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UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I CURSO: PROFESSOR: Gilberto Pina DATA: / / NOME: TURMA: Segunda Avaliação Atualizada em 19 de outubro de 2011 INSTRUÇÕES: • Desligue o celular. Não é permitido usá-lo durante a prova; • Durante a avaliação, a saída da sala e qualquer forma de consulta não será permitida; • A interpretação de cada questão é parte integrante da prova; • Só serão validadas as questões justificadas com todos os cálculos nas folhas de respostas. Questões: 1. (Valor: 4,0) (a) Seja f(x) = 6 3 √ 3x− 5. Usando a definição de derivadas, determine a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P (2, 6). (b) Sendo y = f(x) uma função definida implicitamente pela equação x3 − 3x2 + 6xy + cos(y)− 1 = 0, determinar a equação da reta normal à curva y = f(x) no ponto P (3, 0). (c) Seja f : R → R dada por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Sabendo que a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P (1, 4) tem inclinação m = 6, determine a soma 4a + 3b + 2c + d. (d) Dada a função ϕ(x) = x2 − 3x+ sen(3x)− 3, determinar a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva y = ϕ(x) no ponto de abscissa nula (zero). 2. (Valor: 2,0) Determine a derivada de cada uma das seguintes funções: (a) f(x) = esen(2x) + arctg(x2) + ℓn(1 + x4) + √ 2 (b) f(x) = 3 cotg(3x2 − 6x + 3) 3. (Valor: 2,0) (a) Sendo f(x) = e5x − 7 e5x + 1 , determine f ′(0). (b) Calcule a diferencial da função y = senh(cos(x2 − 4)). 4. (Valor: 1,5) Uma partícula se move em linha reta, de modo que sua posição num instante t qualquer é dada por s(t) = 5 2 t2− cos(πt)+ 1. Se o deslocamento é dado em metros e o tempo é dado em segundos, determine: (i) a posição, (ii) a velocidade e (iii) a aceleração da partícula quando t = 2 s. 5. (Valor: 1,0) Uma cabine de vidro, sem teto, foi construída em forma de um prisma de base quadrangular, cuja altura é a terça parte de cada aresta interior da base. Se o vidro tem uma espessura de 1 cm e a altura da cabine é 2m, usando diferenciais, determine o volume do vidro usado na construção da região lateral da cabine. 6. (Valor: 1,5) Um tanque tem a forma de um cilindro reto de 2m de raio da base e 10m de altura. No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 40πm3/hora. Com que velocidade o nível da água sobe? Quanto tempo levará para que o tanque fique totalmente cheio? “Nossas dúvidas são traiçoeiras e nos fazem perder o bem que poderíamos conquistar, se não fosse o medo de tentar.” William Shakespeare Segunda Avaliação # Cálculo Diferencial e Integral I 2
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