Mathcad - Treliça plana trabalho

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Análise Matricial de Estruturas
Professor: Remo Magalhãe de Souza
Aluno: Diego Kaleu Araújo Barreto Matrícula: 07019004601
Analise a treliça abaixo pelo método da rigidez direta:
1. Especificação dos dados de entrada da estrutura
Tabela de identi ficação dos nós
int 0:=
coords cod forças desloc graus de liberdade da
estrutura
x y cx cy Px Py Dx Dy
x y
nó 1
nó 1
nó 2
nó 2
tabNos
0.0
1.0
0.25
0.75
0.5
0.0
0.0
2.0
2.0
4.0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0.0
int
1.0
0.0
1.5
int
int
2.0-
2.0-
2.0-
int
0.0
int
int
int
0.0
0.0
int
int
int














:= nó 3
gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














:= nó 3
nó 4
nó 4
nó 5
nó 5
Tabela de indentificação das barras:
205000MPa 2.05 10
8

kN
m
2
=
I J A E
barra a
barra b
barra c
tabBarras
1
3
1
1
2
3
4
2
4
3
4
4
5
5
3 10
4-

3 10
4-

5 10
4-

3 10
4-

5 10
4-

5 10
4-

5 10
4-

2.05 10
8

2.05 10
8

2.05 10
8

2.05 10
8

2.05 10
8

2.05 10
8

2.05 10
8



























:= barra d
barra e
barra f
barra g
2. Obtenção das matrizes de cada barra
a 1:= b 2:= c 3:= d 4:= e 5:= f 6:= g 7:=
2.a. Barra a
2.a.1. Comprimento e orientação da barra
el a:=
noI tabBarras
el 1, 
:= noI 1=
noJ tabBarras
el 2, 
:= noJ 2=
:= =
xI tabNosnoI 1, 
:= xI 0=
yI tabNosnoI 2, 
:= yI 0=
xJ tabNosnoJ 1, 
:= xJ 1=
yJ tabNosnoJ 2, 
:= yJ 0=
Δx xJ xI-:= Δx 1=
Δy yJ yI-:= Δy 0=
L Δx2 Δy2+:= L 1=
cosθ
Δx
L
:= cosθ 1=
senθ
Δy
L
:= senθ 0=
2.a.2. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema local de coordenadas
E tabBarras
el 4, 
:= E 2.05 10
8
=
A tabBarras
el 3, 
:=
A 3 10
4-
=
kal
E A
L
0
E- A
L
0
0
0
0
0
E- A
L
0
E A
L
0
0
0
0
0
















:= kal
6.15
0
6.15-
0
0
0
0
0
6.15-
0
6.15
0
0
0
0
0










10
4
=
2.a.3. Matriz de rotação da barra
Ra
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ
0
0
0
0
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ










:= Ra
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1










=
2.a.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kag Ra
T
kal Ra:= kag
6.15
0
6.15-
0
0
0
0
0
6.15-
0
6.15
0
0
0
0
0










10
4
=
2.a.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kag Ra
T
kal Ra:= kag
6.15
0
6.15-
0
0
0
0
0
6.15-
0
6.15
0
0
0
0
0










10
4
=
2.a.5. Matriz de incidência cinemática
gdl_El
1
gdl_Est
noI 1, 
:=
noI 1=
gdl_El
2
gdl_Est
noI 2, 
:=
noJ 2=
gdl_El
3
gdl_Est
noJ 1, 
:=
gdl_El
4
gdl_Est
noJ 2, 
:=
x y
x noI nó 1
y noI
nó 2
gdl_El
1
8
9
10










=
x noJ gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














= nó 3
y noJ 
nó 4
nó 5
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










:=
H
1 gdl_El1, 
1:=
H
2 gdl_El2, 
1:=
H
3 gdl_El3, 
1:=
H
4 gdl_El4, 
1:=
Ha H:= Ha
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1










