a Eq. (8.25) fornecem um método adequado para determinar a velocidade de qualquer ponto B em um corpo rígido com movimento plano, uma vez que o ponto (no corpo ou em sua extensão), cuja velocidade é zero para este instante em questão, pode ser facilmente identificado. Para a Cinemática, um corpo, tal como a barra CD na Fig. 8.33, pode ser considerado estendido ou aumentado de alguma forma, visto que o corpo aumentado permanece um corpo rígido. O conceito de um corpo estendido é necessário porque o ponto com velocidade zero não é necessariamente um ponto do corpo real.
Quando um corpo rígido tem movimento plano, o eixo no corpo, ou na extensão do corpo, cujas partículas para um dado instante têm velocidade zero, é definido como o centro instantâneo de velocidade zero. O centro instantâneo de velocidade zero é sempre perpendicular ao plano do movimento do corpo. O ponto de intersecção do eixo instantâneo com o plano do movimento é definido como centro instantâneo de velocidade zero. A velocidade de qualquer ponto do corpo, e que não esteja no eixo instantâneo, é perpendicular à linha que vai do eixo instantâneo do corpo até o ponto. Assim, as velocidades (mas não as acelerações) dos pontos em um corpo com movimento plano podem ser obtidas considerando-se o corpo girando em relação ao eixo instantâneo de velocidade zero, para qualquer instante. No instante seguinte, o centro instantâneo é normalmente outro ponto no corpo rígido ou em sua extensão. O eixo instantâneo não é um eixo fixo no corpo nem um eixo fixo no espaço.
O ponto, no plano do movimento do corpo, ou da extensão do corpo, e que tem velocidade zero para qualquer instante, pode ser facilmente locado se as direções das velocidades de quaisquer dois pontos, no plano do movimento do corpo, são conhecidas, e desde que as velocidades não sejam paralelas. O corpo rígido na Fig. 8.34 tem movimento plano, e as direções das velocidades absolutas dos dois pontos A e B são conhecidas, conforme mostrado. Desde que no instante em questão a velocidade de A é perpendicular à linha que vai do centro instantâneo até A, o centro instantâneo deve estar em algum ponto sobre a linha ac passando por A e perpendicular a vA. Da mesma forma, o centro instantâneo deve estar sobre a linha bd passando por B e perpendicular a vB. Conseqüentemente, o centro instantâneo de velocidade zero é a intersecção destas linhas no ponto O. O valor da velocidade angular do corpo é
w = (vA/rA) = (vB/rB) (a)
Assim, se as direções de duas velocidades não paralelas no plano de movimento e a grandeza de uma delas são conhecidas, pode-se obter a localização do centro instantâneo e a velocidade angular do corpo, e conseqüentemente, pode-se determinar a velocidade linear de qualquer outro ponto.
Quando as velocidades de dois pontos, no plano do movimento de um corpo rígido em movimento plano, são paralelas, iguais em grandeza e de mesma direção, o centro instantâneo é infinito, a velocidade angular do corpo é zero, e todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade. Quando as velocidades dos dois pontos são paralelas e com grandezas desiguais, as linhas traçadas através dos dois pontos, perpendiculares às suas velocidades, serão colineares, e o centro instantâneo do corpo estará nesta linha. Se o sentidoe as grandezas das velocidades são conhecidos, o centro instantâneo pode ser localizado empregando-se a Eq. (a). Se as velocidades de C e A na Fig. 8.35 estão à direita, e se vC é menor que vA o centro instantâneo estará a uma distância rC abaixo de C, sobre ab. A distância rC pode ser obtida através da Eq. (a) como se segue:
w = (vC/rC) = (vA/rA) = [vA/(d + rC)]
e, se vA, vC e d são conhecidos, rC pode ser determinado.
