Resolução de exercícios sobre Parábola Geometria Analítica

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Ciências Exatas e Tecnológicas 
Geometria Analítica
Maria Adélia Friedrich
madelia@unisinos.br
Resolução de exercícios sobre Parábola 
Exercício 19 da página 173
Traçar o gráfico e obter a equação da parábola que satisfaça as 
condições V(2, -1) e F(5,-1)
1° passo: identificar a equação dada
Tenha sempre contigo as anotações e consulte os 4 casos que estabelecemos: 
1° caso: x2 = 2py 3° caso: (x-h)2 = 2p(y-k)
2° caso: y2 = 2px 4° caso: (y-k)2 = 2p(x-h)
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Se o vértice está em um ponto qualquer, nesse caso em (2, -1), temos ou o 3°
caso ou o 4° caso
Qual a diferença entre esses dois casos?
Um representa a equação da parábola que tem eixo de simetria paralelo a 
y (3° caso) e o outro o eixo de simetria é paralelo a x (4° caso).
2° passo: faça um esboço do gráfico com os dados fornecidos 
e identifique qual o caso
           











x
y
V F
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O eixo de simetria contém o vértice e o foco, logo nesse caso é a 
reta paralela ao eixo x
           











x
y
V F
4° caso: (y-k)2 = 2p(x-h)
Dados dessa equação: 
V (h , k) vértice
F(h+p/2 , k) foco
x = h- p/2 equação da diretriz
y = k equação do eixo de simetria
3° passo: Não esqueça! Para determinar a equação precisamos de h,k e p
Do vértice tiramos o valor de h e k
V(2 , -1)
h k
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4° passo: encontrar o valor de p 
Este valor iremos encontrar pela abscissa do foco
F(h+p/2 , k)
F(5,-1)
h+p/2 = 5
Como h = 2
2+p/2 = 5
p/2=5-2
p/2=3
p=6
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5° passo: substituir os valores de h , k e p na equação
(y - k)2 = 2p(x - h)
(y +1)2 = 12(x - 2)
y2+ 2y +1 = 12x - 24
y2+ 2y +1 - 12x + 24 = 0
y2+ 2y - 12x + 25 = 0
Como não solicita o tipo da equação 
podemos deixá-la na forma Geral
Quem sabe você a coloca na 
forma explícita?
           











x
y
V F
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Exercício 23 da página 173
Traçar o gráfico e obter a equação da parábola que satisfaça as 
condições F(-7, 3) e diretriz x+3 = 0
1° passo: identificar a equação dada
3° caso: (x-h)2 = 2p(y-k)
4° caso: (y-k)2 = 2p(x-h)
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2° passo: faça um esboço do gráfico com os dados fornecidos e identifique qual o caso
                 
















x
y
Diretriz
F
Eixo de simetria paralelo a y ou a x?
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Certamente você respondeu: paralelo a x!
3° passo: Identificar a equação
4° caso: (y-k)2 = 2p(x-h)
4° passo: dados dessa equação
V(h , k) vértice
F(h+p/2 , k) foco
x = h- p/2 equação da diretriz
y = k equação do eixo de simetria
5° passo: comparando com os dados fornecidos
F(h+p/2 , k)
F( -7 , 3) h+p/2 = -7
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4° passo: precisamos encontrar o valor da distância focal: p
Para encontrar p vamos precisar do outro dado, isto é, da equação da diretriz
x + 3 = 0
x = -3
x = h- p/2 equação da diretriz
h – p/2 = - 3
Juntando essa equação com a do slide anterior, 
teremos um sistema de duas equações a duas 
incógnitas para encontrar os valores de h e p
h + p/2 = - 7
h – p/2 = - 3
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h + p/2 = - 7
h – p/2 = - 3
2h = - 10
h = - 5
5° passo: resolver o sistema
Substituindo em uma das equações teremos o valor do p
h + p/2 = - 7
-5 + p/2 = -7
p/2 = -7+5
p/2 = -2
p = -4
6° passo: encontrar a equação da parábola
(y-k)2 = 2p(x-h)
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(y-k)2 = 2p(x-h)
h = - 5
k = 3
p = - 4
(y-k)2 = 2p(x-h)
(y-3)2 = 2.(-4)(x+5)
(y-3)2 = -8(x+5)
Escreva a equação na Forma Geral e na Forma Explícita!
Forma Geral: 
_____________________
Forma Explícita:
______________________
Forma Reduzida
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Exercício 28 página 173
Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, equação da diretriz e 
equação do eixo de simetria da parábola:
039y20x22x 
20
39x22x
y


1° passo: isolar o y da equação
2° passo: identificar a, b e c na equação
20
39
-c 
10
1
-b 
20
1
a 
3° passo: consultar o formulário
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2a
b
-h 
a2
1
p 
cbx2axy 
20
39x22x
y


V(h , k) vértice
F(h , k+p/2) foco
y = k- p/2 equação da diretriz
x = h equação do eixo de 
simetria
4° passo: retomar a equação dada
20
39
-c 
10
1
-b 
20
1
a 
10
10
1
1
20
1
2
1
p 
1
10
1
10
1
20
1
2
10
1
2a
b
-h 


2
20
40
20
391.221
k 




5° passo: substituindo na equação 
20
39x22x
y


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V(h , k) vértice
F(h , k+p/2) foco
y = k- p/2 equação da diretriz
x = h equação do eixo de simetria
p = 10 h = 1 k = - 2
6° passo: substituir os valores encontrados para fornecer os elementos solicitados
V(1 , -2) vértice
F(1 , 3) foco
y = - 7 equação da diretriz
x = 1 equação do eixo de simetria
                   


















x
y
F
V
Equação da diretriz
Eixo de simetria
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Exercício 35 página 173
Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, equação 
da diretriz e equação do eixo de simetria da parábola:
1° passo: isolar o x da equação
2° passo: identificar a, b e c na equação
3° passo: consultar o formulário
12
122y
x


012x122y 
-1c 0b 
12
1
a 
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2a
b
-k 
a2
1
p 
cby2ayx 
V(h , k) vértice
F(h+p/2 , k) foco
x = h- p/2 equação da diretriz
y = k equação do eixo de simetria
4° passo: retomar a equação dada
6
6
1
1
12
1
2
1
p 
0
12
1
2
0
2a
b
-k 
1
12
12
12
1220
h 




5° passo: substituindo na equação 
encontraremos h
20
39x22x
y


12
122y
x


-1c 0b 
12
1
a 
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V(h , k) vértice
F(h+p/2 , k) foco
x = h- p/2 equação da diretriz
y = k equação do eixo de simetria
p = 6 h = -1 k = 0
V(-1 , 0) vértice
F(2 , 0) foco
x = - 4 equação da diretriz
y = 0 equação do eixo de simetria
                   


















x
y
F
V
Equação da diretriz
Eixo de simetria