Aula_10_-_Geo_012011

Prévia do material em texto

AULA 10
Operações com Vetores
�Adição de vetores
1º Caso
O vetor soma de 2 vetores é dado por um vetor 
que possui a origem no 1º e a extremidade do 
2º. 
u + v = AC
2º Caso
O vetor soma de dois vetores colineares e de 
mesmo sentido é representado por um vetor de 
mesma direção, sentido e seu módulo é dado 
pela soma dos módulos dos vetores.
3º Caso
O vetor soma de dois vetores de mesma 
direção e sentido contrário, é dada pela 
subtração dos seus módulos. O novo vetor 
soma terá direção e sentido do maior vetor.
Ex: 
u + ( - v ) 
Ex: u = 8 v = 3
u + v = 8 + ( - 3 ) = 5
4º Caso
A soma de dois vetores não paralelos que possuem a 
mesma origem é dada por um vetor que possui a 
mesma origem dos vetores e extremidade no encontro 
das retas paralelas formadas. É conhecida como regra 
do paralelogramo.
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a 
decomposição de forças no caso particular do retângulo.
5º Caso
A soma de três ou mais vetores é representado 
por um vetor que possui origem no primeiro e 
extremidade no último.
6º Caso
A soma dos vetores em que ocorrem 
coincidências entre a origem do primeiro com 
a extremidade do último é igual a 0.
Propriedades
� Comutativa: u + v = v + u
� Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w )
� Elemento Neutro: u + 0 = u
� Elemento Oposto: u + ( - u ) = 0
Diferença entre Vetores
Vetor u + ( - v ) escreve-se u - v é chamado diferença 
entre vetores. 
Soluções
3) Determinar os vetores, expressando-os com origem no ponto A.
• OC = AO e CH = FA , então AO + FA = FO = AE
• AH = AO e FG = AO, então AO + AO = AC
• 2AE = AD e 2AF = AB, então AD + AB = AC
• EH = AO e EF = EF, portanto AO + EF = FB
• EO = AF e BG = AE, então AF + AE = AO
• 2EO = CD e 2OC = AC, então AC + CD = AD
• ½BC = AE = OH e EH = AO, então OH + AO = AH
• FE + FG = FH = AD
• OG = AF e – HO = OH então OG + OH = OC = AO
• AF + FO + OC = AO
• AD + AB = AB + DC = AC
• BA + DA = CD + DA = CA
• AC – BC = AC + CB = AB
• NA + BC = NA + NM = AM
• MD + MB = BN + MB = MN
• BM - ½ DC = BM + ½ CD = BM + MD = BD
4) Determinar:
Exercício 14
1ª) Um quadrilátero que tem dois lados opostos 
paralelos e congruentes é uma paralelogramo.
Considerando o Δ ADC podemos escrever:
MN = ½ AC ( semelhança de triângulos ). 
Do mesmo modo Δ ABC, PQ = ½ AC.
Das expressões MN = PQ
2ª) Paralelogramo MPQN, as diagonais MQ e 
PN e E o ponto médio de PN e de MQ.
QE = QN + NE = PM + EP = EM
Logo E é o ponto médio de QM.
Exercício 16
Expressar os vetores AM e NA em função de AB e AC.
AM = AB + BM AC = AB + BC BC = AC - AB
AB + ½ BC
AB + ½ ( AC – AB )
AB + ½ AC – ½ AB
½ ( AB + AC )
AN = AB + BN BC = AC - AB
AB + ⅓ BC
AB + ⅓ ( AC – AB )
AB + ⅓ AC - ⅓ AB
AN = ⅔ AB + ⅓ AC