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Cálculo Diferencial E Integral (69)

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CÁLCULO III – ENGENHARIAS – 2° SEM/2001 – AULA 14
REGRA DA CADEIA
Derivada total
 Sejam 
 a Derivada Total de z é dada por :
Exemplos :
1 ) 
 determine 
Resolução :
● 
 ●● 
 
● 
	●● 
 
Portanto ... 
	
2 ) 
 determine 
Resolução :
● 
 ●● 
 
● 
	●● 
 
Portanto ... 
.
Exercícios :
● Dê a expressão da Derivada Total das funções :
a ) 
	d ) 
b ) 
 e ) 
c ) 
PLANO TANGENTE
 Dada a a função z = f(x,y), o Plano Tangente ao gráfico desta função passando pelo ponto Po ( x0, y0, z0 ) com z diferenciável em ( x0, y0 ) é dado pela equação :
onde z0 = f( x0, y0 ).
 
 Tal plano é perpendicular ao vetor 
e considerando a reta r que passa pelo ponto P0 e é paralela ao vetor 
 temos que r é denominada Reta Normal ao gráfico de z = f(x,y) e tem 
como equação :
r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + 
. 
; 
 R
Graficamente ...
 z	Reta Normal	 
	
 z0
 P0
	y0
	y
 
 x0
	 
 x
Exemplos :
1 ) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à curva 
 no ponto P0 ( 2, -1, z0 ) . 
Resolução :
● z0 = f (x0, y0 ) = 
 z0 = 1.
●● 
.
●●● 
.
Portanto ...
●●●● 
 
. ( Eq. do plano tangente )
●●●●● r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 2, -1, 1 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 2, -1, 1 ) + 
.( 2, 2, -1 ); 
 R. ( Eq. da reta normal )
 
2 ) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à curva z = 2x2 – 3y2 no ponto P0 ( 1, 1, z0 ) .
Resolução :
● z0 = f (x0, y0 ) = 2.(1)2 – 3.(1)2
 z0 = -1.
●● 
.
●●● 
.
Portanto ...
●●●● 
 
. ( Eq. do plano tangente )
●●●●● r : ( x, y, z ) = ( x0, y0, z0 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 1, 1, -1 ) + 
. 
; 
 R 
 
 r : ( x, y, z ) = ( 1, 1, -1 ) + 
.( 4, -6, -1 ); 
 R. ( Eq. da reta normal )
Exercícios :
1 ) Idem para z = xy em P0 ( 1, 1, z0 ) .
2 ) Idem para z = 4x2 + 9y2 em P0 ( -2, -1, z0 ) .
3 ) Idem para z = ln(xy) em P0 ( 
, 2, z0 ) .
●
z = f (x,y)
Plano
Tangente
●
●
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