O centro instantâneo de velocidade zero de um corpo rígido pode ser também localizado se a velocidade de um ponto do corpo e a velocidade angular do corpo são conhecidas para o instante considerado. Se a velocidade do ponto A no corpo rígido na Fig. 8.36 tem um valor conhecido à direita e se a velocidade angular do corpo tem um valor conhecido no sentido anti-horário, a distância de A ao centro instantâneo é
rA = (vA/w)
dado pela Eq. (a). O centro instantâneo deve estar sobre a linha ab, e se a velocidade de A está à direita quando a velocidade angular do corpo é no sentido anti-horário, o centro instantâneo deve estar acima de A.
Uma vez que o centro instantâneo de velocidade zero é localizado, a grandeza da velocidade de qualquer partícula do corpo, em um dado instante, é dada pela Eq. (a), onde w é a velocidade angular de qualquer linha do corpo, no plano de movimento, ou paralelo a ele, e r é a distância do eixo instantâneo até a partícula cuja velocidade deve ser encontrada. O valor de w pode ser obtido através da Eq. (a), se o mesmo não é fornecido. A direção da velocidade é obtida por inspeção, desde que ela é perpendicular à linha que vai de O ao ponto, e seu sentido é consistente com o sentido de w.
Em geral, o centro instantâneo de velocidade zero não é um ponto de aceleração zero. Nenhum método é conveniente para localizar o ponto de aceleração zero. Os princípios do movimento relativo, como desenvolvido no Art. 8.14, para velocidades, serão ampliados no Art. 8.18 para aplicar-se às acelerações das partículas de um corpo rígido. Deve-se enfatizar que o centro instantâneo de velocidade zero não pode ser empregado para obter-se acelerações porque, em geral, o centro instantâneo não tem aceleração zero.
O centro instantâneo de velocidade zero, como apresentado neste artigo, é o centro instantâneo de um corpo ou barra, em relação à Terra. Para uso em cursos de Cinemática, este conceito pode ser facilmente ampliado na determinação do centro instantâneo de uma barra movendo-se em um mecanismo, em relação a outra barra que se está movimentando neste mesmo mecanismo. O centro instantâneo de dois corpos com movimento plano é o ponto comum aos dois corpos, ou da extensão dos mesmos e que tenha a mesma velocidade linear em cada corpo.
Na discussão anterior, nenhuma menção foi feita ao segundo corpo, mas se se deseja o centro instantâneo de velocidade zero, o segundo corpo é entendido como sendo a Terra. Por exemplo, se uma roda rola sem deslizamento em uma superfície fixa, o ponto do corpo que está em contato com a superfície (a Terra) é o centro instantâneo de velocidade zero.
8.17-VELOCIDADE RELATIVA – MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES
Como indicado no Art. 8.14, a equação
vB = vA + vB/A
é válida para dois pontos quaisquer A e B desde que se usem eixos de referência sem rotação para descrever os três termos. Quando os pontos A e B são pontos de um corpo rígido com movimento em três dimensões, o movimento de B em relação a A será tangente a uma superfície esférica com seu centro em A e com um raio igual à distância de A até B. A velocidade de B em relação a A pode ser expressa como
vB/A = wxr
onde w é a velocidade angular absoluta do corpo e r é o vetor de A até B como mostrado no Art. 8.13. Até mesmo se as velocidades dos pontos A e B são conhecidas, se o sistema não é inteiramente vinculado, a velocidade de w não pode ser inteiramente determinada. Um exemplo de tal caso é indicado pela Fig. 8.39, na qual a barra AB é conectada a uma roda girante e a um colar deslizante em B por juntas com articulação esférica. A velocidade angular, w, de AB pode ser resolvida em duas componentes, wt paralela a AB e wn normal a AB . A componente wt representa a rotação da barra ao redor de seu eixo, e sua grandeza não terá efeito no movimento dos pontos A e B. Se uma das articulações esféricas é substituída por um grampo em U, como mostrado na Fig. 8.41, ou se o movimento angular de AB é vinculado por outros meios, a quantidade wt bem como wn, terá um valor definido, e desta maneira w é determinado. A velocidade angular pode ser expressa como
w = wxi + wyj + wzk
e quando w é indeterminado, algumas vezes é conveniente considerar uma das componentes igual a zero e resolver para as componentes restantes. Se a velocidade angular resultante é resolvida para as componentes wt e wn, a componente wn será única, mas o valor de wt dependerá de qual das componentes axiais (wx, wy ou wz) foi considerada igual a zero ou algum outro valor arbitrário. Os exemplos seguintes demonstrarão estes conceitos.