=
2.b. Barra b
2.b.1. Comprimento e orientação da barra
el b:=
noI tabBarras
el 1, 
:= noI 3=
noJ tabBarras
el 2, 
:= noJ 4=
xI tabNosnoI 1, 
:= xI 0.25=
yI tabNosnoI 2, 
:= yI 2=
xJ tabNosnoJ 1, 
:= xJ 0.75=
yJ tabNosnoJ 2, 
:= yJ 2=
Δx xJ xI-:= Δx 0.5=
Δy yJ yI-:= Δy 0=
L Δx2 Δy2+:= L 0.5=
cosθ
Δx
L
:= cosθ 1=
senθ
Δy
L
:= senθ 0=
2.b.2. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema local de coordenadas
E tabBarras
el 4, 
:= E 2.05 10
8
=
A tabBarras
el 3, 
:=
A 3 10
4-
=
kbl
E A
L
0
E- A
L
0
0
0
0
0
E- A
L
0
E A
L
0
0
0
0
0
















:= kbl
12.3
0
12.3-
0
0
0
0
0
12.3-
0
12.3
0
0
0
0
0










10
4
=
2.b.3. Matriz de rotação da barra
Rb
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ
0
0
0
0
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ










:= Rb
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1










=
2.b.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kbg Rb
T
kbl Rb:= kbg
12.3
0
12.3-
0
0
0
0
0
12.3-
0
12.3
0
0
0
0
0










10
4
=
2.b.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kbg Rb
T
kbl Rb:= kbg
12.3
0
12.3-
0
0
0
0
0
12.3-
0
12.3
0
0
0
0
0










10
4
=
2.b.5. Matriz de incidência cinemática
gdl_El
1
gdl_Est
noI 1, 
:=
noI 3=
gdl_El
2
gdl_Est
noI 2, 
:=
noJ 4=
gdl_El
3
gdl_Est
noJ 1, 
:=
gdl_El
4
gdl_Est
noJ 2, 
:=
x y
x noI nó 1
y noI
nó 2
gdl_El
2
3
4
5










=
x noJ gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














= nó 3
y noJ 
nó 4
nó 5
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










:=
H
1 gdl_El1, 
1:=
H
2 gdl_El2, 
1:=
H
3 gdl_El3, 
1:=
H
4 gdl_El4, 
1:=
Hb H:= Hb
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
2.c. Barra c
2.c.1. Comprimento e orientação da barra
el c:=
noI tabBarras
el 1, 
:= noI 1=
noJ tabBarras
el 2, 
:= noJ 3=
xI tabNosnoI 1, 
:= xI 0=
yI tabNosnoI 2, 
:= yI 0=
xJ tabNosnoJ 1, 
:= xJ 0.25=
yJ tabNosnoJ 2, 
:= yJ 2=
Δx xJ xI-:= Δx 0.25=
Δy yJ yI-:= Δy 2=
L Δx2 Δy2+:= L 2.016=
cosθ
Δx
L
:= cosθ 0.124=
senθ
Δy
L
:= senθ 0.992=
2.c.2. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema local de coordenadas
E tabBarras
el 4, 
:= E 2.05 10
8
=
A tabBarras
el 3, 
:=
A 5 10
4-
=
kcl
E A
L
0
E- A
L
0
0
0
0
0
E- A
L
0
E A
L
0
0
0
0
0
















:= kcl
5.085
0
5.085-
0
0
0
0
0
5.085-
0
5.085
0
0
0
0
0









10
4
=
2.c.3. Matriz de rotação da barra
Rc
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ
0
0
0
0
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ










:= Rc
0.124
0.992-
0
0
0.992
0.124
0
0
0
0
0.124
0.992-
0
0
0.992
0.124










=
2.c.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kcg Rc
T
kcl Rc:= kcg
0.078
0.626
0.078-
0.626-
0.626
5.007
0.626-
5.007-
0.078-
0.626-
0.078
0.626
0.626-
5.007-
0.626
5.007










10
4
=
2.c.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kcg Rc
T
kcl Rc:= kcg
0.078
0.626
0.078-
0.626-
0.626
5.007
0.626-
5.007-
0.078-
0.626-
0.078
0.626
0.626-
5.007-
0.626
5.007










10
4
=
2.c.5. Matriz de incidência cinemática
gdl_El
1
gdl_Est
noI 1, 
:=
noI 1=
gdl_El
2
gdl_Est
noI 2, 
:=
noJ 3=
gdl_El
3
gdl_Est
noJ 1, 
:=
gdl_El
4
gdl_Est
noJ 2, 
:=
x y
x noI nó 1
y noI
nó 2
gdl_El
1
8
2
3










