Projeto Racionais

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Projeto: Construc¸a˜o dos Nu´meros Racionais. Data de entrega: 26/fev./2011.
Seja Z∗ = {m ∈ Z : m 6= 0}. Definimos sobre Z× Z∗ = {(m,n) : m ∈ Z, n ∈ Z∗} a seguinte relac¸a˜o ∼ :
(m,n) ∼ (p, q)⇐⇒ mq = np.
E´ poss´ıvel mostrar que esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. Desta forma ∼ determina sobre Z × Z∗ uma
partic¸a˜o, a saber, o conjunto quociente
Z× Z∗
∼ = {(m, p), (m,n) ∈ Z× Z
∗}. (I)
Denotamos a classe (m,n) por
m
n
, ou seja,
m
n
= {(x, y) ∈ Z× Z∗ : (x, y) ∼ (m,n)} := {(x, y) ∈ Z× Z∗ : nx = my}.
Logo, podemos reescrever o conjunto quociente (I):
Z× Z∗
∼ =
{m
n
, (m,n) ∈ Z× Z∗
}
.
O conjunto quociente
Z× Z∗
∼ e´ denotado por Q, consequentemente:
Q =
{m
n
, (m,n) ∈ Z× Z∗
}
.
Observe que cada a ∈ Q admite infinitas representac¸o˜es m
n
, (m,n) ∈ Z × Z∗, denominadas frac¸o˜es ordina´rias com
m e n chamados, respectivamente, numerador e denominador. Ainda, os elementos de Q sa˜o chamados nu´meros
racionais.
Ao conjunto dos nu´meros racionais, Q acima definido, podemos associar duas operac¸o˜es bina´rias, a saber, Adic¸a˜o
(+) e Multiplicac¸a˜o ( . ). Para as definic¸o˜es a seguir: sejam a =
m
n
e b =
r
s
elementos quaisquer de Q; note que a e
b tem representac¸o˜es com denominadores iguais, de fato,
a =
m
n
=
ms
ns
e b =
r
s
=
nr
ns
.
Adic¸a˜o (+)
(+) : Q× Q −→ Q
(a, b) 7−→ a + b ,
tal que
a + b =
ms
ns
+
nr
ns
:=
ms + nr
ns
∈ Q.
Multiplicac¸a˜o ( . )
(.) : Q× Q −→ Q
(a, b) 7−→ a.b ,
tal que
a.b =
m
n
r
s
:=
m.r
n.s
∈ Q.
Exemplos:
1
1. Prove que a relac¸a˜o ∼ acima definida e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
2. Descreva as classes de equivaleˆncias:
1
2
,
2
4
,
2
1
e
3
5
.
3. Mostre que as operac¸o˜es (+) e ( . ) esta˜o bem definidas.
4. Demonstre as propriedades para (Q, +, .) descritas na tabela abaixo.
(+) ( . )
associativa ∀a, b, c ∈ Q, (a+ b) + c = a+ (b+ c) ∀a, b, c ∈ Q, (a.b).c = a.(b.c)
comutativa ∀a, b ∈ Q, a+ b = b+ a ∀a, b ∈ Q, a.b = b.a
elemento neutro para ∀a ∈ Q,∃ 0 ∈ Q : a+ 0 = a ∀a ∈ Q∗,∃ 1 ∈ Q : a.1 = a
elemento oposto para ∀a ∈ Q,∃ (−a) ∈ Q : a+ (−a) = 0 ∀a ∈ Q∗,∃ a−1 ∈ Q∗ : a.a−1 = 1
distributiva ∀a, b, c ∈ Q , a.(b+ c) = a.b+ a.c
5. E´ poss´ıvel definir uma relac¸a˜o de ordem total em Q de forma natural? Em caso afirmativo, defina este
relac¸a˜o, demonstre que esta relac¸a˜o e´ de ordem parcial e total, e ainda que esta e´ compat´ıvel com as
operac¸o˜es Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o (conforme ex.07 da 2a. lista de exerc´ıcio).
6. E´ correto falar que Z esta contido em Q? Qual a correta interpretac¸a˜o?
(Vale ate´ 2,0 pontos na 1a. prova- entregar 01 co´pia por grupo de ate´ 03 integrantes)
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