8.18-ACELERAÇÃO RELATIVA - EIXOS SEM ROTAÇÃO
No Art. 8.6, foram desenvolvidas equações relacionando o movimento absoluto de um ponto em movimento ao seu movimento medido em relação a um sistema de eixos sem rotação para um segundo ponto que se move e o movimento absoluto de A. A equação relacionando as acelerações é
aB = aA + aB/A
onde aB e aA são as acelerações absolutas dos pontos B e A, respectivamente, e aB/A é a aceleração de B em relação a um sistema de eixos sem rotação acoplado a A. A aceleração de B em relação a A é a aceleração que B pareceria ter para um observador movendo-se com o ponto A (ponto sem rotação).
Quando A e B são dois pontos em um corpo rígido, o movimento de B em relação a A deve estar sobre uma trajetória em uma superfície esférica, com seu centro em A e com um raio igual à distância que vai de A até B, desde que os dois pontos devem permanecer separados da mesma distância. A aceleração de B em relação a A é dada pela Eq. (8.22) como
aB/A = xr + wx(wxr) = xr + wxvB/A
onde e w são a aceleração angular absoluta e a velocidade angular do corpo rígido e r é o vetor posição de A até B. Quando o corpo tem movimento plano, os vetores aceleração angular e velocidade angular são paralelos. Assim, para o movimento plano, xr é paralelo a wxr e é tangente à trajetória de B em relação a A. O termo wxvB/A é normal à velocidade relativa, e desta maneira é normal à trajetória. Quando o corpo que contém A e B tem movimento em três dimensões, os vetores que representam e w são normalmente não paralelos, e a quantidade xr em geral não será paralela a wxr, e assim não será a componente tangencial da aceleração de B em relação a A.
Se a Eq. (8.26) é aplicada a dois pontos que não estejam no mesmo corpo rígido, o movimento de B em relação a A em geral não estará sobre uma trajetória circular, e a aceleração relativa é normalmente mais difícil de ser analisada. A aplicação da Eq. (8.26) a problemas envolvendo movimento plano e movimento em três dimensões é discutida nos dois artigos seguintes.
8.19-ACELERAÇÃO RELATIVA – MOVIMENTO PLANO
No Art. 8.18 foi assinalado que quando um corpo rígido possui movimento plano, os vetores velocidade angular e aceleração angular são paralelos e podem variar em grandeza mas não em direção. Quando o vetor posição r de A até B é paralelo ao plano do movimento, ele é normal a e w e a Eq. (8.26) pode ser escrita como
aB/A = xr + wx(wxr) = xr + w2r = ret + w2ren
onde et é um vetor unitário tangente à trajetória de B em relação a A e en é um vetor unitário normal à trajetória e dirigido de B para A . Observe que e w são quantidades angulares absolutas (medidas em relação a eixos sem rotação) e que r é o vetor posição de B em relação a A.