=
x noJ gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














= nó 3
y noJ 
nó 4
nó 5
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










:=
H
1 gdl_El1, 
1:=
H
2 gdl_El2, 
1:=
H
3 gdl_El3, 
1:=
H
4 gdl_El4, 
1:=
Hc H:= Hc
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
2.d. Barra d
2.d.1. Comprimento e orientação da barra
:=
el d:=
noI tabBarras
el 1, 
:= noI 1=
noJ tabBarras
el 2, 
:= noJ 4=
xI tabNosnoI 1, 
:= xI 0=
yI tabNosnoI 2, 
:= yI 0=
xJ tabNosnoJ 1, 
:= xJ 0.75=
yJ tabNosnoJ 2, 
:= yJ 2=
Δx xJ xI-:= Δx 0.75=
Δy yJ yI-:= Δy 2=
L Δx2 Δy2+:= L 2.136=
cosθ
Δx
L
:= cosθ 0.351=
senθ
Δy
L
:= senθ 0.936=
2.d.2. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema local de coordenadas
E tabBarras
el 4, 
:= E 2.05 10
8
=
A tabBarras
el 3, 
:=
A 3 10
4-
=
kdl
E A
L
0
E- A
L
0
0
0
0
0
E- A
L
0
E A
L
0
0
0
0
0
















:= kdl
2.879
0
2.879-
0
0
0
0
0
2.879-
0
2.879
0
0
0
0
0










10
4
=
2.d.3. Matriz de rotação da barra
Rd
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ
0
0
0
0
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ










:= Rd
0.351
0.936-
0
0
0.936
0.351
0
0
0
0
0.351
0.936-
0
0
0.936
0.351










=
2.d.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kdg Rd
T
kdl Rd:= kdg
0.355
0.947
0.355-
0.947-
0.947
2.524
0.947-
2.524-
0.355-
0.947-
0.355
0.947
0.947-
2.524-
0.947
2.524











10
4
=
2.d.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kdg Rd
T
kdl Rd:= kdg
0.355
0.947
0.355-
0.947-
0.947
2.524
0.947-
2.524-
0.355-
0.947-
0.355
0.947
0.947-
2.524-
0.947
2.524











10
4
=
2.d.5. Matriz de incidência cinemática
gdl_El
1
gdl_Est
noI 1, 
:=
noI 1=
gdl_El
2
gdl_Est
noI 2, 
:=
noJ 4=
gdl_El
3
gdl_Est
noJ 1, 
:=
gdl_El
4
gdl_Est
noJ 2, 
:=
x y
x noI nó 1
y noI
nó 2
gdl_El
1
8
4
5










=
x noJ gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














= nó 3
y noJ 
nó 4
nó 5
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










:=
H
1 gdl_El1, 
1:=
H
2 gdl_El2, 
1:=
H
3 gdl_El3, 
1:=
H
4 gdl_El4, 
1:=
Hd H:= Hd
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
2.e. Barra e
2.e.1. Comprimento e orientação da barra
el e:=
noI tabBarras
el 1, 
:= noI 2=
noJ tabBarras
el 2, 
:= noJ 4=
xI tabNosnoI 1, 
:= xI 1=
yI tabNosnoI 2, 
:= yI 0=
xJ tabNosnoJ 1, 
:= xJ 0.75=
yJ tabNosnoJ 2, 
:= yJ 2=
Δx xJ xI-:= Δx 0.25-=
Δy yJ yI-:= Δy 2=
L Δx2 Δy2+:= L 2.016=
cosθ
Δx
L
:= cosθ 0.124-=
senθ
Δy
L
:= senθ 0.992=
2.e.2. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema local de coordenadas
E tabBarras
el 4, 
:= E 2.05 10
8
=
A tabBarras
el 3, 
:=
A 5 10
4-
=
 - 
kel
E A
L
0
E- A
L
0
0
0
0
0
E- A
L
0
E A
L
0
0
0
0
0
















:= kel
5.085
0
5.085-
0
0
0
0
0
5.085-
0
5.085
0
0
0
0
0










10
4
=
2.e.3. Matriz de rotação da barra
Re
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ
0
0
0
0
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ










