Aula 1 a 10 - CÁLCULO 3

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Aula 1
		Determine a parametrização  para a função f(x) = x 2 , utilizando a parametrização natural.
	
	
	(t, t 2) 
	
		4.
	Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈R
		
	
	
	
	x= y2 - 2y - 3
	
Explicação: 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈
	R
 t = 1 - y
x= (1-y)2 - 4  = 1 - 2y + y2  - 4 = -2y + y2 - 3
x=y2 - 2y - 3
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja a função σ(t)
contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a cuva C no R3 para cada t ∈ I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈
		C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que:
	
	
	
	A parametrização de uma curva não é única.
	
Explicação: 
Podemos afirmar que a parametrizacao não é única
	
	
		6.
	Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva.
	
	
	3y + 2x - 10 = 0 
	 
		
	
		7.
	Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x +9.
	
	
	(t) = (t ,6t+9).
	
		8.
	Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0).
	
	
	(t) = (r cos , r sen , b) , ∈R
	
Explicação: 
(t) = (r cos , r sen , b) , ∈R
A componente x = r cos q e y = r sen q representa a componente da circunferência e a componente z = bq representa a altura da hélice circular.
q representa o ângulo de rotação
		1 - Seja  a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero.
	
	
	(0,3)
	
		2.
	
(h tendendo a zero)
	
	
	
	(- sen t, cos t , 1)
	
		3.
	Determine a parametrização  para a função f(x) = x 2 , utilizando a parametrização natural.
	
	
	(t, t 2) 
	
		4.
	Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈ R
	
	
	x= y2 - 2y - 3
	
Explicação: 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t ∈
	R
 t = 1 - y
x= (1-y)2 - 4  = 1 - 2y + y2  - 4 = -2y + y2 - 3
x=y2 - 2y - 3
	
		5.
	Determine a parametrização da ciclóide
	
	
	
	(t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) , .
		6.
		Seja a função σ(t)
contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a cuva C no R3 para cada t ∈ I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈
		C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que:
	
	
	
	A parametrização de uma curva não é única.
	
		7.
	Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9.
	
	
	(t) = (t ,6t+9).
		8.
	Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0).
	
	
	
	(t) = (r cos , r sen , b) , ∈R
A componente x = r cos q e y = r sen q representa a componente da circunferência e a componente z = bq representa a altura da hélice circular.
q representa o ângulo de rotação
AULA 2
		Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de uma estrada cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3.
	
	
	(2)1/2(e3 -1)
	
Explicação: 
(2)1/2(e3 -1)
	
		2.
	Sabendo que representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração.
	
	
	V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) =  ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t)
	
		3.
	 Seja  a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero.
	
	 
	(0,3)
	
		4.
		Dada a função (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será?
	
	
	
	(2t , - sen t, 3t2)
	
		Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva entre 0≤t≤π4
	
	√2π4
	
		7.
	Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2.
	
	
	(2,cos 2, 3)
		8.
	Sabendo que representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t).
	
	
	V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0)
Aula 3
	
		
	
		1.
	Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π4
	
N(t) = -senti-costj 
	
		2.
	Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t),  t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C.
	 4√20 π 
	
	
	
		
	
		3.
	Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1)
	
	
	x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1
	 
		
	
		4.
	Analisando a equação  z = sen y podemos afirmar que:
I - O gráfico é um plano.
II - o gráfico é um cilindro.
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação  z = sen y.
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x.
	
	
	Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras.
	
		5.
	Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Observandol o tempo que cada carro chega ao ponto P conclua quem chega primeiro. 
	
	
	
	O carro R1 chega primeiro de que o carro R2
	 
		
	
		6.
	Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado.
	
	
	
	O carro R1 será multado
Aula 4
	1a Questão 
	
	
	
	Analisando a equação  z = sen y podemos afirmar que:
I - O gráfico é um plano.
II - o gráfico é um cilindro.
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação  z = sen y.
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x.
	
	Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras.
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Analisando a equação  2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que:
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12.
II - o traço no plano yz é dado por  3y + 4z= 12
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z.
	
	I, II, III são verdadeiras e IV é falsa
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 > como vetor normal? 
	
	6x - 3y - 2z + 34 = 0
	 
4a Questão 
	
	Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ?
	
	x + y + z - 3 = 0
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Analisando a equação  2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que:
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12.
II - o traço no plano yz é dado por  3y + 4z= 12
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z.
	
	I, II, III são verdadeiras e IV é falsa
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define
	
	Um plano paraleloao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6).
	
	
	 
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ?
	
	x + 2y + 4z - 4 = 0
	
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 > como vetor normal?
	
	y - z + 3 = 0
Aula 5
		etermine o traço do elipsóide no plano xy
	
	
	
	Plano xy - reta
	
	
	Plano xy - plano
	
	
	Plano xy - vazio
	
	
	Plano xy - Elipse 
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a superfície de revolução  obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos afirma que:
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola  em torno do eixo z é um parabolóide  circular.
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola  em torno do eixo z é um cone.
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola  em torno do eixo z é um cone.
	