No Art. 8.15 foi observado que uma roda que rola sem deslizamento sobre uma superfície plana fixa é um importante caso de movimento plano do corpo rígido. Foi mostrado que o centro O da roda tem movimento retilíneo e que as grandezas da posição e velocidade do ponto O são relacionadas às grandezas da posição angulare da velocidade da roda pelas expressões [ver Fig. 8.30]
sO = r (a)
vO = r(d/dt) = rw (b)
onde sO e vO estão à direita quando e w estão no sentido horário. A aceleração do ponto O pode ser obtida pela diferenciação da Eq. (b) e é
aO = r(dw/dt) = r (c)
Observe que a aceleração de O estará à direita quando (dw/dt) = está no sentido horário e que r é a distância que vai do plano fixo ao centro da roda. Estas três expressões são válidas quando a roda rola sem deslizamento sobre um plano fixo. Se a roda rola sem deslizamento sobre uma superfície curva, uma prova semelhante mostra que a quantidade r é o valor da componente tangencial da aceleração do centro da roda. A componente normal da aceleração do centro da roda dependerá da velocidade deste centro e do raio de curvatura da trajetória. Se a roda rola sem deslizamento sobre uma superfície em movimento, por exemplo, um cilindro rolando sobre a carroceria de um caminhão em movimento, as expressões anteriores fornecem a velocidade e a aceleração do centro da roda em relação à superfície em movimento. Nenhuma das superfícies anteriores é válida se a roda rola e desliza em uma superfície parada ou em movimento.
Os exemplos seguintes ilustram a utilização da Eq. (8.26) para problemas que envolvem movimento plano.
8.20-ACELERAÇÃO RELATIVA – MOVIMENTO EM TRÊS DIMENSÕES
A Equação (8.26) no Art. 8.18 foi aplicada a corpos rígidos com movimento plano no Art. 8.19. A equação é também válida para corpos rígidos que tenham movimento em três dimensões, uma vez que sejam empregados eixos de referência sem rotação. A equação é
aB = aA + aB/A
e quando A e B são pontos de um corpo rígido, o termo da aceleração relativa é
aB/A = (dw/dt)xr + wx(wxr) (a)
onde (dw/dt) é a aceleração angular absoluta do corpo, w a sua velocidade angular, e r o vetor posição de A para B (a posição de B em relação a A). Como observado no Art. 8.18, (dw/dt) ou é normalmente não paralela a w para um movimento em três dimensões.
A Fig. 8.45 representa uma barra AB conectada a um disco rotativo e a um colar deslizante por articulações esféricas. A velocidade angular é mostrada, resolvida em duas componentes, uma tangente a AB e uma normal a AB. Como a velocidade angular pode variar tanto em grandeza como em direção, a aceleração angular, em geral, não será paralela à velocidade angular. A aceleração angular também pode ser resolvida em duas componentes, tangente e normal à barra AB, isto é,
(dw/dt) = (dw/dt)t + (dw/dt)n
e a quantidade wxr torna-se
wxr = [(dw/dt)t + (dw/dt)n]xr = (dw/dt)nxr
desde que (dw/dt)t paralela a r. Este resultado indica que wxr é independente de (dw/dt)t; isto é, (dw/dt)t pode apresentar qualquer valor sem alterar a Eq. (a).
Foi mostrado no Art. 8.17 que o valor de wt era indeterminado para este sistema e poderia ter qualquer valor especificado. Quando se faz wt igual a zero, o valor de w torna-se wn e é perpendicular a r. Neste caso, o termo do lado direito da Eq. (a) torna-se
wx(wxr) =wnx(wnxr) = – 
Observe que este resultado é verdadeiro somente quando w e r são normais uma à outra.
Se a articulação esférica em B na Fig. 8.45 é substituída pelo grampo em U na Fig. 8.46, a velocidade e a aceleração angulares não serão indeterminadas. A velocidade angular pode ser expressa como a soma vetorial da velocidade angular do colar e da velocidade angular da barra AB ao redor do pino. Assim,
w = w1k + w2eP
onde w1 é a grandeza da velocidade angular do colar, w2 é a grandeza da velocidade angular de AB ao redor do pino, e eP é um vetor unitário paralelo ao pino. Este pino deve ser perpendicular ao eixo no qual o colar desliza e à barra AB; desta maneira,
eP = (kxrAB)/|kxrAB|
A aceleração angular de AB é 
 = (dw/dt) = (dw/dt)1k + w1(dk/dt) + (dw/dt)2eP + w2(de/dt)P
O vetor k é constante; assim (dk/dt) = O. Como eP é paralelo ao pino, ele deve girar com o pino, tanto que
(de/dt)P = wpinoxeP = (dw/dt)1kxeP
onde
wpino = wcolar = w1k
Logo
 = (dw/dt)1k + (dw/dt)2eP + w2(w1kxeP) (b)
O primeiro termo na Eq. (b) representa a taxa de variação da grandeza de w1, o segundo termo é a taxa de variação da grandeza de w2, e o terceiro termo é a variação de w2 resultante da variação da direção do pino (ou do colar). Os seguintes exemplos ilustram a aplicação da Eq. (8.26). 