:= Re
0.124-
0.992-
0
0
0.992
0.124-
0
0
0
0
0.124-
0.992-
0
0
0.992
0.124-










=
2.e.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
keg Re
T
kel Re:= keg
0.078
0.626-
0.078-
0.626
0.626-
5.007
0.626
5.007-
0.078-
0.626
0.078
0.626-
0.626
5.007-
0.626-
5.007










10
4
=
2.e.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
keg Re
T
kel Re:= keg
0.078
0.626-
0.078-
0.626
0.626-
5.007
0.626
5.007-
0.078-
0.626
0.078
0.626-
0.626
5.007-
0.626-
5.007










10
4
=
2.e.5. Matriz de incidência cinemática
gdl_El
1
gdl_Est
noI 1, 
:=
noI 2=
gdl_El
2
gdl_Est
noI 2, 
:=
noJ 4=
gdl_El
3
gdl_Est
noJ 1, 
:=
gdl_El
4
gdl_Est
noJ 2, 
:=
x y
x noI nó 1
y noI
nó 2
gdl_El
9
10
4
5










=
x noJ gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














= nó 3
y noJ 
nó 4
nó 5
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










:=
H
1 gdl_El1, 
1:=
H
2 gdl_El2, 
1:=
H
3 gdl_El3, 
1:=
H
4 gdl_El4, 
1:=
He H:= He
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0










=
2.f. Barra f
2.f.1. Comprimento e orientação da barra
el f:=
noI tabBarrasel 1, 
:= noI 3=
noJ tabBarras
el 2, 
:= noJ 5=
xI tabNosnoI 1, 
:= xI 0.25=
yI tabNosnoI 2, 
:= yI 2=
xJ tabNosnoJ 1, 
:= xJ 0.5=
yJ tabNosnoJ 2, 
:= yJ 4=
Δx xJ xI-:= Δx 0.25=
Δy yJ yI-:= Δy 2=
L Δx2 Δy2+:= L 2.016=
cosθ
Δx
L
:= cosθ 0.124=
senθ
Δy
L
:= senθ 0.992=
2.f.2. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema local de coordenadas
E tabBarras
el 4, 
:= E 2.05 10
8
=
A tabBarras
el 3, 
:=
A 5 10
4-
=
kfl
E A
L
0
E- A
L
0
0
0
0
0
E- A
L
0
E A
L
0
0
0
0
0
















:= kfl
5.085
0
5.085-
0
0
0
0
0
5.085-
0
5.085
0
0
0
0
0











10
4
=
2.f.3. Matriz de rotação da barra
Rf
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ
0
0
0
0
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ










:= Rf
0.124
0.992-
0
0
0.992
0.124
0
0
0
0
0.124
0.992-
0
0
0.992
0.124










=
2.f.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kfg Rf
T
kfl Rf:= kfg
0.078
0.626
0.078-
0.626-
0.626
5.007
0.626-
5.007-
0.078-
0.626-
0.078
0.626
0.626-
5.007-
0.626
5.007










10
4
=
2.f.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kfg Rf
T
kfl Rf:= kfg
0.078
0.626
0.078-
0.626-
0.626
5.007
0.626-
5.007-
0.078-
0.626-
0.078
0.626
0.626-
5.007-
0.626
5.007










10
4
=
2.f.5. Matriz de incidência cinemática
gdl_El
1
gdl_Est
noI 1, 
:=
noI 3=
gdl_El
2
gdl_Est
noI 2, 
:=
noJ 5=
gdl_El
3
gdl_Est
noJ 1, 
:=
gdl_El
4
gdl_Est
noJ 2, 
:=
x y
x noI nó 1
y noI
nó 2
gdl_El
2
3
6
7










=
x noJ gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














= nó 3
y noJ 
nó 4
nó 5
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










:=
H
1 gdl_El1, 
1:=
H
2 gdl_El2, 
1:=
H
3 gdl_El3, 
1:=
H
4 gdl_El4, 
1:=
Hf H:= Hf
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
2.g. Barra g
2.g.1. Comprimento e orientação da barra
:=
el g:=
noI tabBarras
el 1, 
:= noI 4=
noJ tabBarras
el 2, 
:= noJ 5=
xI tabNosnoI 1, 
:= xI 0.75=
yI tabNosnoI 2, 
:= yI 2=
xJ tabNosnoJ 1, 
:= xJ 0.5=
yJ tabNosnoJ 2, 
:= yJ 4=
Δx xJ xI-:= Δx 0.25-=
Δy yJ yI-:= Δy 2=
L Δx2 Δy2+:= L 2.016=
cosθ
Δx
L
:= cosθ 0.124-=
senθ
Δy
L
:= senθ 0.992=
2.g.2. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema local de coordenadas
E tabBarras
el 4, 
:= E 2.05 10
8
=
A tabBarras
el 3, 
:=
A 5 10
4-
=
kgl
E A
L
0
E- A
L
0
0
0
0
0
E- A
L
0
E A
L
0
0
0
0
0
