	
	
	III é verdadeira. I e II falsas
	
	
	I é verdadeira . II e III são falsas
	
	
	II é verdadeira. I e III são falsas
	
	
	I, II e III são verdadeiras
	
	
	I, II, III são falsas
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha?
	
	
	
	x2 + 16z2 = 4y2 - 16
	
	
	x2 = y2 - z2
	
	
	9x2 - 4y2 + 36z2 = 36
	
	
	9x2 - 4z2 - 36y = 0
	
	
	4x2 + 9y2 + z2 = 36
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 
	
	
	
	Parabola
	
	
	esfera
	
	
	elipsoide
	
	
	Cone
	
	
	parabolóide
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. 
	
	
	
	(cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
	
	
	(a cos t, b sen t)  x > = -pi/2 e x < = pi/2  
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
	
	
	(a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		 Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta
	
	
	
	-(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0
	
	
	x2 + y2+ z2 = r2 
	
	
	-(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Podemos afirmar que:
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy  é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy  é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 .
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz  é a hiperbole  x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 
	
	
	I e III sao verdadeiras e II falsa.
Aula 6
	A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2
	
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2
		
	
	{(x,y) 2| x+y ≥ 2}
	
	 3a Questão 
	
	
	
	
	Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0).
	
	O limite não existe
	 4a Questão 
	
	
	
	
	Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0).
	
	tende a zero
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são:
	
	
	
	
	Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
	
	O limite será 8.
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 
	
	7/9
	
	
	Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2).
		
	
	O limite será 14.
 
Aula 7
		Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
	
	
	A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
	
		2.
	Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são  TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem
 
	
	
	v(t) = 1
	
		3.
	Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que:
	
	
	A parametrização de uma curva não é única.
		4.
	Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2).
	
	
	
	o Limite será 12.
	
		5.
	Dada a função de várias váriáveis  f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2).
	
	
	
	O limite será 2.
	 
		
	
	
	Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) podemos afirmar que: 
	
	
	limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0)
	
	Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y)  = 
	
	
	
	fxx =    4 x 2   - 2  
fxy = 4 xy 
	 
		
	
	
	Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy
	
	
	fx = 2y e fy = 2x - 4
Aula 8
		Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; 
	
	
	
	y = - √x-3
	
	
		2.
		Seja a curva C definida por y = 2/x. Determine o raio de curvatura de C no ponto (2,1).
	
	
	O raio de curvatura é (5 sqrt(5) )/ 4
		3.
	Determine a taxa de variação da função f(x,y,z) = xyz + e(2x+y) no ponto P = (-1,2,1) na direção do vetor u =(1,1, √2)
	
	
	2 -√2
	
		4.
	Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y + y(1/2) , calcule a taxa de variação no Ponto P = (2,1)  na direção do vetor u = (5, - 2) 
	
	
	11 / (29)(1/2)
	
	
	Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). 
√6 / 2
Aula 9
	Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que:
	
	O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local.
	 
	
	 2a Questão 
	
	
	
	
	Determine a curvatura da função y = x2 na origem
	
	2
	
	
	
	
	
	
	Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 1 + x2 + y2, analise a função e  encontre seu ponto crítico.
	
	
	
	
	O ponto crítico será (0,0).
	
	
	
	Dada a função f(x,y) = 1/(xy) que representa uma superfície S no R 3. Determine os pontos dessa superfície S mais próximos de (0,0,0). 
		
	
	Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1)
	
	 5a Questão 
	
	
	
	
	Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, -3 > como vetor normal? 
		
	
	x + 2y - 3z + 1 = 0 
	
	 6a Questão 
	
	
	
	
	Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 2 ) ?
	
	6x + 10y + 15z - 30 = 0
	
	 7a Questão 
	
	
	
	
	Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 2 x3 + y3 - 3x2 - 3y, analise a função e  encontre o ponto crítico da função. 
		
	
	Temos com pontos críticos: (0,-1) (0,1), (1,1) e (1,-1)
	
	
	
	 8a Questão 
	
	
	
	
	Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3).
		
	
	3/4
Aula 10
		Calcule o comprimento da hélice circular (cos t, sen t , t) , t no intervalo [0,2pi]
	
	
	2pi (2) 1/2
	
		2.
	Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema:
Maximizar  xy
Sujeito a: x + 2y = 20
Determine a função Lagrangeana do problema dado.
	
	
	  
L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20)
 
	
		3.
	A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) = (0,0). Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da afirmação. 
	
	
	
	No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o limite quando(x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite não existia. Portanto não é contínua no ponto (0,0).
	
		4.
	Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de  triângulo. Aplicando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema:
y- λ = 0
x - 2λ = 0
-x - 2y + 20 = 0
A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa.
	
	
	50 m2
	
	 
		
	
		5.
	Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema:
Minimizar  x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z  = 6
Determine a função Lagrangeana do problema dado.
	
	
	L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6)
	
		6.
	Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis.
dx+e3xdy=0
	
	
	
	y=13e−3x+C
	
	
		7.
	Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida por (t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] 
	
	
	1/a
	
		8.
		Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que:
I : - ( x2/ a2)  + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha.
II:  - ( x2/ a2)  + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha.
III: - ( x2/ a2)  + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico.
	
	
	II é verdadeira. I e II são falsa