8.21-MOVIMENTO RELATIVO EM RELAÇÃO A EIXOS EM ROTAÇÃO
As equações que relacionam as posições, velocidades e acelerações absolutas e relativas de dois pontos foram desenvolvidas no Art. 8.6. A aplicação destas equações a problemas em que o sistema de coordenadas que se move não apresenta rotação foi discutida em algum detalhe nos Arts. 8.14 e 8.20. As equações foram particularmente úteis quando os dois pontos estavam em um corpo rígido. Em alguns casos, é conveniente empregar eixos que girem com o corpo. Normalmente, os momentos e produtos de inércia são funções do tempo, a menos que os eixos estejam fixos no corpo. Eixos rotativos podem ser vantajosos quando os dois pontos não estão no mesmo corpo rígido ou quando um ponto de um corpo desliza ao longo de uma trajetória no segundo corpo.
Considere o sistema de coordenadas XYZ na Fig. 8.48 fixo no espaço, tanto que os vetores i’, j’ e k’ são constantes em direção. A origem das coordenadas xyz move-se com o ponto O, e, ao mesmo tempo, os eixos têm uma velocidade angular w e· uma aceleração (dw/dt). As quantidades w e são medidas em relação aos eixos fixos XYZ e, assim, são quantidades absolutas. Em geral, w e não são colineares a menos que os eixos xyz tenham movimento plano. Observe que os vetores unitários i, j e k não são constantes, visto que eles giram em relação aos eixos xyz. A taxa temporal de variação destes valores será considerada necessariamente no desenvolvimento que se segue, e pode ser determinada através dos princípios empregados no Art. 8.13.
Considere i como o vetor posição do vetor unitário sobre o eixo x. A. velocidade de extremidade deste vetor em relação a um conjunto de eixos sem rotação em O (não mostrado) é
(di/dt) = wxi
Analogamente,
(dj/dt) = wxj e (dk/dt) = wxk
A posição do ponto P na Fig. 8.48 é
r1 = R + r
onde
r = xi + yj + zk (a)
é a posição de P relativamente a eixos que se deslocam (quando visto por um observador que se desloca com o sistema de referência xyz). A velocidade de P é
vP = (dr/dt)1 = (dR/dt) + (dr/dt)
e o valor de (dr/dt), a partir da Eq. (a), é
 (b)
na qual é a velocidade de P medida em relação a eixos de referência em movimento. Assim, a velocidade de P é
 (8.27)
Se P’ é um ponto fixo nos eixos que têm rotação, que é coincidente com P no instante considerado, a quantidade wxr é a velocidade de P’ em relação a um sistema de eixos sem rotação em O (a velocidade de P’ relativamente a O). A velocidade de P’ consiste em três termos:
(dR/dt) = velocidade da origem em movimento
 velocidade de P em relação a eixos com movimento
wxr = velocidade de P’ em relação a O
A soma do segundo e terceiro termos do lado direito da Eq. (8.27) é a velocidade de P em relação a um sistema de eixos sem rotação em O, e, no Art. 8.14, ela foi designada como vP/O; isto é,
vP/O = vP/xyz + wxr e vP = vO + vP/O
O exemplo seguinte ilustra o emprego da Eq. (8.27) com vários sistemas de eixos que se movem.