:= kgl
5.085
0
5.085-
0
0
0
0
0
5.085-
0
5.085
0
0
0
0
0










10
4
=
2.g.3. Matriz de rotação da barra
Rg
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ
0
0
0
0
cosθ
senθ-
0
0
senθ
cosθ










:= Rg
0.124-
0.992-
0
0
0.992
0.124-
0
0
0
0
0.124-
0.992-
0
0
0.992
0.124-










=
2.g.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kgg Rg
T
kgl Rg:= kgg
0.078
0.626-
0.078-
0.626
0.626-
5.007
0.626
5.007-
0.078-
0.626
0.078
0.626-
0.626
5.007-
0.626-
5.007











10
4
=
2.g.4. Matriz de rigidez da barra em relação ao sistema global de coordenadas
kgg Rg
T
kgl Rg:= kgg
0.078
0.626-
0.078-
0.626
0.626-
5.007
0.626
5.007-
0.078-
0.626
0.078
0.626-
0.626
5.007-
0.626-
5.007











10
4
=
2.g.5. Matriz de incidência cinemática
gdl_El
1
gdl_Est
noI 1, 
:=
noI 4=
gdl_El
2
gdl_Est
noI 2, 
:=
noJ 5=
gdl_El
3
gdl_Est
noJ 1, 
:=
gdl_El
4
gdl_Est
noJ 2, 
:=
x y
x noI nó 1
y noI
nó 2
gdl_El
4
5
6
7










=
x noJ gdl_Est
1
9
2
4
6
8
10
3
5
7














= nó 3
y noJ 
nó 4
nó 5
H
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










:=
H
1 gdl_El1, 
1:=
H
2 gdl_El2, 
1:=
H
3 gdl_El3, 
1:=
H
4 gdl_El4, 
1:=
Hg H:= Hg
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
3. Obtenção da matriz de rigidez da
estrutura 
K Ha
T
kag Ha Hb
T
kbg Hb+ Hc
T
kcg Hc+ Hd
T
kdg Hd+ He
T
keg He+
Hf
T
kfg Hf Hg
T
kgg Hg++
...:=
K
6.583
0.078-
0.626-
0.355-
0.947-
0
0
1.572
6.15-
0
0.078-
12.456
1.252
12.3-
0
0.078-
0.626-
0.626-
0
0
0.626-
1.252
10.014
0
0
0.626-
5.007-
5.007-
0
0
0.355-
12.3-
0
12.811
0.305-
0.078-
0.626
0.947-
0.078-
0.626
0.947-
0
0
0.305-
12.539
0.626
5.007-
2.524-
0.626
5.007-
0
0.078-
0.626-
0.078-
0.626
0.156
0
0
0
0
0
0.626-
5.007-
0.626
5.007-
0
10.014
0
0
0
1.572
0.626-
5.007-
0.947-
2.524-
0
0
7.531
0
0
6.15-
0
0
0.078-
0.626
0
0
0
6.228
0.626-
0
0
0
0.626
5.007-
0
0
0
0.626-
5.007




























10
4
=
4. Obtenção dos vetores {Pl} e {Dr}
Dr
tabNos
1 8, 
tabNos
2 7, 
tabNos
2 8, 










:=
Pl
tabNos
1 5, 
tabNos
3 5, 
tabNos
3 6, 
tabNos
4 5, 
tabNos
4 6, 
tabNos
5 5, 
tabNos
5 6, 


























:=
Dr
0
0
0








=
Pl
0
1
2-
0
2-
1.5
2-




















=
5. Partição e solução do sistema de equações
5.1. Partição da matriz de rigidez
Kll submatrix K 1, 7, 1, 7, ( ):=
Klr submatrix K 1, 7, 8, 10, ( ):=
Krl submatrix K 8, 10, 1, 7, ( ):=
Krr submatrix K 8, 10, 8, 10, ( ):=
Kll
6.583
0.078-
0.626-
0.355-
0.947-
0
0
0.078-
12.456
1.252
12.3-
0
0.078-
0.626-
0.626-
1.252
10.014
0
0
0.626-
5.007-
0.355-
12.3-
0
12.811
0.305-
0.078-
0.626
0.947-
0
0
0.305-
12.539
0.626
5.007-
0
0.078-
0.626-
0.078-
0.626
0.1560
0
0.626-
5.007-
0.626
5.007-
0
10.014




















10
4
=
Klr
1.572
0.626-
5.007-
0.947-
2.524-
0
0
6.15-
0
0
0.078-
0.626
0
0
0
0
0
0.626
5.007-
0
0




















10
4
=
Krl
1.572
6.15-
0
0.626-
0
0
5.007-
0
0
0.947-
0.078-
0.626
2.524-
0.626
5.007-
0
0
0
0
0
0








10
4
= Krr
7.531
0
0
0
6.228
0.626-
0
0.626-
5.007








10
4
=
5.2. Obtenção da parte livre do vetor de deslocamentos
Dl Kll
1-
Pl Klr Dr-( ):= Fll Kll
1-
:=
Fll
1.626
1.22
0.051
1.22
0.152
0.813
0.102
1.22
25.563
3.043-
24.75
0.901-
16.587
1.921-
0.051
3.043-
2.384
2.941-
0.132
6.017
1.251
1.22
24.75
2.941-
24.75
0.901-
16.587
1.921-
0.152
0.901-
0.132
0.901-
1.385
5.915-
0.758
0.813
16.587
6.017
16.587
5.915-
128.223
0.051
0.102
1.921-
1.251
1.921-
0.758
0.051
2.003




















10
5-
=
Dl
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-




















10
4-
=
5.3. Obtenção do vetor completo de deslocamentos nodais da estrutura
Dr
0
0
0








=
D stack Dl Dr, ( ):= D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
5.4. Determinação das reações de
apoio
Pr Krl Dl Krr Dr+:=
Krl
1.572
6.15-
0
0.626-
0
0
5.007-
0
0
0.947-
0.078-
0.626
2.524-
0.626
5.007-
0
0
0
0
0
0








10
4
=
Pr
5-
2.5-
11








=
Dl
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-




















10
4-
=
5.5. Obtenção do vetor completo de forças nodais da
estrutura
Pl
0
1
2-
0
2-
1.5
2-




















=
Pr
5-
2.5-
11








=
P stack Pl Pr, ( ):=
P
0
1
2-
0
2-
1.5
2-
5-
2.5-
11




























=
6. Obtenção dos resultados para cada barra
6.a. Barra a: 
6.a.1. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema global de
coordenadas:
dag Ha D:=
Ha
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1










=
D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
dag
0.183
0
0
0










10
4-
=
6.a.2. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema local de
coordenadas:
dal Ra dag:=
dal
0.183
0
0
0










10
4-
=
6.a.3. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema local de coordenadas
pal kal dal:=
pal
1.125
0
1.125-
0











=
6.a.4. Obtenção do esforço normal da barra:
Na pal
3
:= Na 1.125-=
6.a.5. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema global de coordenadas
pag Ra
T
pal:=
pag
1.125
0
1.125-
0










=
6.b. Barra b: 
6.b.1. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema global de
coordenadas:
dbg Hb D:=
Hb
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
dbg
6.217
0.155-
6.116
1.432-










10
4-
=
6.b.2. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema local de
coordenadas:
dbl Rb dbg:=
dbl
6.217
0.155-
6.116
1.432-










10
4-
=
6.b.3. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema local de coordenadas
pbl kbl dbl:=
pbl
1.25
0
1.25-
0










=
6.b.4. Obtenção do esforço normal da barra:
Nb pbl
3
:= Nb 1.25-=
6.b.5. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema global de coordenadas
pbg Rb
T
pbl:=
pbg
1.25
0
1.25-
0










=
6.c. Barra c: 
6.c.1. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema global de
coordenadas:
dcg Hc D:=
Hc
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
dcg
0.183
0
6.217
0.155-