8.22-RESUMO
A posição, velocidade e aceleração de uma partícula podem ser expressas em termos do movimento da partícula em relação a um sistema de eixos que se move e ao movimento dos eixos. Quando o movimento relativoé expresso em relação a um sistema de eixos em translação (sem rotação), a velocidade e a aceleração relativas são dadas pelas Eqs. (8.21) e (8.22). Quando o movimento relativo é expresso em relação a um sistema de eixos rotativos, as Eqs. (8.27) e (8.28) dão a velocidade e a aceleração do ponto que se desloca. Observe que as Eqs. (8.21) e (8.22) aplicam-se a dois pontos em um corpo rígido, enquanto que as Eqs. (8.27) e (8.28) aplicam-se a quaisquer dois pontos e não são restritas a corpos rígidos.
As velocidades, mas não as acelerações, de pontos e linhas em corpos rígidos com movimento plano podem ser obtidas por intermédio dos centros instantâneos.
As relações cinemáticas entre posições, velocidades e acelerações de pontos e linhas podem ser também obtidas escrevendo-se uma expressão para a posição do ponto ou linha e diferenciando-a, como foi discutido na Parte A deste capítulo. Esta abordagem matemática ao problema proporciona uma verificação independente na solução pelo movimento relativo e, algumas vezes, conduz a uma solução mais direta do problema.
Cinética Força, Massa e Aceleração
Parte A - Cinética de Partículas
9.1-INTRODUÇÃO
A cinética é o estudo das relações entre o sistema resultante de forças e o movimento associado de corpos que não estão em equilíbrio. A lei do paralelogramo para a adição de forças e os métodos para a determinação de resultante de sistemas de forças foram estudados nos Caps. 1 e 2. Quando a resultante de um sistema de forças agindo em um corpo é igual a zero, o corpo está em equilíbrio. As equações do equilíbrio foram estudadas no Capo 4, utilizando o conceito do diagrama de corpo livre, como uma ajuda na visualização das forças. A cinemática, o estudo geométrico do movimento sem consideração de forças associadas, foi apresentada no Capo 8, como uma introdução ao estudo do problema cinético geral. As equações que relacionam os sistemas de forças não-equilibrados, as propriedades inerciais (massa e momento de inércia de massa) e o movimento de corpos que não estão em equilíbrio serão desenvolvidos neste capítulo e nos capítulos seguintes.
O fundamento para o estudo clássico da cinética é baseado nas leis do movimento, apresentadas inicialmente de uma maneira formal em 1687 por Sir Isaac Newton (1642-1727). Embora chamadas leis do movimento de Newton, deve ser observado que Newton trabalhou sobre as realizações científicas de outros cientistas em um período histórico que se estendeu desde os construtores das pirâmides até os seus contemporâneos. Talvez as mais significativas descobertas tenham sido feitas por Galileo Galilei (1564-1642), que realizou experiências sobre a queda dos corpos e sobre pêndulos e refutou falsas teorias acerca da dinâmica. Desenvolvimentos científicos significativos pertinentes à cinética têm sido alcançados e estes desenvolvimentos continuarão certamente no futuro, mas as leis do movi- mento estabelecidas por Newton são ainda reconhecidas como as leis básicas da cinética da engenharia.
O movimento dos corpos sob a ação de sistemas de forças não-equilibrados pode ser analisado por vários métodos. O método mais útil para qualquer problema particular depende das forças que agem (constantes ou variáveis) e os resultados a serem obtidos (reações, acelerações, velocidades, deslocamentos etc.). A análise de problemas cinéticos através de força, massa e aceleração, através do princípio do trabalho e energia e através do princípio do impulso-momento é discutida nos capítulos seguintes. Embora estes princípios pareçam diferir em forma, eles todos são deriváveis imediatamente das leis de Newton.