10
4-
=
6.c.2. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema local de
coordenadas:
dcl Rc dcg:=
dcl
0.023
0.182-
0.617
6.188-










10
4-
=
6.c.3. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema local de coordenadas
pcl kcl dcl:=
pcl
3.023-
0
3.023
0










=
6.c.4. Obtenção do esforço normal da barra:
Nc pcl3
:= Nc 3.023=
6.c.5. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema global de coordenadas
pcg Rc
T
pcl:=
pcg
0.375-
3-
0.375
3










=
6.d. Barra d: 
6.d.1. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema global de
coordenadas:
ddg Hd D:=
Hd
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
ddg
0.183
0
6.116
1.432-










10
4-
=
6.d.2. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema local de
coordenadas:
ddl Rd ddg:=
ddl
0.064
0.171-
0.806
6.229-










10
4-
=
6.d.3. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema local de coordenadas
pdl kdl ddl:=
pdl
2.136-
0
2.136
0










=
6.d.4. Obtenção do esforço normal da barra:
Nd pdl
3
:= Nd 2.136=
6.d.5. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema global de coordenadas
pdg Rd
T
pdl:=
pdg
0.75-
2-
0.75
2









=
6.e. Barra e: 
6.e.1. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema global de
coordenadas:
deg He D:=
He
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0










=
D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
deg
0
0
6.116
1.432-










10
4-
=
6.e.2. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema local de
coordenadas:
del Re deg:=
del
0
0
2.18-
5.891-










10
4-
=
6.e.3. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema local de coordenadas
pel kel del:=
pel
11.086
0
11.086-
0










=
6.e.4. Obtenção do esforço normal da barra:
Ne pel
3
:= Ne 11.086-=
6.e.5. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema global de coordenadas
peg Re
T
pel:=
peg
1.375-
11
1.375
11-










=
6.f. Barra f: 
6.f.1. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema global de
coordenadas:
dfg Hf D:=
Hf
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
dfg
6.217
0.155-
20.862
0.987-










10
4-
=
6.f.2. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema local de
coordenadas:
dfl Rf dfg:=
dfl
0.617
6.188-
1.608
20.823-










10
4-
=
6.f.3. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema local de coordenadas
pfl kfl dfl:=
pfl
5.039-
0
5.039
0










=
6.f.4. Obtenção do esforço normal da barra:
Nf pfl
3
:= Nf 5.039=
6.f.5. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema global de coordenadas
pfg Rf
T
pfl:=
pfg
0.625-
5-
0.625
5










=
6.g. Barra g: 
6.g.1. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema global de
coordenadas:
dgg Hg D:=
Hg
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0










=
D
0.183
6.217
0.155-
6.116
1.432-
20.862
0.987-
0
0
0




























10
4-
=
dgg
6.116
1.432-
20.862
0.987-










10
4-
=
6.g.2. Obtenção do vetor de deslocamentos da barra em relação ao sistema local de
coordenadas:
dgl Rg dgg:=
dgl
2.18-
5.891-
3.567-
20.578-










10
4-
=
6.g.3. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema local de coordenadas
pgl kgl dgl:=
pgl
7.054
0
7.054-
0










=
6.g.4. Obtenção do esforço normal da barra:
Ng pgl3
:= Ng 7.054-=
6.g.5. Obtenção do vetor de forças da barra em relação ao sistema global de coordenadas
pgg Rg
T
pgl:=
pgg
0.875-
7
0.875
7-










=
7. Verificação do equilíbrio dos nós
P2 Ha
T
pag Hb
T
pbg+ Hc
T
pcg+ Hd
T
pdg+ He
T
peg+ Hf
T
pfg+ Hg
T
pgg+:=
P2
0
1
2-
3.852 10
14-

2-
1.5
2-
5-
2.5-
11




























=
P
0
1
2-
0
2-
1.5
2-
5-
2.5-
11




























= K D
0
1
2-
2.731 10
14-

2-
1.5
2-
5-
2.5-
11




























=
D
1.829 10
5-

6.217 10
4-

1.551- 10
5-

6.116 10
4-

1.432- 10
4-

2.086 10
3-

9.871- 10
5-

0
0
0


































=