9.2-LEIS DO MOVIMENTO DE NEWTON
As leis de Newton podem ser estabelecidas como se segue:
1. Se a resultante das forças que agem sobre uma partícula é zero, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá com velocidade constante (direção e velocidade constantes).
2. Se a resultante das forças que agem sobre uma partícula não é zero, a partícula será acelerada na direção da força, e a grandeza da aceleração será proporcional à força e inversamente proporcional à massa da partícula.
3. A força exercida por uma partícula sobre uma segunda partícula é igual em grandeza e oposta em direção à força exercida pela segunda partícula sobre a primeira.
Estas três leis foram desenvolvidas a partir do estudo do movimento planetário, isto é, o movimento de partículas. Como estabelecido, as leis de Newton aplicam-se somente ao movimento de partículas. Entretanto, como os corpos são constituídos por partículas, estas leis devem ser ampliadas para serem aplicadas a corpos.
A primeira lei indica que uma partícula tem uma propriedade denominada inércia, onde se requer uma força para produzir uma variação no movimento da partícula.
A segunda lei é uma declaração quantitativa da relação que deve existir entre a força que age sobre a partícula, a inércia (massa) da partícula e a aceleração resultante.
Uma declaração matemática da segunda lei de Newton é
a = K(F/m) (9.1)
onde a é a aceleração absoluta, F é a força resultante, m é a massa da partícula e K é uma constante adimensional. Se as unidades de aceleração, força e massa são escolhidas arbitrariamente, a constante K deve ser determinada experimentalmente. É conveniente colocar a constante K como sendo unitária, o que é possível se as unidades tando de aceleração, força ou massa são selecionadas em termos das outras duas quantidades. Somente aqueles casos nos quais K é unitário são considerados aqui, tanto que a Eq. (9.1) se toma
a = (F/m) (9.1a)
Um sistema de referência adequado pode ser usado para a medida de acelerações absolutas, de forma a satisfazer a segunda lei de Newton. Tal sistema de referência é chamado newtoniano ou sistema de referência inercial, e é idealmente fixado no espaço. Suponha que um sistema de referência inercial exista, e como um resultado de uma força F, um observador neste referencial mede uma aceleração absoluta aP satisfazendo a
aP = (F/m) (a)
Seja aP/M a aceleração observada em um referencial que se desloca devido à mesma força, e seja aM a aceleração deste mesmo referencial, tanto que
aP = aM + aP/M
Quando esta expressão é substituída na Eq. (a), ela se torna
aM + aP/M = (F/m)
ou
aP/M = (F/m) aM (b)
A aceleração aP/M observada no referencial em movimento satisfaz a segunda lei somente quando aM é igual a zero, isto é, quando a velocidade vM é uma constante, onde vM é a velocidade do referencial em movimento. Assim, um sistema referencial inercial real é aquele constante e não possui rotação. Em muitas aplicações de engenharia, entretanto, o movimento é medido relativo a um sistema de referência fixo na Terra em rotação, desde que o erro introduzido pelo termo aM na Eq. (b) é desprezível. (Por exemplo, o máximo erro no cálculo da aceleração de uma partícula caindo livremente próximo à superfície da Terra é aproximadamente 0,34% quando a rotação da Terra ao redor do seu eixo é desprezada.)
A terceira lei de Newton torna possível ampliar a segunda lei de partículas para corpos, visto que os corpos são constituídos de um sistema de partículas e as forças entre as partículas sempre ocorrem em pares colineares que se equilibram mutuamente.
Uma quarta lei formulada por Newton é a lei da gravitação universal de Newton, a qual estabelece que a força de atração F entre duas massas m1 e m2 separadas por uma distância r tem a grandeza
F = (Gm1m2/r2)
G é uma constante universal de gravitação, que tem um valor determinado experimentalmente igual a
G = 6,670(10)11 m3/(kg.s2)
9.3-UNIDADES E DIMENSÕES
Quantidades físicas apres-entam tanto medidas qualitativas chamadas dimensões